Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач исследований 13
1.1 Повышение помехоустойчивости и пропускной способности систем связи с пространственной обработкой сигналов 13
1.2 Особенности структуры сигналов и помех в сотовой связи 19
1.3 Определение понятия пространственно-протяженного источника. Многоточечная и спектральная модели пространственно-протяженнного источника 24
1.4 Обзор существующих методов высокого разрешения для источников с известным функциональным описанием угловой плотности мощности сигнала 32
1.5 Обзор моделей источников с неизвестной угловой плотностью мощности сигнала. 36
1.6. Задачи и содержание диссертационной работы 38
2. Модель корреляционной матрицы сигналов пространственно-протяженных источников 46
2.1 Постановка задачи 46
2.2 Разработка модели 46
2.3. Анализ модели. Расчет протяженности источника по оценкам параметров модели.49
3. Метод определения числа и классификации источников сигналов по признаку "точечный протяженный " 57
3.1 Постановка задачи 57
3.2 Разработка метода классификации и подсчета числа источников 61
3.3 Анализ и оценка требований к разрешающей способности метода 66
3.4 Логическая схема устройства 70
4. Синтез алгоритмов и структурных схем для оценки параметров модели пли на основе метода максимального правдоподобия 86
4.1 Вводные замечания 86
4.2 Особенности оценок максимального правдоподобия 87
4.3 Исходные данные 89
4.4 Постановка задачи 90
4.5 Оценка параметров. Соотношения для численных расчетов 94
4.6 Асимптотическая эффективность оценок 97
4.7 Оценка асимптотической устойчивости метода к некоторым ошибкам в принятой модели 100
4.9 Структурная схема оценивателя 110
5. МНК-оценки параметров модели пространственно- протяженных источников 118
5.1 Постановка задачи 118
5.2 Оценка параметров. Аналитические соотношения 119
5.3 Соотношения для численных процедур оценки параметров. Асимптотический анализ эффективности 123
5.4 Результаты численных расчетов 129
5.5 Аппаратурная реализация алгоритмов 131
Выводы 133
Список использованных источников 143
Приложение
- Особенности структуры сигналов и помех в сотовой связи
- Разработка модели
- Разработка метода классификации и подсчета числа источников
- Особенности оценок максимального правдоподобия
Введение к работе
За последние 8-10 лет мобильная телефония стала вполне привычным видом связи по всему миру. В развитых странах Европы, например, количество пользователей мобильных систем передачи данных и голоса различных категорий сегодня измеряется уже десятками миллионов. Также неуклонно растет число пользователей цифровыми системами, такими, как IS-54, GSM-900, GSM-1900, PCS-1800 и т.д. Цифровые стандарты постепенно вытесняют аналоговые, такие как AMPS, TACS, NMT-400 и др. Однако в связи с ростом популярности этих видов связи возникают проблемы «перенаселенности». Дело в том, что мобильная связь, как правило, организуется по сотовому признаку. При сотовой связи определенную группу подвижных станций обслуживает в пределах одной соты одна так называемая базовая станция [1,2]. В связи с ограниченным частотным диапазоном, выделяемым на организацию каналов связи базовая станция может обслужить одновременно только определенное число мобильных станций. Так в соответствии с наиболее популярным на сегодняшний день стандартом GSM-900 имеется около 45 частотных каналов, в каждом из которых, за счет временного разделения и использования протоколов сжатия данных1 в каждом частотном канале размещается до 120 временных окон, каждое из которых предназначено для обмена данными с определенной мобильной станцией(станциями). При этом надо принять во внимание, что конкретный оператор сотовой связи по существующим правилам, принятым на территории РФ, может получить в свое распоряжение максимум 10 частотных каналов. Таким образом, в одной соте одновременно обмен данными с базовой станцией могут вести не более 500 - 600 абонентов. По стандарту GSM-900 максимальный радиус соты составляет приблизительно 35км. Для того, что бы покрыть территорию, например, С.-Петербурга вполне достаточно бы было иметь 3-4 базовые станции. Однако при этом обеспечивалась бы возможность связи максимум 2400 абонентов одновременно при условии их равномерного распределения по сотам. Например, в С.-Петербурге на конец 2001г. пользователей мобильных станций стандарта GSM-900 насчитывалось более 430 тысяч. Эти цифры в наглядной форме подтверждают актуальность задачи повышения пропускной способности систем сотовой связи, для чего могут применяться несколько подходов [81].
Одним из перспективных методов увеличения пропускной способности систем сотовой связи является подход, в рамках которого предполагается использование пространственного разделения (SDMA) сигналов мобильных станций путем использования базовых станций с АР. В частности, большой объем исследований в этом направлении проводится фирмой Ericsson АВ (Швеция). Специалисты полагают, что наиболее эффективное использование базовых станций с АР состоит в применении методов обработки сигналов, учитывающих информацию о направлении прихода (НП) сигналов [1,2].
Проблема извлечения информации о НП сигналов привлекает к себе значительный интерес исследователей. Прежде всего этот интерес порожден нуждами радиолокации и гидроакустики, однако большинство из предложенных методов можно применять и в мобильной связи и в системах цифровой проводной связи. Кратко охарактеризуем эти методы.
К первой группе методов можно отнести линейные диаграммообразующие методы. Процессоры, работающие по этим методам осуществляют суммирование взвешенных сигналов от каждого приемного элемента (приемника) АР. Взвешивающие коэффициенты выбираются исходя из заданного критерия качества обработки. Возможные критерии качества и соответствующие им весовые коэффициенты подробно разобраны в [5-7]. Существенными недостатками линейных методов следует считать относительно низкую по сравнению с нелинейными методами разрешающую способность, фактически, ограниченную релеевским пределом.
Ко второй группе относятся так называемые авторегрессионые методы [8]. Ключевое допущение этих методов, в состав которых входят такие методы как метод Юла-Уолкера, Бурга, градиентные и т.п., в том, что пространственный спектр сигналов, воздействующих на АР описывается авторегрессионой моделью невысокого порядка.
1 Для сжатия речи, например, используются протоколы GSM 06.10 или GSM 06.12. Авторегрессионые методы характеризуются относительной простотой реализации, невысокой чувствительностью к погрешностям в априорных моделях (в том числе к ошибкам в определении порядка авторегрессионой модели) и высокой разрешающей способностью. Недостатком авторегрессионых алгоритмов можно считать отсутствие удобной решающей статистики для принятия решения о количестве присутствующих точечных сигналов и их НП.
В третью группу относят так называемые «оптимальные» методы [8]. В рамках этих методов процедуры оценки параметров, в частности оценки числа и НП источников сигналов, строятся с использованием критерия максимального правдоподобия (МП) или максимума апостериорной вероятности (МАВ). Как правило, во многих случаях, точный расчет или, хотя бы, оценку апостериорной вероятности получить очень трудно, что, по-видимому, является причиной очень низкой популярности МАВ при оценке пространственного спектра сигналов, приходящих на АР. Хотя известен ряд работ, например [10,11], в которых авторы применяют МАВ для задач оценки параметров неточечных сигналов. Гораздо более широкое применение, особенно в случае гауссовских статистик сигналов и шумов, находит МП.
Наконец, в четвертую группу методов следует занести так называемые методы «подгонки собственных подпространств» (МСП) [8]. К этой группе относятся методы, использующие для извлечения информации об НП собственные (сингулярные) числа и векторы (подпространства) матриц-статистик, построенных по сигналам с выхода АР. В качестве матрицы статистики чаще всего выступает выборочная корреляционная матрица (ВКМ). Методами из этой группы являются, например, MUSIC, WSF, ESPRIT, MODE и т.д [12-16]. МСП обеспечивают получение сверхрелеевского разрешения. Асимптотически МСП не уступают по точности МП, при этом большинство из МСП либо не совсем не требуют многомерного нелинейного поиска глобального экстремума заданной целевой функции, либо этот поиск осуществляется с гораздо меньшими вычислительными затратами, чем для МП. Также большинство МСП допускают реализацию в виде численных процедур, имеющих фиксированное время выполнения. Методы МСП являются интенсивно развивающейся областью теории обработки сигналов. Можно сказать, что МСП практически нет альтернатив в случаях, когда требуется получить высокое разрешение по угловым координатам в системах, использующих АР, состоящую из небольшого числа приемных элементов и (или) использующие небольшое число отсчетов сигнала. Для подтверждения этого тезиса приведем два примера.
Первый пример относится к сотовой связи. Как уже говорилось выше, применение АР на базовых станциях позволяет перейти к пространственному разделению каналов. Использование техники формирования веера лучей [5,6,26] позволяет в несколько раз увеличить пропускную способность системы. Фактически, пропускная способность определяется шириной диаграммы направленности луча АР. Если два абонента (мобильные станции) используют одинаковый ресурс (несущую частоту, временной канал, код и т.д.) и расположены в пределах ширины луча АР, то такие абоненты будут создавать друг другу значительные помехи. Однако большинство современных сотовых приемников имеют возможность менять рабочий ресурс по командам с базовой станции. И если в пределах ширины луча АР находится несколько сотовых абонентов, то можно по командам с базовой станции осуществить перераспределение ресурсов между абонентами. Для решения этой задачи, вначале, определяется число и рабочие частоты абонентов в пределах ширины луча. Поскольку, сотовая связь - это связь с активным ответом, то отношения сигнал/шум обычно достаточно велики. Поэтому для задачи определения числа абонентов практически вне конкуренции оказываются МСП [1].
Второй пример относится к более широкой области цифровой связи. Для передачи различных управляющих сигналов широко используются так называемые двухчастотные тональные посылки (DTMF) [26]. На качество работы приемной системы, осуществляющей выделение DTMF-сигналов на фоне других сигналов и шумов, налагаются достаточно жесткие требования в соответствии с международным стандартом G.201 [3]. Там же в [3] представлены результаты исследования трех систем, предназначенных для выделения DTMF-сигналов. Системы используют методы рекурсивной фильтрации, метод Герцеля [27] и MUSIC, соответственно. Показано, что метод Герцеля ни при каком выборе параметров не может удовлетворить требованиям стандарта G.201. Рекурсивные фильтры, удовлетворяющие требованиям стандарта требуют такой вычислительной нагрузки, что могут быть реализованы лишь на некоторых новых и дорогих моделях сигнальных процессоров. Только метод MUSIC, который является одним из «классических» представителей МСП, позволяет удовлетворить требованиям G.201 при приемлемой вычислительной нагрузке и может быть реализован на дешевых сигнальных процессорах.
Однако, на сегодняшний день существует ряд задач, связанных с применением МСП, которые либо не решены, либо предложенные решения не удовлетворительны по точности или вычислительной нагрузке. Перечислим основные трудности, не позволяющие в большинстве случаев непосредственно применять МСП для решения реальных задач, в частности, для сотовой связи:
• Обнаружение/определение числа источников сигналов при применении МСП производится по собственным (сингулярным) числам матрицы-статистики. Однако, в связи со сложностью получения точных распределений собственных чисел (СЧ) при конечном числе отсчетов, для построения решающих статистик используются асимптотические по числу отсчетов распределения для СЧ. Построенные таким образом решающие статистики хорошо работают при значительных объемах выборок, но, если число отсчетов невелико (измеряется несколькими десятками), то применение этих статистик приводит к заметным ошибкам. Кроме того, все эти критерии используют только информацию, содержащуюся в СЧ корреляционной матрицы. В то же время один из основных результатов многомерного статистического анализа гласит, что СЧ и собственные векторы ВКМ независимы тогда и только тогда, когда берутся выборки белого гауссовского шума. Поэтому возникает задача разработки критерия, который бы также учитывал информацию, содержащуюся в собственных векторах.
• Базовые МСП предполагают, что сигналы, которые подлежат обнаружению и определению своих НП, являются «точечными» (см. раздел 2). Точечная модель источника сигнала предполагает, в первую очередь, отсутствие в канале распространения особенностей, приводящих к многолучевому распространению. Однако, например, для мобильной связи [28,29] как раз характерна ситуация многолучевого распространения за счет многочисленных переотражений сигнала от местных предметов (зданий, деревьев, подстилающей поверхности). Особенно эта ситуация характерна для «восходящих» направлений (от мобильной станции к базовой) [2]. При наличии многолучевого распространения применение классических МСП может привести к значительным погрешностям оценки НИ. В последние несколько лет было предложено несколько модификаций МСП, пригодных для работы при наличии «неточечных» источников. Однако этим методам присущи ряд существенных недостатков. • При наличии неточечных источников чрезвычайно актуальной является проблема разделения обнаруженных источников на точечные и неточечные. Во-первых, это необходимо для правильного определения числа источников. Во-вторых, это необходимо для точного определения НП источников, поскольку для оценки НП точечных и протяженных источников используются принципиально разные методы (раздел 4). Причем, поскольку эта задача является в определенном смысле вспомогательной, то важно, что бы система разделения источников требовала для своей работы минимальных вычислительных ресурсов.
Фактически, вышеперечисленные недостатки не позволяют применять МСП при небольших объемах выборок сигналов (порядка нескольких десятков отсчетов), и (или) при наличии неточечных источников сигналов. Основная часть диссертационной работы посвящена преодолению вышеуказанных недостатков. В связи с чем задачи данного исследования формулируются следующим образом:
1. Разработка модели, пригодной для описания пространственно-протяженных источников, которая, в отличии от известных до сих пор моделей, не требует априори знания функционального описания угловой плотности мощности сигнала и хорошо аппроксимирует сигналы с угловой протяженностью, сравнимой с релеевским пределом для данной АР. Разработка методов и алгоритмов оценивания параметров этой модели, исследование эффективности их функционирования.
2. Разработка методов и алгоритмов, позволяющих разделять источники сигналов на точечные и пространственно-протяженные при использовании двух АР, которые имеют несовпадающие друг с другом расстояниями между приемными элементами. Разработка методики расчета асимптотической эффективности метода.
Раздел 1 содержит постановку задач исследований. Обсуждаются типовые энергетические соотношения в сотовой связи, особенности конструкций систем и сигналов, которые важны для диссертации. В этом же разделе обсуждаются недостатки существующих моделей и методик оценки их параметров. Вводится понятие протяженности объекта, основанное на понятии эффективного ранга.
В разделе 2 разрабатывается нелинейная модель (далее, для краткости, - модель) корреляционной матрицы пространственно-протяженного источника (ПЛИ). Рассматриваются допустимые упрощения этой модели в определенных ситуациях.
Раздел 3 посвящен решению второй задачи из списка задач данного исследования. Предложен метод, позволяющий разделить точечные источники и 1111И путем измерения смещения одноименных максимумов в двух проекционных спектрах, построенных по данным с первой и второй АР, соответственно. Ключевое требование к используемым АР состоит в том, чтобы они имели различные расстояния между приемными элементами. Во второй части раздела приводится методика, позволяющая оценить смещения спектральных максимумов в неасимптотической ситуации. Обсуждаются вопросы аппаратурной реализации алгоритмов, предложенных в третьем разделе.
В разделе 4 для модели предложена методика оценки параметров, основанная на методе максимального правдоподобия. Для получения численных оценок используется модифицированный метод Ньютона [23]. Доказывается состоятельность и асимптотическая эффективность оценок модели. Также исследуется асимптотическая устойчивость модели к погрешностям в задании структуры корреляционной матрицы вследствие неточностей в настройке АР, окрашенности шума и др. Предложена структурная схема устройства, обеспечивающего получение оценок параметров модели в соответствии с алгоритмами, предложенными во втором разделе.
В разделе 5 для оценки параметров модели, введенной в разделе 2, используется подоптимальная процедура, основанная на методе наименьших квадратов (МНК). Показано, что система уравнений, получающаяся в процессе применения этой процедуры, допускает понижение размерности. Для получения численных оценок используется модифицированный метод Ньютона. Доказано, что асимптотически МНК-оценки не уступают по точности МП-оценкам и, кроме того, МНК-оценки более устойчивы к отклонениям в принятой модели чем МП-оценки. Для вычисления МНК-оценок необходимо меньше вычислительных ресурсов чем для МП-оценок. Платой за это является то, что МНК-оценки уступают по точности МП-оценки при конечных выборках. Предлагается структурная схема устройства, обеспечивающего получение оценок параметров модели в соответствии с алгоритмами, которые разработаны в третьем разделе.
Суммируя все вышесказанное, сформулируем положения, выносимые на защиту:
1. Модель сигналов пространственно-протяженных источников, имеющих меньшую или сравнимую с релеевским пределом угловую протяженность, которая, в отличие от известных до сих пор моделей, не требует априори знания функционального описания УПМ сигнала.
2. Два метода расчета параметров предложенной модели, основанные на методах максимума правдоподобия и взвешенных наименьших квадратов, соответственно.
3. Метод и алгоритмы, позволяющие решать задачу определения числа источников сигналов в случае наличия протяженных источников.
4. Метод и алгоритмы, позволяющие классифицировать источники сигналов по эффективному рангу.
Особенности структуры сигналов и помех в сотовой связи
Как отмечено в предыдущем подразделе, неотъемлемой особенностью сигналов и помех сотовой связи является их пространственная протяженность. Для описания отраженного сигнала, в принципе, возможны два подхода: детерминированный и
В стандарте GSM-900, например, этот разнос составляет почти бОмгц, т.е. около 7%. случайный. При детерминированном подходе отраженный сигнал рассчитывается исходя из электродинамических характеристик окружающей обстановки. Однако такой подход практически неприменим при сотовой связи, поскольку для его реализации требуются точные данные о конфигурации, толщине, однородности, электромагнитной проницаемости и т.д. Для сбора таких сведений о всем окружающем пространстве вокруг базовой станции в радиусе до 35км потребуются неприемлемые затраты времени и средств. Поэтому для сотовой связи пригоден стохастический подход, в рамках которого сигнал, отраженный от местных объектов, считается случайным. Местные объекты рассматриваются как совокупность элементарных отражателей. Сигнал от каждого такого отражателя имеет такую же структуру, как и излученный сигнал, но отличается от него фазой и амплитудой, которые полагаются случайными [1,66]. Функция, описывающая зависимость мощности сигнала от угловой координаты называется угловой плотностью мощности. Понятно, что угловая плотность мощности является нестационарной функцией угловой координаты. Однако автору неизвестны модели угловой плотности, которые бы учитывали пространственную нестационарность. Поэтому при моделировании систем сотовой связи используют стационарные модели, одна из которых предписывается стандартом МСЭ-Р Р.341 [80]3. В соответствии с этим стандартом рекомендуется гауссовская (колоколообразная) форма угловой плотности мощности. Правда, здесь возникает противоречие, связанное с тем, что гауссовское распределение имеет бесконечную протяженность. Противоречие снимается, если учесть, что типичные величины среднеквадратическои ширины локальных отражений лежат в пределах от 0.1 до 7 [29], т.е. много меньше 360. Как известно, гауссовское распределение практически спадает до нуля при удалении от максимума на расстояние, примерно, равное утроенной среднеквадратическои ширине. Угловая координата отсчитывается от нормали к АР, а в сотовых сетях рабочий сектор одной антенны, как правило, ограничен значениями +60 и -60. Таким образом, при таких параметрах проблем с формально бесконечной протяженностью распределения не возникает.
Стандарты МСЭ являются адаптированными для Российской федерации аналогами стандартов ITU.
Возможная структура аппаратуры базовой станции в той ее части, которая непосредственно обрабатывает сигналы АР, показана на рис. 1.1. Структура и алгоритмы работы блоков, выделенных жирной окантовкой, являются предметом диссертации. Блоки, выделенные тонкой сплошной линией, не являются напрямую предметом диссертации, однако, поскольку эти устройства тесно связаны с работой остальных блоков, то алгоритмы их работы обсуждаются в пятом разделе. Блоки, выделенные пунктиром, не обсуждаются в диссертации, так как они уже реализованы в существующих базовых станциях и при переходе к базовым станциям с АР существенного изменения не претерпят.
На рис. 1.1 обозначены практически все блоки, которые относятся к пространственной обработке сигналов на базовой станции. Остальные блоки, отвечающие за формирование временной структуры сигналов, поддержание связи, обработку громоздких протоколов, предписываемых соответствующими стандартами сотовой связи, размещаются в составе контроллера базовой станции [81], который на рис. 1.1 не показан. На контроллер базовой станции возложена исключительно временная обработка сигналов. Единственная информация, которая требуется для определителя направлений прихода от контроллера базовой станции - это номер временного канала и частотного диапазона, в которых необходимо определить пространственные характеристики сигналов мобильных станций.
В существующих одноканальных системах связи принимаются определенные меры для уменьшения влияния пространственной протяженности сигналов. По сути, применяются два метода: скачки по частоте и эквалайзинг [81]. Первый метод применяется прежде всего для защиты от релеевских замираний сигнала [5,7,9] причиной которых как раз и является многолучевое распространение сигнала. Кроме того, скачки по частоте, выполняемые в стандарте GSM со скоростью смены кадров (4.16 мс, см. ниже), эквивалентны расширению спектра сигнала. Это расширение спектра позволяет также достаточно эффективно бороться с помехами. Эквалайзерами называют фильтры (линейные или нелинейные), коэффициенты которых подбирают так, чтобы по возможности максимально выровнять задержки копий сигнала, приходящих с различных
Разработка модели
Пусть р(в) является неизвестной плотностью мощности ППИ. Элементы сигнальной КМ, в соответствии с (1.6), запишутся какгде [Rs]ki обозначает элемент в позиции (к,Г) матрицы R., Sh i=\..m - расстояния приемников АР от точки, выбранной за начало отсчета. Вектор параметров \\f опущен в записи (2.1) поскольку, в данном подразделе ищется "универсальное" представление КМ, не зависящие от способа параметризациир(в). Пусть плотность мощности - преобразование Фурье от функции g. При р«тсsin#cos#0 -cos#sin#0 = 6cos0o -sin#0 откуда следует второе приближенное равенство. Замена пределов интегрирования после третьего равенства в (2.2) законна, коль скоро за пределами интервала Г—/?,/?] функция g{0) равна нулю. Эта заменапозволяет вычленить в (2.2) в явном виде (интегральное) преобразование Фурье. Экспоненциальный множитель в выражении для Ду появляется за счет сдвига аргумента функции g(0) на 0Q. Если АР эквидистантная, т.е.5к -Si = 5{к - Г), где 8- расстояниемежду соседними элементами, для всех к,1 (кфї), то Rs - теплицева и может быть представлена в видесоответствующая фиктивному точечному источнику, расположенному в направлении 6. Знак - т.н. произведение Шура-Адамара (поэлементное умножение матриц) [40]. В выражении (2.3) матрица В, которую назовем матрицей формы ППИ, также теплицева размером mxm. Пример расчета элементов матрицы Rs для ППИ с равномерным (1.8) и гауссовским распределениями (1.86) мощностей приведен в разделе 1.3.
Известно, что такой же моделью описывается сигнальная КМ при неполной пространственной когерентности волновых фронтов сигналов, приходящих на АР [54]. В указанной работе также приведен алгоритм, который можно без изменений применять для оценки параметров одиночного ППИ. Для оценки параметров, которыми являются НП источников и элементы матриц В в диссертации предлагается воспользоваться методом максимального правдоподобия (ММП) и методом наименьших квадратов (МНК) со взвешиванием (ВМНК). Суммируя все вышесказанное, модель асимптотической КМ сигналов с выхода АР при наличии как протяженных так и точечных источников можно записать в виде
В последней формуле г и d - число протяженных и точечных источников, соответственно. Рк и 6Jt - мощности и НП точечных источников, соответственно. Формулу (2.4) можно также переписать в более компактном виде Piвектор-столбцов фазовых распределений АР, соответствующих каждому из сигналов.
Модель корреляционной матрицы, развитая в предыдущем подразделе, является одним из положений, выносимых на защиту, поэтому в модель (2.5) заложен некоторый "запас" для универсальных применений. Однако для систем SDMA, которым посвящена диссертация, модель (2.5) может быть упрощена. Для этого примем во внимание следующие соображения:1. Разделение абонентов происходит за счет формирования требуемой диаграммы направленности АР базовой станции, поэтому можно считать, что все источники распределены в пределах углового сектора, численно равного релеевскому пределу v. Другими словами, источники, угловое расстояние между которыми превышает v могут быть разделены обычными линейными методами без привлечения методов и алгоритмов, разработанных в данной диссертации.2. Аналитические результаты, полученные для эффективного ранга равномерного источника [19], говорят о том, что максимальный эффективный ранг равномерного источника, распределенного в пределах сектора v не превышает трех. Численные эксперименты показали, что для источников с другими формами плотности мощности этот результат остается в силе. При этом, если угловая протяженность источника оказывается меньше 0.35v, то эффективный ранг такого источника становится равным единице, т.е. величина 0.35v является ориентировочным порогом протяженности источника, когда источник из класса протяженных (в смысле определения рзела 1.3) переходит в класс точечных источников.3. В принципе, возможна постановка задачи разрешения двух протяженных источников, имеющих протяженности более 0.35v, находящихся в пределах сектора v. Однако такая задача не имеет большого практического интереса, т.к. даже если источником протяженного сигнала является мобильная станция, то извлечь информационное сообщение из такого сигнала практически невозможно. Другими словами, ППИ в диссертации считаются помеховыми сигналами, требующими подавления. Кроме того, поскольку полагается, что протяженные источники являются некогерентными, то уже сама постановка задачи разрешения протяженных источников наталкивается на серьезные трудности [43]. Поэтому будем полагать, что если в пределах сектора v находится два или более протяженных источников, то их разделение средствами пространственной обработки невозможно. Такие источники необходимо разделять средствами время-частотно-кодовой обработки, которые предусмотрены существующими стандартами сотовой связи (см. разделы 1.1 и 1.2).
Все вышесказанное позволяет полагать г = 1 в модели (2.5). Кроме того, можно сделать ряд упрощающих предположений о структуре матрицы В. Проследим как меняются элементы матрицы В при изменении физической ширины (угловой протяженности источника). Если ширина источника много меньше релеевского предела, то можно считать, что на АР приходит плоский волновой фронт. В этом случае все элементы матрицы формы В равны мощности протяженного источника Р0. В этом случае, как следует из (2.3), корреляционная матрица сигнала источника R5 =R «В = Р0а($о)а( о) имеет ранг, равный единице как и должно быть для точечного источника. Далее, для удобства, будем рассматривать нормированную матрицу Aj =В/Р0, которая для точечного источника будет вся состоять из единиц. Для ПЛИ внедиагональные элементы матрицы А\ по модулю будут меньше единицы. Обозначим элементы первой строки матрицы Ai как ах = 1, а2, . . , ат. Будем называть элементы я, нормированными коэффициентами формы. Для эквидистантной АР, как было сказано в разделе 2.2, матрица А] является теплицевой и, следовательно, все ее элементы определяются элементами первой строки путем двух простых операций: циклического сдвига элементов строки вправо и комплексного сопряжения [40,42]. На рисунке 2.1 представлена зависимость нормированных коэффициентов формы от ширины равномерного источника, а на рисунке 2.2 - аналогичная зависимость для гауссовского источника. Без ограничения общности полагалось, что НП (в данном случае - просто "центры тяжести") обоих источников расположены в направлении нормали к
Разработка метода классификации и подсчета числа источников
Идея предлагаемого в данном разделе метода классификации и подсчета числа источников (далее - метода) основана на понятии эффективного ранга источника. Метод, по сути, призван преодолеть недостатки информационно-теоретических критериев, о которых шла речь в предыдущем подразделе. Для использования информации, содержащейся в собственных векторах, предлагается использовать в качестве решающей статистики максимумы (пики) проекционных спектров, построенных по данным с выхода двух АР с различным количеством элементов. В [52,53] показано, что максимумы, например, спектра типа MUSIC при отсутствии НИИ являются состоятельными, несмещенными оценками НП точечных источников. Сам по себе проекционный спектр также не может дать информацию о принадлежности пиков точечным или протяженным источникам. Но с помощью двух спектров, построенных по данным с выхода двух АР с различными апертурами, эту информацию можно извлечь. Сразу отметим важное достоинство предлагаемого метода по сравнению с методами [35,36]. Это достоинство состоит в том, что нет необходимости применять физически разные АР - достаточно взять две подрешетки одной и той же АР, что и делается далее. С целью иллюстрации сущности предлагаемого метода рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется т -элементная АР, на которую приходит сигнал от протяженного источника. Построим один проекционный спектр (для определенности в данном разделе используется MUSIC-спектр, хотя может быть взят и любой другой) используя данные со всех т элементов, а другой спектр, используя данные с выхода только первых уУЛ элементов. Операция [] означает взятие целой части. Отношение релеевских пределовдля двух подрешеток равняется примерно двум. Соответственно и отношение ширины источника к релеевскому пределу v изменится в два раза при переходе от одной подрешетки к другой. Другими словами, если протяженность источника измеряется в относительных координатах отношения ширина/релеевский предел, то при переходе ко второй подрешетке источник "сожмется". В разделе 2 было показано, что ориентировочные пороговые протяженности источников, при которых происходит изменение ранга с первого на второй и с второго на третий, составляют 0.35v и 0.65v, соответственно. Поэтому, если ширина источника превышает 0.35vb где vi - релеевский предел для подрешетки с большим количеством элементов, то увеличение релеевского предела вдвое приведет к уменьшению ранга источника на единицу. Для иллюстрации этих соображений на рис. 3.2 и 3.3 представлены проекционные спектры, соответствующие случаю наличия ПНИ (рис. 3.1), для двух эквидистантных АР с полуволновым шагом между элементами. Спектр (рис.3.2) построен по данным с выхода АР, имеющей 10 элементов, а на рис. 3.3-5 элементов. Протяженный источник моделировался как равномерный с шириной 1.0vb центр источника находится в направлении нормали к раскрыву АР. Легко видеть, что в пределах сектора занимаемого источником на рис.3.2 располагается три пика, а на рис.3.3 - два. Таким образом, при уменьшении размеров АР происходит уменьшение ранга источника на единицу. На рисунках 3.2 и 3.3 вертикальными пунктирными линиями отмечена ширина релеевского предела для соответствующей подрешетки.
Видно, что положения двух пиков спектра с рис. 3.3. находятся между положениями крайних пиков спектра с рис. 3.2. Такое поведение пиков вполне объяснимо, т. к. пики определяют положения фиктивных точечных источников, аппроксимирующих данный протяженный. Положение пиков определяется коэффициентами Фурье-разложения волнового фронта данного источника по плоским волновым фронтам. Из общих свойств преобразования Фурье можно заключить, что фиктивные источники будут располагаться примерно равномерно в пределах ширины источника. Поэтому при изменении ранга источника, или, что тоже, числа аппроксимирующих фиктивных источников, положения пиков будут находиться в пределах, занимаемых пиками до изменения ранга источника. Это свойство дает дополнительную важную информацию, которую можно использовать в процессе классификации источников по протяженности.
Если источник уже имеет единичный ранг, то при переходе к подрешетке с меньшим числом элементов его ранг не изменится. Это замечание и формулирует, по сути, идею предлагаемого метода. Спектральные максимумы, соответствующие источникам первого ранга при уменьшении апертуры АР не исчезают и не перемещаются. Для источников ранга большего чем первый это является, как было показано выше, несправедливым. Элементарное легко реализуемое в вычислителе сопоставление обоих спектров обеспечивает подсчет числа и классификацию источников по протяженности.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим еще один пример. На рис. 3.4 показано расположение источников (положение точечного источника обозначено вертикальной пунктирной линией). Ширина протяженного источника составляет половину релеевского предела Vi для 10-элементной решетки, так что его эффективный ранг равен двум (что подтверждается рис.3.5, где в пределах ширины источника расположена два пика). ОСШ на входе АР для протяженного источника составляет 6дБ, а для точечного источника -8дБ. На рис. 3.6 воспроизведен MUSIC-спектр для 5-элементной решетки. Хорошо видно, что на месте двух пиков остался только один расположенный примерно посередине между ними. При этом пик, соответствующий точечному источнику не исчез и практически не изменил своего местоположения.
Для построения спектра MUSIC требуется указать размерность сигнального подпространства. Как отмечалось в разделе 3.1, существующие методы сводятся к информационно-теоретическим критериям со всеми присущими этим критериям недостатками. Использование собственных векторов ВКМ при построении проекционного спектра обеспечивает информацию о НП источников. Благодаря этому появляется возможность отказаться от использования информационно-теоретических критериев при определении числа источников (точнее - числа пиков, соответствующих источникам). Действительно, из теории матриц известно, что собственные векторы эрмитовой матрицы образуют ортогональную систему [40, 44]. Следовательно, если суммарный ранг источников, расположенных в данном канале, равен d, то первые dсобственных векторов ВКМ будут ортогональны остальным m-d (шумовым) векторам . Это предложение и лежит в основе методов собственных подпространств. Шумовые вектора также ортогональны направляющим векторам источников. Если при построении проекционного спектра выбрать размерность сигнального пространства меньшим d, то это приведет к тому, что число пиков окажется меньшим суммарного ранга источников и, кроме того, при примерно равной мощности источников по угловому положению спектральных пиков определить НП реальных источников можно лишь очень грубо.
Рассмотрим ситуацию, когда размерность сигнального подпространства превышает суммарный ранг источников. При этом "лишние" собственные вектора могут сформировать ложные пики в направлении несуществующих источников. Для ситуации, показанной на рис. 3.3, типичный вид спектра MUSIC при варьировании размерности шумового подпространства от семи до одного показан на рис. 3.7 - 3.11. Хорошо видно, что при размерности шумового подпространства равного единице появляются ложные пики, расположенные за пределами канала (-0.5v,+0.5v). Минимальное расстояние между сигнальным пиком в позиции 9 = — 0.45 v и ложным пиком в позиции в = —1.3 5v
Особенности оценок максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия (ММП) является стандартным методом в теории оценивания [59]. Можно сказать, что ММП является методом преодоления параметрической неопределенности, поэтому ММП может применятся в тех случаях, когда известно функциональное описание функции правдоподобия. Оценки интересующих параметров получаются как значения аргумента функции правдоподобия, доставляющие ей максимум. Физическая интерпретация ММП проста: проводя поиск точки максимума функции правдоподобия, мы тем самым выбираем "наиболее вероятные" значения параметров. Известно, что оценки ММП обладают рядом привлекательных свойств [59]. Наиболее примечательные из них - это состоятельность и асимптотическая эффективность. Свойство эффективности означает асимптотическое достижение дисперсией ошибки оценивания границы Рао-Крамера, которая является наименьшей возможной дисперсией ошибки для любого несмещенного оценивателя. Кроме того, применение ММП при обработке сигналов АР в случае конечных выборок (доасимптотической области) дает, как правило, оценки с самой высокой точностью по сравнению с другими методами [52,53]. В литературе по обработке сигналов сложилась классификация ММП: стохастический (или безусловный) и детерминированный (или условный) [57]. Первый метод подразумевает, что входные сигналы АР являются гауссовскими случайными процессами, в то время как второй применяется когда сигналы считаются неизвестными, но не случайными величинами. Стохастический метод выбран по следующим соображениям:1. Условный ММП требует априорной информации о структуре принимаемых сигналов, однако различные современные системы сотовой связи используют разные виды сигналов. Применение условного ММП потребовало бы от автора сузить область применения алгоритмов, предлагаемых в данном разделе на какую-либо одну из существующих систем (GSM, AMPS и т.д.). Применение безусловного ММП позволяет предложить универсальные по отношению к выбору конкретной системы алгоритмы.2. Сигналы в сотовой связи являются информационными сообщениями. Применение условного ММП привело бы к необходимости оценивать это информационное сообщение. Безусловный ММП не требует оценки сообщения, поскольку работает не с самим сигналом, а с его усредненной энергетической характеристикой -корреляционной матрицей.3. Предлагаемые методы призваны не только увеличить пропускную способность существующих систем сотовой связи, но также увеличить их защищенность от помех. Характер помех особенно в крупных городах, насыщенных радиоэлектронной аппаратурой, может быть самым разнообразным. Очевидно, что в этих условиях моделирование помеховых сигналов как случайных является конструктивным способом охватить практически важные ситуации.4. Известно, что при большом числе отсчетов (на практике - более 80-100) эффективность обоих методов практически одинакова [8,39]. Для сотовой связи, как раз характерна такая ситуация (см. разделы 1 и 6). При этом безусловный ММП имеет более высокую устойчивость к отклонениям в принятых моделях, чем условный ММП.
В заключение подраздела отметим, что в текущем разделе уделено внимание оценке направления на точечные источники в присутствии протяженных. В первом разделе пространственная протяженность источников сигнала была обозначена как одна из важнейших особенностей сотовой связи. Однако в одном из выводов предыдущего раздела утверждается, что источник сигнала будет восприниматься системой как точечный, если его угловая протяженность будет меньше приблизительно одной трети релеевского предела v АР. Понятно, что такие условия вполне выполнимы, учитывая особенности конструкции и размещения аппаратуры сотовой связи, о которых говорилось в разделе 1, мало того, элементарные оценки показывают, что до 90% мобильных аппаратов могут оказаться точечными источниками. При этом, как будет показано далее в данном разделе, тот факт, что часть источников будут точечными, приводит к упрощению аппаратурной реализации и повышению точности определения НП для точечных и параметров модели (1.23) для протяженных источников.
Пусть на эквидистантную АР, составленную из т приемников приходят d плоских волновых фронтов и один неплоский волновой фронт, порожденный наличием некогерентного ПНИ. (см. обозначения в подразделе 1.3). Элементы вектора в равны соответствующим координатам точечных источников в порядке нумерации, 0 - НП протяженного источника, к - номер отсчета. Модель (4.1) справедлива, если входные сигналы узкополосны. Векторы сигнала и шума считаются стационарными, комплексными гауссовскими процессами с нулевыми средними и вторыми моментами определяемыми соотношениями:где Sts - дельта-оператор Кронекера, («)н обозначает эрмитовое сопряжение. Дельта-операторы в выражениях (4.2) означают, что отсчеты сигналов взятые в разные моменты времени некоррелированы. Матрица W является пространственной КМ шума. Ковариационная матрица сигнала ПЛИ описывается выражением (2.3), которое для удобства выпишем еще разгде
Для упрощения записи в дальнейшем введем в рассмотрение вектор неизвестныхпараметров, составленный из элементов матрицы формы В:где () - операция транспонирования. Матрица В - теплицева размером тхт, поэтому для ее задания достаточно т (комплексных) элементов. Также введем векторы в и s, элементами которых являются НП точечных источников и их мощности, соответственно:
Сигналы и шум считаются взаимно независимыми, что позволяет записать модельковариационной матрицы сигналов АР в видеСоберем все неизвестные параметры в один вектор неизвестных параметров
