Содержание к диссертации
Введение
1. Основы вейвлет-преобразования радиотехнических сигналов 10
1.1. Элементы, свойства и возможности вейвлет-преобразования 11
1.2. Семейство и свойства Гауссовых вейвлетов 25
1.3. Визуализация результатов вейвлет-преобразования 28
1.4. Параметры и характеристики вейвлет-преобразований 32
1.5. Влияние искажений и дискретизации по времени сигнала на вейвлет-коэффициенты 37
Выводы по главе 1 44
2. Методы повышения эффективности вейвлет-преобразований при обработке, сжатии и восстановления радиотехнических сигналов 43
2.1. Разработка высокоэффективных методов и алгоритмов сжатия информации 44
2.2. Применение вейвлет-преобразования для разрешения близких по частоте сигналов или даже частично или полностью перекрывающих друг друга 53
2.3. Вейвлет-фильтрация сложных по структуре и спектру сигналов 61
2.4. Модифиция вейвлет-фильтров первого и второго поколения для обработки сигналов 71
Выводы по главе 2 79
3. Разработка методических рекомендаций по реализации методов обработки сигналов с помощью теории вейвлетов 81
3.1. Алгоритм быстрого непрерывного вейвлет-преобразования с применением гауссовских вейвлетов
3.2. Новые методы фильтрации сигнала с применением лифтинг-схемы 89
3.3. Дискретизация вейвлет-преобразования с применением фреймов 99
3.4. Оптимизация алгоритма вычислений вейвлет-спектра 100
Выводы по главе 3 106
4. Практические приложения вейвлет-анализа радиотехнических сигналов 107
4.1. Применение вейвлет-преобразования к модельным сигналам 109
4.2. Методы компрессии двухуровневых изображений 120
4.3. Применение вейвлет-анализа к обработке изображений 126
4.4. Выделение особенностей изображения 134
4.5. Восстановление зашумленных сигналов и сжатие информации 140
4.6. Обратные некорректные задачи 146
Выводы по главе 4 149
Заключение 151
Список литературы 153
Приложения 159
- Влияние искажений и дискретизации по времени сигнала на вейвлет-коэффициенты
- Применение вейвлет-преобразования для разрешения близких по частоте сигналов или даже частично или полностью перекрывающих друг друга
- Дискретизация вейвлет-преобразования с применением фреймов
- Восстановление зашумленных сигналов и сжатие информации
Введение к работе
Современные цифровые системы передачи информации предоставляют разнообразные по функциональному содержанию услуги большому количеству коллективных и индивидуальных пользователей. При этом фундаментальной проблемой создания цифровых систем связи является обработка, сокращение избыточности и восстановление передаваемой информации. Разработка новейших способов и устройств обработки и сжатия видео- и звуковой информации является предпосылкой более эффективного использования каналов связи, обеспечивающей сохранение действующих частотных планов, высвобождение части частотного спектра для передачи потребителям дополнительных видов услуг по системам подвижной и спутниковой связи, многопрограммного телевидения, телевидения высокой четкости, многопрограммного звукового вещания, организацию интерактивных систем связи, видеоконференций и др. В связи с активным развитием цифровых систем обработки информации в последнее время стали актуальными вопросы разработки алгоритмов сжатия сигналов в системах связи, основанные на современных вычислительных методах. Одним из таких является вейвлет-анализ сигналов.
Актуальность работы. Успешное воплощение перспектив развития инфотелекоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи формирования, приема, передачи и обработки информации в реальном масштабе времени. Осуществление сложных алгоритмов ЦОС требует применения эффективных базовых алгоритмов (спектрального анализа, фильтрации, сжатия и синтеза сигналов), экономично использующих соответствующие технические ресурсы. Особую актуальность среди прочих задач цифровой обработки сигналов при их передаче по радиоканалам связи приобретают методы обработки, а также сжатие и восстановления передаваемых сигналов с малыми искажениями.
В связи с отмеченным вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и при этом гибких средств исследования и цифровой обработки сигналов: помимо возможностей их фильтрации и сжатия, анализ в базисе вейвлет-функций позволяет решать задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных, осуществлять поиск точек соединения данных, отыскивать признаки фрактальности информации. В основе подобных возможностей, обеспечивающих вейвлет-анализу весьма перспективное будущее, лежит природа его многомасштабности.
В отличие от традиционно и исторически применяемого при анализе сигналов преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и способны непосредственно обрабатывать такие особенности сигналов, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.
Вейвлет-преобразование привносит в обработку информации дополнительную степень свободы. Так, например, анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Проблема тесно связана с двумя другими задачами — шумоподавлением и определением параметров сигнала по результатам наблюдения. Наиболее известны применения вейвлет-анализа для подавления шума и сжатия. Не отвергая значимость анализа Фурье, вейвлет-методы успешно дополняют, а иногда способны и полностью заменить обработку традиционными методами.
Локализационные свойства вейвлет-анализа заложены в его структуре. Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компоненты разного масштаба. Известно, что в настоящее время слабо изучены возможности вейвлет-анализа в задаче разделения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга. Это часто используют для того, чтобы разделить исходные данные на составляющие (аналогично тому, что происходит при фильтрации с помощью преобразования Фурье). Положительные свойства вейвлетов, проявленные в других задачах, делают актуальной проблему поиска путей разделения близких по частоте сигналов методами вейвлет-анализа. Внедрение в механизмы обработки данных методов вейвлет-анализа наглядно показывает их способность комплексно подходить к решению ряда задач.
Вопросами передачи и эффективных алгоритмов обработки и сжатия нестационарных сигналов занимались Ж. Морле, А. Гроссман, И. Добеши, И. Мейер, С. Малла, Г. Лэм, Дж. Макклелан, А. Оппенгейм, Л. Рабинер, Р. Хемминг. Заметный вклад в развитие вейвлет-анализа внесли отечественные ученые В.П. Воробьев, В.Г. Грибунин, В.В. Витязев, В.П. Дворкович, В.Г. Карташевский, Д.Д. Кловский, Б.Д. Матюшкин, Ю.Б. Зубарев и другие. Продолжающаяся публикация работ, посвященных глубокому исследованию отдельных способов сокращения сложности алгоритмов вейвлет-анализа, свидетельствует о необходимости обобщающего подхода в этом направлении. Однако разработанные методы имеют определенные недостатки, поэтому сохраняется потребность в создании новых методов цифровой обработки и сжатия сигналов на основе вейвлет-анализа.
Решение этой серьезной научной задачи определяет актуальность диссертационной работы, направленной на разработку новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки радиотехнических сигналов в системах передачи информации, что позволит существенно повысить скорость, пропускную способность и верность ее передачи и более эффективно использовать каналы связи различного назначения в интересах всех отраслей экономики нашей страны.
Цель работы. Сложность алгоритмов, используемых для устранения избыточности сигналов, неуклонно растет — это касается не только объема вычислений, но и базы построения алгоритмов, большинство которых основано на использовании дискретных ортогональных преобразований для предварительной обработки данных. Вместе с тем задачи фильтрации,
сжатия и восстановления сигналов ставятся в практическую плоскость, что требует при их решении постоянного внимания к возможностям цифровой аппаратуры. Целью работы является исследование теоретических вопросов и разработка новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки сигналов в системах передачи информации для фильтрации, а также построение соответствующих алгоритмов сжатия, распознавания и оценки локальных особенностей сигналов, пригодных для практического применения на базе персональных компьютеров. Кроме того необходимо создание программного обеспечения, реализующего методы непрерывного вейвлет-анализа для обработки в реальном масштабе времени передаваемой информации.
В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе рассмотрены и решены следующие задачи:
Анализ современных теоретических достижений в области вейвлет-преобразования для их возможного использования в задачах обработки, сжатия и интерпретации передаваемой информации.
Исследование возможности и эффективности использования различных базисных вейвлет-функций при обработке и сжатии нестационарных радиотехнических сигналов.
Разработка новых методов теоретического анализа и синтеза вейв-лет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления радиотехнических сигналов.
Разработка программного обеспечения, реализующего вейвлет-преобразование для широкого набора базисных вейвлет-функций, как основы для создания новых методов анализа передаваемой информации.
Методы исследования. В работе использовались методы математического и функционального анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, алгоритм быстрого преобразования Фурье, непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования. Значительную часть исследований представляли компьютерные эксперименты по обработке реальных сигналов, направленные на получение необходимых статистических данных и определение характеристик итоговых алгоритмов.
Научной новизной обладают следующие результаты работы.
Новые методы и алгоритмы вычисления вейвлет-преобразования радиотехнических сигналов.
Новый метод вейвлет-анализа для разрешения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.
Анализ влияния искажений передаваемого сигнала на его вейвлет-образ.
Методы вейвлет-преобразования для обработки, распознавания и сжатия изображений.
Разработанные методические рекомендации по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации.
Компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.
Практическая ценность. Предложена компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к особенностям передаваемой по каналам связи информации. Содержание работы носит прикладную направленность, поэтому полученные теоретические результаты служат достижению целей, связанных с разработкой конкретных алгоритмов и схем обработки, фильтрации, компрессии и декомпрессии передаваемых радиотехнических сигналов. Применение полученных алгоритмов обработки сигналов возможно для широкого класса систем передачи информации, прежде всего, в мультимедийных и сетевых компьютерных приложениях.
Программные реализации предложенных методов позволяют автоматизировать процессы обработки сигналов и расширяют возможности дальнейших исследований. Разработанные алгоритмы, обладают более высокими характеристиками по скорости, качеству обработки и сжатию данных, которые соответствуют современному мировому уровню.
Основные научные положения, выносимые на защиту
Новые методы анализа и синтеза вейвлет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления радиотехнических сигналов.
Новый метод вейвлет-анализа для разрешения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.
Анализ влияния искажений передаваемого сигнала на его вейвлет-образ.
Разработанные методические рекомендации по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации.
Компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.
Основные результаты диссертационной автора работы внедрены
на предприятиях ОАО «Концерн радиостроения «ВЕГА», ЦНИИ «Радиосвязь», в НИИ космических систем - филиал ГКНПЦ имени М.В. Хруни-чева, в институте общей физики им. A.M. Прохорова РАН, применены в учебном процессе в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) и Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете). Результаты работы отражены в 4 учебных пособиях, посвященных вейвлет-анализу сигналов, и предназначенных для студентов, обучающихся по направлению подготовки 210300 - "Радиотехника".
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались с 2007-го по 2010 гг. на научно-технических конференциях и семинарах в Московском энергетическом институте (техническом университете), Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете), Московском государственном техническом университете гражданской авиации, на конференциях и заседаниях НТОРЭС им. А.С. Попова, на международных и Всероссийских научно-технических конференциях.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ. Среди них наиболее значимые: 3 статьи в ведущих научных журналах и изданиях, выпускаемых в Российской Федерации и рекомендуемых ВАК для публикации основных материалов диссертаций, представляемых на соискание ученой степени кандидата наук; 12 статей в сборниках трудов международных научно-технических конференций; 2 статьи в научно-технических сборниках издательств МИРЭА и других высших учебных заведениях и научно-исследовательских институтов; 4 учебных пособия.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений, списка использованных источников информации, включающего 126 наименований; содержит 186 страниц текста, 43 рисунков и 10 таблиц.
Влияние искажений и дискретизации по времени сигнала на вейвлет-коэффициенты
Вейвлет-преобразование является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчета. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование» используется в весьма различных ситуациях и применениях. Также существует множество типов классификации вариантов вейвлет-преобразования. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Данные преобразования обладают следующими свойствами:
Дискретное вейвлет-преобразование (discrete wavelet transform - DWT) возвращает вектор данных той же длины, что и входной, в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что вектор раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, подобный сигнал раскладывается на то же самое или меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр часто используют для обработки и сжатия сигналов, поскольку не содержит избыточной информации.
Непрерывное вейвлет-преобразование (continuous wavelet transform -CWT), напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных получаем-изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение длительности сигнала и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный; набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой-избыточностью, что помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.
В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и интегрируемых по независимой переменной функций: вейвлет-функции \/(/), как psi-функции времени с нулевым значением интеграла и частотным Фурье-образом Ч (ю) - функцией, которую обычно и называют вейвлетом, выделяются детали сигнала и его локальные особенности; в качестве анализирующих вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные и во временной, и в частотной области (пример временного и частотного образа функции приведен нарис. 1.12); масштабирующей функции ф(0, как временной скейлинг-функции phi с единичным значением интеграла, с помощью которой выполняется грубое приближение (аппроксимация) сигнала.
Phi-функции, присущи, как правило, только ортогональным вейвлетам, необходимы для преобразования нецентрированных и достаточно протяженных сигналов при раздельном анализе низкочастотных и высокочастотных составляющих [6,25].
Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование сигнала s(t)eL (і?), которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp(-jot) на вейвлетный \\f((t-b)/a):
Вейвлетный масштабно-временной спектр W(a,b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: временного масштаба вейвлета xd (в единицах, обратных частоте), и временному смещению вейвлета по сигналу Ъ (в единицах времени), при этом параметры а и Ь могут принимать любые значения в пределах областей их определения. Нарис. 1.13 приведены примеры простейших неортогональных вейвле-тов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.
Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спекторов) строго с математических позиций в качестве вейв-летных базисов можно использовать любые локализованные функции і/(/)є L2(R), если для них существуют функции-двойники (парные функции), v/(0 такие, что семейства {vj/ab(0} и {v/at (0} могут образовывать парные базисы функционального пространства L2(R). Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L2{R) В виде ряда: где коэффициенты С(а,Ь) - проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением
Если вейвлет \/(0 обладает свойством ортогональности, то \\/\f) = i/(0 и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара (v/(0, мЛО) Дает возможность сформиро-вать семейства {\ymk(0} и iw zP(0b удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах /: то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с построением обратной формулы реконструкции. С точностью обратного вейвлет-преобразования связано большинство ограничений, накладываемых на вейвлеты.
Описание ID и 2D вейвлет-базисов: Хаара, Морле, французская шляпа, Эрмитовы (гауссовых - DOG), Габора, Пуассона, RASP, Пауля, Перриер, В-сплайнов, гармонических, Шеннона и др. предложены в [11, 24] (ряд наиболее распространенных на практике вейвлет-базисов приведены на рис. 1.14).
Применение вейвлет-преобразования для разрешения близких по частоте сигналов или даже частично или полностью перекрывающих друг друга
Большинство сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткодействующих высокочастотных компонент и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонент. Для анализа таких сигналов нужен метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе — для разрешения компонент высокой частоты [31].
Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя, таким образом, различные частотные компоненты сложного колебания. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач (например, в случае изучения динамики изменения частотных параметров сигнала на временном интервале). Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа: локальное преобразование Фурье {shortime Fourier transform); следуя по этому пути, обрабатывается нестационарный сигнал, как стационарный сигнал, следует предварительно разбить его на сегменты (окна), статистика которых не меняется со временем; вейвлет-преобразование. В последнем случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция прототип называется материнским, или анализирующим вейвлетом [31]. Классическим методом частотного анализа. сигналов является прямое преобразование Фурье, результатом которого является амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале. В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы. Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (локальное или оконное преобразование Фурье — Shortime Fourier transform — STFT). Действие этого метода состоит из следующих этапов: 1. В исследуемой функции создается "окно" — временной интервал, для которого функцияДх:) не равна 0, и fix) = 0 для остальных значений; 2. Для этого "окна" вычисляется оконное преобразование Фурье; 3. Далее "окно" сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье. "Пройдя" таким "окном" вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения "окна" и частоты.
Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты, и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки [30].
Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в этом случае нельзя утверждать факт наличия частоты соо в сигнале в момент времени /0 можно лишь определить, что спектр частот (сої, г) присутствует в интервале времени (t\, ti). Причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа.
С точки зрения исследования характерных сигналов- некоторого процесса представляется предпочтительным выбор в качестве базисной функции вейвлета Морле [32], который позволяет обеспечивать, хорошую частотную локализацию. Наряду с нахождением коэффициентов Жх(а,Ь) целесообразно вычислять плотность энергии EK(a,b) = \Wx(a,b)\2, которая представляет собой поверхность в 3-мерном пространстве Ех(а,Ь) или Ex(f,b), где / - частота к (f=f Ja). Сечения этой поверхности.в фиксированный.момент времени b = t0 соответствуют локальному спектру энергии. Чтобы упростить визуализацию частотно-временного спектра Ex(f,b), можно рассматривать динамику только максимумов Ex(f,to), то есть «пиков» локального спектра [33].
Вследствие нестационарности и проблем, связанных с частотным разрешением при анализе сигналов малой длительности, может возникнуть ситуация, при которой усредненные спектры мощности будут очень похожи, а соответст вующая им динамика отличаться. Пример такой ситуации приведен на рис.2.4. При очень похожих спектрах мощности (рис.2.4,а) в одном случае (рис. 2.4,6 -пунктирная линия) частота сигнала «плавает» относительно некоторого среднего значения, а во втором случае (рис. 2.4,5 - сплошная линия) частота является достаточно стабильной. Таким образом, из частотно-временных спектров вейв-лет-преобразования можно извлечь более содержательную информацию о динамике чем на основе усредненных спектров мощности [34].
В частности, это связано с частотно-временным разрешением вейвлет-анализа. Попытка оценить спектральный состав анализируемого процесса по короткому участку сигнала приводит к «размыванию» спектральных пиков: широкий пик в спектре будет получен даже для участка синусоиды, содержащей несколько периодов. Нестабильность частоты сигнала приведет к дополнительному уширению спектральных линий, однако по конкретному спектру мощности очень сложно оценить, обусловлена ли ширина пиков нестационарностью данных или исключительно частотным разрешением вейв-лет-анализа.
Дискретизация вейвлет-преобразования с применением фреймов
Предложенный подход к исследованию близких по частоте сигналов или даже частично или полностью перекрывающих друг друга с несколькими временными масштабами, предполагающий отслеживание временной эволюции различных составляющих на основе техники вейвлет-анализа позволяет получить информацию об изменениях характеристик динамики сигнала, которую сложнее зафиксировать на основе анализа усредненных спектров мощности [34]. Анализ сложности временной динамики сигналов может рассматриваться в качестве дополнительного инструмента исследования сигналов, позволяющего получать более детальную информацию об изменениях в их структуре.
Для осуществления оптимальной обработки сигналов (создания оптимального фильтра) необходимо выполнить постановку, формализацию и решение задачи синтеза структуры фильтров, удовлетворяющих заданной совокупности показателей качества и ограничений. В настоящее время главным критерием при проектировании таких систем является минимизация среднеквадратичной ошибки. В зависимости от того, какими уравнениями описывается состояние системы, оптимальные (квазиоптимальные) фильтры подразделяются на линейные и нелинейные [38]. Первые обычно базируются на оптимальном фильтре Калмана, а вторые - на многоканальных цифровых фильтрах, качество работы которых зависит от числа каналов.
При разработке адаптивного фильтра структура и параметры устройства подстраиваются под априорно неизвестную структуру исследуемого процесса с целью возможно более эффективного решения поставленной задачи. Как правило, это рекуррентная процедура пересчета вектора отсчетов импульсной характеристики. Однако априорно устойчивые адаптивные алгоритмы, как правило, чрезвычайно сложны в реализации, а более простые алгоритмы (например, известный метод наименьших квадратов - МНК) могут расходиться. Тем не менее сегодня наиболее распространенными являются алгоритмы на основе МНК и рекуррентного метода МНК (так называемые РМНК-алгоритмы), а также методы, базирующиеся на нелинейной теории устойчивости. В-практике основной задачей проектировании эвристических ЦФ является такая формализация алгоритмов, которая позволяет адаптировать их к современной элементной базе [38]. Зачастую применение эвристической фильтрации становится нецелесообразным из-за неоправданно высоких затрат на их аппаратное воплощение, именно в таких случаях принято использовать вейвлет-фильтрацию.
Обычно для решения задачи обработки сигналов с целью подавления мешающих компонентов используется вейвлет-преобразование, применение которого подразумевает нестационарность исследуемого сигнала. При этом основными мешающими компонентами сигнала являются низкочастотный шум, обладающий высокой амплитудой. Вейвлет-преобразование, по существу, является фрактальным, что позволяет его эффективно-использовать в техническом анализе: проводить мультимасштабный анализ сигналов, объективно идентифицируя сигналы-различного-масштаба по продолжительности и амплитуде. Мультимасштабный вейвлет анализ можно также интерпретировать как. анализ на различных таймфреймах; определяет шум как движение амплитуды и частоты, которые недостаточны для получения «чистого» сигнала, что позволяет эффективно фильтровать сигнал, просто вычитая из него вейвлеты низших масштабов; осуществляет дополнительную фильтрацию белого шума без запаздывания; не содержат оптимизируемых параметров, в отличие от стандартных-индикаторов; приспособлен для работы с упорядоченными .во времени данными и не вносит искажений на концах обрабатываемого сигнала; эффективен в вычислительном плане, что позволяет его использовать в реальном времени на большом числе потоковых данных; позволяет эффективно использовать, в качестве входных данных для нейронных сетей и других методов прогнозирования и распознавания. Современные вычислительные средства позволяют решать в режиме реального времени и задачи многомерной-фильтрации, существенно более сложные, чем цифровая фильтрация одномерных сигналов; выполняемая с помощью сигнальных процессоров или многопроцессорных систем [38]г Вейвлет-преобразование произвольного сигнала u(i) заключается в его разложении в ряд по солитоноподобным функциям (базовым вейвлетам) (ґ),что обеспечивает двумерную развертку соответствующего спектра по координате и частоте [38-40]. Для покрытия всего сигнала короткими вейвлетами используются процедуры сдвига и масштабного преобразования. В итоге сигнал представляется совокупностью параметрических "вейвлетных волн", зависящих от частоты (масштаба) и координаты (сдвига). Математически это выражается следующим образом:
Восстановление зашумленных сигналов и сжатие информации
В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) сигнала благодаря изменению масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале. Изучив эти свойства, некоторые компоненты можно удалить, что широко используется при фильтрации шумов. Как указывалось выше, для удаления шума используется хорошо известный из техники фильтрации прием — удаление высокочастотных составляющих из спектра сигнала. Однако применительно к вейвлетам есть еще один путь — ограничение уровня детализирующих коэффициентов.
Кратковременные особенности сигнала, а к ним можно отнести и шумы, создают детализирующие коэффициенты с высоким содержанием шумовых компонент, имеющие большие, случайные выбросы значений сигнала-[42]. Задав некоторый порог и срезав по уровню детализирующие коэффициенты, можно уменьшить уровень шумов. При: этом уровень- ограничения; можно устанавливать для5 каждого коэффициента отдельно; что позволяет строить адаптивные к изменениям системы очистки сигналов от шума на основе вейвлетов; Графики детализирующих коэффициентов дляразных уровней очистки произвольного сигнала от шума представлен на рис.2.8; Фильтрация? (режекция)шумов осуществлена-при помощи- вейвлета Хаара с пятью уровнями разложения сигнала:
Основное отличие вейвлет-фильтрации от традиционных методов выделения радиотехнических сигналов из шумов заключается в том, что выбор параметров вейвлет-фильтра довольно слабо зависит от характеристик спектра-сигнала [43]; Это позволяет избежать тех трудностей; і которые обычно- сопровождают выбор параметров АЧХ традиционного фильтра, когда слишком узкое частотное окноj приводит к искажению формы; сигнала и ухудшению разрешающей способности системы, а слишком.широкое окно — к неэффективности процесса фильтрации из-за большого уровня шумов на выходе.
На рис.2.9; представлен результат фильтрации белого шума; который5 осуществляется следующим образом: на каждом масштабе определяется; сигнал это или , шум. Если идентифицирован шум; то соответствующему вейвлету присваивается нулевое значение. Если сигнал идентифицирован; то вейвлет остается без изменения, затем применив; обратное вейвлет-преобразование и получаем отфильтрованный сигнал. Тренд; определяется как значимое движение на рассматриваемом масштабе, т.е. для идентификации тренда отношение сигнал/шум должно быть больше заданного порогам чувствительности. Поскольку шум предполагается гауссовским, можно ист пользовать известное из статистики «правило сигма», задавая порог в диапазоне 2-3 [44].
Следует отметить, что метод вейвлет-фильтрации сигналов обеспечивает глубокое подавление шума при сохранении исходной структуры сигнала. В целом же применение предложенного алгоритма выявило высокую эффективность вейвлет-фильтрации при обработке сигналов сложной формы, что объясняется основными свойствами самих базовых вейвлетов, а именно их ограниченностью и автомодельностью. С его помощью, например, удалось успешно обработать искаженное шумом изображение модельной атомной решетки со случайным расположением дефектов (вакансий). Фурье-фильтрация в данном случае оказалась малоэффективной. Вейвлет-преобразование может применяться для анализа ближне-польных оптических сигналов. Известно, что в энергетическом спектре таких сигналов содержатся детали, отвечающие различным масштабам (ближнему и дальнему полям), а сам сигнал имеет фрактальную структуру. Для решения задачи о сверхразрешении в спектре коэффициентов W(a, Ь) необходимо выделить эванесцентную область, а затем с помощью обратного вейвлет-преобразования восстановить сигнал. Аналогично обстоит дело и с туннельным микроскопом. Здесь вейвлет-преобразование можно использовать для изучения неупругого туннелирования и спиновой поляризации. В магнитной силовой микроскопии вейвлет-преобразование может быть применено для анализа процесса намагничивания.
Наиболее часто при сжатии сигналов применяются фильтры с конечной импульсной характеристикой. Процедура построения реального фильтра заключается в минимизации отклонения заданного числа свойств от свойств идеального фильтра [38]. При конструировании обычных и вейвлет-фильтров для этой минимизации используются различные критерии, следует отметить, что под обычными в этой главе понимаются фильтры, используемые в субполосном кодировании. За основу взяты фильтры Джонстона, которые нашли применение во многих приложениях. Некоторые из этих фильтров дают низкое объективное качество кодирования сигнала. Различия между обычными и вейвлет-фильтрами приведены в табл.2.1.
Длина фильтра важна в силу двух причин. Во-первых, в таких приложениях, как сегментация изображения, длинный фильтр приведет к неверной локализации контуров, так как на протяжении одного фильтра могут встретиться два контура. Во-вторых, короткие фильтры вычислительно экономнее. К симметричным четным фильтрам применимо полифазное построение, что снижает вычислительную сложность в два раза [40].
В теории субполосного кодирования допускаются различные типы схем разбиения и любое число каналов у блоков фильтров. В теории вейвлет анализа предполагается двухканальная схема с рекурсивным разбиением НЧ субполосы. Однако идеи и терминология вейвлетов используются и для многоканальных блоков фильтров, и для схем с произвольным разбиением частотной области (вейвлет-пакеты).
