Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения в автогенераторах на туннельных диодах в режиме деления частоты 11
1.1. Общие сведения о методах анализа режима деления частоты в синхронизированных автогенераторах 11
1.2. Режим деления частоты в одноконтурном синхронизированном автогенераторе 13
1.3. Режим деления частоты в двухконтурном синхронизированном автогенераторе 26
1.4. Режим деления частоты в двухконтурном делителе частоты кварца 42
1.5. Выводы. Постановка задач исследования 56
2. Использование полиномиальной и полигональной аппроксимации вольт-амперных характеристик для гармонического анализа тока туннельного диода 58
2.1. Общие вопросы аппроксимации вольт-амперных характеристик туннельных диодов и гармонического анализа тока 58
2.2. Возможности гармонического анализа при полиномиальной аппроксимации 60
2.3. Возможности гармонического анализа при полигональной аппроксимации 68
2.4. Выводы 76
3. Гармонический анализ тока туннельного диода при полиэкспоненциальной аппроксимации вольт-амперных характеристик 78
3.1. Аппроксимация экспоненциальными полиномами с положительными и знакопеременными степенями экспонент 78
3.2. Аппроксимация экспоненциальными полиномами с отрицательными кратными степенями экспонент 85
3.3. Метод гармонического анализа тока при аппроксимации экспоненциальным полиномом 99
3.4. Анализ гармонических составляющих тока в режиме деления частоты 107
3.5. Выводы 132
Заключение 133
Литература
- Режим деления частоты в одноконтурном синхронизированном автогенераторе
- Возможности гармонического анализа при полиномиальной аппроксимации
- Возможности гармонического анализа при полигональной аппроксимации
- Аппроксимация экспоненциальными полиномами с отрицательными кратными степенями экспонент
Введение к работе
Актуальность темы. Делители частоты гармонических колебаний с использованием синхронизированных внешней ЭДС автогенераторов находят широкое применение в различных радиотехнических устройствах. Они предназначены, в том числе, для получения высокостабильных колебаний на частотах, на которых непосредственно получить высокостабильные колебания с помощью кварцевого генератора затруднительно ввиду сложности изготовления кварцевого резонатора для сравнительно низких частот.
В общем случае, делители частоты гармонических колебаний находят применение в радиотехнических системах, когда необходимо сравнительно простым способом осуществить деление радиочастот.
Кроме того, исследования показали, что режим кратного деления частоты можно осуществить в двухконтурной автоколебательной системе, в частности в двухконтурном кварцевом автогенераторе.
Наряду с транзисторами, в качестве активных элементов одноконтурных и двухконтурных делителей частоты эффективно использовать туннельные диоды (ТД) из-за их малых габаритов, веса, потребляемой энергии, большой механической прочности. При этом в научно-технической литературе приводятся данные о том, что автогенераторы на ТД устойчиво работают при коэффициентах деления п 10. В связи с этим актуальной является задача разработки такого метода гармонического анализа тока активных элементов указанных устройств, который не имел бы ограничений по величине коэффициента деления - п, а также по соот ношению амплитуд синхронизирующего и синхронизируемого колебаний.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка метода гармонического анализа одноконтурных и двухконтурных делителей частоты на ТД, не имеющего ограничений по кратности деления и соотношению амплитуд синхронизирующего и синхронизируемого колебаний.
Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:
1. Получение основных соотношений для одноконтурных и двухконтурных автогенераторов на ТД в режиме деления частоты, в том числе для предложенного и экспериментально проверенного двухконтурного делителя частоты кварца.
2. Разработка метода аппроксимации вольт-амперной характеристики ТД, исходя из критерия точности аппроксимации, а также возможности и удобства гармонического анализа.
3. Разработка метода гармонического анализа тока ТД при воздействии бигармонического колебания с кратными частотами.
4. Разработка алгоритмов автоматизированного расчета коэффициентов аппроксимации и спектральных составляющих тока ТД при полиэкспоненциальной аппроксимации.
5. Анализ гармонических составляющих тока ТД в режиме деления частоты.
Методы исследования. Выполненные исследования базируются на методах математического анализа, медленно меняющихся амплитуд, укороченных дифференциальных уравнений, а также методах аппроксимации, гармонического анализа, аппарата рядов
Фурье и функций Бесселя от мнимого аргумента. Кроме того, при исследовании использованы компьютерные методы расчета с использованием программы MathCAD, а также методы экспериментального исследования.
Научная новизна. При выполнении диссертационного исследования получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
1. Получены основные соотношения, определяющие режим деления частоты в автогенераторах на ТД, в том числе для предложенной и экспериментально проверенной схемы двухконтурного делителя частоты кварца.
2. Предложена и обоснована математическая модель вольт-амперной характеристики ТД в виде экспоненциального полинома, базис которого составляют экспоненты с кратными отрицательными степенями, которая позволяет получить аналитическое выражение для определения произвольных гармонических составляющих тока ТД в качестве активного элемента автогенераторов в режиме деления частоты.
3. Разработан метод гармонического анализа с использованием предложенной полиэкспоненциальной модели характеристики ТД, который позволяет рассчитать произвольную гармоническую составляющую тока ТД при бигармо-ническом воздействии в делителях частоты.
4. Разработаны алгоритмы и реализующие их программы автоматизированного расчета коэффициентов аппроксимирующего экспоненциального полинома и гармонических составляющих тока ТД делителей частоты.
Практическая значимость результатов работы заключается в следующем:
1. Теоретические исследования дают разработчикам эффективный аппарат проектирования устройств преобразования сигналов с использованием как аналитических, так и компьютерных методов.
2. Разработана практическая схема двухконтурного кварцевого генератора на ТД в качестве делителя частоты кварца, подтвержденная патентом на полезную модель.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
1. Всероссийской научно-практической конференции "Охрана, безопасность и связь" в 2003 г. (г. Воронеж).
2. Всероссийской научно-практической конференции "Современные проблемы борьбы с преступностью (радиотехнические науки)" в 2004г. (г. Воронеж).
3. На научных семинарах кафедры РТС Воронежского института МВД России в 2003, 2004 и 2005 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 6 статей, 3 работы в материалах Всероссийских научно-практических конференций, получен патент на полезную модель.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 82 наименования, а также четырех приложений. Работа изложена на 158 страницах машинописного текста, содержит 38 рисунков и 16 таблиц.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов исследования, представлены данные об апробации работы, публикациях по теме диссертации, ее структуре.
В первой главе приведены сведения о существующих методах анализа режима деления частоты в синхронизированных автогенераторах, при этом подчеркивается, что с точки зрения составления дифференциальных уравнений колебательных систем, а также уравнений стационарного режима проблема анализа режима деления частоты решена при использовании метода медленно меняющихся амплитуд и укороченных уравнений. Разработан в процессе исследования двухконтурный делитель частоты кварца. Проведено экспериментальное определение полосы синхронизации двухконтурного кварцевого делителя частоты. Указывается, что актуальной задачей анализа режима деления частоты является разработка эффективных методов аппроксимации вольт-амперных характеристик ТД, а также разработка метода гармонического анализа тока ТД при воздействии бигармонического сигнала, как для анализа режима деления частоты, так и для расчета делителей частоты на ТД.
Вторая глава посвящена анализу методов аппроксимации вольт-амперных характеристик ТД исходя из критерия как точности аппроксимации, так и возможностей и удобства гармонического анализа. С этой точки зрения проведен сравнительный анализ наиболее часто применяемой аппроксимации степенным полиномом, а также кусочно-линейной аппроксимации. Указаны причины, по которым полиномиальная и полигональная аппроксимации неудобны для решения задач гармонического анализа тока ТД в делителях частоты.
Третья глава посвящена гармоническому анализу в делителях частоты на ТД с использованием полиэкспоненциальной аппроксимации с кратными показателями экспонент. Показано, что наиболее предпочтительным методом аппроксимации вольт-амперных характеристик ТД является полиэкспоненциальная аппроксимация с базисом в виде экспонент с отрицательными степенями.
С использованием предложенной аппроксимации разработан метод гармонического анализа тока ТД, не имеющий ограничений по кратности деления, а также отношению амплитуд напряжений синхронизирующего и синхронизируемого колебаний. В этой же главе разработаны автоматизированные алгоритмы расчета коэффициентов аппроксимирующего полинома, а также активных и реактивных составляющих амплитуд тока ТД, в том числе постоянной составляющей, с частотами "генерации и деления", кроме того, с гармониками поделенной частоты.
В заключении изложены основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования.
В приложениях приведены программы расчета коэффициентов аппроксимирующего полинома и гармонического анализа.
Режим деления частоты в одноконтурном синхронизированном автогенераторе
Как известно, при соотношении VL7C/-Rmin«l (1.1) в генераторе на ТД имеют место колебания, близкие к синусоидальным. Здесь -Rmin - минимальное отрицательное сопротивление ТД. Оно находиться в точке перегиба падающего участка вольтамперной характеристики ТД.
Если на одноконтурный автогенератор на ТД воздействовать внешним источником высокостабильной по частоте гармонической ЭДС, то частота автогенератора в пределах полосы синхронизации захватывается частотой внешнего источника. Вне полосы синхронизации частота колебаний автогенератора не зависит от частоты внешнего источника ЭДС.
Принципиальная схема такого устройства, представляющего из себя делитель частоты внешней ЭДС, представлена на рис. 1.1. Здесь внешняя ЭДС вводится последовательно с контуром LiCi, настроенным на частоту: ю1=-7==«-соп, (1.2) л/ЦС, п где соп - частота внешней синхронизирующей ЭДС, п - коэффициент деления.
Смещение в схеме автогенератора устанавливается фиксированное за счет делителя напряжения Rb R2, который выбирается из условия устойчивости положения рабочей точки на падающем участке вольтамперной характеристики по постоянному току. Сбл - блокировочная емкость.
В подавляющем большинстве случаев делители частоты используются в области частот, где индуктивность выводов ТД допустимо не учитывать. Такое допущение справедливо на частотах, ограниченных неравенством: a iLa«R3l, где R3] - эквивалентное сопротивление колебательного контура автогенератора, La - индуктивность выводов ТД. Кроме этого емкость р-n перехода ТД Са допустимо считать включенной параллельно емкости Сь то есть полагать С[ =Ct+Ca. Учитывая вышесказанное, можно принципиальную схему генера 15 тора (рис. 1.1) заменить для токов высокой частоты эквивалентной схемой (рис. 1.2). На этом рисунке приняты следующие обозначения: -R - отрицательное дифференциальное сопротивление ТД, un(t) - мгновенное значение внешней ЭДС, Cj =Cj+Ca - емкость контура генератора с учетом емкости р п перехода ТД, Li - индуктивность контура генератора, г - сопротивление потерь контура генератора с учетом внутреннего сопротивления потерь ТД и источника внешней ЭДС. Особенностью рассматриваемой схемы является то, что резонансная частота колебательного контура генератора C0j =1/Л/Ь1С1 приближенно кратна частоте внешнего источника соп, то есть выполняется соотношение: где Дсої - расстройка, или поправка на частоту контура генератора, то есть половина ширины полосы синхронизации. При исследовании схемы, изображенной на рис. 1.2, полага я coiLi ем, что затухание контура c = мало, то есть система близка
R3l к консервативной. Положим также, что порядок малости наибольшей расстройки относительно частоты (0\ определяется порядком затухания контура. Тогда при стремлении затухания к нулю расстройка также стремится к нулю (Дам = 8\ = 0). Поэтому контур генератора и внешняя ЭДС имеет точно кратные частоты.
Возможности гармонического анализа при полиномиальной аппроксимации
Аппроксимация нелинейных характеристик степенным полиномом получила наибольшее распространение при анализе радиотехнических устройств. Характеристику нелинейного элемента с определенной степенью точности можно представить аналитической функцией в виде степенного полинома [36-40]: м i= ZamuI" =ао +a1u + a2u2 +... + aMuM. (2.2) m=0
Степень полинома целесообразно выбирать того же порядка, что и степень нелинейности аппроксимируемой характеристики, так как дальнейшее увеличение степени полинома почти не уменьшает ошибку аппроксимации. По этой причине у полиномиальной аппроксимации есть существенный недостаток, который состоит в том, что если в реальной характеристике, общий вид которой соответствует определенной степени, имеет место участок более сложной формы, степенная аппроксимация отразит его неэффективно. Кроме того, если число членов полинома достаточно велико, то возникает необходимость в решении системы с большим количеством неизвестных, а это очень сложная вычислительная задача.
В теории приближения функций существуют различные методы нахождения коэффициентов искомого аналитического выражения из условия минимизации ошибки. Наиболее распространен критерий минимизации среднеквадратической ошибки, т. е. метод наименьших квадратов. Обоснованность использования этого метода вытекает из положений теории вероятности и математической статистики. В методе наименьших квадратов подразумевается минимизация квадрата среднеквадратического отклонения, т. е. дисперсии, для того, чтобы оценка была доброкачественной, необходимо, чтобы она была состоятельной, эффективной и несмещенной. По определению дисперсии ее оценка является состоятельной и смещенной. При минимизации выполняется свойство эффективности. Для выполнения свойства несмещенности необходимо перейти к оценке дисперсии, для чего дисперсия умножается на величину (G+l)/G. При G- oo значение оценки дисперсии стремится к значению дисперсии и выполняется свойство несмещенности.
Этот критерий имеет смысл использовать, если исследователь располагает нелинейной характеристикой какого-либо устройства в виде графика или таблицы данных.
В начале своей работы исследователь располагает (G+1) количеством значений аргумента ug и соответствующими им значениями функции ig на участке, который он намерен аппроксимировать.
В методе наименьших квадратов аппроксимация осуществляется при использовании критерия наименьшего значения средне-квадратической ошибки: і G / ч і G ( М \2 - S I\h-I, (2-3) +Ч=о Cj + lg=0 m=0 J
В выражении (2.2) находится среднее значение квадрата разности того значения функции ig, которое должно быть в точке ug, и того, которое получается при помощи аппроксимирующего степенного полинома. Для того чтобы среднеквадратическая ошибка о"ср была минимальной, продифференцируем выражение (2.3) по всем неопределенным постоянным ат и приравняем нулю: дсу2 1 G ( м V \ Шр J +1 g=0 V. m=0 ) где р=(0; М).
При решении этой системы найденные коэффициенты ат определяют минимальное стср в силу необходимого свойства производной функции п переменных и физического смысла средне-квадратической ошибки.
Элементарные преобразования каждого уравнения (2.4) системы линейных уравнений дают: XIP,m=ZVm+P)-g=o
Индекс р в обозначениях постоянных (2.6) означает принадлежность коэффициентов к р-му уравнению систему линейных уравнений для нахождения ат. С учетом (2.6) выражение (2.5) примет вид:
Таким образом, решив систему (2.7), получаем неизвестные коэффициенты аппроксимирующего степенного полинома.
В качестве примера проведем полиномиальную аппроксимацию нормированной вольт-амперной характеристики ТД из GaAs [41] методом наименьших квадратов, задавшись среднеквадрати-ческой погрешностью 5%. Коэффициенты аппроксимирующего полинома нормированной вольт-амперной характеристики ТД из GaAs, аппроксимированной методом наименьших квадратов, приведены в таблице 2.1. График нормированной вольтамперной характеристики туннельного диода из GaAs, аппроксимированной степенным полиномом методом наименьших квадратов представлен на рис.2.1. Как показали расчеты, заданную погрешность обеспечивает степень полинома, равная 3.
Основной задачей при исследовании делителей частоты является анализ стационарного режима делителей. Решение этой задачи связано с определением величин активных и реактивных составляющих средних крутизн Sia и Sip, Sna и Snp, так как именно комплексность средних крутизн приводит к синхронизации колебаний в одноконтурных делителях частоты и взаимной синхронизации колебаний в двухконтурных делителях частоты.
Полоса синхронизации одноконтурного и двухконтурного делителей частоты определяются реактивной составляющей средней крутизны ТД (Sip) и эквивалентным сопротивлением контура делителя, которое из условия установившегося режима определяется активной составляющей средней крутизны ТД (Sia). Следовательно, задача анализа полосы синхронизации сводится к определению Sja И Sip.
Возможности гармонического анализа при полигональной аппроксимации
Проведено исследование возможности использования полиномиальной аппроксимации вольт-амперных характе ристик ТД для гармонического анализа тока, который показал, что для любой кратности деления, большей выбранной степени полинома, невозможно рассчитать полосу синхронизации. Кроме того, при больших значениях коэффициента деления определение активных и реактивных составляющих тока ТД возможно только с использованием аппарата кратных рядов Фурье, который не удается реализовать даже с помощью ЭВМ. При необходимости определения активных и реактивных амплитуд спектральных составляющих не только первой и n-й гармоники тока ТД, но и других гармоник, в которых присутствуют комбинационные составляющие, использование полиномиальной аппроксимации весьма затруднительно из-за трудностей отбора последних. В связи с этим неэффективно применять полиномиальную аппроксимацию для вальт-амперных характеристик ТД, работающих в режиме деления частоты. 2. Проведено исследование возможности применения полигональной аппроксимации вольт-амперных характеристики ТД для гармонического анализа, как для одноконтурного, так и для двухконтурного делителя частоты на ТД, показывающее что из-за сложности и громоздкости представленных выше выражений затруднительно произвести подобный анализ даже с использованием ЭВМ. Кроме того, погрешность вычислений в результате может превысить истинные расчетные значения в несколько раз. Это доказывает нецелесообразность применения полигональной аппроксимации для анализа режима деления частоты в синхронизированных генераторах на ТД.
Полиэкспоненциальная аппроксимация в наибольшей степени соответствует виду законов, отражающих сущность физических процессов, происходящих в полупроводниковых приборах, к которым относятся ТД.
В связи с этим для приближения расчетных данных к характеристикам ТД с заданной степенью точности и получения аналитических выражений для нахождения спектральных составляющих на выходе радиотехнического устройства со сколь угодно большим динамическим диапазоном воспользуемся полиэкспоненциальной аппроксимацией следующего вида, предложенной в [44-48]:
При полиэкспоненциальной аппроксимации исходными данными являются (G+1) значений аргумента ug и соответствующие им значения функции ig на интервале, который должен быть аппроксимирован.
Определим коэффициенты аппроксимации методом наименьших квадратов, подразумевающим минимизацию значения среднеквадратической ошибки:
В выражении (3.2) находится среднее значение квадрата разности того значения функции ig, которое должно быть в точке ug, и того, которое получается при помощи аппроксимирующего экспоненциального полинома. Для того чтобы среднеквадратическая ошибка jcp была минимальной, продифференцируем выражение (3.2) по всем неопределенным постоянным ап и приравняем нулю: (3.3) где р=(0; М).
При решении этой системы найденные коэффициенты ат определяют минимальное аср в силу необходимого свойства производной функции m переменных и физического смысла среднеквадратической ошибки.
Таким образом, решив систему (3.6), получаем неизвестные коэффициенты аппроксимирующего экспоненциального полинома.
В качестве примера с помощью экспоненциального полинома вида (3.1) была аппроксимирована нормированная характеристика ТД из GaAs с заданной среднеквадратической погрешностью 5%. Результаты аппроксимации, представленные на рис.3.1, показывают, что заданную погрешность обеспечивает экспоненциальный полином 9 степени, причем коэффициенты аппроксимации, начиная с пятой степени, пренебрежимо малы, поэтому пользоваться формулой (3.1) неэффективно, так как эти степени полинома вызывают значительный рост погрешности округления.
Аппроксимация экспоненциальными полиномами с отрицательными кратными степенями экспонент
Таким образом, решив систему (3.16), получаем неизвестные коэффициенты аппроксимирующего экспоненциального полинома с отрицательными показателями экспонент.
Аппроксимация нормированной характеристики ТД из GaAs экспоненциальным полиномом с отрицательными показателями экспонент представлена на рис.3.3. Степень аппроксимирующего полинома, обеспечивающая расчетную среднеквадратическую погрешность 5%, равна 4, при этом коэффициенты аппроксимации приведены в таблице 3.3.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что экспоненциальные полиномы с отрицательными показателями экспонент при аппроксимации вольт-амперных характеристик ТД имеют меньшую погрешность, чем при аппроксимации подобных характеристик экспоненциальными полиномами с положительными и знакопеременными степенями экспонент. Это объясняет 87
Таблица 3.3 Коэффициенты аппроксимации нормированной вольт-амперной характеристики ТД из GaAs экспоненциальным полиномом с отрицательными степенями экспонент
Аппроксимация нормированной вольт-амперной характеристики туннельного диода из GaAs экспоненциальным полиномом с отрицательными степенями экспонент методом наименьших квадратов. ся наличием туннельного участка вольт-амперных характеристик ТД, который наиболее точно можно описать с помощью экспонент с отрицательными показателями.
Таким образом, используя экспоненциальный полином вида (3.12), можно аппроксимировать характеристики ТД с заданной точностью и получить удобные аналитические выражения для расчета спектров делителей частоты гармонических колебаний с большими значениями коэффициентов деления, так как при гармоническом анализе использование экспоненциальных полиномов дает возможность выразить активные и реактивные амплитуды гармонических составляющих через модифицированные функции Бесселя, имеющие стандартные программы.
Для автоматизации полиэкспоненциальной аппроксимации характеристик ТД целесообразно использовать одну из наиболее эффективных математических систем MathCAD 2003 Professional Edition (PRO), которая занимает особое место среди множества таких систем, так как является современной, универсальной и массовой математической системой для всех пользователей [51-56]. Она позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет удобный математико-ориентированный интерфейс и эффективные средства графики.
Языком реализации этой системы является язык программирования высокого уровня C++.
Алгоритм аналитического представления нормированной характеристики ТД из GaAs экспоненциальным полиномом с нечетными отрицательными показателями экспонент методом наименьших квадратов следующий [57]:
1. Составляются векторы-столбцы абсцисс X и ординат Y точек, выбранных по графику характеристики, размерностью М. 2. Выполняется расчет матрицы правых частей системы линейных алгебраических уравнений: m = l..M; g = l..G; YYg=Yg.exp(-m-Xg). (ЗЛ7)
3. Рассчитывается матрица А коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений: m = l..M; g = l..G; Ag m=exp(-(m + g)-Xg).
4. Находится вектор В искомых коэффициентов аппроксимирующего полинома с помощью решения системы уравнений, записанных в матричной форме: B = A- -YY. (3.19)
На основе описанного выше алгоритма для повышения качества аппроксимации и уменьшения затрат машинного времени и системных ресурсов целесообразно провести следующий автоматизированный с помощью математической системы MathCAD 2003 Professional Edition (PRO) алгоритм выбора наилучших параметров аппроксимации.
Вся заданная графически область определения нормированной характеристики ТД из GaAs разбивается на четное число равных интервалов М. В нашем случае берем М = 36. Таким образом, исследователь будет располагать М+1 нечетным числом значений. Далее устанавливается желаемое значение погрешности аппроксимации pogr. Посредством перебора от 1 до М с шагом единица подбирается степень аппроксимирующего полинома step_pol. При текущем значении step_pol на основе общего массива данных производится перебор возможных вариантов аппроксимации путем изменения kol_t - количества исходных значений абсцисс и ординат в пределах от 1 до М. При каждом значении kol_t рассчитываются коэффициенты аппроксимирующего полинома и величина погрешности аппроксимации s, которая каждый раз сравнивается с заданной желаемой погрешностью pogr. Причем М должно нацело делится на текущее kol_t, в противном случае kol_t увеличивается на единицу и процесс возобновляется. Расчет прекращается, если s меньше или равно pogr, в этом случае текущие значения kol_t и step_pol принимаются как наилучшие. Таким образом, при использовании метода наименьших квадратов становится известным значение степени аппроксимирующего полинома и количество исходных точек для проведения аппроксимации с заданной точностью.
