Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценка параметров моделей одновременно ненаблюдаемых наработок изделий в двух режимах (непрерывные модели)
1.1. Постановка задачи 14
1.2. Общие результаты 18
1.3. Модель двумерного нормального распределения 21
1.4. Модель двумерного гамма - распределения (общий параметр масштаба) 2 5
1.5. Модель двумерного гамма - распределения (общий случай) 3 1
1.6. О предположении об отсутствии последействия в форсированном режиме 3 5
Выводы к главе 1 36
Глава 2. Оценка параметров моделей одновременно ненаблюдаемых наработок изделий в двух режимах (дискретные модели)
2.1. Общие результаты 3 8
2.2. Модель двумерного пуассоновского распределения 43
2.3. Модель двумерного геометрического распределения 4 8
Выводы к главе 2 53
Глава 3. Асимптотические методы оценки корреляции для последовательных систем
3.1. Постановка задачи и основные предположения 5 5
3.2. Асимптотическое разложение для коэффициента корреляции (случай к=1) 5 7
3.3. Общий случай (к — произвольное) 62
3.4. Асимптотическое распределение отношения наработок 6 5
Выводы к главе 3 72
Глава 4. Экспериментальная апробация и численное моделирование
4.1. Предварительные испытания блоков аналоговой аппаратуры 73
4.2. Исследование зависимости пробивного напряжения конденсаторов от температуры эксплуатации 7 6
4.3. Сравнительный анализ непараметрических и параметрических моделей методом статистического моделирования 79
4.4. О билинейном разложении для геометрического распределения... 82
4.5. Двумерные распределения с носителями плотности Специального вида 84
4.6. Численное моделирование и асимптотические свойства коэффициента корреляции для последовательных систем 88
Выводы к главе 4 90
Результаты и выводы 91
Литература 92
Приложения 9 8
- Модель двумерного нормального распределения
- Модель двумерного пуассоновского распределения
- Постановка задачи и основные предположения
- Предварительные испытания блоков аналоговой аппаратуры
Введение к работе
Актуальность темы. Определение показателей надежности для
технических устройств различного уровня (таких как комплектующие, ЭРИ,
блоки РЭА, сложные технические системы) имеет важное значение при
принятии решений о характере и сроках их применения. Сюда относится и
определение степени резервирования отдельных блоков для
невосстанавливаемых систем кратковременного использования, назначение времен профилактик восстанавливаемых систем, определение сроков снятия с эксплуатации (боевого дежурства) систем, выработавших ресурс.
Определение же показателей надежности в связи с непрерывно усложняющимися объектами исследования требует разработки новых методов анализа информации, моделирования и прогнозирования функционирования систем в различных эксплуатационных условиях, создание программного обеспечения для реализации предложенных методов.
Следует заметить, что начиная с 60-х годов модели и методы анализа информации по испытаниям изделий в эксплуатационных режимах оказались недостаточными для удовлетворительного решения поставленных задач ввиду невозможности в приемлемые сроки получить необходимую информацию. Поэтому одним из решений этой проблемы стала разработка методов и алгоритмов оценки эффективности и надежности систем по результатам форсированных испытаний.
Проблеме форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. Среди отечественных авторов отметим работы Карташова Г.Д., Перроте А.И., Седякина Н. М., Пешеса Л. Я., Степановой М. Д., Тимонина В.И., Белова В.Н. и др. Из иностранных авторов -Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн, С. Аморима, А. Джонсон-Рихарда и др.
Среди многих проблем, требующих решения при проведении форсированных испытаний, выделяются две:
А. Проблема нестабильности производства, заключающаяся в том, что разные партии однотипных изделий вследствие особенностей различных производств зачастую имеют неодинаковые законы распределения наработок до отказа. Вследствие этого статистические связи между законами распределения наработок в разных режимах являются неустойчивыми и могут меняться от партии к партии. Отсюда следует, что неправомерно распространять результаты форсированных испытаний, проводимых обычными регрессионными методами на изделиях одной из партий, на другие партии аналогичных изделий;
Б. Проблема форсированных испытаний сложных изделий, представляющих собой систему, состоящую из большого количества элементов (комплектующих). Для таких систем очень сложно определить коэффициент ускорения испытаний по причине того, что форсированный режим на каждое комплектующее действует по-разному, и следовательно, это приводит к
изменчивости коэффициента ускорения испытаний для различных элементов.
В связи с этим возникает вопрос о самой возможности построения
форсированных испытаний для таких изделий, в частности, для изделий, представляющих собой последовательно соединенную систему большого количества элементов.
Начало исследований по первой проблеме было положено Перроте А.И. и продолжено Карташовым Г.Д. ' В частности, для решения проблемы А. он предложил оценивать связи не между функциями распределения наработок до отказа, а между случайными величинами - наработками одного и того же изделия в разных режимах. Согласно принципу инвариантности, эти связи не меняются от партии к партии, так как они определяются не особенностями производства, а внутренней структурой исследуемых изделий. Поэтому, установив эту связь для изделий одной из партии, мы можем применять ее и для изделий из других партий.
В рамках решения задачи установления связей между наработками до отказа в разных режимах одного и того же изделия (между компонентами двумерного вектора), Г.Д. Карташовым была решена проблема оценки связи между ненаблюдаемыми одновременно случайными величинами. Дело в том, что невозможно у одного изделия «измерить» обе наработки. Определив наработку в одном режиме, нельзя испытать изделие в другом режиме, так как оно уже разрушено. Для решения этой проблемы были разработаны планы проведения испытаний в переменных режимах (предварительных исследований), статистическая обработка результатов которых основывалась на использовании непараметрических оценок, не требующих знания функций распределения наработок до отказа. Однако применение непараметрических методов из-за ограниченности объемов испытаний зачастую приводит к очень широким доверительным интервалам для коэффициента ускорения, что обесценивает получаемую информацию или вынуждает пользоваться только «точечными» оценками этих функций.
Проблема Б. исследовалась Карташовым Г.Д. в работах ' , где была сформулирована точная математическая постановка проблемы и дано ее решение для последовательной системы при условии выполнения некоторых
Карташов Г. Д., Перроте А. И. О принципе "наследственности" в теории надёжности // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. № 5. С. 17-20.
Карташов Г.Д. Основы теории форсированных испытаний. М.: Знание, 1977 52 с.
Карташов Г.Д. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний. М.: Знание, 1980. 51с. Карташов Г.Д. О коэффициенте корреляции между наименьшими членами
вариационного ряда // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Естественные науки.
1990. №1. С.4-9.
5 Карташов Г.Д. Форсированные испытания аппаратуры. М.: Знание, 1985. 51 с.
предположений. В этих работах было проведено подробное исследование
асимптотического поведения коэффициента корреляции между наработками
системы в двух режимах, распределения отношения наработок, оценки
коэффициента ускорения. Однако эти результаты были получены при
ограничительном предположении о том, что совместная плотность
распределения наработок элементов в двух режимах отлична от нуля в начале
координат. Это предположение исключало возможность использования
полученных результатов для двумерных распределений, у которых
маргинальными являются, например, гамма-распределение или
распределение Вейбулла с параметром формы больше единицы.
В диссертации разработана новая техника оценивания результатов испытаний в переменных режимах на стадии предварительных исследований, позволяющая для первой из обозначенных проблем оценивать совместную плотность распределения наработок одного и того же изделия в различных режимах при условии использования параметрических моделей. Кроме того, для второй проблемы получено обобщение результатов Карташова Г.Д. и других авторов, позволяющее снять большинство из ранее существовавших ограничений на возможный вид двумерной плотности распределения наработок элементов.
Решение первой проблемы связано с описанием совместной функции распределения наработок одного и того же изделия в двух режимах. Дело в том, что часто мы имеем информацию о маргинальных законах наработок в различных режимах, которая не используется при непараметрических методах оценки коэффициента ускорения. Если при этом ограничиться параметрическим семейством распределения наработок, то задача описания взаимной зависимости между наработками на отказ сводится к задаче оценки параметров модели. Кроме того, разработанные модели совместного распределения отказов в двух режимах обладают важным свойством -регрессия одной наработки (например, в нормальном режиме) на другую (в форсированном режиме) линейна.
Такой подход к оценке зависимости между одновременно не наблюдаемыми случайными величинами рассматривался Amorim S., Johnson R. А. в предположении, что совместное распределение отказов в двух режимах описывается двумерным гауссовским распределением, и в одном из режимов отсутствует последействие (т.е не происходит накопление повреждений). В этой работе оценки параметров для двумерной нормальной модели получены по результатам испытаний изделий в переменном режиме с программным способом переключения. Карташовым Г.Д. были получены аналогичные результаты для двумерной нормальной модели при динамическом способе переключения. Однако в теории надежности для описания наработок изделий
6 Amorim S., Johnson R. A. Experimental designs for estimating the correlation between two destructively tested variables II Journal of the American Statistical Association. 1986. V.81, № 395. P. 807-812.
нормальное распределение используется довольно редко. Поэтому чрезвычайно актуальна задача оценки параметров для моделей других двумерных распределений.
Для второй из обозначенных выше проблем обобщение результатов Г.Д. Карташова было получено за счет использования существенно более тонких методов асимптотического анализа (метод Лапласа и др.). Полученные результаты позволяют производить пересчет результатов форсированных испытаний в условия нормального режима для широкого класса совместных плотностей отказов элементов системы.
Цель работы - разработка параметрических моделей совместной плотности распределения для наработок до отказа изделий в различных режимах и методов оценки их параметров; определение асимптотических характеристик совместных законов распределения наработок до отказа больших систем последовательно соединенных элементов в различных режимах (плотности, коэффициента корреляции, отношения наработок).
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Предложены новые параметрические модели и методы оценивания их параметров для обработки результатов форсированных испытаний, когда наработки изделий в нормальном и форсированном режимах описываются как непрерывными, так и дискретными случайными величинами.
Существенным образом обобщены ранее полученные результаты, относящиеся к исследованию асимптотического поведения распределения отношения наработок и коэффициента корреляции между наработками больших систем последовательно соединенных элементов в двух режимах. Доказана возможность производить пересчет результатов форсированных испытаний в условия нормального режима для широкого класса совместных плотностей отказов элементов системы.
Введены новые модели двумерных распределений с заданными маргинальными распределениями и носителями плотности специального вида. Результаты в 3.1, полученные ранее Карташовым Г.Д. , доказаны новым способом с целью демонстрации предложенных в диссертации методов.
Методы исследования. В диссертации использовались методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, асимптотические методы анализа (разложение в ряд по ортогональным многочленам, метод Лапласа, специальные функции), численные методы, методы статистического моделирования.
Теоретическая и практическая ценность. Предложенные в диссертации модели и разработанные методы оценки их параметров позволяют:
Kartashov G.D. Estimation of the parameters of bevariate distribution of Gaussian random variables that cannot be observed simultaneously II Journal of Mathematical Sciences. 1995. V. 75, №1. P.1389-1393.
обосновать возможность применения параметрических моделей при проведении испытаний в переменных режимах в условиях нестабильного производства;
существенно увеличить точность оценок коэффициента ускорения форсированных испытаний за счет более полного использования информации, полученной в результате испытаний;
значительно расширить статистический аппарат обработки результатов форсированных испытаний сложных систем.
разработанная техника может служить базой и для других приложений в методах определения показателей надежности (отбор высоконадежных изделий, сравнение показателей надежности в различных эксплуатационных режимах и пр.).
На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработка и исследование новых параметрических моделей
совместной плотности наработок до отказа в различных режимах,
основанных на билинейном разложении плотности по системе
ортогональных многочленов. Разработка методов оценки параметров для
указанных моделей, как в непрерывном, так и в дискретном случае.
Разработка новых методов отбора высоконадежных изделий.
Аналитические выражения оценок параметров для ряда конкретных
моделей, имеющих широкое распространение на практике.
2. Исследование асимптотического поведения коэффициента корреляции
и отношения наработок в нормальном и форсированном режимах для
больших систем, последовательно соединенных равно надежных
элементов. Обоснование возможности проведения форсированных
испытаний таких систем вне зависимости от поведения совместной
плотности наработок их элементов в начале координат. Нижняя оценка
для усредненного коэффициента ускорения.
3. Апробация полученных результатов как на экспериментальных
данных, так и данных, полученных методами статистического
моделирования. Исследование новых моделей двумерных распределений
с заданными маргинальными распределениями и носителями плотности
специального вида.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на научных семинарах МГТУ им.Н.Э.Баумана и МЭСИ (2009,2010), докладывались на LXII Научной сессии Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова (Москва, 2007); II научно-методической конференции аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы фундаментальных наук» МГТУ им. Н.Э.Баумана (Москва,2008); X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2009).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 научных статьях [1-5], в том числе в 3 статьях из перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.
Личный вклад соискателя. Все исследования в диссертационной работе проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, приложения и списка литературы, содержащего 57 наименований. Работа изложена на 103 страницах, содержит 14 рисунков, 8 диаграмм и 6 таблиц. Библиография включает 57 наименований.
Модель двумерного нормального распределения
Одной из основных проблем в теории форсированных испытаний является задача получения статистических выводов об одновременно не наблюдаемых случайных величинах. Так, если исследуется зависимость времени безотказной работы изделия от режима испытаний, то, определив момент отказа изделия в одном режиме, нельзя определить момент отказа этого же изделия в другом режиме. Большинство методов решения указанной проблемы основаны на испытаниях изделия в переменных режимах и использовании тех или иных принципов расходования ресурса ([21],[24]). При этом использование различных принципов расходования ресурсов обычно приводит к моделям, в которых между моментами отказов одного и того же изделия в различных режимах существует детерминированная функциональная (чаще всего линейная) зависимость 1],[2]). Однако, если переход к форсированному режиму испытаний меняет параметр формы гамма-распределения или распределения Вейбулла, то линейной связи между отказами быть не может.
Другой подход к оценке зависимости между одновременно не наблюдаемыми параметрами изложен в работах ([48],[56]). Он может быть использован для определения зависимости стойкости изделия к воздействующему фактору от режима испытаний. Основным допущением является предположение о том, что в одном из режимов отсутствует последействие. Это означает, что если в этом режиме изделие подвергалось воздействию определенной силы и при этом оно не отказало, то после снятия воздействия надежность изделия не изменилась. Например, если исследуется зависимость напряжения пробоя конденсатора от температуры, то можно допустить, что кратковременно приложенное к конденсатору напряжение не изменит его надежности, если при этом не произошло пробоя. В работе [35] исследовалась зависимость долговечности службы полимерных материалов от механической нагрузки (растяжение) и от электрической нагрузки (нахождение под постоянным электрическим полем). Статистическими методами показано, что механическая нагрузка обладает свойством последействия, т.е. изделие, находившееся под механической нагрузкой, «стареет», а изделие, подвергшееся электрической нагрузке, восстанавливает свои свойства. Для второго режима отсутствие последействия не предполагается.
Планы испытаний, ориентированные на оценивание зависимости между наработками одного и того же изделия в двух режимах, предполагают испытания изделий в переменном режиме. В работе [48] предлагается использовать программный способ переключения: изделие в первом режиме подвергается "кратковременному" воздействию, величина которого возрастает до заданной величины т (т - случайная величина с заданным законом распределения), и если изделие не отказало, то оно переключается во второй режим и испытывается в нем до отказа. Этот план испытаний обладает тем недостатком, что информация об изделиях, отказавших в первом режиме, оказывается не использованной. Кроме того, отдельной не простой задачей является задача выбора распределения случайной величины т, так как точность полученных результатов существенно снижается, если доля изделий, отказавших в одном из режимов существенно отличается от доли изделий, отказавших в другом режиме. Этих недостатков лишен план испытаний, использующий динамический способ переключения ([56]). Согласно этому плану в первом режиме пара изделий подвергается испытывается в первом режиме до отказа одного из них, и далее не отказавшее изделие во втором режиме испытывается до отказа.
Обозначим через и 0 значения наработок для одного и того же изделия в форсированном режиме є, и нормальном режиме є0 соответственно. Эти две случайные величины одновременно не наблюдаемы. Пусть F(x,j ) = P(» х, g0 У) - совместная функция распределения д2 непрерывных случайных величин и 0, f(x,y) =— F(x,y) - их дхду плотность распределения. Через (0=р(ё /), /(0= (0. ;= . обозначим маргинальные функции распределения и плотности случайных величин 4 и о Для пары изделий ((1),(2)) (нижний индекс - режим испытаний, верхний индекс - номер изделия) введем случайные величины \еслиЯ (2), :(2) „т J&) J&) 0-1) &=min{(1),(2)}, 6 0 = (Г, если . Таким образом, 61 - наработки наиболее "слабого" изделия пары в режиме ,_ а 5), - наработки второго изделия пары в режиме є0. Обе величины 6 , и в0 одновременно наблюдаемы, и поэтому обычными статистическими методами можно проверять гипотезы о виде их совместной функции распределения Н(х,у) = {6 х,в0 у) (по крайней мере, при достаточно большом объеме выборки). Задача состоит в том, чтобы по функции распределения Н{х,у) наблюдаемых одновременно случайных величин в, и 0О восстановить совместную плотность распределения f(x,y) одновременно ненаблюдаемых случайных величин и 0 . Совместная плотность и маргинальные плотности случайных величин в, и в0 могут быть выражены через распределение пары и 0 . ([56]): h(x,y) = - P(et x,e0 y) = 2f.(x)\f(t,y)dt, (1.2) h(x) = j-P(6t x) = 2f,(x)(l-E(x)), (1.3) , +00 K(y) = —P(60 y) = 2\E(x)f(x,y)d . (1.4) —00 В общем случае восстановить плотность f(x,y) из этих соотношений при известной плотности h{x,y) не удается, так как эта система интегральных уравнений имеет не единственное решение. Но, если для плотности f(x,y) ограничиться некоторым параметрическим семейством, то задача может быть сведена к задаче оценки параметров этой плотности.
В работе [56] такой подход был применен к модели, когда совместная плотность отказов f{x,y) задается двумерным нормальным распределением. Этот результат был получен с использованием специфических свойств нормального распределения. В теории случайных процессов большинство классов случайных процессов (гауссовские, марковские, процессы с независимыми приращениями и др.) были введены как обобщение винеровского процесса путем абстрагирования от всех свойств винеровского процесса кроме одного заданного свойства. В диссертационной работе, абстрагируясь от всех свойств двумерного нормального распределения, кроме того, что оно допускает билинейное разложение по системе ортогональных многочленов Чебышева-Эрмита([33]), получены результаты аналогичные результатам работы [56] для моделей двумерных распределений, у которых плотность допускает билинейное разложение по системе ортогональных многочленов.
Модель двумерного пуассоновского распределения
Меняя весовую функцию, можно строить различные распределения. Например, если основная масса весовой функции сосредоточена в окрестности нуля, коэффициент корреляции случайных величин и 77 будет близок к единице.
Аналогично, можно построить двумерные распределения с различными маргинальными распределениями и носителем, сосредоточенном в угле. Например, можно воспользоваться линейным преобразованием координат.
Следует так же отметить, что описанные выше распределения имеют довольно сложную структуру, что требует привлечения численных методов для их моделирования и расчета параметров (например, коэффициента корреляции).
В заключение рассмотрим некоторые примеры численного моделирования для систем, состоящих из последовательно соединенных равнонадежных элементов.
На рисунке 4.10 изображены результаты моделирования минимальных членов вариационного ряда для случая усеченного показательного распределения (& = 0) и усеченного распределения Вейбулла, с параметром формы равным трем (к = 2). Следует заметить, что хотя коэффициент корреляции во втором случае существенно меньше, тем не менее, доверительный интервал для отношения 0 / во втором случае оказывается короче, чем в первом.
В таблице 6 приведены результаты моделирования и расчета коэффициента корреляции для различных распределений. Для моделирования распределения Вейбулла было использовано предельное распределение, полученное в данной работе, для которого отношение 0 / распределено по закону Нк(0 (теорема 3.4). В таблице 6 приведены значения коэффициента корреляции, как для исходной выборки, так и для минимальных членов вариационного ряда. Для расчетов использовались выборки объемом N=100000 наблюдений, коэффициент корреляции рассчитывался по М=200 реализациям.
Результаты обработки испытаний для универсальных вторичных источников питания и конденсаторов показали эффективность разработанных в диссертации параметрических моделей для оценки коэффициента ускорения испытаний. Методы статистического моделирования подтверждают более высокую эффективность параметрических методов при оценивании коэффициента ускорения испытаний по сравнению с непараметрическими методами.
Рассматриваемые в главе 4 модели двумерных распределений позволяют методами статистического моделирования продемонстрировать возможность форсированных испытаний для изделий, представляющих собой систему большого количества последовательно соединенных элементов для достаточно общих условий на совместную плотность отказов комплектующих элементов. 1. Предложены новые параметрические модели совместной плотности наработок до отказа в различных режимах, основанные на билинейном разложении плотности по системе ортогональных многочленов. Разработаны методы оценки параметров для указанных моделей по результатам специальным образом спланированных испытаний, как в непрерывном, так и в дискретном случае. Обоснована возможность их применения для решения других задач теории надежности (методы отбора высоконадежных изделий и др.). 2. С использованием этих методов для ряда конкретных моделей, имеющих широкое распространение на практике, получены аналитические выражения для оценок параметров. Методами статистического моделирования и аналитически показана высокая эффективность разработанных моделей в смысле точности оценки коэффициента ускорения по сравнению с ранее используемыми методами оценки. 3. Получена общая модель анализа двумерных распределений наработок в нормальном и форсированном режимах для сложных систем последовательно соединенных элементов. Методами асимптотического анализа широкого класса двумерных плотностей доказана возможность прогнозирования показателей надежности сложных систем в нормальном режиме по результатам их испытаний в форсированном. Получена гарантированная нижняя оценка для усредненного коэффициента ускорения. 4. Проведена апробация полученных результатов как на экспериментальных данных, так и на и данных, полученных методами статистического моделирования.
Постановка задачи и основные предположения
Теория форсированных испытаний применяется не только для оценки надежности элементной базы, но и для сложных изделий, которые можно рассматривать как последовательно соединенную систему равнонадежных элементов. Например, интегральная микросхема может состоять из сотен транзисторов. Трудно ожидать, что форсированный режим будет одинаково влиять на все элементы системы. В связи с этим возникает вопрос: возможно ли построение форсированных испытаний для изделий, представляющих собой последовательно соединенную систему большого количества элементов?
Положительный ответ на этот вопрос был дан Карташовым Г.Д. В работах [23] и [55] исследовалась возможность построения методов форсированных испытаний последовательных систем с большим количеством комплектующих элементов. При достаточно общих предположениях было исследовано асимптотическое поведение коэффициента корреляции между наработками системы в двух режима, распределение отношения наработок, найдена оценка коэффициента ускорения. Главным недостатком указанных результатов является весьма ограничительное предположение о том, что совместная плотность распределения наработок элементов в двух режимах отлична от нуля в начале координат. Это предположение исключало возможность использования полученных результатов для таких распределений как гамма-распределение или распределение Вейбулла с параметром формы больше единицы. Основная задача данной главы - снять это ограничение.
Сформулируем математическую постановку задачи. Пусть ( , fo ) г- = 1,2,...,77 - последовательность независимых между собой одинаково распределенных случайных векторов с плотностью распределения f(x, у). Обозначим через 4 min ь и bo = min Go - минимальные члены \ 1 П \ i n соответствующих вариационных рядов, а через г - коэффициент корреляции случайных величин , и 0 (чтобы не усложнять обозначений, зависимость величин э,,40 и f от п в обозначениях не отражается). Задача состоит в исследовании асимптотического поведения коэффициента корреляции V , а В / также отношения ур при п - оо. Пусть к - заданное неотрицательное целое число. Следуя работе [23], введем следующие предположения. ТІЇ. Функция f(x,y) = О при всех (х,у) D, где D = {(x,y): ax y fix, х 0} (Рис.3.1) П2. Функция надежности Р(х,у) = Р( ; х, 0(,) у) удовлетворяет свойству Urn xk+2P(x, 0) = lim yk+2P(0, y) = 0. ПЗ. Функция f(x, у) дифференцируема k раз и d f(x,y) (0Q)=0, / = 0,1,..., -1, dkf(x,y),0t0) 0. t У = Рх/ A / D A .7 = axал- = Рис.3.1. Носитель совместной плотности распределения Из предположения 777 следует, что Р(х,У) = { L du L W V V х є 1 poo л/Іа \у lip Щ V W Є 2 гу/а ри /.00 р#и dtt f(u,v)dv+ du f(u,v)dv, Jx Jy Jyla Jau (x,y)eD.
Особый интерес представляет задача оценивания усредненного коэффициента ускорения испытаний 8 - yja/3 . Отметим, что наработки , и 0 одновременно не наблюдаемы, поэтому не наблюдаемым является и их отношение. В работе [23] доказано, что в случае к = О для среднего значения логарифма отношения 0 / % имеет место асимптотическое равенство М(1п(й/)) 1п(). Этот результат позволяет найти оценку для 8 по логарифмам наработок и 0 Найдем оценку снизу (она представляет наибольший интерес в теории форсированных испытаний) для усредненного коэффициента ускорения д в случае к = 1 . Теорема 3.5. В предположениях ПІ —П4 имеет место асимптотическое неравенство \п{д) М In bo \% J Доказательство. Воспользовавшись явным видом распределения Я, (О и опуская подробные выкладки, запишем а2(а + 2 + Р /3{2аР + а + Р) М In Ьо Vb y = іп(0 Я,(0 = ln(/?)- p ft = ln(/?)--ln г г а1р а + р а + р З ар а + Р З ,2 а + /? І а + /? с 4(і + х) Учитывая неравенство S = yjaP —-— и то, что функция ——} положительных значениях х является убывающей, получаем при In Ьо \4 J iln З 54(l + S) д2 + д In (J). Следствие 3.1. Асимптотическая оценка снизу для усредненного коэффициента ускорения имеет вид exp[M(ln(4))-M(ln( ))]. Полученный результат согласуется с результатами, представленными в таблице 2, а именно, с ростом к среднее значение отношения 0/ , которое так же можно использовать в качестве усредненного коэффициента ускорения, возрастает.
Являются существенным обобщением результатов работ [23] и [55], относящихся к исследованию асимптотического поведения распределения отношения наработок и коэффициента корреляции между наработками больших систем последовательно соединенных элементов в двух режимах. Обоснована возможность производить пересчет результатов форсированных испытаний сложных систем в условия нормального режима для широкого класса совместных плотностей отказов элементов системы.
Предварительные испытания блоков аналоговой аппаратуры
В этом эксперименте определялась зависимость пробивного напряжения конденсаторов типа МБГН — 1 от температуры испытаний. Нормальный режим испытаний - 293К , форсированный режим — 363 К . Исходный эксперимент состоял из испытаний 112 конденсаторов, объединенных в 56 пар - в переменном режиме. Испытания пар проводились следующим образом: при температуре 293К на каждую пару подавалось возрастающее со скоростью V0 =0.55в/сек напряжение до наступления пробоя одного из конденсаторов. Оставшийся годным конденсатор снимался с испытаний в режиме є0 и заново подвергался возрастающему с той же скоростью V0 напряжению при температуре 363К до наступления пробоя. Результаты испытаний в переменном режиме приведены в таблице 5.
Предполагается, что пробивные напряжения в двух режимах связаны линейной зависимостью вида U(so) = kU(8 ). Непараметрические методы дали следующую оценку коэффициента ускорения к = 1.21.
Видно, что результаты подсчета коэффициента ускорения практически совпадают, однако полученная модель двумерного нормального распределения позволяет не только оценить коэффициент ускорения, но и найти закон распределения отношения наработок в нормальном и форсированном режимах.
Сравнительный анализ непараметрических и параметрических моделей методом статистического моделирования
Моделировались выборки при испытаниях в переменном режиме: М выборок по N пар в каждой (коэффициент ускорения к=4) с использованием гамма - распределения и нормального распределения в качестве маргинальных распределений, и рассчитывалась оценка коэффициента ускорения двумя способами: используя непараметрические методы из работы [40] и параметрические методы, изложенные в главе 1. Непараметрические методы предполагают минимизацию статистики типа Колмогорова-Смирнова, а параметрические методы основаны на максимизации оценки коэффициента корреляции выбранной модели. На рисунках 4.3-4.6 изображены гистограммы оценок коэффициента ускорения (левая - для непараметрических методов, правая — для параметрических). Здесь Km и Kmp — оценки коэффициента ускорения соответственно для непараметрической и параметрической моделей , Dk и Dkp - их дисперсии, а и Л - параметры формы и масштаба гамма - распределения, а и а2 _ параметры нормального распределения.
В главе 2 (2.3) рассматривалась модель двумерного геометрического распределения, допускающего билинейное разложение по системе ортогональных многочленов. Данный параграф посвящен исследованию условий, при которых возможно такое разложение.
Двумерная плотность распределения вероятностей f(x, у) допускает билинейное разложение по системе ортогональных многочленов, если она представима в виде f( ,y) = Л (х)Л (j-)f 1 + Srt«f ( Ы" (У)) (4.1) где g (x) система ортогональных многочленов с весовой функцией f,(x).
В работах [33],[53] и [57] исследованы свойства билинейных разложений для случаев, когда маргинальные плотности являются плотностями гауссовского распределения, гамма-распределения и распределения Пуассона. В частности, найдены необходимые и достаточные условия для последовательности juk, при которых разложение (4.1) дает двумерную плотность с маргинальными плотностями fx (х) и /2 (у). Эти условия состоят в том, что последовательность /лк является решением проблемы моментов. С точки зрения практических приложений представляет интерес параметрический случай, когда /лк = рк, то есть случай, когда распределение сосредоточено в одной точке.
Задача состоит в построении двумерного распределения Н(х,у) = ( !; х, rj y), где случайные величины , и ту имеют маргинальное распределение F(x) = Р( х) = (г/ х), при этом с вероятностью 1 выполняется неравенство у х () TJ y(J;) (Рис.4.8). Другими словами носитель плотности распределения Н сосредоточен в области D. Функция у = у{х) является возрастающей и удовлетворяет неравенству х у(х). Такие модели двумерных распределений могут быть использованы для статистического моделирования при исследовании асимптотических разложений, исследуемых в главе 3.
Аналогично, можно построить двумерные распределения с различными маргинальными распределениями и носителем, сосредоточенном в угле. Например, можно воспользоваться линейным преобразованием координат.
Следует так же отметить, что описанные выше распределения имеют довольно сложную структуру, что требует привлечения численных методов для их моделирования и расчета параметров (например, коэффициента корреляции).
