Содержание к диссертации
Введение
1 . Методы оценки параметров спектра широкополосных сигналов во временной области 16
1.1. Модели сигналов 17
1.2. Метод моментов в задачах оценки спектральных параметров сигнала 22
1.2.1. Оценка средней частоты сигнала по амплитудному спектру сигнала 22
1.2.2. Оценка спектральных параметров по энергетическому спектру сигнала 23
1.2.3. Точность и помехоустойчивость вычисления средней частоты сигнала методом моментов 24.
1.3 .Методы оценки средней частоты сигнала во временной области 26
1.3.1 .Оценка средней частоты сигнала методом квазичастоты 26
1.4.0ценка средней частоты сигнала с использованием преобразования Гильберта 30
Выводы 34
2. Оценка спектральных параметров сигнала во временной области методом дробного дифференцирования 36
2.1 .Оценка ширины энергетического спектра сигнала 36
2.2. Метод дробного дифференцирования при оценке центра тяжести энергетического спектра сигнала 38
2.2.1.Алгоритм оценки центра тяжести энергетического спектра с вычислением дробной производной сигнала 39
2.3.Математический аппарат дробного дифференцирования 41
2.3.1.Обобщение операторов дифференцирования на нецелые порядки 43
2.3.2.0собенности дробного дифференцирования 44
2.4.Методы вычисления дробных производных электрических сигналов 47
2.4.1.Частотная характеристика дробно-дифференцирующего фильтра 48
2.4.2.Импульсная характеристика дробно-дифференцирующего фильтра 50
Выводы 51
3. Статистические исследования методов определения параметров спектра широкополосного сигнала 53
3.1. Построение алгоритмов дробного дифференцирования при оценке центра тяжести спектра в частотной области 53
3.2. Вычисление дробной производной сигнала на основе дифференцирующих звеньев 54
3.3.Результаты численного моделирования 56
3.4. Построение алгоритмов дробного дифференцирования при оценке центра тяжести спектра во временной области 61
3.4.1 .Оператор дробной производной Римана - Лиувилля 63
3.4.2. Оценка центра тяжести спектра с использованием дробной производной Риммана-Лиувилля 68
3.4.3.Аппроксимация дробной производной Риммана-Лиувилля методом Прони 74
3.5.Построение дробно-дифференцирующего фильтра по импульсной характеристике 80
3.5.1 .Измерение центра тяжести спектра с использованием импульсной характеристики дробно-дифференцирующего фильтра 81
3.5.2. Оценка средней частоты дробно-дифференцирующим фильтром, аппроксимированным по методу Прони 85
Выводы 89
4. Практические задачи оценки спектральных параметров доплеровских сигналов 90
4.1.Оценка амплитуды колебаний вибрирующей поверхности по сигналу лазерного доплеровского виброметра 90
4.1.1 .Сигнал лазерного доплеровского виброметра 93
4.1.2.Оценка амплитуды вибраций методом максимального правдоподобия 95
4.2. Измеритель средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала 98
4.2.1. Дробно-дифференцирующий фильтр 100
4.2.2. Схема возведения в квадрат и нормирующий усилитель 102
4.2.3 .Генератор, управляемый напряжением и схема коррекции частоты 103
4.2.4. Результаты практических измерений 106
Выводы и рекомендации ПО
Заключение 111
Литература
- Оценка средней частоты сигнала по амплитудному спектру сигнала
- Метод дробного дифференцирования при оценке центра тяжести энергетического спектра сигнала
- Вычисление дробной производной сигнала на основе дифференцирующих звеньев
- Измеритель средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала
Введение к работе
Среди задач, связанных с радиотехническими измерениями, одной из наиболее важных является задача оценки таких параметров спектра радиосигналов, как средняя частота и ширина его спектра.
Понятие частоты строго определено только для гармонических колебаний, бесконечно протяженных во времени. При исследовании широкополосных сигналов (здесь и в дальнейшем под "широкополосными" будем подразумевать радиосигналы, ширина спектра которых соизмерима с их центральной частотой) задача определения частоты колебаний представляет собой серьезную проблему. Эта задача осложняется необходимостью оперативного оценивания данных величин на достаточно коротком (по сравнению со всей длительностью процесса) интервале наблюдения [1, 12, 22]. Кроме того, сигналы, встречающиеся на практике, всегда финитны, и в подавляющем большинстве случаев не являются гармоническими. В таких случаях целесообразно оперировать оценкой центральной ("несущей") или "средней" частоты сигнала.
Существует несколько способов определения центральной частоты радиосигналов [2, 3].
Одним из первых методов оценивания частоты колебаний является частотный детектор. Напряжение на выходе частотного детектора отражает закон изменения частоты модулированного входного колебания. Частотный детектор представляет собой сочетание двух основных частей:
1) Избирательной линейной цепи, преобразующей частотную
модуляцию в амплитудную;
2) Амплитудного детектора.
В качестве избирательной линейной цепи может быть использована любая цепь, обладающая неравномерной частотной характеристикой, например, резонансный колебательный контур.
Исходя из схемотехнических особенностей частотного детектора, можно сделать вывод, что недостатком рассмотренной схемы является необходимость настройки контура на частоту, отличную от частоты входного сигнала. Кроме того, колебательный контур имеет ограниченный линейный участок на скате резонансной кривой, вследствие чего такой частотный детектор работает лишь в узком частотном диапазоне.
Представленный метод частотного детектирования сигналов получил широкое распространение. Множество схемных реализаций, например, двухконтурный частотный детектор, дискриминатор с расстроенными контурами и т.д. описаны в литературе [1, 3,4, 21].
В теоретической радиотехнике для определения спектральных параметров, в частности центральной частоты, широко используется подход, где за центральную частоту принимается центр тяжести энергетического спектра сигнала, рассчитанный по методу моментов [2, 3, 28]. Такое определение удобно в теоретических расчетах и практических приложениях. Так, например, в радиолокации значение центра тяжести энергетического спектра доплеровского сигнала определяет скорость движения центра масс объекта. Среднее значение частоты при этом соответствует средней скорости движения [5], что позволяет производить прогноз траектории цели.
В задачах радиолокационных измерений, наиболее интересны задачи, связанные с оценкой скорости движения и распознаванием целей. Эти задачи могут быть решены путем спектрального анализа сигналов и напрямую связаны с оценкой параметров их спектра: средняя
скорость движения определяется средней частотой доплеровского сигнала; по ширине спектра можно судить о характере движения объекта [5]. Такая информация может быть получена при помощи спектрального анализа, что приводит к необходимости использования преобразования Фурье.
Преобразование Фурье применяют при аналитических исследованиях физических процессов [88, 6, 7]. Оно позволяет представить сложный процесс множеством гармонических колебаний с соответствующими амплитудами и фазами при выполнении условия абсолютной интегрируемости сигнала:
Совокупность амплитуд и начальных фаз, привязанных к некоторому началу отсчета, называют спектром сигнала iS(co).
Периодический сигнал x(t)=x(t + mT), где Т - период сигнала, (т = 1,2,3,...) может быть разложен в ряд Фурье по гармоническим колебаниям с кратными частотами
x(t)= CkeJknt ; Q = основная частота сигнала.
% к Т
Совокупность коэффициентов разложения )Ckj представляет собой так называемый "дискретный" спектр сигнала x(t). Эти коэффициенты вычисляются как проекции сигнала на базисные функции |еуШ/), определяемые скалярным произведением:
В случае одиночных сигналов, сигнал x(t) и его непрерывный спектр (со) связаны друг с другом прямым и обратным преобразованиями Фурье [1,8].
x(t)=-L Je»'
^71 -00 -00
= f-'{fW0J}.
Внутренний интеграл - комплекснозначную функцию S((u) — называют "спектральной плотностью амплитуды" [1] или просто "спектром".
Спектральный анализ включает в себя различные средства обработки сигналов. В процессе развития методов цифровой обработки разработано множество алгоритмов анализа цифровых сигналов в скользящем режиме наблюдения ограниченных выборок на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ) (Кули-Тьюки, Рейдера, Макклелана, Дэвиса, Тома-Кука и др.), хорошо описанных в монографиях и многих публикациях [2, 9, 10].
Впервые предложение об использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) было сделано Г. Стоксом в 1879 г. [10]. Развитие теории ДПФ связано с именами Н.Винера, А.Н.Колмогорова, Грамера, Ф.К. Бартлетта, Д.У. Тьюки и др. Важное место в теории цифровой фильтрации занимают труды П.Л.Чебышева, Кайзера, Шаффера [11].
Основы БПФ, как отмечается в литературе[9, 12], впервые были сформулированы Рунге и Кенигом еще в 1924 г. В 1965 г. Дж. Кули и Д.У. Тьюки развили БПФ до практических методик цифровой обработки сигналов на ЭВМ. Методы вычисления БПФ интенсивно разрабатываются и являются предметом поисков для многих исследователей и в настоящее время [9, 13, 14, 89, 90]. К семидесятым годам XX века выделился ряд других направлений в создании процедур быстрых вычислений коэффициентов Фурье, например связанных с
алгоритмами Винограда [14], однако их использование по сравнению с алгоритмом БПФ менее распространено.
Следует отметить, что алгоритмы ДПФ эффективно применяются главным образом в тех случаях, когда анализ проводится при наличии полной выборки обрабатываемого сигнала, по которой надо предельно быстро вычислить составляющие комплексных коэффициентов или другие спектральные параметры. Поэтому в большинстве случаев ДПФ описывается как "скачущий" алгоритм с шагом наблюдения сигнала равным размеру выборки [12]. Алгоритмы ДПФ теряют в быстродействии по сравнению с рекуррентными способами вычисления комплексных коэффициентов Фурье [12, 14]. Р.Д. Лейтес и В.Н. Соболев [15] впервые описали рекуррентные соотношения для ДПФ, которые составляют основу цифрового динамического спектрального анализа. Известны и другие работы [16, 17], в которых рассмотрены частные рекуррентные формулы для вычисления ДПФ. Методы, основанные на рекуррентных соотношениях, в систематизированном виде и достаточно полно, представлены в работе [12].
При практической реализации алгоритма измерения средней частоты практически всегда присутствует ограничение длины окна наблюдения (при ограничении длительности выборки говорят о применении прямоугольного окна данных).
Прямое усечение окна наблюдения сигнала функцией rect(t/T)
приводит к искажению спектра сигнала. Как известно, в этом случае рассчитанный спектр будет представлять собой свертку истинного спектра сигнала со спектром функции прямоугольного временного окна - sinc(o)7'/2) [1]. Из-за просачивания боковых лепестков функции
sinc[r(co + Q)/2] возникает дополнительная погрешность в спектральных
оценках. Скорость убывания спектра прямоугольного окна порядка 1/со,
поэтому результирующий спектр получается "размытым" по частоте. Точность оценки спектра можно улучшить, если использовать вместо прямоугольного другое окно с большей скоростью убывания спектра. Ниже приведено несколько примеров подобных окон (предполагается, что исходный сигнал задан на интервале наблюдения te[-T/2,T/2]).
Более подробно весовые окна рассмотрены в работе [8].
Треугольное окно - окно Бартлетта: f(t) = 1 - 2| / \/Т.
Окно cos2 — окно Ханна: f(t) = cos2(л bj,)= >$ + 0>5cos(2tc уЛ.
Окно Хемминга - приподнятый косинус: f{t)=0,54 + 0,46cos\2n у Л
Коэффициенты окна Хемминга выбраны из условия равенства нулю 2-ой (максимальной из боковых) гармоники спектра окна.
4) Окно Натолла /(/) = ^ дг cos\2nr уЛ является результатом развития
идеи Хемминга: коэффициенты выбираются из условия равенства нулю
R ближайших боковых лепестков. Например, при R = 3:
а0 =0,3635819 а2 =0,1365995
а, =0,4891775 аА =0,0106411
-І2аі
2І Т t
5) Окно Гаусса: f(t)= ехр
Это окно обладает наибольшей скоростью убывания боковых лепестков при ю-»оо. Коэффициент а обычно выбирается из диапазона [2...3] и позволяет регулировать ширину окна во временной области, и, следовательно, скорость убывания и ширину центрального лепестка спектра.
6) Окно Дольфа - Чебышева (равноволновое), особенностью которого является равенство амплитуд всех боковых лепестков спектра окна, за счет чего достигается наибольшее подавление боковых лепестков при
заданной ширине центрального лепестка, либо минимальная ширина основного лепестка при заданном уровне боковых лепестков. Это окно было сразу разработано для анализа дискретных сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Непрерывный аналог данного окна не найден.
Частотная характеристика фильтра, реализующего весовую функцию Дольфа- Чебышева, описывается соотношением:
Ф)= hTN_x (z0 cos[co/2co J), где ws— частота дискретизации, TN_x{z) — полином Чебышева первого рода (iV-l)-ro порядка, определяемый формулой:
arccos(z)], |z|
0 \N-\ h) Амплитуда основного лепестка равна единице, амплитуды боковых лепестков равны h. Весовые коэффициенты весовой функции Дольфа-Чебышева обычно определяют методом обратного дискретного преобразования Фурье от спектральной характеристики, однако их можно найти и непосредственно [8]:
а{п)=у (-Dk(N-k-2),r
По этой формуле находят коэффициенты а{п) для п от 0 до L, где L = N/2 -1 при четном N и L = (N-\)/2 при нечетном N. Остальные коэффициенты определяются из условия четной симметрии весовой функции. Полученные коэффициенты необходимо нормировать таким образом, чтобы их сумма равнялась единице.
Применение временных окон Бартлетта, Ханна, Наттола, Хемминга и т.д. [8, 18, 19, 20] значительно уменьшает эффект просачивания боковых лепестков в область положительных частот, что, в свою очередь, приводит к увеличению точности оценки. Платой за большую скорость убывания боковых лепестков является расширение центрального лепестка спектра окна, поэтому на практике необходимо выбирать компромисс между скоростью спада боковых лепестков и шириной центрального лепестка. Такая оценка спектральной плотности является асимптотически несмещенной, однако не является состоятельной [8].
Применение методов цифровой обработки сигнала предоставляет широкие возможности при построении средств измерений. При этом достижение новых, высокоэффективных показателей, в том числе по точности, помехоустойчивости, чувствительности и быстродействию измерительных процедур, приводит к усложнению автоматизированных средств измерений [21]. Сложность создания высокоточных средств измерений, удовлетворяющих жестким требованиям к быстродействию оценки параметров спектра широкополосных сигналов и определяет актуальность настоящей работы.
Целью диссертационной работы является анализ методов и разработка алгоритмов для повышения точности и быстродействия оценки средней частоты сигналов во временной области для радиотехнических измерительных систем, а также исследование точности и помехоустойчивости работы таких систем при обработке широкополосных сигналов.
л Основные задачи исследования:
Исследование методов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области.
Разработка новых эффективных алгоритмов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области, допускающих проведение синтеза как аналоговых, так и цифровых измерительных систем.
3. Исследование помехоустойчивости и точности разработанных
методов и алгоритмов.
Основные положения, выносимые на защиту:
Алгоритмическая реализация метода оценки средней частоты спектра широкополосных сигналов путем использования дробного дифференцирования сигнала.
Способы вычисления дробных производных электрических сигналов порядка 1/2.
3. Алгоритмы оценки средней частоты широкополосных
. сигналов во временной области и структуры фильтров, выполняющих
операцию дробного дифференцирования.
4. Результаты численного исследования точностных
характеристик разработанных алгоритмов.
Структура работы.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения , списка литературы (92 наименования) и шести приложений.
В первой главе работы описываются основные методы оценивания спектральных параметров сигналов во временной области. Методом статистического моделирования исследована точность оценки средней частоты сигнала с использованием метода моментов при различных весовых функциях. Проведен анализ метода квазичастоты и метода, основанного на использовании преобразования Гильберта при оценке средней частоты сигналов.
Вторая глава посвящена описанию метода оценки средней частоты сигнала во временной области, использующего аппарат дробного дифференцирования. Представлены частотная и импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования порядка 1/2.
В третьей главе рассматриваются возможности метода оценки средней частоты сигнала с использованием операции дробного дифференцирования порядка 1/2. Приводятся варианты синтеза
фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования. Проводится численное моделирование, анализируются точность и помехоустойчивость алгоритмов оценки средней частоты сигнала.
В четвертой главе рассмотрены оценки средней частоты спектра сигнала в применении к практическим задачам. Описан аналоговый измеритель средней частоты широкополосного сигнала.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.
Некоторые математические выкладки, отдельные пояснения и принципиальные схемы приведены в приложениях.
Оценка средней частоты сигнала по амплитудному спектру сигнала
Спектральная плотность амплитуды, или спектр S((o) сигнала x(t) на интервале наблюдения [0,Г] является Фурье-образом сигнала x(t): S((o)= F[x{t)], используемая некоторыми авторами [27] в качестве весовой функции при вычислении моментов спектра. В литературе [27] описывается метод оценки средней частоты со0 сигнала, как центр тяжести (первый начальный момент) амплитудного спектра на положительной оси частот (со 0)[27]:
Спектральная плотность энергии или энергетический спектр радиосигнала W(a), может быть определен как для детерминированных, так и для случайных процессов конечной длительности [28, 91] W(co)=\s(cof, (1.3)
Спектральная плотность энергии W((U), определяющая энергию (среднюю мощность) процесса в бесконечно малой полосе Дсо в окрестности частоты СО, является одной из фундаментальных характеристик любого реального процесса x(t).
Один из самых простых цифровых методов оценивания частоты сигнала заключается в нахождении максимума энергетического спектра. Такой подход был предложен в работе [29] при измерении частоты сигнала лазерного доплеровского анемометра. В работе показано, что общая погрешность измерения частоты составляет порядка 0,1%.
Общепринятой и наиболее удобной в теоретических расчетах оценкой средней частоты со0 сигнала следует считать центр тяжести (первый начальный момент) его энергетического спектра на положительной оси частот (со 0) [1, 92,26,31]: Jco W((ni)d(i)
Ширина спектра радиосигнала Аса может быть определена через второй центральный момент энергетического спектра W((o):
Для исследования эффективности работы метода моментов было проведено статистическое моделирование алгоритмов оценки средней частоты сигнала с использованием в качестве весовых функций спектра сигнала, возведенного в степень Р:
Результаты моделирования отражены на графике, представленном на рис. 1.1. На графике отражена зависимость оценки средней частоты со0 сигнала методом моментов от степени спектра р и ширины спектра
В качестве исследуемого сигнала использовалась модель амплитудно-модулированного колебания (1.1) с заданной несущей частотой 5000 Гц. Интервал наблюдения сигнала составлял [0, 0.2с]. Количество отсчетов сигнала 2048 шт. Узлы сетки графика расположены с шагом 250 Гц по ширине спектра и 0,1 по степени Р.
Из графика видно, что ошибка менее 1% достигается при 3 более 1,5. Кроме того погрешность измерения становится более 1% для любой степени р при расширении спектра Дсо сигнала более, чем 8000 Гц.
Среди всего разнообразия способов оценки центральной частоты и ширины спектра сигнала выделяются способы измерения, производящие обработку исследуемого сигнала в процессе его поступления. Существует достаточно большое количество способов измерения спектральных параметров радиосигнала, отличающихся друг от друга погрешностями измерений, быстродействием, помехоустойчивостью, однако все они базируются на относительно небольшом количестве методов обработки исследуемого процесса [21].
Измерение средней частоты со0 не вызывает трудностей в случае узкополосного сигнала. С этой задачей хорошо справляется электронно 27 счетный частотомер, в котором для измерения частоты используется метод счета числа положительных переходов сигнала через нулевой уровень за единицу времени (квазичастота) [33]. Метод квазичастоты является одним из самых распространенных методов определения средней частоты сигнала. При этом показано [24], что среднее "число нулей" в единицу времени совпадает со средней квадратической частотой спектра узкополосного сигнала. При нормальном законе распределения мгновенных значений сигнала квазичастота со0 стационарного случайного процесса с нулевым средним определяется выражением [33]:
Эта оценка соответствует второму начальному моменту спектральной плотности W((U) И, следовательно, завышена в сравнении с центром тяжести спектра со0 (1.4), причем разница тем больше, чем шире спектр Асо исследуемого сигнала. Относительная ошибка такой оценки может быть выражена через второй центральный момент Асо энергетического спектра при помощи известного соотношения [30,34]
Метод дробного дифференцирования при оценке центра тяжести энергетического спектра сигнала
Вычисление центра тяжести энергетического спектра сигнала представляет собой отдельную задачу, которая может быть решена непосредственно по алгоритму (1.4). При этом необходимо наличие всех отсчетов исследуемого сигнала для возможности проведения его спектрального анализа, который включает в себя: вычисление энергетического спектра сигнала; вычисление первого момента энергетического спектра сигнала. При наличии N отсчетов сигнала вычисление спектральной плотности амплитуды сигнала посредством быстрого преобразования Фурье потребует выполнить A4og2 N операций умножения и такого же числа сложений. Для вычисления первого начального момента энергетического спектра необходимо произвести дополнительно 2N умножений и 2N сложений. Таким образом, оценка центра тяжести спектра сигнала в частотной области потребует 2N + N\og2N операций умножения и подобного же числа сложений.
Средняя частота сигнала может определяться по мере поступления сигнала при использовании алгоритма работы электронно-счетного частотомера. Однако, погрешность такой оценки будет мала лишь для узкополосных сигналов. Проблема возникает при расширении спектра. В радиолокации к расширению спектра доплеровского сигнала, по которому определяется скорость цели, приводит конструктивная сложность и высокая подвижность исследуемого объекта, наличие движущихся частей (лопатки турбин и др.) [34, 36, 37].
Алгоритм оценки центра тяжести энергетического спектра с вычислением дробной производной сигнала
В целях сокращения времени обработки сигнала при вычислении центра тяжести спектра на основе выражения (1.4) можно получить быстрый алгоритм вычисления первого момента спектральной плотности энергии сигнала во временной области путем использования свойств преобразования Фурье.
Вычисление знаменателя выражения (1.4) во временной области не представляет сложности, поскольку:
Последнее соотношение представляет собой квадрат спектра сигнала на выходе фильтра с частотной характеристикой &(усо)= J— [38]. Используя свойства преобразования Фурье можно определить функциональную зависимость, образом которой в частотной области будет /yco5((o). По аналогии су со(сс ) -» ) (/), запишем (j oY2S( o) D 2x(tX гУг (Л d 2x(t) . где D/lx(t)= А-1 -дробная производная порядка 1/2.
Исходя из последнего соотношения, можно утверждать, что подинтегральное выражение числителя в (1.4) является квадратом дробной производной сигнала x(t) порядка 1/2 и согласно равенству Парсеваля соответствует энергии дробной производной сигнала порядка 1/2 [36,37,38]: Выражение (2.3) позволяет перенести вычисление центра тяжести спектра из частотной области во временную [38, 39] и оценить среднюю частоту сигнала на интервале наблюдения / є [0,Г]:
Данный алгоритм оценки может быть реализован численно на ЭВМ, или аналоговым способом. Блок-схема алгоритма оценки центра тяжести энергетического спектра широкополосных сигналов представлена на рис.2.1 и включает в себя два канала, один из которых производит интегрирование возведенных в квадрат значений отсчетов сигнала, а другой интегрирует квадраты значений отсчетов дробной производной сигнала, полученных после прохождения сигналом фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования с частотной характеристикой k{j(o)=sJja)= (o-e2 . Далее формируется отношение сигналов, полученных на выходе этих каналов, представляющее оценку центра тяжести спектра исследуемого колебания.
Обработка данных, основанная на соотношении (2.4), позволит получить точное значение скорости цели по критерию (1.4) в темпе поступления информации от доплеровской РЛС [34].
Вычисление дробной производной сигнала на основе дифференцирующих звеньев
В соответствии с методикой, изложенной в п.2.4.2, по схеме (3.3) был рассчитан комплексный фильтр 5-го порядка с коэффициентами:
Результаты статистического моделирования оценки средней частоты с помощью такого фильтра представлены на рис.3.2-3.4.
На рис.3.2 представлена относительная ошибка определения центра тяжести спектра сигнала. В качестве исследуемого сигнала использовалось модель амплитудно-модулированного колебания (1.1) с заданной частотой. По осям отложены средняя частота сигнала fo и относительная ошибка оценки bf/f0 . Из рисунка видно, что в интервале частот 10-И00кГц относительная ошибка вычисления средней частоты сигнала не превышает 10%.
Зависимость погрешности оценки средней частоты от ширины спектра сигнала с использованием рассчитанного фильтра представлена на рис.3.3. В качестве модели сигнала x(t) использовалась модель амплитудно-модулированного колебания (Ы). На рисунке представлены заданная средняя частота исследуемого сигнала f0 и определенное фильтром значение центра тяжести спектра. При средней частоте fo=50 кГц заметное отклонение оценочного значения от истинного наблюдается при ширине спектра сигнала более 60 кГц.
Результаты исследования помехоустойчивости оценки средней частоты методом дробнно-дифференцирующего фильтра представлены на рис.3.4. На рисунке приведена зависимость относительной погрешности определения центра тяжести спектра от отношения шум/сигнал на входе фильтра. В качестве модели помехи использовался аддитивный белый гауссов шум. Из рисунка видно, что при отношении сигнал/шум более -10 дБ ошибка оценки средней частоты сигнала составляет не более 5%, а при уровне шума -25 дБ и менее график выходит на машинную ошибку счета, составляющую величину порядка -27 дБ, связанную с разностной схемой расчета производных сигнала.
Дробное дифференцирование сигнала порядка 1/2 определяется как дробная производная Римана - Лиувилля (2.14). Для обработки сигнала x(t), наблюдаемого на временном интервале /є[0, Г], это соотношение имеет вид: оЯ4і) И іЩг. (3.5)
Это соотношение позволяет построить фильтр, производящий операцию дробного дифференцирования. Следует заметить, что подынтегральное выражение, зависящее от разности аргументов (t — t ) можно рассматривать как интеграл Дюамеля, т.е. как свертку сигнала x(t) с импульсной характеристикой h(t) = —j=c(t), где c(t) - функция
Хевисайда. Выражение (3.5) позволяет непосредственно получить структурную схему алгоритма, которая изображена на рис.3.5. Представленная структура, реализующая вычисление производной Римана - Лиувилля порядка V , состоит из последовательно (d\ включенных дифференцирующего звена — и фильтра с импульсной Свертка с такой л/л импульсной характеристикой может быть реализована в виде трансверсального фильтра, представленного на рис.3.6, включающего в себя элементы задержки At, отсчеты {a,}, / = 0,1,...,п импульсной характеристики и сумматор. Такой цифровой фильтр требует для своей реализации значительного количества хранимых отсчетов импульсной характеристики (порядка 100), что загромождает структуру, а также увеличивает время отклика фильтра, и, следовательно, время, требуемое для получения результата.
Реализация алгоритма вычисления свертки сигнала x(t) с ! импульсной характеристикой h{t) = —j=u(t) возможна по рекурсивной V7I/ схеме. Импульсная характеристика h{kAt) (где к = 0,1,2.. .N -номер отсчета импульсной характеристики, а А/ - шаг дискретизации) с использованием метода Прони (Приложение 4) может быть аппроксимирована суперпозицией экспонент с набором параметров {ат;Хт},гд,е т = 0,1, 2...М, в виде м h{kAt) = а0Ьк +{\-bk )2 „/mM , где к = 0,1,2...//, т=\ . где Ък - символ Кронекера.
Это выражение позволяет синтезировать цифровой фильтр, который реализуется суммой рекурсивных фильтров первого порядка и строится по схеме, изображенной на рис.3.7. Такое разложение дает рекурсивную структуру [18] фильтра и позволяет существенно сократить его порядок М.
Структура цифрового фильтра, реализующего импульсную характеристику Н(Ш), которая с использованием метода Прони может быть аппроксимирована суперпозицией экспонент представлена на рис.3.7 и содержит М рекурсивных ветвей. При этом условие нормировки и физической реализуемости импульсной характеристики позволяет считывать коэффициент а0 в зависимости от остальных:
Реализация импульсной характеристики h(t) = —i=a(t) суммой рекурсивных фильтров первого порядка требует значительно меньше хранимых коэффициентов (порядка 10), что существенно уменьшает количество операций, и, следовательно, увеличивает скорость обработки сигнала.
Измеритель средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала
Математическое моделирование алгоритма оценки центра тяжести спектра, основанного на использовании импульсной характеристики дробно-дифференцирующего фильтра отражено на рис.3.20 - 3.23. Такой алгоритм имеет реализацию в виде трансверсального фильтра (рис.3.6), обрабатывающего сигнал в темпе его поступления. В качестве исследуемого сигнала x(t) использовалась модель амплитудно— модулированного колебания (1.1).
Зависимости оценки средней частоты /0 от ширины спектра сигнала Af для фильтров порядка М=20, 40, 60, 80 приведены на рис.3.20, где представлены заданная средняя частота исследуемого сигнала /0 и определенное значение центра тяжести спектра, посчитанное методом, основанным на использовании импульсной характеристики дробно-дифференцирующего фильтра, построенного по трансверсальной схеме. Из графика видно, что при средней частоте 5 кГц отклонение оценочного значения от истинного составляет 1% и увеличивается до 2% при увеличении ширины спектра сигнала до 8 кГц.
Проведен анализ помехоустойчивости оценки средней частоты. На рисунке 2.21 приведены зависимости относительной погрешности определения центра тяжести спектра от отношения шум/сигнал для фильтров порядка М = 20, 40, 60, 80. В качестве модели помехи использовался аддитивный белый гауссов шум. При отношении шум/сигнал менее -10 дБ ошибка оценки средней частоты сигнала составляет не более -10 дБ а при уровне шума -35 дБ и менее график выходит на ошибку, составляющую величину порядка -40 дБ.
Проведено статистическое моделирование описанного метода для широкополосного сигнала, полученного из белого гауссового шума путем фильтрации узкополосным фильтром. Центр тяжести спектра этого сигнала /0=5,06 кГц, а ширина его спектра ДГ=1,51 кГц.
На рис.3.22 представлены зависимости оценки средней частоты /0 от ширины спектра сигнала А/ для фильтров порядка М= 20, 40, 60, 80. На рисунке представлены средняя частота сигнала f0, вычисленная как среднее значение энергетического спектра сигнала, оценка средней частоты сигнала /0 и модуль абсолютного отклонения оценочного значения /0 от средней частоты исследуемого сигнала, вычисленного через его спектр /0 .При средней частоте 5 кГц отклонение оценочного значения от истинного не превышает 5% при ширине спектра сигнала до 5,5 кГц.
Результаты исследования помехоустойчивости оценки средней частоты представлены на рис.3.23. На рисунке приведены зависимости относительной погрешности определения центра тяжести спектра от отношения шум/сигнал на входе алгоритма. В качестве модели помехи использовался аддитивный белый гауссов шум. Из рисунка видно, что при отношении шум/сигнал менее -10 дБ ошибка оценки средней частоты сигнала составляет не более -15 дБ а при уровне шума -30 дБ и менее график выходит на ошибку, составляющую величину порядка -40 дБ, связанную с погрешностью численного расчета.
Проведен анализ эффективности вычисления центра тяжести спектра методом, включающим в себя выполняющий операцию дробного дифференцирования рекурсивный фильтр (рис.3.7), построенный по импульсной характеристике, аппроксимированной суперпозицией экспонент, полученных методом Прони.
Зависимости оценки средней частоты f0 от ширины спектра сигнала А/ для фильтров порядка М = 4, 6, 8, 10 представлены на рис.3.24. Исследовался сигнал x(t), в качестве которого использовалась модель амплитудно-модулированного колебания (1.1).
График отражает заданную среднюю частоту исследуемого сигнала f0 и определенное значение центра тяжести спектра. При средней частоте 5 кГц отклонение оценочного значения от истинного составляет 1% и увеличивается до 2% при увеличении ширины спектра сигнала до 8 кГц.
Помехоустойчивость метода оценки средней частоты при обработке амплитудно-модулированного колебания с наложением на него помехи, в качестве которой использовался аддитивный белый гауссов шум отражена на рис.3.25. На рисунке приведена зависимость относительной погрешности определения центра тяжести спектра от отношения шум/сигнал на входе алгоритма. Из рисунка видно, что при отношении шум/сигнал менее -10 дБ ошибка оценки средней частоты сигнала не превышает -10 дБ а при уровне шума -20 дБ и менее график выходит на ошибку, связанную с погрешностью численного расчета
Результаты обработки описанным методом сигнала, полученного из белого гауссового шума путем фильтрации узкополосным фильтром представлены на рис.3.26-3.27. Центр тяжести спектра этого сигнала /0=5,06 кГц, а ширина его спектра f0 =1,51 кГц.
Рис.3.26 отражает зависимость оценки средней частоты f0 от ширины спектра сигнала Af. На рисунке представлены средняя частота сигнала /0, вычисленная как среднее значение энергетического спектра сигнала, оценка средней частоты сигнала /0 , определенная посредством вычисления дробной производной фильтром, построенным по импульсной характеристике, аппроксимированной по методу Прони и модуль абсолютного отклонения оценочного значения /0 от средней частоты /0 исследуемого сигнала, вычисленного через его спектр. При средней частоте исследуемого колебания 5 кГц отклонение оценочного значения от истинного не превышает 5% при ширине спектра сигнала до 5,5кГц.
На рис.3.27 отражены результаты исследования помехоустойчивости оценки средней частоты описанным методом. Приведена зависимость относительной погрешности определения центра тяжести спектра от отношения шум/сигнал на входе алгоритма. Исследовалась модель сигнала с наложенным на него аддитивным белым гауссовым шумом. Из рисунка видно, что при отношении шум/сигнал менее -10 дБ ошибка оценки средней частоты сигнала составляет не более -10 дБ а при уровне шума -30 дБ и менее график выходит на ошибку, составляющую величину порядка -35 дБ.
Похожие диссертации на Анализ временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных доплеровских сигналов
