Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава I. ВОВМУПрННСЕ ДВИЖНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТЯ-ЖЛСГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ МАЛОМ НАКЛОНЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МШЕНТА К ЗКВАТОРЙАЛЬНШ ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ II
1.1. Уравнения движения динамически симметричного
тела II
1.2. Усреднение уравнений движения. Качественный
анализ усредненных уравнений 17
Периодические решения Пуанкаре первого рода ..... 24
Обращение квадратур 29
Либрационное движение динамически вытянутого
"' тела 33
1.6. Либрационное движение динамически сплюснутого
тела 38
Вращательное движение тела 40
Интерпретация движения. Расчеты на ЭВМ 43
Глава 2. ВОЗМУірННСЕ ДВИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО
ТШЕЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ОСТРСЙ СОИЗМЕРИМОСТИ
ЧАСТОТ 51
Усреднение уравнений движения по схеме Делоне-Хилла 51
Качественный анализ усредненных уравнений 54
Обращение квадратур усредненных уравнений 58
Вращательное движение тела при острой соизмеримости частот 62
Либрационное движение тела при острой соизмеримости частот 67
Движение при острой соизмеримости частот и периодические решения Пуанкаре 70
Интерпретация движения. Результаты расчетов на
ЭВМ 74
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЁННОГО ШЛЕРША ДВИШШ
ТВЕРДОГО ТЕМ ПРИ СОИЗМЕРИМЫХ ЧАСТОТАХ 81
Уравнения движения тела с трехосным эллипсоидом инерции 81
Усреднение уравнений движения тела при соизмеримости частот нечетного порядка. Анализ усредненных уравнений ,. 85
Решение уравнений движения тела, усредненных с учетом нечетной соизмеримости частот 92
Вращательное движение динамически несимметричного тела 95
Либрационное движение динамически несимметричного тела 98
Исследование движения тела при соизмеримости частот четного порядка 100
3.7. Погрешность метода усреднения по Делоне-Хиллу .. 104
ЗАКЛШЕНИЕ 114
ЛИТЕРАТУРА 116
Введение к работе
Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большой теоретический и практический интерес и ей посвящены многочисленные исследования.
Известно, что без ограничения на начальные данные задача проинтегрирована лишь в трех случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. При дополнительных ограничениях на начальные данные в задаче найдено еще около пятнадцати частных случаев интегрируемости [22].
В.В.Козловым было доказано [29 - Зі], что уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в возмущенном случае Эйлера не имеют дополнительного аналитического интеграла к трем известным (энергии, площадей и тривиального геометрического), необходимого для сведения задачи к квадратурам. Этот результат имеет важное значение. Ранее была доказана теорема Гюссона [9] об отсутствии дополнительного алгебраического интеграла в данной задаче. Но свойство интеграла быть алгебраическим в сильной мере зависит от выбора переменных для исследования.
Если ввести в рассмотрение пространство параметров (отношение главных моментов инерции, координаты центра масс, координаты, определяющие начальное положение тела, начальные угловые скорости), то в этом пространстве параметры, соответствующие проинтегрированным случаям, составляют множество нулевой меры. В реальных объектах эти параметры могут быть реализованы лишь приближенно. В связи с вышеизложенным представляет большой интерес выявление особенностей движения тела с помощью методов теории возмущений при параметрах, близ-
ких к их значениям в случае интегрируемости. Для гамильтоно-вых систем исследование задач, близких к интегрируемым, Пуанкаре называл даже "основной задачей динамики" [40].
Исследования в данной задаче чрезвычайно обширны. Мы кратко остановимся на результатах, полученных в данной задаче с помощью методов теории возмущений.
Значительное количество работ посвящено отысканию периодических решений Пуанкаре первого рода. Так, например, в работах [її, 16, 17, 32] доказывается существование периодических решений уравнений движения динамически стлметричного, или же достаточно близкого к динамически симметричному, тела в однородном поле тяжести при условии, что центр масс расположен достаточно близко к точке закрепления. В работах [18, 21, 25, 2б] для той же задачи поле тяготения выбрано линейным, являющимся первым приближением к центральному ньютоновскому. Использование переменных действие-угол, введенных в динамику твердого тела Ю.А.Садовым [42, 43] на основе интегрируемого случая Эйлера, позволило В.В.Козлову доказать существование периодических движений тяжелого твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции при малом отклонении центра масс от точки закрепления [32]. И.М.Аксененковой [і] переменные действие-угол были определены на основе интегрируемого случая Лагран-жа, что позволило доказать существование периодических движений тела мало отличающегося от волчка Лагранжа [44J. Периодические решения являются наиболее простыми после положений равновесия. Они характеризуются одной базисной частотой и строятся в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра с периодически зависящими от времени коэффициентами. Значение периодических решений Пуанкаре первого рода заключается не только в том, что они открывают возможность изучить один
из классов решений, но также и в том, что они позволяют локально изучить некоторые свойства разбиения фазового пространства, чему в предшествующих работах не уделялось достаточного внимания.
Другим важным результатом, полученным с помощью малого параметра в данной задаче, является доказательство В.В.Козловым отсутствия нового аналитического интеграла [29 - Зі]. При этом были проанализированы причины, препятствующие его появлению, такие как рождение изолированных периодических решений Пуанкаре, расщепление сепаратрис, ветвление решений возмущенных уравнений движения [28, 29, ЗЗ].
Не менее важным пунктом в изучении свойств решений задачи является доказательство В.И.Арнольдом теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона [4, 5, 35]. Условно-периодические функции являются частным случаем почти-периодических и характеризуются конечным набором базисных частот. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, если зафиксировать постоянную площадей, имеются две базисные частоты. В фазовом пространстве невозмущенной задачи движение происходит по инвариантным, в общем случае двумерным, торам. При малом, порядка JLL , возмущении большинство инвариантных торов сохраняется, лишь немного деформируясь. Мера разрушившихся и деформация сохранившихся торов ограничивается сверху величиной порядка \//Г [38].
В диссертации изучается возмущенное движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, когда частоты невозмущенного эйлерова движения связаны соотношением
/7,6),-hп2о)2 = псє І, а = і7г), /п<1+/п&1 *0.
Уравнения движения тела приводятся к стандартной по Боголюбову форме [15] и проводится их усреднение с учетом соизмеримости частот (усреднение по схеме Делоне-Хилла). Получаемые в результате усреднения уравнения интегрируются в квадратурах. Решение усредненных уравнений позволяет выделить основные, эволюционные эффекты в движении тела. При этом важным является вопрос о погрешности метода усреднения. Если обозначить через X(x0,t) , х= (хиX3}.,.tХц) решение исходных уравнений, а через Х(Хо,) - решение усредненных уравнений с такими же начальными условиями, то необходимо иметь оценку нормы НхЩ-Х()И . Согласно теореме Е.А.Гребеникова [23] при усреднении по Делоне-Хиллу дифференциальных уравнений с правыми частями в виде рядов Фурье для медленных переменных 11хШ-ХЩ/1<0(/и) на отрезке времени [0,Jf&] , где уи малый параметр. Если же правые части уравнений - тригонометрические многочлены, то аналогичная оценка справедлива на отрезке [О, JU~fJ'.
С помощью теории периодических решений Пуанкаре и теоремы Колмогорова-Арнольда [4, 5, 35] некоторые результаты о качественных свойствах движения тела, полученные из анализа усредненных уравнений, обоснованы на всем бесконечном интервале времени. Сущность этого заключается в следующем. Так как усредненные зфавнения интегрируемы в квадратурах, то согласно теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемых системах [в] движение в фазовом пространстве происходит по инвариантным торам. Эти инвариантные торы уже учитывают основные особенности решений возмущенных уравнений в случае соизмеримости частот. Если теперь в уравнениях движения принять во внимание те слагаемые, которые были отброшены при усреднении, то из теоремы Пуанкаре об асимтотических поверхностях [41] и теоремы Кол-
могорова-Арнольда [4, 5, 35] следует, что большинство инвариантных торов лишь немного деформируется. Сохранившиеся двумерные инвариантные торы делят трехмерный уровень интеграла энергии на ограниченные области, из которых не может выйти фазовая траектория. В фазовом пространстве невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо движение также происходит по инвариантным торам. Но последние "плохо" учитывают резонансные эффекты. С подобным явлением ранее столкнулись при изучении резонансных задач в небесной механике и поэтому в качестве нулевого приближения стремятся принимать не кеплеровские орбиты, а орбиты, вычисленные из решений усредненных уравнений [23].
В первой главе диссертации изучается возмущенное движение динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда кинетический момент находится достаточно близко к экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Исследование проводится в канонических переменных Андуайе L , Q , Н, , Q, Л и оскулирующих переменных G, &, р , , tf , fi . Изучены два типа движений. Для либрационного движения угол собственного вращения колеблется в ограниченных пределах с амплитудой менее 2Л. Период колебаний имеет большое, порядка JUT* , значение. Для вращательного движения поворот тела относительно оси динамической симметрии происходит монотонно. Проведены численные расчеты на ЭВМ.
Во второй главе диссертации изучаются возмущенные движения динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда частоты невозмущенного эйлерова движения характеризуются соизмеримостью типа 1:1. Резонансные эффекты приводят к тому, что на регулярные прецессии накладываются долгопериодические ко-
лебания амплитуды порядка ju* . Это может приводить, в частности, к временному изменению направления прецессии кинетического момента (годограф кинетического момента имеет самопересечения). Ранее подобные движения кинетического момента были обнаружены В.В.Белецким в задаче о движении спутника [із]. Полученное решение усредненных уравнений позволяет, с соответствующей точностью, провести интерпретацию движения тела, основанную на теоремах Пуансо. Для некоторых начальных значений проведены численные расчеты на ЭВМ.
В третьей главе изучается возмущенное движение твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции. Исследование проводится в переменных действие-угол, введенных Ю.А.Садовым [42, 43] В отличие от динамически симметричного тела здесь имеется бесконечное количество различных типов соизмеримостей частот. Усреднение уравнений движения тела по схеме Делоне-Хилла позволило в окрестности фиксированной соизмеримости частот получить интегрируемую в квадратурах систему уравнений. По решению усредненных уравнений изучены либрационный тип движений тела, когда аномалия Делоне колеблется в ограниченных пределах, вращательный тип движения, когда аномалия Делоне изменяется монотонно, и асимптотические движения. Для либрацион-ного и вращательного движений переменные действия J-i, -2 испытывают, в общем случае, долгопериодические изменения с амплитудой порядка juz . Период изменения стремится к бесконечности, если, изменяя произвольные постоянные интегрирования, устремить решение к асимтотическому. Качественные свойства движения тела, выявленные из решений усредненных уравнений, уточнены с помощью теории периодических решений Пуанкаре первого рода и теоремы Колмогорова-Арнольда. Исходя из реше-
- ю -
ний усредненных уравнений проведена интерпретация движения тела, основанная на теоремах Пуансо. Оценка Е.А.Гребеникова погрешности метода усреднения по Делоне-Хиллу распространена на интервал времени порядка у/. *.
По теме диссертации были сделаны доклады на кафедре "Теоретическая механика" МВТУ" им. Н.Э.Баумана (зав. кафедрой член-корр. Ш. СССР Колесников К.С.), на семинаре по классической динамике в МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители проф. Демин В.Г., доц. Колесников Н.Н., ст.н.с. Татаринов Я.В.), на заседании кафедры "Теоретическая механика" УДР им. П.Лумумбы (зав. кафедрой проф. Галиуллин А.С.).
Основные результаты изложены в работах [18, 19, 24, 47J.
- II -.
