Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Уравнения возмущенного вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе 18
1.1 История проблемы 18
1.2 Постановка задачи. Уравнения Лиувилля в переменных Эйлера 21
1.3 Канонические уравнения вращательного движения в переменных Эйлера 26
1.4 Канонические уравнения вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе 30
1.5 Упрощенные формы уравнений движения в переменных Андуайе 33
1.6 Динамика небесного тела, деформируемого собственным вращением. Невозмущенное чандлеровское (эйлеровское) движение осесимметричной планеты 39
1.7 Чандлеровское невозмущенное движение и его свойства 44
ГЛАВА II. Динамические эффекты во вращении Земли, вызванные годовыми и полугодовыми циклическими и медленными вековыми перераспределениями масс планеты 49
2.1 Исследование динамических эффектов в движении полюса Земли и в вариациях длительности суток, обусловленных годовыми и полугодовыми вариациями перераспределения масс Земли 49
2.1.1 Годовые и полугодовые вариации коэффициентов геопотенциала по современным спутниковым данным 54
2.1.2 Возмущения во вращательном движении вследствие временных циклических вариаций основных коэффициентов геопотенциала J2 и С22 57
2.1.3 Возмущения во вращательном движении планеты вследствие вариаций ее произведений инерции 61
2.1.4 Возмущения во вращательном движении вследствие вариаций компонент вектора кинетического момента относительного движения частиц планеты 65
2.2 Периодические возмущения компонент угловой скорости 68
2.2.1 Вариации проекций угловой скорости вследствие вариаций основных коэффициентов второй гармоники геопотенциала 70
2.2.2 Вариации проекций угловой скорости вследствие вариаций центробежных моментов инерции 71
2.2.3 Вариации проекций угловой скорости вследствие вариаций компонент углового относительного момента 74
2.2.4 Определение вариаций компонент угловой скорости четвертой группы: 75
2.3 Основные динамические эффекты во вращении Земли, вызванные годовыми и полугодовыми вариациями коэффициентов ее
геопотенциала 76
2.4 Вековые эффекты во вращении Земли, вызванные вековой перестройкой геометрии масс планеты 79
2.4.1 Вековой тренд полюса вектора угловой скорости 82
2.4.2 Неприливное ускорение вращения Земли 85
ГЛАВА III. Приближенное решение задачи Лиувилля в переменных действие-угол для задачи Эйлера-Пуансо 86
3.1. Постановка задачи. Переменные Садова 86
3.2. Уравнения движения задачи Лиувилля в переменных действие-угол 89
3.2.1. Формулы для направляющих косинусов и компонент угловой скорости в эллиптических функциях 91
3.2.2. Ряды Фурье для направляющих косинусов по кратным переменных угол 94
3.2.3. Ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов 97
3.3. Возмущения во вращении планеты, вызванные временными вариациями основных коэффициентов второй гармоники геопотенциала 98
ГЛАВА IV. Приливные деформации вращающейся Земли и прогнозирование глобальной составляющей кинетического момента атмосферы 102
4.1 Моделирование приливной неравномерности вращения Земли 104
4.2 Динамические уравнения движения деформируемой Земли относительно центра масс с учетом кинетического момента атмосферы 111
4.3 Моделирование глобальной составляющей кинетического момента атмосферы 114
Заключение 118
Литература 121
- Канонические уравнения вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе
- Возмущения во вращательном движении планеты вследствие вариаций ее произведений инерции
- Ряды Фурье для направляющих косинусов по кратным переменных угол
- Динамические уравнения движения деформируемой Земли относительно центра масс с учетом кинетического момента атмосферы
Введение к работе
Актуальность темы. Разработка теории вращательного движения Земли представляет собой одну из важнейших задач небесной механики и геодинамики. На протяжении многих десятилетий эта проблема сохраняет свою актуальность. Ее значение постоянно возрастает и связано это в первую очередь с возрастающей точностью наблюдений за ориентацией Земли. Наряду с классическими астрометрическими методами бурное развитие получили методы космической геодезии и РСДБ (радиоинтерферометрия со сверхдлинными базами). Постоянно обновляются данные о внутреннем строении Земли, о природных процессах, определяющих изменения геометрии масс планеты и ее относительного кинетического момента. Поэтому возрастают требования, предъявляемые к теориям вращательного движения по точности.
Исследованию движений оси вращения Земли как по отношению к связанной, так и инерциальной системам координат, посвящены работы известных ученых: С. Ньюкома, А. Пуанкаре, Г. Джеффриса, А. Лява, П. Мельхиора, У. Манка и Г. Макдональда, Ф.А. Слудского, М.С. Молоденского и многих других.
Рис. 1. Схематическая модель Земли с изменяемой геометрией масс, вызванной указанными природными процессами.
Создание адекватной данным Международной службы вращения Земли (МСВЗ) математической модели, позволяющей описывать реальные траектории оси вращения (мгновенного положения вектора угловой скорости) в некоторой удобной системе
координат, связанной с Землей, является актуальной и содержательной проблемой теоретической и небесной механики. Она имеет важное значение в различных науках о Земле, как для решения фундаментальных проблем геодезии, геофизики, геодинамики и небесной механики, так и для решения задач пространственно-временного обеспечения функционирования спутниковых систем (в частности отечественной системы ГЛОНАСС), т.е. для решения технических практических задач навигации. Эта прикладная задача связана с фундаментальной проблемой определения параметров вращения Земли, и изучением возмущенного движения и колебаний полюса и с прогнозом его движения, как на длительном, так и на относительно коротком интервале времени.
Не смотря на общепризнанные достижения в построении теории вращательного движения Земли в последние десятилетия некоторые аспекты проблемы остаются до конца не исследованными. Предлагаемая работа направлена на совершенствование теории вращения Земли на основе нового подхода к проблеме, опирающегося на использование специальных форм канонических и неканонических уравнений вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе и в переменных действие-угол для задачи Эйлера - Пуансо.
Цели и задачи диссертации. Основными целями диссертационной работы было построение аналитической теории вращательного движения изолированной планеты и изучение возмущений в движении полюса ее оси вращения, обусловленных вариациями ее геометрии масс и относительного кинетического момента, с приложениями к теории движения полюса Земли.
1. Разработка нового подхода к изучению возмущенного вращательного движения
планеты вследствие изменения ее геометрии масс и кинетического момента относительного
движения ее частиц на основе новых форм уравнений движения в переменных Андуайе и
действие-угол.
2. Поcтроение приближенного аналитического решения задачи о возмущенном
вращательном движении изменяемого тела - возмущений первого порядка для указанных
переменных и для проекций угловой скорости вращения планеты, вызванных слабыми
(малыми) вариациями ее геометрии масс и составляющих кинетического момента
относительного движения частиц планеты. В качестве невозмущенного движения
принимается свободное эйлеровское движение осесимметричной планеты (1 модель) и
свободное эйлеровское движение трехосной планеты (с неравными главными моментами
инерции, 2 модель). В невозмущенных вращательных движениях планеты (ее полюсов)
учитываются упругие свойства планеты и ее деформации, вызванные ее вращением.
Подобные невозмущенные движения условно можно назвать чандлеровско - эйлеровские
движения. Они в частности описывают движения полюса планеты не с эйлеровским периодом (для Земли этот период 305 суток), а с наблюдаемым периодом Чандлера (432 суток).
3. Исследование динамических эффектов во вращательном движении Земли,
вызванных временными вариациями коэффициентов геопотенциала и соответствующими им
перераспределениями масс планеты. В первую очередь исследовать динамическую роль
вековых вариаций, годовых и полугодовых циклических вариаций коэффициентов второй
гармоники геопотенциала. Механическая интерпретация годовых и полугодовых вариаций
полюса оси вращения Земли и ее осевого вращения. Оценить вклад вековых изменений
коэффициентов второй гармоники геопотенциала в наблюдаемые явления векового тренда
полюса оси вращения Земли и неприливного ускорения ее осевого вращения.
4. Численное моделирование колебаний глобальной составляющей кинетического
момента атмосферы на основе данных измерений МСВЗ и метеоданных NCEP / NCAR.
Разработка модели приливной неравномерности вращения Земли с целью построения
прогноза и интерполяции глобальной составляющей кинетического момента атмосферы.
Научная новизна. Впервые приближенное аналитическое решение задачи о вращении изолированного небесного тела (планеты) с циклически - изменяемой геометрией масс, а также изменяемой вековым образом, представлено в переменных Андуайе и действие угол. Получены новые формы уравнений движения задачи Лиувилля в указанных переменных, позволяющие непосредственно использовать данные спутниковой геодезии о циклических и вековых вариациях коэффициентов геопотенциала при изучении вращения Земли. Теория опирается на новые невозмущенные движения: чандлеровско - эйлеровское движение осесимметричного твердого тела (с двумя равными моментами инерции (A 0 = B0 < C0, 1 модель) и движение трехосного твердого тела с неравными главными
моментами инерции (A0
Эйлера - Пуансо (в общем случае трехосного тела, 2 модель). В классических работах по изучению возмущенного движения полюса Земли обычно вместо полодии и указанного конуса принимается полярная ось инерции (при этом в0=0). На основе развиваемого
подхода получены новые формулы для возмущенного движения полюса в переменных Андуайе и в проекциях угловой скорости на главные оси тела. Амплитуды циклических и вековых возмущений зависят от параметров невозмущенного движения, например, от угла в =в0 (в случае модели 1). В частном случае, когда в0 = 0, полученные формулы переходят
в классические возмущения, обычно используемые при изучении вращения изолированной
Земли при циклических и вековых вариациях ее геометрии масс и кинетического момента
относительного движения частиц. Дана механическая интерпретация фундаментальным
явлениям векового тренда полюса оси вращения Земли и неприливного осевого ускорения.
Описаны годовые и полугодовые возмущения в движении полюса и в неравномерном осевом
вращении Земли. Выявлены новые малые эффекты в движении полюса Земли с амплитудами
колебаний на уровне микросекунд дуги, которые обусловлены коничностью
невозмущенного движения вектора угловой скорости (т.е. зависимостью от угла в=в0).
Решение, полученное в переменных действие-угол, обобщает описанные результаты на трехосное тело.
Разработаны модели приливной неравномерности вращения Земли и получены новые графики прогноза и интерполяции глобальной составляющей кинетического момента атмосферы для современных периодов времени, качественно и количественно согласующиеся с данными наблюдений и измерений Международной службы вращения Земли.
Положения, выносимые на защиту.
1. Разработка нового подхода к изучению возмущенного вращательного движения планеты
вследствие изменения ее геометрии масс и кинетического момента относительного движения
ее частиц. Суть этого подхода состоит в том, что в качестве невозмущенного движения
принимается эйлеровское коническое движение осесимметричного тела с произвольным
постоянным углом полураствора в =в0 (1 модель). В классической теории вращения Земли
этот угол обычно принимается равным нулю. В соответствии с данными наблюдний в нашей
теории этот угол принимался равным в0 = 0 "25 . Исследование возмущенного вращательного
движения выполняется на основе уравнений движения в переменных Андуайе.
-
В другой постановке задачи в качестве невозмущенного движения принимается эйлеровское движение трехосного тела, описываемое в эллиптических функциях (2 модель). В обоих случаях получены новые аналитические формулы для возмущений первого порядка, вызванных слабыми (малыми) вариациями геометрии масс и составляющих кинетического момента относительного движения частиц планеты. Для модели 2 исследование возмущенного вращательного движения тела (планеты) выполняется на основе уравнений движения в переменных действие-угол задачи Эйлера - Пуансо.
-
Исследование динамических эффектов во вращательном движении Земли, вызванных временными вариациями ее геометрии масс посредством вековых вариаций, годовых и полугодовых циклических вариаций коэффициентов геопотенциала. Последние вариации
определяются в современных исследованиях в космической геодезии и принимаются известными функциями времени. Дана механическая интерпретация наблюдаемым явлениям во вращении Земли: годовым и полугодовым колебаниям полюса оси вращения и скорости ее осевого вращения, вековому дрейфу полюса оси вращения и неприливному ускорению осевого вращения планеты.
4. Разработка модели приливной неравномерности вращения Земли с целью построения прогноза и интерполяции глобальной составляющей кинетического момента атмосферы.
Достоверность и обоснованность результатов диссертации. Все аналитические результаты диссертации получены на основе хорошо разработанных методов и подходов небесной механики (гамильтонов формализм, метод малого параметра) и подкреплены численными расчетами и сравнением с данными астрометрических наблюдений и результатами других авторов. Обоснованность основных результатов подтверждается публикациями в российских и зарубежных реферируемых журналах, а также представлением их в докладах на всероссийских и международных конференциях.
Практическая значимость. В диссертационной работе на основе нового подхода, опирающегося на использование новых форм уравнений движения в переменных Андуайе и действие-угол, решены важные задачи небесной механики по изучению возмущенных вращательных движений слабодеформируемых небесных тел. Полученные результаты представляют важный интерес для изучения вращательного движения не только Земли, но и других небесных тел (Венеры, некоторых астероидов и др.). Выполненные исследования и полученные результаты непосредственно связаны с фундаментальной астрометрической проблемой вращения Земли вокруг центра масс. Из-за ограниченности объема диссертации в нее не включены вопросы по построению теории прецессии и нутации, также на основе развиваемого подхода, когда в качестве невозмущенного движения принимаются эйлеровские движения осесимметричной планеты (модель 1) и трехосной планеты (модель 2). Эти исследования будут полностью выполнены и завершены в будущих работах. В диссертации мы ограничиваемся рассмотрением изолированной планеты с изменяемой геометрией масс. Изучаемые эффекты в движении полюсов и осевом вращении Земли и в теории ее прецессии и нутации имеют одинаковый порядок малости. И согласно с принципом суперпозиции возмущений первого порядка малости могут быть изучены независимо друг от друга (по отдельности).
Важной проблемой также является исследование неравномерности осевого вращения Земли по данным наблюдений спутниковой системы ГЛОНАСС и Международной службы вращения Земли (МСВЗ), а также прогноз и интерполяция осевой составляющей
кинетического момента атмосферы. Все указанные проблемы весьма важны для решения современных задач астрометрии, навигации, геодинамики и других наук о Земле.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены в докладах на следующих всероссийских и международных конференциях и конгрессах:
-
European Planetary Science Congress (EPSC 2009), Potsdam, Germany;
-
European Geosciences Union General Assembly (EGU 2010), Vienna, Austria;
-
European Planetary Science Congress (EPSC 2010), Rome, Italy;
-
Japan Geoscience Union Meeting 2012, Chiba-city, Japan;
-
Japan Geoscience Union Meeting 2013, Chiba-city, Japan;
-
18th Meeting of the Geodetic Society of Japan, Sendai, Japan, 2012;
-
Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, Россия, 2011;
-
Третий международный симозиум по изучению Солнечной системы, Москва, Россия, 2012
Результаты диссертации были представлены на семинаре по аналитической механике в МАИ (рук. доц. Б.С. Бардин и проф. П. С. Красильников), на научном семинаре на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. проф. В.В. Сазонов). Результаты диссертации были доложены лично диссертантом на научных семинарах в Национальной астрономической обсерватории Японии, Мицузава, Япония, в 2012 и 2013 и в 2012 в г. Токио (Митака).
Результаты диссертационной работы использовались в научно-исследовательском проекте, выполненном при участии автора “Исследование вращательных движений спутников Европа, Титан и Энцелад и их корреляций с природными процессами” (РФФИ № 11-02-00988а).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в числе которых 3 статьи в реферируемых журналах (из списка ВАК), 3 статьи в сборниках статей и трудах конференций, 11 тезисов докладов.
Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертационной работе, получены либо лично автором, либо при непосредственном участии. Автор выполнил большинство аналитических исследований и численных расчетов, участвовал в обработке и интерпретации всех полученных данных.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы из 73 работ. Полный объем работы, включая 10 рисунков и 6 таблиц, содержит 125 страниц.
Канонические уравнения вращательного движения небесного тела с изменяемой геометрией масс в переменных Андуайе
Введем в рассмотрение переменные Андуайе, которые связаны с вектором кинетического момента G (1.2), (1.3) [54]:
Пусть CGXG2G3 - промежуточная система координат, связанная с вектором G. Ось CG3 направлена вдоль вектора G, а ось CGX расположена в плоскости Сху основной системы координат и направлена вдоль линии пересечения плоскостей CGXG2 и Сху в сторону восходящего узла плоскости CGXG2 (рис. .1). Пусть G = G - есть модуль вектора кинетического момента, р и h - углы, однозначно определяющие ориентацию осей системы координат CGXG2G2 по отношению к системе координат Cxyz: р - угол между осью Cz и вектором кинетического момента G, h - угол между положительными направлениями осей координат Сх и CGX (h - долгота восходящего узла промежуточной плоскости CGfi .
Ориентацию осей тела СЕ,г\С, по отношению к промежуточной системе координат CGXG2G2 определим углами Эйлера l,g,0 (рис. 1). Угол нутации в -угол между положительными направлениями осей CG3 и СС, . Угол прецессии g - угол между осью CGj и линией пересечения координатных плоскостей CGjG2 и СЕ,г\ (или угол между положительным направлением оси CGX и направлением на восходящий узел плоскости тела СЕ,г\ на промежуточной плоскости CGjG2). Угол собственного вращения / - угол между указанным направлением на восходящий узел плоскости СЕ,ц и осью СЕ,.
Таким образом, если углы Эйлера Ч/ = /г, 0 = р, Ф = 0 задают ориентацию промежуточной системы координат CGXG2G3 по отношению к основной системе координат, то углы Эйлера Y = g, = 0, Ф = / задают ориентацию координатных осей тела СЕ,г\С, по отношению к промежуточной системе координат CGXG2G3. Единичные орты систем координат Cxyz, ССгС2С3 и СЕ,цС, обозначим, соответственно:
Также введем в рассмотрение единичные векторы ete, tGs и efeG, направленные вдоль линий пересечения координатных плоскостей Сху, СЕ,г\\ Сху, CGXG2 и ССгС2, С г/ (рис. 1.1). Нарис. 1.1 также указаны углы Эйлера Ч , 0, Ф, которые также будут использоваться ниже в тексте.
Определим еще три переменных Андуайе: L, G, Н. L - проекция вектора G на полярную ось тела CQ, Н - проекция вектора G на ось Cz и G - величина вектора G. Очевидно, или Докажем теперь, что преобразование переменных Эйлера (1.30) к переменным Андуайе является каноническим.
Каноничность указанного преобразования вытекает из того факта, что дифференциальные формы, устанавливающие каноничность преобразования и записанные в канонических переменных Эйлера (1.30) и в переменных Андуайе (1.38), равны скалярному произведению вектора кинетического момента G на элементарный вектор-угол поворота dil осей тела CE,r\Q, т.е.
Чтобы доказать это тождество следует дважды вычислить скалярное произведение Gdn, один раз используя переменные Эйлера, а другой -переменные Андуайе,
Доказательство тождества (1.39), (1.40) дается в статье [13] и здесь оно для краткости не приводится.
Для того чтобы записать гамильтониан задачи в новых переменных (1.34), (1.37), (1.38) достаточно в выражение (1.28), (1.29) подставить следующие значения проекций вектора кинетического момента на координатные оси тела:
Теперь получаем канонические уравнения вращательного движения слабо деформируемого тела:
Силовая функция U в (1.43) должна быть представлена как функция канонических переменных (1.38) и времени. Последняя задача обычно решается с помощью известных представлений направляющих косинусов а координатных осей тела СЕ,цС, в основной системе координат Cxyz: ai}($,p,i,g,h).
Эти формулы приведены в ряде учебников и публикаций [21], [28], [29] и др. Приведем также известные формулы для двух наклонностей вектора кинетического момента относительно нормали к плоскости орбиты (или другой базовой плоскости) - угол р и относительно полярной оси инерции тела ОС -угол в :
Коническое движение оси инерции в невозмущенном чандлеровском движении (с периодом 432 сут). Переменные Андуайе и положение вектора кинетического момента вращательного движения.
Упрощенные формы уравнений движения в переменных Андуайе.
Наряду с каноническими уравнениями движения (1.42), (1.43) будем использовать уравнения в переменных в, G, р, /, g, h (см. п. 1.4 ). L = Gcosd, G = G , Н = Gcosp .
Преобразование переменных (1.43), (1.44) хорошо известно и поэтому сразу на основе канонических уравнений получим следующую форму уравнений:
Возмущения во вращательном движении планеты вследствие вариаций ее произведений инерции
Рассмотрим теперь первые слагаемые гамильтониана (2.11), (2.14) пропорциональные вариациям основных коэффициентов геопотенциала и преобразуем их к удобному виду: 2 Л где вариации SJ2n 8C22 определяются формулами (2.14) - (2.17), coN частоты годовых и полугодовых циклических вариаций геометрии масс. В первую очередь рассматриваем годовые и полугодовые вариации, для которых представить гамильтониан - первую часть возмущающего гамильтониана К} в следующем стандартном виде:
Наша задача определить возмущения первого порядка переменных Андуайе /, g и L, а также угла # между вектором кинетического момента изменяемой планеты и ее полярной осью ОС, на основе дифференциальных уравнений в канонических переменных Андуайе с Гамильтонианом (2.21). Переменные характеризуются определенными начальными условиями: / = /0, g = g0 и L = L0.
Возмущения первого порядка для каждой составляющей гамильтониана (2.4) -(2.6) могут быть вычислены по отдельности.
Для этого вычислим частные производные гамильтониана К} при невозмущенных значениях переменных Андуайе (2.12):
l Для записи выражений частных производных используется угол в согласно формулам (1.44). Эти частные производные являются известными функциями времени с тригонометрической структурой относительно невозмущенного значения аргумента / и coNt. Получившиеся в результате функции времени (2.22) - (2.24) подставим в выражения квадратур для возмущений первого порядка, аналогичные общим формулам (2.13):J dl dL2 J J dL 6 J dG Вторая частная производная невозмущенного гамильтониана в (2.25) имеет значение —J- = — -. Наряду с вариацией переменной L будем рассматривать также вариацию угла 9. Они взаимосвязаны соотношением 59 = 8L, поскольку 8L = -Gsin989. Для аналитического представления возмущений первого порядка будем использовать специальные обозначения для амплитуд. Так возмущения первого порядка во вращении планеты, обусловленные вариациями основных коэффициентов геопотенциала J2 и С22 запишутся в следующем окончательном виде: Амплитуды приведенных возмущений определяются компактными формулами: Таким образом, возмущения (2.26) содержат тригонометрические члены с характерными периодами
Полученные формулы содержат невозмущенное значение угла в = в0, определяющее коническое невозмущенное движение вектора кинетического момента в теле планеты. Амплитуды возмущений легко вычисляются по заданным значениям амплитуд вариаций коэффициентов геопотенциала (2.15), (2.17). В формулах для возмущений переменных Андуайе (2.26), (2.27) п{ 0 частота невозмущенного движения полюса, связанная с периодом чандлеровского движения Т{ формулой щ = -2л I Т{. Для угла в примем постоянное значение, рекомендованное и использованное в работе [12]): # = 0"2523 = 070083 104. Это означает, что в теле Земли в невозмущенном движении вектор кинетического момента ее вращательного движения (и вектор угловой скорости ее вращения) описывает круговой конус с углом полураствора в = 0"2523. Период одного оборота составляет период Чандлера Tch = 433.165 сут=1.1859 год. Угловая скорость суточного вращения Земли составляет со0 =7.292115-10"5 1/с=0.230117-104 1/год.
Амплитуды возмущений легко вычисляются по заданным значениям амплитуд вариаций коэффициентов геопотенциала (см. п. 2.1.1). В формулах (2.27) 7 = 0.3306784 - безразмерный полярный момент инерции Земли. При расчетах амплитуд также использовались следующие значения основных параметров задачи. ю0 =0.230117-104 1/год - угловая скорость суточного вращения Земли (начальное значение). Период осевого вращения Земли (1 звездные сутки) Т0 =1/365.26 = 0.00273778 г. щ =-2nlTch =-5.2982 1/год 0 угловая скорость чандлеровского невозмущенного движения по конусу. Соответствующие частоты годовых и полугодовых вариаций геометрии масс Земли равны, соответственно: щ = 2л- 1/год=2л- 1/год = 6.283185 1/год, со2 = 4л 1/год=12.566371 1/год . На основе принятых параметров задачи о вращении Земли были получены амплитуды (и периоды) возмущений переменных Андуайе. Эти значения приведены в таблице 2.1.
Амплитуды L[l)±N вариаций переменной L имеют малые значения порядка 1"-10 10 и в таблице 2.1 не приводятся. Переменные l,g вследствие малости угла в имеют существенно большие амплитуды.
Ряды Фурье для направляющих косинусов по кратным переменных угол
Пусть 0о?7оСо декартовская система координат с осями направленными вдоль главных центральных осей инерции небесного тела в его не деформированном состоянии. Будем пренебрегать малыми эффектами, вызванными смещениями точки О относительно центра масс. Пусть со - вектор угловой скорости вращения системы координат O 0rj0 0 (с компонентами р, q и г в этих осях) по отношению к основной системе координат OXYZ, оси которой имеют фиксированные направления в пространстве. Пусть А0, В0 и С0 - главные моменты инерции тела (в его недеформированном состоянии) относительно осей Ох, Оу и Oz.
Таким образом, базовыми переменными у нас являются канонические переменные Андуайе (см. п. 2.3):
Эти переменные связаны с вектором кинетического момента вращательного движения тела G. Здесь L и Н- проекции вектора G на оси Oz и OZ, введенных систем координат. Пусть переменные р и 9 - углы, которые образует вектор кинетического момента Gc указанными координатными осями Oz и OZ. При этом: L = Gcos9 и # = Gcosp. Геометрический смысл других переменных Андуайе из (3.16) детально описан в первой главе.
Заметим, что формулы преобразования от переменных Андуайе к переменным "действие-угол" позволяют выразить компоненты угловой скорости тела р, q, г и направляющие косинусы его осей Ъц в переменных "действие - угол": It, щ (/ = 1,2,3). Уже отмечалось, что переменные действие угол (для задачи Эйлера - Пуансо) вводились различными авторами. Среди этих работ выделяются статьи [22] и [26]).
Здесь наряду с указанными результатами Садова и Киношита используются результаты по рассматриваемой проблеме из статьи [12]. В этом курсе был получен широкий набор результатов по исследованию невозмущенного эйлеровского движения. Эти результаты включают ряды Фурье в переменных действие-угол для канонических переменных Андуайе, для произведений и квадратов направляющих косинусов тела Ъц (определяющих ориентацию осей тела по отношению к промежуточной системе координат, связанной с вектором кинетического момента вращательного движения), для компонент угловой скорости р, q, г (а также их высших степеней); геометрическая и динамическая интерпретация свойств невозмущенного движения и т.д. Эти результаты составляют основу исследований данной главы.
В невозмущенном движении переменные являются постоянными. Индекс (0) означает начальные значения соответствующих переменных; пх и п2 - частоты задачи Эйлера-Пуансо. Постоянные значения переменных: G = I2, Н = I3, h = p3 в невозмущенном aдвижении характеризуют постоянство вектора кинетического момента G деформируемого тела. Угол р между осью Oz с фиксированным направлением в пространстве и вектором G имеет постоянное значение р = р0:
В (3.25) переменная g и аргумент и определяются формулами (3.4), (3.5).
Формулы (3.25) представляют направляющие косинусы осей тела Ъц как функции переменных срх, q 2 и параметров А, к . С учетом зависимостей (3.1) -(3.8) можно говорить, что эти формулы выражают зависимость направляющих косинусов bi}. от переменных действие-угол: Іі,фі (і = 1,2). Аналогичные представления в эллиптических функциях Якоби были получены для проекций угловой скорости [26], [28]:
Ряды Фурье для направляющих косинусов Ъц по кратным переменных угол. Воспользуемся результатами известных и указанных выше работ [26] и др. и приведем следующие представления рядов Фурье для направляющих косинусов тела и для проекций угловой скорости его вращательного движения на лавные оси инерции. Для направляющих косинусов имеем следующие разложения для направляющих косинусов (в вещественной форме): определяются формулами (3.2) в терминах полных и неполных эллиптических интегралов первого рода. В невозмущенном эйлеровском движении q, а, Я -постоянные; срх, ср2 - линейные функции времени (3.6) - (3.8).
Здесь будем использовать ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов Ъц для построения тригонометрических разложений соответствующих составляющих возмущающего гамильтониана (3.16) - (3.18). Они также должны использоваться при построении аналогичных разложений силовой функции ньютоновского притяжения между Землей и Луной (а также Землей и Солнцем).
Ряды Фурье для произведений и квадратов направляющих косинусов Ъг..были выведены в работах [12]. Они обладают следующей структурой:
Причем все разложения содержат, либо только синусы, или только косинусы указанных в (3.28) аргументов. Коэффициенты рядов (3.28) выражаются через параметры Я и к в терминах полных эллиптических интегралов первого, второго и третьего сортов, а также через гиперболические функции двух аргументов d и а, которые в свою очередь выражаются через полные и неполные эллиптические интегралы первого и второго сортов (3.1) -(3.3).
Динамические уравнения движения деформируемой Земли относительно центра масс с учетом кинетического момента атмосферы
Для получения динамических уравнений Эйлера-Лиувилля выпишем выражение кинетического момента системы относительно центра масс. При этом модель Земли будем представлять состоящей из твердого ядра, мантии и тонкого слоя - атмосферной оболочки. Считается, что реологическая модель мантии описывается линейной теорией вязкоупругости, а процесс деформирования происходит квазистатически. Тогда
Здесь p = p(r ) - плотность Земли, Q - область, занимаемая трехслойной планетой, г - радиус-вектор точек планеты относительно центра масс С, v -скорость точек. Справедливы соотношения: где ю - вектор угловой скорости в связанной с Землей геоцентрической системе координат, и - вектор приливных деформаций точек среды мантии, ис ш - смещение центра масс системы относительно первоначального положения ис, г - радиус-вектор точек относительно положения центра масс деформированной фигуры Земли под действием центробежных сил (для точек твердого ядра u = 0), и - скорости точек среды: если г єПе, то U - скорости точек мантии, если г є Q.a, tt - tte G+ = Xva = v - относительная скорость точек атмосферы (G внешняя граница мантии). Тогда (4.7) запишем в виде интеграла - по твердой Qs, упругой Qe областям и атмосферной оболочке Qa, которая окружает тонким слоем деформируемую поверхность Земли: Заметим, что для точек твердой части имеет место равенство й = 0; а для твердой и упругой частей равенство v = 0. Кроме того, можно считать, что центр масс каждой из частей планеты по отдельности совпадает с положением центра масс всей системы как целого. Это влечет выполнение следующих равенств Через m здесь обозначена масса всей системы. Полагая s = \u\/R3 - малый параметр (R3 - радиус Земли), после несложных вычислений, опуская малые члены порядка є и выше, придем к следующему выражению для кинетического момента системы Введем обозначение которое определяет кинетический момент атмосферы, где h3 - аксиальная компонента кинетического момента зональной циркуляции атмосферы. Следует заметить, что в атмосфере преобладают зональные движения, поэтому h3 существенно превышает величины экваториальных моментов \ и h2 и является доминирующей. В силу квазистатической постановки задачи считается, что динамика тонкого приземного слоя атмосферы полностью обусловлена градиентом приливообразующего геопотенциала, поддерживающего вынужденные совместные колебания структуры (мантия + атмосферная оболочка) как единого целого.
Используя представление (4.12), на основании теоремы об изменении кинетического момента, получаем классические динамические уравнения Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции:
Здесь М учитывает гравитационно-приливные возмущающие моменты от Солнца и Луны; J - тензор инерции "замороженной" фигуры Земли с учетом "экваториального выступа" [31-33]; А , В , С - эффективные главные центральные моменты инерции с учетом деформаций "замороженной" Земли. Считается, что малые вариации тензора инерции 8J могут содержать различные гармонические составляющие, обусловленные регулярными лунно-солнечными приливными возмущениями.
Интерполяция h3 на 2008 г. в сравнении с данными наблюдений NCEP/NCAR Моделирование глобальной составляющей кинетического момента атмосферы. С учетом аксиальной составляющей h3 кинетического момента зональной циркуляции атмосферы уравнение осевого вращения Земли на основании системы (4.6) и анализа данных наблюдений МСВЗ, NCEP/NCAR [73] примет следующий вид: Здесь ка - коэффициент, характеризующий относительное изменение осевого момента инерции атмосферной оболочки (по отношению к изменению осевого момента инерции упругой части) вследствие приливных деформаций планеты. 114 Учитывая выражения l.o.d.(r) (4.6), получим решение уравнения (4.14) для h3: Здесь неизвестные коэффициенты ка, а0, ai0, atj, а., Ду определяются из данных наблюдений и измерений. Выражения (4.6), (4.15) построенных моделей иллюстрируют связь вращательного углового момента Земли за счет ее деформаций и кинетического момента приземного слоя атмосферы, обусловленных зональным приливообразующим геопотенциалом. Как следует из (4.6), (4.15), рост приливных коэффициентов для усредненного по собственному вращению тензора инерции приводит, с одной стороны, к росту глобальной составляющей кинетического момента атмосферы h3 и к уменьшению угловой скорости вращения Земли (т.е. увеличению Ad(x)) с другой. Прогноз слагаемого А2йз на 2009 год в сравнении с поправкой между данными наблюдений и измерений NCEP/NCAR и интерполяцией составляющей А/г3. Численное моделирование (интерполяция/прогноз) колебаний глобальной составляющей кинетического момента атмосферы проводится согласно рассмотренной выше процедуре для резидиума Ad(r). На рис. 4.1 приводится прогноз h3 на 2004 г., построенный с помощью модели (4.15) в сравнении с данными измерений NCEP/NCAR; он качественно отвечает данным наблюдений и измерений. На рис. 4.2, 4.3 в сравнении с данными наблюдений представлены интерполяция h, (рис. 4.2) и прогноз (рис. 4.3) на 2008, 2009 гг., соответственно. Из анализа данных наблюдений следует, что амплитуда слагаемого \fh, из (4.15) в несколько раз превышает амплитуду A2/ . Последним при прогнозировании на достаточно длительные интервалы времени (полгода - год) можно пренебречь. Однако, высокочастотное выражение 2 з может оказаться существенным при прогнозировании кинетического момента атмосферы на короткие интервалы времени и анализе некоторых геофизических процессов планетарного масштаба. На рис. 4.4 приводятся интерполяция составляющей Л2"з на 2008 год и прогноз на 2009 год соответственно (полужирная линия) в сравнении с поправкой между данными наблюдений NCEP/NCAR и проведенной интерполяцией составляющей Л (тонкая линия). Получены динамические уравнения возмущенных вращательных движений деформируемой Земли относительно центра масс в форме Эйлера -Лиувилля с учетом глобальной составляющей кинетического момента атмосферы.
Показано, что рационально построенная модель вариаций скорости осевого вращения Земли дает право с полной определенностью утверждать, что динамика тонкого приземного слоя атмосферы полностью обусловлена градиентом приливообразующего геопотенциала, в котором зональная компонента является доминирующей.
Проведено численное моделирование колебаний глобальной составляющей кинетического момента атмосферы на основе данных измерений МСВЗ и метеоданных NCEP / NCAR. Показано, что разработанная модель приливной неравномерности вращения Земли может быть эффективно использована для построения прогноза и интерполяции глобальной составляющей кинетического момента атмосферы.
