Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бифуркационные диаграммы в задаче о движении тела вращения, ограниченного гладкой поверхностью 16
1.1. Постановка задачи. Уравнения движения 16
1.2. Общие свойства уравнений движения 19
1.3. Качение эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости 23
1.4. Анализ бифуркационных диаграмм 27
1.5. Реакции связей. Физические условия осуществимости качения . 41
Глава 2. Качественный анализ динамики волчка Муштари . 48
2.1. Постановка задачи 48
2.2. Первые интегралы уравнений движения и их склейка 50
2.3. Стационарные движения волчка Муштари 56
2.4. Условия осуществимости качения без проскальзывания 59
Глава 3. Анализ стационарных движений волчка тип-топ . 66
3.1. Постановка задачи 66
3.2. Уравнения движения волчка и их свойства 67
3.3. Анализ динамики волчка 70
3.4. Исследование уравнения прецессионных движений 71
3.5. Бифуркационные диаграммы 73
Заключение 90
Литература
- Качение эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости
- Реакции связей. Физические условия осуществимости качения
- Стационарные движения волчка Муштари
- Исследование уравнения прецессионных движений
Введение к работе
Актуальность работы. Движение тела по шероховатой поверхности — важная задача аналитической механики. В постановке этой задачи главную роль играет выбор модели взаимодействия тела с поверхностью. Сравнение результатов теоретических исследований с наблюдаемыми в реальных системах эффектами позволяет выбирать для описания динамики модель, наиболее точно отражающую поведение рассматриваемой системы. Таким образом, качественное исследование динамики тела при выборе разных моделей взаимодействия представляется весьма актуальным.
Цель диссертационной работы. Диссертация посвящена глобальному качественному анализу динамики тела вращения, катящегося по шероховатой горизонтальной плоскости, как без проскальзывания (него-лономная модель), так и с проскальзыванием (с учетом силы трения скольжения). Исследования базируются на методах Пуанкаре - Четаева и Смейла исследования динамики консервативных систем с симметрией и их модификациях на случай диссипативных систем.
Научная новизна работы. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Впервые для неголоном-ной постановки задачи о качении тела вращения построены бифуркационные диаграммы Пуанкаре - Четаева и Смейла в случае, когда явный вид линейных интегралов неизвестен. Свойства этих диаграмм исследованы аналитически (анализ опирается на свойства системы дифференциальных уравнений, задающих коэффициенты линейных интегралов).
Впервые поставлена и решена задача глобального качественного анализа динамики тела, ограниченного поверхностью, в некоторых точках которого касательная плоскость не определена однозначно (тело с "остри-
ем").
В задаче о движении китайского волчка, или волчка "тип-топ", то есть тела, состоящего из двух шаровых сегментов, соединенных стержнем, найдены все стационарные движении, исследована их устойчивость и ветвление. Результат представлен в виде атласа бифуркационных диаграмм Пуанкаре - Четаева и обобщенных диаграмм Смейла.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы, они базируются на общих теоремах динамики, теории устойчивости и бифуркаций. Результаты, полученные с помощью численных методов, верифицированы аналитически.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН и других научно-исследовательских центрах.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руковод-свом чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В.Карапетяна, 2008 г.
Научная школа-конференция "Мобильные роботы и мехатронные системы" 2003, 2004 г.
Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004 г. - 2008 г.
VIII, IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 2004 г., 2006 г.
Международная научная конференция по механике "Четвертые По-ляховские чтения", г. Санкт-Петербург, 2006 г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в шести печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 88 наименований. Общий объем диссертации — 102 страницы.
Качение эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости
Рассмотрим качение без скольжения тяжелого абсолютно твердого динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости.
Введем неподвижную Oxyz и подвижную как в теле, так и в абсолютном пространстве G rjC, системы координат: точка О принадлежит опорной плоскости Оху, ось Oz с единичным направляющим вектором 7 направлена вертикально вверх. Точка G — центр масс тела, ось GQ направлена по оси симметрии, ось G все время лежит в вертикальной плоскости, а ось Gr\ дополняет их до правой тройки (рис. 1.1). Необходимо заметить, что система координат G?7C не определена, когда ось симметрии GC, вертикальна. Так как тело ограничено поверхностью вращения, то точка касания М тела с плоскостью всегда принадлежит вертикальной плоскости G Q.
Обозначим через в угол между осью симметрии тела и вертикалью (то есть 7 = sinfle + cosfle ), через ІЗ — угол между меридианом MQ тела и какой-либо фиксированной меридианной плоскостью, а через а — угол между горизонтальной касательной MQ меридиана МС, и осью Ох. Положение тела будет вполне определено углами а, /?, в и координатами х и у точки М.
Для тела, ограниченного поверхностью вращения, расстояние GQ от центра тяжести до плоскости Оху зависит только от угла в, то есть GQ = f{0). Щх, у) g Рис. 1.1. Тело вращения, катящееся по плоскости: обозначения Функция /(0) однозначно определяет форму меридианного сечения тела. Можно показать [50], что координаты , ту, С, точки М касания тела и плоскости в системе координат Grj( выражаются через функцию /(0) следующим образом: f = -/(0) sinfl - / (0) cos0, 77 = 0, С = -/(в) cos (9 + / (0) sin0 (1.1) Пусть векторы угловой скорости тела ш и угловой скорости трехгранника Gr)( ft задаются в системе координат G rjC, компонентами р, д, г и $7 , Пч, Г соответственно. Так как направляющий вектор оси симметрии е неподвижен как в теле, так и в системе координат (7т?, то П х е = w х е . Отсюда следует, что Qf = р, $\ = д. Далее, так как плоскость G во всё время движения вертикальна, то проекция П на вектор -у1- — — cos 0е + sin 0е равна нулю. Следовательно, $\sin0 — Of cos0 = 0, а значит J\ = pctg0. Пусть т — масса тела, А\ — его момент инерции относительно осей G и Grj, а A3 — момент инерции относительно оси симметрии. Запишем закон изменения импульса и закон изменения кинетического момента:
Здесь v — скорость центра масс G, д — ускорение свободного падения, R — реакция опорной плоскости, К = {А\р, A\q, Ayr)1- — кинетический момент тела относительно центра масс.
Исключая из этих уравнений компоненты скорости центра масс и компоненты реакции опорной плоскости, получим три дифференциальных уравнения относительно р, д, г (см. [50, 71]) Здесь и — функции угла 0, определяемые равенствами (1.1). Добавив к уравнениям (1.4) кинематическое соотношение q = -dd/dt получим замкнутую систему четырех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени р, q, г, в. После интегрирования этой системы уравнений, зависимость остальных координат а, (3, х, у от времени можно получить квадратурами из следующих кинематических уравнений:
Отметим некоторые общие свойства системы, описывающей качение выпуклого тела по шероховатой плоскости. Первые интегралы. Полученная система уравнений допускает интеграл энергии Н = const. Воспользовавшись теоремой Кёнига и условиями отсутствия скольжения, этот интеграл можно записать в виде Н = -А1Р2+- (Аг + m (Є2 + С2)) 92+-Л3г2+-т (рС - r)2+mgf(e) = const (1.6) Заметим, что исследуемая механическая система представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина, так как кинетическая и потенциальная энергия и коэффициенты уравнений связи (1.5) не зависят от координат х, у. Кроме того [71], уравнения (1.4) допускают два линейных интеграла К\ = — hi = const, K i = &2 = const вида К = Кг К2 Ф 1(в) Р г (1.7) Здесь Ф(0) — фундаментальная матрица следующей системы уравнений (штрих, как и выше, означает производную по в): V г А{в) = А -і d_ = А(0) -A ctg в - А3т( ( + С ) Аъ (А3 + т? + т С) Aimt ( + С ) ГПЄ, (М - Atf) (1.8) А = AiAz + Аіт2 + А3т(2 Эта система уравнений получается из последних двух уравнений системы (1.4): разрешаем их относительно производных dp/dt, dr/dt и переходим от независимой переменной t к переменной в. Докажем, что указанные функции действительно будут первыми интегралами системы. Найдем их полную производную в силу системы (1.4):
Таким образом, det В отличен от нуля на интервале в Є (0, ТТ). При 9 = 0 и в = 7г интегралы К\ и if2 становятся линейно зависимыми c K\-\-d K2 0. На плоскости констант первых интегралов k\,k,2 прямые, соответствующие вырождению линейных интегралов, будем обозначать Ео и Е соответственно.
Циклические координаты, стационарные движения. Координаты а, /3 являются циклическими [37], так как система допускает по ним сдвиг а = а + ао, Р = /3 + /Зо (коэффициенты квадратичной формы кинетической энергии, потенциальная энергия и члены неголономности не зависят от этих координат). Поэтому существуют стационарные движения вида: в = const, а = const, (3 = const
Для исследования стационарных движений тела будем применять теорию Рауса. Согласно этой теории критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения тела. Построим эффективный потенциал — минимум квадратичного по р, q, г интеграла энергии (1.6) на фиксированных уровнях линейных первых интегралов (1.7): д=О,ц)=Ф(0)к
Реакции связей. Физические условия осуществимости качения
Так как на каждом решении этой системы величины к\ и к2 постоянны, то они являются константами независимых линейных интегралов системы (1.16). Далее можно численно построить диаграммы Пуанкаре — Четаева и Смейла с помощью графических алгоритмов пакета символьных вычислений Maple. для Для эллипсоида при Л = 1/5 они изображены на рис. 1.4, при Л = 2 — на рис. 1.5 слева и справа соответственно. Несмотря на то, что явных формул, задающих поверхности указанных диаграмм, нет, их некоторые характерные свойства можно установить аналитически.
Выбор начальных условий. Диаграммы стационарных движений, построенные при выборе разных начальных условий для решений Si, линейной заменой констант линейных интегралов переводятся одна в другую.
Симметрии. Прежде всего заметим (см. выражения (1.19), (1.17)), что левые части уравнений, задающих диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла — суммы форм второй и нулевой степени по т, п, которые в свою очередь представляют собой линейную комбинацию к\, к2. Поэтому диаграммы инвариантны относительно замены
Диаграммы Пуанкаре - Четаева и Смейла для эллипсоида А = 2 т. е. обладают осевой симметрией относительно прямой к\ = О, к2 = 0. Кроме того, поверхность тела симметрична относительно плоскости Gr}: проходящей через центр масс и перпендикулярной оси симметрии. Поэтому система уравнений (1.16), интеграл энергии и эффективный потенциал не изменяются при замене (в, т, q, п) —» {в = 7Г — #, т = т, 4 — —(?)п = —п) Таким образом, фундаментальная матрица системы (1.8)
Сечения диаграммы Пуанкаре—Четаева. Рассмотрим линии уровня диаграммы Пуанкаре — ее сечения плоскостями в = const. Как видно из выражения (1.19), каждое сечение — кривая второго порядка. Найдем ее линейные инварианты, воспользовавшись уравнением (1.19) и тем, что при фиксированном в замена (г, п) — (&i, кч) линейна. Имеем
Следовательно, при Л = 1 (однородный шар) / (в) = 0 и указанные сечения являются парой пересекающихся прямых при любом значении угла 9; при А ф 1 / (#) = 0 только при 9 = 0,7г/2,7Г, то есть сечения являются парой пересекающихся прямых при в = 7г/2 и гиперболами при остальных значениях угла 9 Є (0,7г). При 9 = 0 и 9 = 7Г сечениями диаграммы Пуанкаре - Чета-ева являются пары совпадающих прямых Ео и Т,п. Это связано с линейной зависимостью интегралов К\, К2 в этих точках.
Асимптоты сечений диаграммы Пуанкаре — Четаева. Рассмотрим поведение асимптот указанных гипербол при разных значениях Л. Введем обозначения для асимптот (угол 9 выступает в роли параметра):
Найдем производную по 0 углового коэффициента —т2{9)/т\{9) асимптоты Ті (воспользовавшись тем, что т\(в) и т2{9) — некоторые частные решения системы (1.16) с матрицей А{9) = \\а \\ (см. (1.8)):
Таким образом, получаем, что для любого Л (и вообще говоря, для любого соотношения между осевым и экваториальным моментами инерции) при изменении в угловой коэффициент асимптоты изменяется монотонно, т.е. асимптота вращается вокруг точки ki = 0, к2 = 0 все время в одну сторону (направление вращения зависит от выбора начальных условий для решений Si, S2; пусть для определенности det Т0 0; ось к\ направлена вправо, ось к2 вверх — тогда Ті вращается против часовой стрелки). Проделаем то же для второй асимптоты: что заведомо больше нуля. Итак, направление вращения второй асимптоты Тг при изменении в на интервале (0,7г) не изменяется, причем оно противоположно направлению вращения асимптоты Ті; заметим, что это свойство не зависит от величин А, т, Лі,-Аз.
Расположение гипербол. Рассмотрим теперь положение гипербол относительно этих асимптот. Заметим, что при фиксированном А свободный член f (6)/a в уравнении для гиперболы (1.19) меняет свой знак только при переходе через значение в = тт/2. Поэтому выясним расположение гипербол в окрестности этой точки. Для удобства вычислений будем рассматривать линейно независимые решения Si(0), S2(9) с единичной матрицей значений в в = тт/2, то есть То — Е (это эквивалентно переходу к другой паре линейных первых интегралов, или линейной замене переменных на плоскости ki, &2, константы интегралов, соответствующие такому выбору начальных условий обозначим pi, Р2). Итак, пусть
Стационарные движения волчка Муштари
Как было сказано выше, на систему наложены следующие связи: 2 неин-тегрируемые — горизонтальная составляющая абсолютной скорости точки тела, в данный момент времени совпадающей с точкой М касания тела с плоскостью (скорость скольжения), равна нулю, — и голономная неудержи-вающая — тело в каждый момент времени касается плоскости (заметим, что интегрирование равенства нулю вертикальной составляющей скорости точки контакта приводит к этому условию). В этом пункте будут рассматриваться физические условия осуществимости такого качения.
Будем считать, что между катящимся телом и плоскостью возникает сила сухого трения. Разложим реакцию плоскости R на горизонтальную составляющую F (сила трения) и вертикальную составляющую N = N7 (нормальная реакция):
Здесь 7 — единичный вектор, направленный вертикально вверх (орт оси Oz). Известно, что (см. напр. [50]), если скорость скольжения равна нулю, то сила трения может иметь произвольное направление, при этом величины силы трения и нормальной реакции удовлетворяют условию: F /оАГ, где /о — коэффициент трения скольжения. Нормальная реакция не может быть направлена вертикально вниз (связь неудерживающая), поэтому JV 0. Нормальная реакция. Выразим нормальную реакцию из закона изменения импульса: 77iw = mg + R Здесь w — абсолютное ускорение центра масс тела. Умножим это равенство скалярно на 7- Получим глід = — тпд + N, где ZQ = f{6) — высота центра масс над плоскостью, то есть Z Q = f"{9)в2 + + f {0)9. Заметим [50], что радиус кривизны р меридианного сечения тела в точке касания выражается через функцию f(Q) следующим образом: р = = /(в) + /"(#). Тогда нормальная реакция принимает следующий вид: N = m(g+(p- zG)d2 + f(0)0) (1.25) Заметим, во-первых, что на стационарных движениях (в const) нормальная реакция равна весу тела. Во-вторых, если поверхность тела такова, что при некотором угле наклона в оси симметрии к вертикали кривизна меридианного сечения меньше высоты центра масс над опорной плоскостью, то существуют такие константы Щ, Щ, /г, соответствующие движению, на котором реакция отрицательна. Действительно, выберем константы линейных интегралов к\ = к±, /с2 = Щ, таким образом, чтобы эффективный потенциал Wk{, щ имел экстремум в точке 0 , а величину константы интеграла энергии h зададим больше, чем некоторое положительное число: (Здесь и далее в этом пункте нижний символ « » у функций, зависящих от 9, означает их значение в точке 9 .) Тогда на этом движении в тот момент времени, когда 9 = 9 , угловое ускорение 9 становится равным нулю, и из интеграла энергии и условия (1.26) следует, что ё2 = 4h-Wkhk.J д Тогда получаем, что в этот момент времени N 0. Сила трения. Рассмотрим теперь условие, накладываемое на величину силы трения. Выразим полную реакцию плоскости из закона изменения импульса: R = m(v + ГІ х v — g) а скорость центра масс из условия отсутствия проскальзывания: v = GM х ш. Тогда R = m(GM хи + GM хш + Пх GM х ш - g), Величина силы трения F на стационарном движении равна F = 2 mp{iP fr) (1.27) sin0 Покажем, что существуют стационарные движения, для которых сила трения F превышает физически допустимую величину. Зададимся некоторым углом 9 = 9 . Из уравнения стационарных движений, которое связывает постоянные на стационарном движении значения переменных 9, р, г cos 9 sin 6 выразим компоненту г угловой скорости тела: Верхний индекс означает значение функций при в = в . Подставляя это выражение в (1.27), получим D Отсюда видно, что если при в коэффициент (А С тв — Ai cos6 ) не равен нулю, то, выбирая достаточно большое начальное значение для р, можно сделать F сколь угодно большой. Отметим, что на стационарных движениях эллипсоида вращения при в = согласно формуле 1.27 сила трения F равна 0 (в этом случае С, = 0, и либо р = 0, либо г = 0).
Каждая тройка констант первых интегралов (кг, &2, ) (здесь h — константа интеграла энергии) из области ill J 0,2 над поверхностью, изображенной на рисунке 1.12, задает некоторое движение тела (здесь и далее поверхности построены для Л = 1/5). Для каждой тройки (кг, k2,h) и каждого значения угла отклонения от вертикали можно вычислить величину нормальной и касательной составляющей реакции. В пространстве (кг, А&, h) были построены поверхности — границы областей, в которых для любого угла в из области возможности движения выполнены условия применимости модели. Они оказаны на рисунке 1.13 — для нормальной реакции (назовем эту поверхность Л/") и на рисунке 1.14 — для силы трения (S). Над поверхностями (при больших значениях энергии) модель не применима. Анализ сечений этих поверхностей дает следующее. Во-первых, все эти поверхности симметричны относительно прямой кг = &2 = 0 и плоскости кг + к2 = 0 (это вытекает из того, что интеграл энергии квадратичен по скоростям, а эллипсоид симметричен относительно По
Область движений с непустым интервалом изменения в плоскости Gri) эти свойства аналогичны симметриям диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла, описанных в пункте 1.4). Во-вторых, поверхность Л целиком лежит внутри S, что означает, что нет таких констант интегралов, при которых тело отрывается от плоскости и не проскальзывает. Кроме того, поверхность N не имеет общих точек с поверхностью Л4, и это согласуется с выводом, что на стационарных движениях N = тд Ф 0. В-третьих, S, наоборот, касается Л4, и это согласуется с доказанным выше утверждением о существовании таких стационарных движений, при которых реакция выходит из конуса трения. Приведенная на рисунке 1.14 поверхность S была построена для /о = 0.2. Также была построена аналогичная поверхность для /о = 0.3, однако качественных различий между ними не было.
Исследование уравнения прецессионных движений
Таким образом, эфффективный потенциал У (7, &) в разных частях сферы Пуассона определяется разными формулами: Согласно модифицированной теории Рауса [37], критическим точкам функций /г (ж) : Д; —+ Ш соответствуют стационарные движения волчка, причем точкам минимума — устойчивые, а точкам максимума — неустойчивые движения [39].
Функции /і и /г всегда имеют критические точки гс = 1иж = —1 соответственно, отвечающие равномерным вращениям волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии (при х = 1 волчок опирается о плоскость сегментом сферы большего радиуса, при х = — 1 — ножкой), и, при соответствующих значениях параметра кг (постоянной интеграла Желле), критические точки XQ Є (—1,1), отвечающие прецессионным движениям волчка. Последние определяются из уравнения f[{x) — О, которое можно представить в виде
Характер критических точек ж = ±1, а также количество и характер критических точек XQ Є (—І, І), удовлетворяющих уравнению (3.18), существенно зависят как от параметров волчка а и 6,-, так и от значений параметров pf. (Отметим, что функции (fi(x) определены на интервалах А{ соответственно) Изложим подробно исследование поведения функций (fi(x) в зависимости от параметров (для простоты изложения опустим временно индекс г).
Заметим сначала, что, так как в уравнении (3.18) слева стоит неотрицательная величина, то прецессионные движения существуют лишь на той части интервала [—1, 1], где функция р(х) принимает неотрицательные значения. Уравнение асимптоты функции tp(x) ЄСТЬ JU —— 3 QS — і
Асимптота лежит в полосе Ai х R, если Ь cos а(а — 1) (тогда xas 0 и положительные значения функция р(х) принимает при xas х 1) или если b 1 — а (в этом случае xas 0 и положительные значения функция (р{х) принимает при —1 х xas). Асимптота лежит в полосе А2 хМ, если cos а(а—1) Ъ а— 1 (и ip(x) 0 при xas х —cosа). При этом, если b coso;(a — 1), то на всем интервале Дг функция р(х) принимает отрицательные значения; если b а — 1, то на всем интервале Дг функция р{х) положительна. Исследуем теперь характер монотонности функции р(х). Производная этой функции имеет вид V {Х) = [Ь - (1 - а)х\ Х (319) х [-3(1 - а) V + 66(1 - а)х + {а аЬ2 - ЗЬ2 - а2)] Ясно, что первый сомножитель на интервале (—1, 1) всегда положительный. Рассмотрим поведение второго сомножителя у(х) = — 3(1 — а)2ж2+66(1 — а)х+ + (а — аЪ2 — 362 — а2) на этом интервале. Графиком функции у(х) является парабола, ветки которой направлены вниз, с вершиной в точке xas. Заметим, что y{xas) — а{\ — а — Ъ2), следовательно, для значений параметров а 1 — Ь2 функция у(х) отрицательна на всей числовой оси, следовательно, функция р{х) монотонно убывает.
Далее, пусть xas 1, то есть 1 — 6 а 1. Тогда у(х) 0 на всем интервале (—1, 1), если у{1) 0; имеет один корень ж Є Аі, если у(1) 0 и y(-cosa) 0 (тогда у{х) 0 при х ж и у(х) 0 при х ж ; следовательно, х соответствует минимуму функции р(х))] у(х) 0 на всем интервале Лі, если у{1) 0, y(-cosa) 0. Функции у(1) и y(-cosa) параметров а и Ь имеют вид
Кривые у{1) — 0 и у{— cos а) = 0 проходят через точку а = 1, 6 = 0ив ней имеют общую касательную а = 1. При этом ясно, что кривая у{— cos а) = = 0 в области а 1 — 6 на плоскости (6, а) всегда лежит ниже проходящей в этой области ветки кривой у(1) = 0.
Рассмотрим теперь область параметров 1/2 а 1 — 6: вершина параболы у = у(х) расположена следующим образом: 0 xas 1. Функция у(х) меняет знак в некоторой точке Є (— cosa;,:cas), если y(-cosa) 0. (Действительно, в указанной области параметров всегда y(xas) = а(1—а—Ь2) 0.) В этом случае у(х) возрастает на (—cosa,a;as), и точка ж является точкой минимума функции р(х). Для завершения анализа поведения функции (р(х) осталось сравнить значения этой функции в точках х = 1 и х — — cos а в той области, где она положительна на всем интервале Ai и имеет точку минимума ж , то есть в области, ограниченной неравенствами у{1) 0, у{— cos а) 0, а 1 — Ь. Таким образом, указанная область разделена кривой (1-6)4 _ [a sin2 а + (cos а + б)2]2 а — (1 — Ь) Ь + (1 — a) cos а = ip(— cos а) на области с) { р(1) р{— cos а)) и d) ( р{1) ip(—cosa)) (рис. 3.2). В следующей части для каждой из выделенных здесь областей параметров волчка а, Ь\, &2 построены обобщенные бифуркационные диаграммы Пуанкаре - Четаева и Смейла и дано их качественное описание.
Рассмотрим бифуркационные диаграммы Пуанкаре - Четаева и Смейла для двусферического волчка. На диаграммах Пуанкаре - Четаева в зависимости от величин интегралов Желле kf построены кривые прецессионных движений х = (7, е) = const, задаваемых уравнением (3.18) (они обозначены символами Гі и Гг), а также прямые равномерных вращений Г+ = {х = 1} и Г_ = {х = — 1}. Полужирными линиями обозначены устойчивые движения. (Заметим, что на диаграммах Пуанкаре - Четаева каждому из интервалов Ai соответствует свое значение константы ki.) На обобщенных диаграммах Смейла (плоскость (/г2, h): h — начальное значение полной механической энергии) равномерным вращениям х = ±1 соответствуют прямые
