Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Системы координат и основные обозначения 13
1.1 Системы координат 13
1.2 Матрицы направляющих косинусов 15
1.3 Основные обозначения 16
Глава ii. Уравнения ротационного движения твердого тела, основанные на использовании s-параметров 18
2.1 Уравнения ротационного движения 19
2.2 Конфигурационное s-пространство твердого тела, невозмущенно вращающегося вокруг неподвижной точки 24
2.3 Конфигурационное s-пространство свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела 32
2.4 Конфигурационное s-пространство свободно вращающегося твердого тела с равными моментами инерции 38
Глава III. Момент лоренцевых сил 41
3.1 Построение модели магнитного поля Земли 43
3.2 Вычисление момента лоренцевых сил 53
Глава IV. Ротационное движение заряженного ИСЗ с равными моментами инерции 56
4.1 Математическая модель ротационного движения 56
4.2 Эволюция момента импульса ИСЗ под действием лоренцевых сил 67
Глава V. Ротационное движение динамически симметричного заряженного ИСЗ 77
5.1 Вычисление момента гравитационных сил 78
5.2 Вычисление момента лоренцевых сил 81
5.3 Уравнения ротационного движения ИСЗ 84
Заключение 94
Литература 96
- Матрицы направляющих косинусов
- Конфигурационное s-пространство твердого тела, невозмущенно вращающегося вокруг неподвижной точки
- Вычисление момента лоренцевых сил
- Эволюция момента импульса ИСЗ под действием лоренцевых сил
Введение к работе
Актуальность темы. Развитие космонавтики поставило перед исследователями вопрос об активной защите космических аппаратов от заряженных частиц солнечного ветра с помощью электромагнитных полей, а также связанный с этим вопрос о влиянии лореицевых сил на вращательное движение заряженного искусственного спутника Земли (ИСЗ) вокруг его центра масс. Радиация, как известно, является одним из основных неблагоприятных факторов космического полета и борьба с ней представляет собой важную проблему, возникающую при обеспечении продолжительного космического полета. Одним из наиболее эффективных способов радиационной защиты космических аппаратов является активная защита с помощью электростатических полей, отклоняющих заряженные частицы. ИСЗ, оснащенный электростатической защитой, подвергается воздействию лореицевых сил со стороны магнитного поля Земли (МПЗ), которые способны оказывать существенное влияние на вращательное движение ИСЗ вокруг его центра масс. Разработка поставленных проблем обнаружила богатое идейное содержание и большое количество малоисследованных вопросов, среди которых выделяется далеко еще не решенный вопрос об адекватной математической модели рассматриваемых явлений. Кроме того, в процессе исследования обнаружилась принципиальная возможность использования момента лореицевых сил для управления вращательным движением заряженного ИСЗ вокруг его центра масс. Указанные обстоятельства ставят проблемы влияния лореицевых сил на вращательное движение заряженного ИСЗ вокруг его центра масс в ряд актуальных задач космодинамики. Цель работы
Аналитическое исследование влияния момента лореицевых сил на эволюцию ротационного движения заряженного ИСЗ, движущегося в магнитном поле Земли по кеплеровой орбите.
Оптимизация моделей магнитного поля Земли для аналитического решения задач о влиянии лореицевых сил на ротационное движение заряженного ИСЗ.
Примените s-параметризации при построении и аналитическом исследовании математической модели ротационного движения заряженного ИСЗ.
Методы исследования. В диссертации применяются приближенные аналитические методы исследования динамических систем, описывающих ротационное движение твердого тела, методы тензорного исчисления и методы математической статистики. Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, представленные к защите:
Впервые на базе новых дифференциальных уравнений ротационного движения твердого тела, записанных с использованием ь-параметров, исследуется задача о влиянии лореицевых сил на ротационное движение заряженного ИСЗ.
Разработан метод усреднения уравнений ротационного движения твердого тела, записанных с использованием s-параметров, по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.
Построена осесимметричная квадрупольная модель магнитного поля Земли, позволяющая получать качественно верные результаты в процессе исследования математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ.
Методом усреднения уравнений обнаружено, что постоянный по модулю вектор момента импульса заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции совершает под действием лореицевых сил коническую прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии и осью, проходящей через центр масс ИСЗ.
Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием одновременно гравитационных и лореицевых сил имеет гораздо более сложный характер, чем коническая прецессия. ГроС НАЦИОНАЛЬНАЯ 1
'библиотека і
С-Петервургу, . .
Установлено, что зависимость угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ, моментов инерции ИСЗ и распределения заряда ИСЗ существенно зависит от используемой модели МПЗ.
Установлено, что качественно верная зависимость угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ и от распределения заряда ИСЗ получается при использовании квадрупольной модели МПЗ или более сложной его мультипольной модели, содержащей четное число мультипольных составляющих МПЗ.
Обнаружено, что главным фактором, определяющим влияние распределения заряда ИСЗ на момент лоренцевых сил, является статический момент заряда первого порядка.
Показано, что при смещении центра заряда ИСЗ относительно его центра масс, составляющем величину порядка нескольких процентов от характерного размера ИСЗ, заряд ИСЗ можно считать точечным зарядом, сосредоточенным в центре заряда ИСЗ, и вычислять момент лоренцевых сил, пользуясь его приближенным выражением, учитывающим только статический момент заряда первого порядка.
Установлено, что абсолютная величина вектора угловой скорости прецессии при достаточно большой величине статического момента заряда первого порядка пропорциональна абсолютной величине статического момента заряда первого порядка, а направление вектора угловой скорости прецессии остается при этом постоянным.
Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием гравитационных и лоренцевых сил происходит медленно по сравнению с вращением ИСЗ вокруг его центра масс, суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, асимптотических методов нелинейной механики, метода качественного анализа фазовых траекторий движения, а также решением ранее исследованных задач методами, применяемыми в диссертации. Практическая ценность
Система уравнений ротационного движения твердого тела, записанная с использованием s-параметров, и метод ее приближенного аналитического исследования, разработанные в диссертации, могут быть успешно применены при исследовании любых задач ротационного движения твердого тела. Осесимметричная квадрупольная модель магнитного поля Земли позволяет строить качественно верные и достаточно простые математические модели вращательного движения заряженного ИСЗ, что может оказаться полезным на начальном этапе проектирования ИСЗ с электростатическими экранами радиационной зашиты, а также в других задачах, связанных с исследованием динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ.
Обнаруженные стационарные точки типа «центр» траекторий апекса момента импульса заряженного ИСЗ на единичной сфере могут использоваться для стабилизации направления угловой скорости ИСЗ.
Зависимость положения указанных выше стационарных точек от распределения заряда ИСЗ позволяет управлять направлением угловой скорости ИСЗ.
Апробация работы и публикации. Результаты исследования докладывались на Вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2000 г.), на Третьих Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2003 г.). По материалам диссертации опубликованы работы [1 - 8].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, введения и заключения, изложена на 99 страницах, включая 53 рисунка, одну таблицу и список литературы, содержащий 58 наименований.
Матрицы направляющих косинусов
Важным частным случаем вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки является случай динамически симметричного твердого тела.
Конфигурационное s-пространство свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела является, как будет показано в этом параграфе, правильным тором, форма и размеры которого определяются значениями кинетической энергии и момента импульса тела.
Траектория решения кинематических уравнений обладает, в общем случае, ква-зиэргодическим свойством. Это позволяет для достаточно широкого класса функций от s-параметров, например для непрерывных и кусочно непрерывных функций, заменить усреднение по траектории невозмущенного движения усреднением по конфигурационному s-пространству.
Квазиэргодическим свойством траектории можно пользоваться при исследовании ротационного движения динамически симметричного твердого тела методами усреднения уравнений. Усреднение при этом производится по конфигурационному s-пространству с использованием соответствующей весовой функции, которая получена в этом параграфе. Пусть А = В ф С . Тогда интеграл энергии (2.2.5) примет вид [Петров, Тихонов 2002а] 71 1 16, 2 2х (Ha-l)a+4aj 4{s\+sl)-w А + С (2.3.1)
Конфигурационное пространство, определяемое соотношением (2.3.1), представляет собой два правильных тора, вложенных один в другой, каждый из которых можно запараметризовать углами а и /3 в виде cos (3 sin (З s\ — ———(1 4- cos0o cos a), s2 = ——7 (1 + cos0o cos a), s3 = ctg0o sin a (2.3.2) sin eQ sin 0o где a Є [—7г;7г], /? Є [0;27г]. В этом легко убедиться, подставив (2.3.2) в (2.3.1). Параметр в0 Є (0;7г/2), определяется соотношением sin2 20о = {2T/L2 - 1/С)/(1/Л - 1/С), (2.3.3) получающимся в результате подстановки (2.3.2) в (2.3.1). Из условия постоянства кинетической энергии тела следует, что параметр в0 постоянен и имеет два различных значения, лежащих в пределах от 0 до 7г/2 и определяющих форму торов (2.3.1).
Для получения кинематических уравнений свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела в параметрах а и /3 воспользуемся кинематическими уравнениями (2.1.14), которые в случае свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела имеют вид 1/Л 0 0 \ /0\ = LB 0 1/Л 0 1 Ат 0 1 (2.3.4) 0 О 1/С/ \1/ После подстановки выражений компонент матриц А и В через -параметры, будем иметь / з2(\з\ - 1) + 4з1ая\з\ (з\ з\+з\\ А +4sis3-s2) {- + --j А + 4{S2S3 + Sl)\A+ - С ) L ( -2(лія3 -si) Хзі + зі-зі-і \ ) + (2.3.5) Подставляя в правую часть уравнений (2.3.5) параметризацию тора (2.3.2), получаем эти уравнения в виде = —-(1 + cos во cos a) sin#o sin o sin a cos /3 / - 2 . a "1 COS 0о . a\ sin2 во X\ COS 0Q cos/3 sin a sin/3 sin2 0Q H\ COS 0o / ту-— cos a \ sin во (2.3.6) где X! = 2sin2 во(А 1 - С 1) + C \ x2 = 2{A 1 cos2 в0 + С 1 sin2 в0) - C \ а постоянные sin2 $o и cos2 во можно выразить через Т, L, А и С на основании (2.3.3). Продифференцировав по времени формулы (2.3.2), подставим іі,іг, з, выраженные через а и /3, в уравнения (2.3.5). Разрешая полученную систему относительно а и /3, получаем дифференциальные уравнения d = ixi 1 + cos 0о cos a 2 sin 0o которые легко интегрируются в виде: (3 = L Х2 2 (2.3.7) a = 2 arctg + cos 0o о 1 — cos tg Lx\ (t +10) P = po + (2.3.8) Из формул (2.3.8) следует, что параметр а изменяется во времени периодически с периодом Та = 47г/(Ххі). Параметр /3 также является Т -периодической функцией времени, поскольку /3 6 [0; 2т] (по определению) и при достижении значения 27г угол /3 скачком переходит к значению 0. При этом Тр = 4тт/(Ья2). Периоды Та и Тд, вообще говоря, несоизмеримы и поэтому траектория изображающей точки вращающегося твердого тела покрывает конфигурационное пространство всюду плотно. Это означает, что усреднение по невозмущенному движению Эйлера-Пуан-со можно, при введении соответствующей весовой функции, заменить усреднением по конфигурационному пространству. Для того, чтобы убедиться в этом, введем новые переменные по закону с і = arctg 1 — COS #0 , OL 1 l + cos0o g2 f (2.3.9) Px = arctg tg-. Решение кинематических уравнений (2.3.7) в переменных (2.3.9) примет вид осі = arctg tg fa = arctg tg "/Зо Lx2 2 + (2.3.10) Траектория (2.3.10) показана на рис. 2.10. Она состоит из отрезков прямых с угловым коэффициентом к = XIJH\, попадающих в квадрат [—7г/2,7г/2] х [—7г/2,7г/2] на плоскости (cti,/?i), который обозначим как Е. Изображающая точка, двигаясь по траектории (2.3.10) и выходя на границу квадрата, "перескакивает" по горизонтали или по вертикали на противоположную границу и продолжает движение по квадрату по новому отрезку прямой.
В случае, когда угловой коэффициент к равен рациональному числу, которое можно представить в виде несократимой дроби к = т/п, траектория изображающей точки замкнута, а решение кинематических уравнений невозмущенного движения Эйлера-Пуансо оказывается периодическим. Траектория изображающей точки в рассматриваемом случае покрывает множество Е так, как показано на рис. 2.11, представляющем траекторию изображающей точки при к = 7/5. Числами на рис. 2.11 отмечены участки траектории, последовательно проходимые изображающей точкой. Очевидно, что чем сложнее рациональное число, представляющее угловой коэффициент к тем больше целые числа типи, следовательно, тем "гуще" траектория изображающей точки покрывает Е. Расстояние между соседними отрезками траектории равно высоте треугольника А ABC, показанного на рис. 2.12, опущенной на его гипотенузу. Эта величина равна
Если угловой коэффициент к — иррациональное число то его можно с любой степенью точности приблизить рациональным числом и чем точнее будет такое приближение тем больше будут числа m и га, тем меньше будет расстояние h. В пределе, при неограниченной точности рационального приближения числа fc, расстояние между соседними участками траектории стремится к нулю. В произвольной є-окрестности произвольной точки множества Е оказывается по меньшей мере один отрезок траектории, так как всегда можно выбрать такое рациональное приближение числа к, что h 2є. Следовательно, траектория изображающей точки покрывает Т, всюду плотно.
Рассмотрим малый прямоугольник а х 6, показанный на рис. 2.12, одна из сторон которого параллельна траектории (2.3.10). Очевидно, что внутрь этого прямоугольника попадает b/h отрезков траектории, суммарная длина которых равна li = ab/h. Полная длина траектории равна I — лу/т2 + га2. Так как изображающая точка движется по траектории равномерно, то относительное время т пребывания изображающей точки в пределах рассматриваемого прямоугольника равно отношению li/l
Конфигурационное s-пространство твердого тела, невозмущенно вращающегося вокруг неподвижной точки
Начнем с простейшего случая ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции. В рассматриваемом случае момент гравитационных сил отсутствует, а влиянием прочих сил пренебрегаем. ИСЗ находится под действием только момента лоренцевых сил.
При рассмотрении задачи будем также предполагать, что момент лоренцевых сил мал настолько, чтобы эволюция вектора момента импульса ИСЗ происходила много медленнее орбитального движения центра масс ИСЗ и суточного вращения Земли. Предположим, что периоды суточного вращения Земли, орбитального движения центра масс ИСЗ и невозмущенного вращательного движения ИСЗ несоизмеримы.
В условиях этих предположений "быстрыми" переменными в уравнениях ротационного движения ИСЗ являются не только s-параметры, но также аргумент широты и и часовой угол у?. При усреднении уравнений ротационного движения по всем "быстрым" переменным можно, воспользовавшись предполагаемой несоизмеримостью периодов изменения этих переменных, усреднить уравнения последовательно по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо, часовому углу ф и аргументу широты и. Все три усреденения можно проделать независимо друг от друга.
Частные случаи, когда не выполнено одно или несколько приведенных выше предположений выходят за рамки настоящей работы.
Математической моделью, описывающей движение ИСЗ в рассматриваемом случае, будет система уравнений в переменных Андуайе, где в качестве "быстрых" переменных вместо углов Эйлера используются s-параметры. Это объединенные в одну систему уравнения (2.1.5) и (2.1.14) второй главы при А = В — С = J. Используя равенство (2.1.11) и предположение, что кроме лоренцевых сил никакие другие силы не влияют на вращательное движение ИСЗ вокруг его центра масс, получаем эту систему уравнений в виде Мл; а — Ls mp (4.1.1) где Млі) Мл2, Млз — проекции момента лоренцевых сил на оси системы координат С L\ L2 Lz- Момент лоренцевых сил М\ вычисляется с использованием выражения (3.2.13) предыдущей главы. В силу высказанных предположений о малости момента лоренцевых сил к системе уравнений (4.1.1) можно применить методы усреднения по "быстрым" переменным. Обращая внимание на три последних уравнения системы (4.1.1), замечаем, что их правые части содержат по два слагаемых, причем первое, вследствие сделанных предположений, много больше второго. Пренебрежем вторым слагаемым и положим, что ИСЗ совершает невозмущенное движение Эйлера-Пуансо относительно системы координат С L\ Li 3 и s-параметры его ориентации подчиняются системе уравнений Ч L Г" h = -f Вз2 h J \Взз /ii\ r /B3i\ (4.1.2) решенной в предыдущей главе. Проще всего это решение выглядит в случае, когда угловая скорость вращения ИСЗ относительно системы координат С L\ L2 L3 коллинеарна оси Cz. Оно имеет вид
Поскольку при равных моментах инерции ориентация главных центральных осей инерции относительно тела произвольна, то в качестве осей системы координат Cxyz можно взять любые три взаимно перпендикулярные, жестко связанные с телом оси, проходящие через его центр масс. При невозмущенном движении Эйлера-Пуансо твердого тела с равными моментами инерции его угловая скорость постоянна относительно его главных центральных осей инерции. Поэтому, при используемом в настоящей главе допущении о характере зависимости s-параметров от времени (4.1.2), можно без ограничения общности считать, что угловая скорость вращения ИСЗ относительно системы координат С L\ L2 3 постоянна и коллинеарна оси Cz и s-параметры зависят от времени по закону (4.1.3). Подставляя s-параметры (4.1.3) в матрицу А, из таб. 2.1 получаем ее в виде /cos( + 40o) -sin( +4G0) 0\ А= sin( + 400) cos( +40o) 0 (4.1.4) V 0 0 1/ Матрицу (4.1.4) используем при усреднении уравнений ротационного движения ИСЗ по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.
Три первых уравнения системы (4.1.1), описывающих поведение "медленных" переменных L, а и р, усредним по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо, орбитальному движению ИСЗ и суточному вращению Земли. Обращаясь к выражению для момента лоренцевых сил, полученному в третьей главе, заметим, что от s-параметров зависят только входящие в выражение для момента лоренцевых сил проекции статических моментов заряда первого и второго порядков на оси системы координат С L\ L i L3 ( № QiV l=AQi" . (4.1.5) \оїї C$=AikAjiQx„ (4.1.6) Где x\ = x, X2 = у, хз = z. Выполняя в (4.1.5) и (4.1.6) усреднение по времени за период Т = 2nL/J, т.е. за один цикл невозмущенного движения Эйлера-Пуан-со, получаем проекции статических моментов заряда на оси системы координат СL\ L2 Lz-, усредненные по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо Q(1))s = I О I , (4.1.7) О О (Q(2))s= 0 KQS + Qj?) О . (4.1.8) О Q 2 Подставляя (4.1.7) и (4.1.8) в выражение для момента лоренцевых сил (3.2.13), получаем момент лоренцевых сил, усредненный по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо (MA)S = (Q(1))s х {{vc -их тс) х Вс) +йах ((Q(2))s Вс). (4.1.9)
Далее, момент лоренцевых сил (4.1.9) усредним по суточному вращению Земли, или, иначе говоря, по часовому углу ф на интервале [0,27г]. В выражении для момента лоренцевых сил (4.1.9) от часового угла зависят компоненты мультипольных тензоров МПЗ в системе координат О Xі Y1 Z1 (4.1.6), (3.1.12), (3.1.19) и (3.1.20). Эти мультипольные тензоры входят в выражения для индукции МПЗ в проекциях на оси орбитальной системы координат (3.1.27) - (3.1.30). Так как матрица направляющих косинусов U не зависит от часового угла, то по часовому углу достаточно усреднить только выражения (3.1.6), (3.1.12), (3.1.19) и (3.1.20).
Вычисление момента лоренцевых сил
Момент гравитационных сил, записанный в виде (5.1), удобен для усреднения тем, что в нем разделены векторные и тензорные величины, зависящие от разных переменных. Так, от s-параметров зависят только компоненты тензора инерции Л в системе координат СL\ Ъг Ьз- От аргумента широты и зависят величина г с и координаты вектора . Так как поле сил тяготения предполагается ньютоновским центральным, то момент сил тяготения не зависит от часового угла ф и нет необходимости усреднять этот момент по суточному вращению Земли. Если ввести в рассмотрение тензор второго ранга Е = з-(С0 8 С), (5.1.1) гс компоненты которого в кениговой системе координат оказываются попарными произведениями координат вектора (в кениговой системе координат, умноженными на величину 3 /rj , то момент гравитационных сил можно представить в виде свертки тензора (5.1.1) и тензора инерции Л с тензором Леви-Чивита Мп = -ЄітпАгпаїїзп- (5.1.2) Обращая внимание на форму выражения момента гравитационных сил (5.1.2), замечаем, что от s-параметров зависит только тензор инерции, а от аргумента широты — тензор Е. Поэтому при усреднении момента гравитационных сил можно по-отдельности усреднить тензор Е по орбитальному движению, а тензор инерции Л — по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо. Выполнив над усредненными тензорами операцию (5.1.2), получим усредненный момент гравитационных сил. Тензор инерции в проекциях на оси системы координат С L\ L2 Lz имеет вид
Используя выражения компонент матрицы А через s-параметры, приведенные в табл. 2.1, получаем (2.3.2) и формулу усреднения (2.3.16) с весовой функцией (2.3.15). компоненты тензора инерции, выраженные через s-параметры. Далее полученные выражения усредним по конфигурационному s-пространству (2.3.1), используя при этом его параметризацию Полученные в результате усреднения по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо компоненты тензора инерции ИСЗ в системе координат С L\ L2 3 имеют вид (Ли), = -(1 + cos2 2в0) + у sin 20 ь А С (Л22), = у(1 + cos2 20о) + у sin2 20о, (Л3з = A sin2 20о + С cos2 2в0, Л12), = Л13), = Л23 . = 0. (5.1.4)
Параметр в0, зависящий от кинетической энергии ИСЗ и его момента импульса, определяется равенством (2.3.3) и оказывается равным половине угла нутации 0, который постоянен при невозмущенном движении Эйлера-Пуансо.
Усредним по орбитальному движению центра масс ИСЗ компоненты тензора Е в кениговой системе координат. Используя проекции вектора на оси кениговой системы координат С = (cos(i/ + o;7r), sm(u + un), 0)т и зависимость радиус-вектора центра масс ИСЗ от истинной аномалии на эллиптической орбите Р гс = г— , 1 + е COS и получаем выражения компонент тензора Е в кениговой системе координат / cos2(i/ + wr) isin2(i/ + wff) 0\ E = 3- -(l + ecosi/)3 і sin 2(i/+ w») cos2(I/+o;7r) 0). (5.1.5) P V 0 0 0/ Компоненты тензора (5.1.5) усредним по углу истинной аномалии, используя формулу усреднения (4.1.25). Полученные средние значения можно считать средними также и по углу аргумента широты, так как истинная аномалия и аргумент широты отличаются друг от друга на постоянный угол аргумента перигея и)п. Усредненные по орбитальному движению компоненты тензора Е в проекциях на оси кениговой системы координат принимают вид ч /1 0 0\ Е)и = 4(1-е2)3/2 0 10. (5.1.6) гр \о о о/
Выполняя над усредненным тензором Е (5.1.6) преобразование координат с матрицей Р, получаем компоненты тензора Е в системе координат С L\ L2 L3, усредненные по орбитальному движению ИСЗ 2р3 (E)u = 4(1"e2)3/2p( 1 О\РТ. (5.1.7) 0 0 Подставляя (5.1.4) и (5.1.7) в (5.1.2), получаем компоненты момента сил тяготения в системе координат С Ь\ L2 Ьз, усредненные по орбитальному движению центра масс ИСЗ и невозмущенному движению Эйлера-Пуансо МпЬ,и=0, (Мгз)в,и=0, (MT2)SiU = l (l-e2)z 2(A-C)(l-lsm22e0)smpcoSp. (5.1.8) Усредненный момент гравитационных сил (5.1.8) используем далее при построении математической модели ротационного движения ИСЗ.
Обратим внимание на то, что усреднение момента гравитационных сил по конфигурационному s-пространству свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела с использованием весовой функции усреднения К, полученной во второй главе, приводит к таким же результатам, как и усреднение по углу Эйлера ф, применяемое в [Белецкий 1965]. Для того, чтобы убедиться в этом построим математическую модель ротационного движения ИСЗ, находящегося под действием только момента гравитационных сил, и усреднив полученные уравнения по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо, получим уравнения, описывающие вековое движение момента импульса ИСЗ.
Момент гравитационных сил, усредненный по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо, получим, используя усредненные компоненты тензора инерции (5.1.4) и тензора Е (5.1.5). Выполняя тензорное умножение (5.1.2), получаем проекции момента гравитационных сил на оси системы координат С L\ L2 L3, усредненные по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо (Мп)3 =3- (l + ecosu)3(A-C)(l - -sin220o)sinpsin(r-i/)cos(CT-j/), р & {МГ2)з = 3- (1 + ecosi/)3(A-C)(l - - sin2 20о) sinpcos p cos2(a - z/), P z (Mr3)s=0. (5.1.9) Подставляя момент (5.1.9) в уравнения (2.1.5), получаем уравнения векового движения вектора момента импульса ИСЗ р =3-г(1 + ecosi/)3— (1 — - sin2 20o)sin/?sin( 7 — u)cos(a — и), рл LQ 2 а =3-г(1 + ecosi/)3— (1 — - sin2 20о) cos/9cos2( r — и), рл L0 2 L=L0. (5.1.10) Преобразуя прозводные по времени к производным по истинной аномалии и вводя обозначение \ — а — v, получаем такие же уравнения, как в [Белецкий 1965] p v =3-=-(1 + е cos v)—- (1- -sin220o)sinpsm(x)cos(x), a v =3- -(1 + ecosi/)— (1 — -sin22#o)cos/?cos2(x), рл LQ 2 L=L0. (5.1.11) 5.2. Вычисление момента лоренцевых сил Момент лоренцевых сил, действующих на заряженный динамически симметричный ИСЗ, определяется тем же самым выражением, что и в главе IV, т.е. в виде МЛ = QW х {(vc -й3х re) х Be) +йах (Q(2) Be) (5.2.1) Усреднение момента лоренцевых сил (5.2.1) проделаем в той же последовательности, как это было сделано в предыдущей главе.
Сначала усредним момент лоренцевых сил по невозмущенному движению Эйле-ра-Пуансо. Здесь, как и в параграфе 5.1, это усреднение производится по конфигурационному s-пространству свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела (2.3.1) с использованием параметризации (2.3.2) и формулы усреднения (2.3.16) с весовой функцией (2.3.15). Обращая внимание на выражение момента лоренцевых сил (5.2.1), замечаем, что от s-параметров зависят только компоненты статического момента заряда первого проядка Q 1) и тензора Т (см. 5.2) в системе координат С L\ L2L3. Компоненты статического момента Q 1 в системе координат С L\ L2 Ьг имеют вид
Эволюция момента импульса ИСЗ под действием лоренцевых сил
Графики на рис. 5.9-5.16 показывают зависимость модуля вектора угловой скорости прецессии от d при различных углах наклонения орбиты ИСЗ и различных моделях МПЗ. Заметим, что величина Г2 пропорциональна d при d 0.01. Оценочное значение угловой скорости прецессии при малых смещениях центра заряда от центра масс ИСЗ, что характерно для ИСЗ, оснащенных электростатическими экранами, составляет Ю-9 - 10 8 с-1.
При существенном смещении центра заряда ИСЗ от его центра масс, дости п 1 1 г гающем величин, сопоставимых с размерами ИСЗ, угловая скорость прецессии будет примерно в сто раз больше и может достичь значений порядка 10_6 с-1. Такого же порядка величины будет угловая скорость прецессии при функционировании запатентованного [Петров, Тихонов 2001] устройства управления моментом лоренцевых сил.
Коэффициент пропорциональности, выражающий зависимость модуля вектора U от параметра d, зависит, как видно на рис. 5.9 - 5.16, от наклонения орбиты и выбранной модели МПЗ. Погрешность этой величины, возникающая при использовании осесимметричнои квадрупольнои модели МПЗ, может достигать ста и более процентов, поэтому при разработке систем управления ротационным движением ИСЗ с помощью управляемого момента лоренцевых сил необходимо использовать возможно более точную модель МПЗ. Осесимметричная квадрупольная модель МПЗ применима только на начальной стадии исследований, при рассмотре ний качественных сторон возникающих явлении.
Как было сказано выше, при отсутствии момента гравитационных сил эволюция вектора момента импульса ИСЗ представляла бы собой коническую прецессию момента импульса ИСЗ с угловой скоростью Q. По этой причине вектор Г2 назван угловой скоростью прецессии. При таком движении точка апекса движется по одной из окружностей семейства концентрических окружностей на единичной сфере, имеющего два полюса в точках пересечения оси прецессии с единичной сферой.
При наличии момента гравитационных сил и отсутствии момента лоренцевых сил траектории апекса на единичной сфере имеют два полюса, расположенные в точках пересечения нормали к плоскости орбиты с единичной сферой.
При совместном действии гравитационных и лоренцевых сил возникает комбинированный фазовый портрет траекторий апекса на единичной сфере.
Так как все параметры, входящие в систему уравненй (5.3.5), не зависят от времени, то эта система уравнений автономна и траектории апекса на единичной сфере неподвижны в кениговой системе координат.
Структуру траекторий апекса момента импульса ИСЗ на единичной сфере можно проследить с помощью первого интеграла системы уравнений (5.3.5), которым, как нетрудно установить, является выражение h = Qr cos2 р + (0.x coscr + fiy sina) sinp + Q,z cos / , (5.3.6) где nr = !(l-e,) / (l-f.i»"2«,). Вводя новую переменную х по закону fix fiy X = r-a0, COSO-Q = , , sin cr0 = , , (5.3.7) получаем интеграл (5.3.6) в виде h = fir cos2 p + д/ х + Y cos X sm P + z cos P- (5.3.8)
Интеграл (5.3.8) представляет собой частный случай интеграла, описывающего поведение таекторий апекса момента импульса заряженного ИСЗ на единичной сфере, полученного в [Тихонов 1991] при исследовании других дифференциальных уравнений a sin р cos х — dcos р — -CQ COS2 р = h. (5.3.9) Соответствие между (5.3.8) и (5.3.9) устанавливается по следующему закону a=Wfix-ffly, с0 = — 2f2r, d = — Q,z В цитируемой работе траектории апекса построены на единичной сфере, неподвижной в орбитальной системе координат, в нашем случае система координат CI l\ Z , в которой строятся траектории апекса определяется иначе. Это правая си — стема координат, где ось СI коллинеарна проекции вектора О, на плоскость С XY Рис. 5.17 (ось СС орбитальной системы координат в цитируемом источнике соответствует оси СI нашем случае, а ось С С, — оси С Z).
четыре положения равновесия, показанные на рис. 5.18 как особые точки 1-4. Три из них (точки 1, 2 и 4) соответствуют устойчивому равновесию (особые точки типа "центр"), а одно (точка 3) — Вид траекторий апекса будет различным для каждого из следующих вариантов соотношения знаков постоянных a, d и CQ: 1) fci 0, к2 0 2) кг 0, к2 0 3) А 0, к2 0 4) кх 0, к2 О, где fci = O.CQ1, к2 = dcQ . Для первого из перечисленных вариантов фазовые траектории, в зависимости от знака дискриминанта D — —k±k2 \2ikxk2 — (1 — к± — к2) J , будут иметь вид, показанный на рис. 5.17 и рис. 5.18 при D 0 и D 0 соответственно (с учетом рассмотренного выше соответствия между осями систем — координат). Вектор L имеет при D 0 два положения равновесия в кениговой системе координат (полюсы 1 и 2 на рис. 5.16), причем оба они устойчивы (особая точка типа "центр"). При D 0 будут неустойчивому равновесию (особая точка типа "седло"). На рис. 5.18 радиусы, отмеченные пунктиром, соответствуют значениям р, удовлетворяющим условию COS/J = — к2. Возможные типы траекторий апекса для остальных трех вариантов соотношения знаков имеют такой же качественный характер и могут быть получены поворотом рисунков 5.17 и 5.18 вокруг вертикальной и горизонтальной осей на 180 градусов. Траектории апекса для случая 2 получаются поворотом рисунков вокруг вертикалной оси, для случая 3 — последовательно вокруг вертикальной и горизонтальной оси, а для случая 4 — вокруг горизонтальной оси.
Заметим, что траектории апекса лежат в плоскости, натянутой на векторы нор — мали к плоскости орбиты и угловой скорости прецессии О,. Положение этой плоскости оказывается неопределенным лишь в случае, когда вектор угловой скорости прецессии перпендикулярен плоскости орбиты. — Графики на рис. 5.1 - 5.8 показывают, что угол между вектором П и осью CZ, перпендикулярной плоскости орбиты, известен с некоторой погрешностью, существенно зависящей от модели МПЗ, достигающей при использовании осесим-метричной квадрупольной модели МПЗ десяти - двадцати градусов. Поэтому случай, когда угловая скорость прецесии коллинеарна оси С Z, следует считать особым и полагать, что вектор угловой скорости прецессии и нормаль к плоскости орбиты не коллинеарны и существует плоскость, натянутая на эти векторы.
Указанная плоскость оказывает ориентирующее действие на вектор момента импульса ИСЗ тем, что все положения устойчивого равновесия лежат в этой плоскости, а траектории апекса симметричны относительно нее.
Ориентирующее действие плоскости, натянутой на векторы нормали к плоско-сти орбиты ИСЗ и угловой скорости прецессии 2, можно использовать для стаби-лизации направления вектора момента импульса ИСЗ L в инерциальном пространстве.
Графики на рис. 5.8 - 5.16 показывают, что абсолютная величина вектора Q, приблизительно пропорциональна смещению центра заряда ИСЗ относительно его центра масс, тогда как направление этого вектора определяется в основном параметрами орбиты ИСЗ, поэтому существует принципиальная возможность упра-влять абсолютной величиной вектора $7 путем изменения статического момента заряда первого порядка, оказывая тем самым параметрическое воздействие на траектории апекса, что может служить способом управления ориентацией вектора момента импульса ИСЗ в инерциальном пространстве.
При наличии только лоренцевых сил управление модулем статического момента заряда ИСЗ первого порядка не влияет на положения особых точек и траекторий апекса на единичной сфере, делая невозможным параметрическое воздействие на траектории апекса. В таком случае требуется управлять по определенному закону всеми тремя компонентами статического момента заряда в главных центральных осях инерции ИСЗ. Заметим также, что при использовании ориентирующего дей-ствия плоскости, натянутой на нормаль к плоскости орбиты и вектор $7, точность определения положения стационарных точек зависит от модели МПЗ, а качественный вид траекторий апекса получается верным при использовании осесимметрич-ной квадрупольнои модели МПЗ. Поэтому при разработке задач указанного типа на начальном этапе теоретического исследования можно использовать осесимме-тричную квадрупольную модель МПЗ, а при детальной разработке вопросов управления ориентацией вектора L следует использовать по-возможности более точную модель МПЗ, например, мультипольную модель МПЗ четвертого порядка, примененную в настоящей работе, или модель МАП.
