Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая постановка задачи 7
1.1. Постановка задачи 8
1.1.1. Одномерная задача 9
1.1.2. Двумерная задача 11
1.2. Численное моделирование 13
1.2.1 Численное моделирование для одномерной задачи 14
1.2.2 Численное моделирование для двумерной задачи 26
1.2.2.1. Восстановление распределений с резкими границами 26
1.2.2.2. Восстановление двумодального гауссового распределения 33
Глава 2. Восстановление быстрых процессов 39
2.1. Постановка задачи 39
2.2. Восстановление динамики яркостной температуры водной среды 40
2.3. Восстановление магнитного поля по экспериментальным данным 42
Глава 3. Субапертурное радиометрическое дистанционное зондирование земной поверхности 45
Глава 4. Восстановление двумерного распределения плотности поверхностного тока на замагниченных плёнках ВТСП 51
4.1. Описание эксперимента. Измерение магнитного поля 51
4.2. Постановка обратной задачи 54
4.3. Численное моделирование 55
4.4. Результаты восстановления структуры поверхностного тока плёнок 63
4.5. Определение магнитного поля на поверхности пленки 71
4.6. Эффект воздействия лазерным импульсом на распределение тока 73
Глава 5. Восстановление изображений в сканирующей зондовой микроскопии 81
5.1. Определение истинной структуры плотности электронных состояний пиролитического графита в сканирующей туннельной микроскопии 81
5.2. Субапертурное разрешение в сканирующей ближнепольной оптической микроскопии 88
5.3. Восстановление изображений в атомно-силовой микроскопии 93
Заключение 96
Литература 97
- Численное моделирование
- Восстановление динамики яркостной температуры водной среды
- Численное моделирование
- Определение магнитного поля на поверхности пленки
Введение к работе
Актуальной проблемой в самых различных областях физики (радиоастрономии [1-5] радиолокации, радиотеплолокации [6-11], оптической, ближнепольной, различных видах зондовой микроскопии [12-21] и других видов измерений [22-25]) является учет влияния аппаратной функции прибора на получаемые на выходе функции или изображения. При этом может иметь место как заглаживание (замывание) реального распределения, так и его искажение в случаях, когда аппаратная функция имеет сложную структуру. Например, в оптике разрешающая способность микроскопов и телескопов ограничена порогом дифракционного предела углового разрешения, который характеризуется отношением длины волны к размеру апертуры прибора. В случаях, когда угловые вариации измеряемой величины много больше ширины аппаратной функции, распределение измеряемой величины совпадает с исходным распределением. При планировании измерений обычно стремятся, чтобы это условие выполнялось.
Но и в тех случаях, когда добиться выполнения этого условия не удается, тем не менее, если форма аппаратной функции известна с достаточно высокой точностью, задача восстановления истинного или, по крайней мере, задача существенного улучшения исходного распределения вполне реальна. Эта задача сводится к решению интегрального уравнения, которое связывает измеренное и истинное распределение искомой величины. Некоторые подходы к решению этой задачи рассматривались в научной литературе. Задача сводится к решению некорректных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода типа свертки (одно - или двумерной), и, как известно, является некорректной, то есть неустойчивой к сколь угодно малым погрешностям измерений. Для ее решения необходимо привлекать дополнительную (априорную) информацию о точном решении. Специфика этой информации и определяет различные методы регуляризации [26-28]. Так, например, в радиоастрономии широко применяются итерационные алгоритмы "чистки изображений" [1-5]. В отличие от корректных задач, в рассматриваемых случаях нельзя получить простых соотношений между точностью исходных данных и погрешностью решения, и такая зависимость обычно является нелинейной (точность решения возрастает медленнее, чем убывает ошибка данных). Исследовать влияние погрешностей данных на качество восстановления можно только на основе численного эксперимента с учётом конкретных свойств сходимости рассматриваемого уравнения.
В диссертации рассматриваются ряд физических задач (одномерных и двумерных), в которых указанная выше проблема решается на основе строгой теории некорректных задач Тихонова и развитого им универсального подхода к решению интегральных
4 уравнений Фредгольма (принципа обобщенной невязки). На этих результатах основано решение задач, рассмотренных в диссертации: восстановление двумерного распределения яркостнои температуры подстилающей поверхности по данным вертолетных радиометрических измерений [29] на разных длинах волн, восстановление двумерного распределения тока на поверхности пленки из высокотемпературного сверхпроводника (ВТСП) по измерениям магнитного поля над её поверхностью и реализации субапертурного разрешения в различных видах сканирующей зондовой микроскопии.
Цели исследования:
Разработка методов деконволюции одно- и двумерных распределений, искаженных влиянием аппаратной функции, основанных на теории некорректных задач Тихонова.
Применение разработанного метода к задачам радиотеплолокации, диагностики распределения токов на плёнках ВТСП, а также для реализации измерений поверхностей с субапертурным разрешением в сканирующей зондовой микроскопии.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Метод деконволюции Тихонова впервые применён для восстановления радиотепловых изображений земной поверхности по двумерным распределениям измеряемой антенной температуры, в которых истинное распределение яркостнои температуры сглаживается на масштабе пятна диаграммы направленности антенны.
Разработан новый метод восстановления и визуализации поверхностного тока на замагниченных ВТСП плёнках по измерениям двумерного распределения вертикальной компоненты магнитного поля. С использованием этого метода выполнены исследования токов на плёнках, влияния на их распределение неоднородностей сверхпроводящей поверхности и обнаружен новый эффект при облучении плёнки мощным лазерным импульсом - сохранения магнитного потока через поверхность плёнки при одновременном сильном перераспределении поверхностного тока.
Разработан метод восстановления изображений в сканирующей микроскопии. В сканирующей туннельной микроскопии удалось восстановить реальную тонкую структуру поверхностной плотности электронных состояний решетки пиролитического графита (в исходном изображении отчётливо наблюдается только половина атомов решётки). В сканирующей ближнепольной оптической
5 микроскопии разработан метод, основанный на определении передаточной функции зонда по отклику на наименьшие детали структуры анализируемой поверхности, позволивший примерно в 3 раза улучшить разрешающую способность.
Практическая значимость работы:
Применение развитых методов деконволюции изображений с учетом формы аппаратной функции позволили увеличить разрешающую способность при СВЧ зондировании земной поверхности и в сканирующей микроскопии. Это существенно расширяет возможности измерений без каких-либо изменений аппаратуры, причём в туннельной микроскопии это единственно возможный способ улучшения разрешения. Разработанный метод определения поверхностного тока на ВТСП плёнках по измерениям магнитного поля открывает новые возможности для их диагностики и исследования. Метод восстановления процессов на входе интегрирующих схем по выходному сигналу может быть весьма полезен в радиометрии быстропротекающих процессов и в других аналогичных случаях.
Степень обоснованности научных положений диссертации:
Обоснованность представленных в диссертационной работе результатов определяется использованием известных математических методов и численными экспериментами по замкнутой схеме, а в ряде случаев подтверждается согласием теоретических и экспериментальных результатов. Физическое содержание предложенных методов обосновано использованием известных законов электродинамики, распространения электромагнитных волн и физики конденсированных сред. Работы А.В.Жилина обсуждались на конференциях и научных семинарах различного уровня.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:
7-я Международная Крымская конф. «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (Крым, Украина, 15-18 сент. 1997, Севастополь);
XXVII радиоастрономическая конференция, т.2. (С.Петербург, 10-14 ноября 1997);
3-d Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques (8-11 Sept., 1999, Sevastopil, Ukraine);
XII German - Russian -Ukrainian Seminar on High Temperature Superconduc-tivity (25-29 October, 1999, Kiev, Ukraine);
Proceedings of 2000 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET*2000 (Kharkov, Ukraine, 12-15 September 2000);
2nd Intern. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON 2000, Gdansk, Poland, June 5-13,2000);
11 - я Международная Крымская конференция «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (Крым, Украина, 10-14 сент. 2001, Севастополь);
Scanning Probe Microscopy - 2002 (Nizhny Novgorod, Russia March 3-6. 2002);
Региональный молодежный научно - технический форум «Будущее технической науки Нижегородского региона» (Нижний Новгород 14 мая 2002);
2002 4d International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON 2002, Warsaw, Poland, April 21-25, 2002), National Institute of telecommunications
12 - я Международная Крымская конференция «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (Крым, Украина, 9-13 сент. 2002, Севастополь);
The First Scientific Workshop-Presentation "Optical Micro- and Nanotechnologies" (OmaN-1) (Federal Institute of Fine Mechanics and Optics (Technical University), 17-18 June, 2002, St.-Petersburg;
5-й Белорусский семинар по сканирующей зондовой микроскопии (7-8 октября 2002 г., Минск, Белоруссия;
14) Scanning Probe Microscopy - 2003 (Nizhny Novgorod, Russia March 2-5.2003);
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 20 научных работах (3 - статьи, 14 -труды конференций, 3 - тезисы докладов). Личный вклад автора в совместных публикациях
В результатах опубликованных работ К.П.Гайкович (научный руководитель диссертации) участвовал в постановке задач и разработке методов их решения. Вклад А.В.Жилина в решение поставленных в этих работах [6-11,25] задач является определяющим. Ю.Н.Ноздрин выполнил все эксперименты по исследованию ВТСП плёнок [22-24], В.Л.Миронов руководил СТМ и АСМ измерениями, в которых участвовали также Б.А.Грибков и С.А.Тресков [12,15,18,20,21]. Экспериментальную часть работ [13,14,16,17,19] по СБОМ микроскопии выполнили В.Ф.Дряхлушин и В.Ф.Круглов.
Численное моделирование
Известно [37], что точность решения некорректных обратных задач может быть определена только из результатов численного моделирования. Следует отметить, что сам метод моделирования существенно зависит от используемого алгоритма решения. Так, при применении статистических методов или других методов, имеющих интегральную сходимость, естественным представляется моделирование с использованием больших ансамблей данных для получения представительных оценок среднеквадратичной погрешности восстановления. Рассматриваемый вариант метода Тихонова имеет более сильную сходимость, поскольку в случаях, когда стабилизирующее слагаемое в функционалах обобщённой невязки (1.3), (1.10) задано в метрике \Уг или Wj , решение сходится к точному при стремлении к нулю погрешности измерений также в тех же самых метриках, а, следовательно, по теореме вложения Соболева [26], равномерно (т.е. в метрике С, нормой отклонения в которой является максимум модуля). При этом важно, что оказывается достаточно наличие более слабой сходимости в погрешности данных (в метрике L2). Это позволяет ограничиться при моделировании исследованием единичных (типичных и экстремальных) распределений, и получить более сильную оценку погрешности восстановления. Для исследования возможностей метода численное моделирование проводилось при различных значениях задаваемой ошибки измерений (раздельно для двумерной и одномерной задач). Исходные распределения задавались в условных единицах, что позволяет использовать полученные результаты при рассмотрении других аналогичных задач, сводящихся к уравнению (1.1) или (1.8), что будет сделано в следующих главах данной работы.
Типичная схема численного моделирования включает задание исходного распределения, расчёт по нему правой части соответствующих уравнений с точностью, существенно превышающей уровень задаваемой ошибки измерения, набрасывание случайной погрешности, моделирующей ошибки измерения, решение обратной задачи и сравнение восстановленного распределения с исходным. Ниже в разделе численного моделирования приводятся результаты восстановления по точно заданной правой части, чтобы получить информацию об ошибках самого метода. Такой подход представляется оправданным, поскольку с точки зрения алгоритма правая часть всё равно задана с ошибкой, указанной ему в качестве входного параметра. В конкретных приложениях (в частности, при решении задачи восстановления токов на плёнке ВТСП) приводятся и результаты моделирования с набрасываемой случайной ошибкой. В численной реализации изложенного выше метода, существенным моментом является правильный переход от бесконечной к конечной области, в которой ищется решение и берутся соответствующие интегралы. В рассматриваемом случае проблему решает расширение области восстановления на масштаб локального носителя ядра. При этом решение ищется во всей области определения правой части уравнения (1.1) или (1.8), а граничные эффекты проявляются только в указанной зоне расширения. Это позволяет периодически продолжить и решение, и ядро уравнения на всю бесконечную область и использовать приведенные формулы. Численное моделирование проводилось для двух типов распределений: для резкого скачка, выбранного в качестве экстремального распределения, и для относительно гладкого, но достаточно быстро меняющегося на масштабе постоянной интегрирования процесса - в качестве типичного распределения.
В качестве передаточных функций для численного моделирования использовалось гауссово распределение (рис.1), и экспоненциально-затухающая функция (рис.2). Рассмотрим численное моделирование скачка. Численное моделирование скачка проводилось для двух значений точности измерений: при ошибке 5% и при ошибке 0,5%. На рис. За представлены результаты численного моделирования для ошибки 5%. На рис. 36 представлены результаты моделирования для ошибки 0,5%. В качестве передаточной функции использовалось гауссово распределение (рис 1). Численное моделирование для экспоненциально затухающей передаточной функции (рис.2), представлено на рис.4а и 46 для ошибки 5% и 0.5% соответственно. Легко заметить, что при задании точности восстановления 0,5% скачек практически полностью восстановился в обоих случаях. Моделирование скачка производилось на сетке размерностью 128 точек. Численное моделирование для гладкого быстрого процесса также проводилось для двух значений ошибки и двух типов передаточной функции. На рис. 5а и 56 представлены результаты численного моделирования для ошибок 5% и 0,5% соответственно для гауссовой передаточной функции. На рис. 6а и 66 показаны результаты численного моделирования для экспоненциальной передаточной функции. Видно, что передаточная функция почти полностью загладила исходное распределение, тем не менее, алгоритм восстановления позволил различить два максимума уже при точности измерения 5%, а при точности 0,5%) исходное распределение полностью восстановилось в обоих случаях. Численное моделирование проводилось на сетке размерностью 64 точки. Видно, что при использовании в качестве передаточной функции экспоненциального распределения сходимость более быстрая, а точность - более высокая, чем при гауссовом распределении в обоих рассмотренных случаях. Этот результат демонстрирует влияние отмеченной выше разницы двух задач, связанной с типом ядра уравнения.
Восстановление динамики яркостной температуры водной среды
Измерения водной среды проводились на измерительной установке, которая включала кювету с водой с размерами 2x1,5x0,2 м, радиометрическую систему на частоте 60 ГГц (в центре полосы поглощения кислорода), и вентилятор, закрепленный совместно с рупором антенны. Номинальная чувствительность радиометра составляла 0,01 К при постоянной времени 1 с, но с учетом температурных флуктуации фона ее реальное значение составляло около 0,03 К. Ширина диаграммы направленности рупорно-скалярной антенны, расположенной на высоте 1 м над поверхностью воды, составляла 5, т.е. пятно диаграммы на водной поверхности имело диаметр около 10 см. Калибровка измерений яркостной температуры (Гв) проводилась по самой измеряемой водной среде при двух различающихся примерно на 5 К значениях температуры (однородное распределение температуры достигается перемешиванием). Постоянство и однородность фона, а также его близость к измеряемым значениям температур приводит к практически полной компенсации коэффициента отражения от водной поверхности, а способ калибровки, когда эталонная яркостная температура полагается равной температуре воды реализует условие R = 0. Это позволяло при измерениях достигнуть точности привязки Тя к показаниям термометра, сравнимой с флуктуационной чувствительностью радиометра. Идея состояла в исследовании динамики теплового режима, которая возникает при скачкообразном изменении температуропроводности воздуха над поверхностью воды при его турбулизации с помощью вентилятора. На рис.16 представлен пример динамики яркостной температуры и восстановленных параметров среды в рассматриваемом процессе. В момент t=0 включается вентилятор и начинается быстрое охлаждение поверхностного слоя воды.
Постоянная интегрирования составляла 1с. На рис. 16 пунктирной линией показана яркостная температура на выходе радиометра, а толстой сплошной линией ее восстановленная динамика на входе. Полученные данные использовались в [40] для восстановления поверхностного профиля температуры и динамики теплового потока через поверхность раздела вода-воздух и позволили уточнить получаемые результаты, особенно при определении теплового потока, величина которого весьма определяется градиентом температуры в приповерхностном слое воды, и поэтому весьма чувствительна к малым вариациям . температуры. Представленный в данном разделе метод использовался в гл.4, для предварительной обработки результатов измерений перпендикулярной компоненты магнитного поля #Zj на заданной высоте z над поверхностью сверхпроводящей пленки, сканирующей системой на основе датчика Холла с размерами 100 на 50 мкм в плоскости х-у и 10 мкм z - направлении. Поперечная дискретизация измерений (125 мкм) была выбрана в соответствии с размерами датчика Холла. Измерения в каждой точке производились каждые 0,25 с, в то время как величина постоянной интегрирования составляла х = 1 с, Увеличить время интегрирования не представлялось возможным, поскольку при дальнейшем увеличении времени измерений трудно было бы обеспечить условия квазистационарности распределения токов на плёнке (более подробное описание эксперимента приведено в главе 4). В результате сканирования вдоль некоторого сечения плёнки на выходе измерительного прибора наблюдалась динамика выходного сигнала, связанного (с учётом сглаживания при интегрировании) с входным сигналом соотношением типа (2.2). На рис. 17 приведены результаты восстановления за один проход сканирования для квадратной ВТСП пленки толщиной около 0,1 мкм со стороной 10 мм.
Представленные результаты показывают, что, как и следовало ожидать, наибольшее отличие процесса на выходе интегрирующих схем от процесса на их входе (искажение) имеет место в интервалах, где имеет место быстрая динамика. Это отличие многократно превышает уровень погрешности ( 0,1 Гс), то есть обязательно должно учитываться в анализе, чтобы избежать неоправданной потери точности при восстановлении токовой структуры. Развитый метод восстановления, основанный на теории Тихонова, позволил скорректировать погрешность измерений, связанную с заглаживанием реального распределения в выходном приборе. Таким образом, результаты показывают эффективность разработанных алгоритмов восстановления быстрых процессов на входе интегрирующих схем по сигналу на их выходе. Результаты этой главы опубликованы в [25].
Численное моделирование
Как уже говорилось выше, невозможно изучить влияние ошибки измерения на точность получаемого решения в случае некорректных задач без проведения численного моделирования. Точность решения зависит от особенностей ядра уравнения и от ошибок измерения. Равномерная сходимость, доказанная для этого случая позволяет судить об ошибке измерения и оценивать отклонения от точного решения по максимуму модуля. При этом исчерпывающую информацию о точности восстановления можно получить из результатов численного моделирования для типичного и для экстремального случаев из всех возможных решений (среднеквадратичная сходимость, например, не позволяет указать максимально возможные отклонения решения от точного). В рассматриваемом двумерном случае при численном моделировании следует учитывать, что две компоненты тока восстанавливаются независимо и должны удовлетворять уравнению непрерывности (4.2). Для применения преобразования Фурье и ядро, и решение должны иметь конечные локальные носители. Если локальный носитель ядра уравнения (4.5) suppif(w,w) с \l\, L{\ х [І2, Ьг\ и локальный носитель решения suppy (.y,0 = \а\, А\\ х [а2, А2], то локальный носитель распределения магнитного поля будет supp#z(xj/) = [b\, В{\ х [62, Яг], где Ь\=щ+1\, B\=A\+Li, Ьг=а2+І2, Вг Аг+Ьг. И, если H5Z измерено внутри [b\, В{\ х [Ь2, В2], то возможно положить j(s,t)=0 вне [а\, А{\ х [аг, А2] и переписать (4.5) следующим образом: что позволяет периодически продолжить ядро (4.6) на всю плоскость с периодом Т\= В\-Ь\ и Тг= Вг-Ьг (для первого и второго аргумента соответственно). Таким образом, распределение магнитного поля должно быть более широким, чем восстанавливаемое распределение тока (до размеров, где значение магнитного поля сопоставимо с ошибками измерения). Тогда диапазон восстановления тока также может быть периодически продолжен на всю х - у - плоскость.
Очевидно, что локальный носитель решения ограничен размерами образца пленки. Следовательно, для применения метода необходимо определить локальный носитель ядра, который зависит от высоты измерений z. На рис. 23 показана функция K{u,w) для уравнения (4.4). Видно, что эта функция не локализована в х - направлении, что делает невозможным применение метода восстановления без надлежащей модификации. Предлагаемый способ такой модификации состоит в том, чтобы анализировать разность измеренного магнитного поля в токах со сдвигом Ду для х-компоненты тока и Ах - для у-компоненты: На рис. 24 показано новое ядро АХ уравнения (4.7) при Ay = 0,6 мм (при этом значении достигается максимальная симметрия нового ядра уравнения). Можно видеть, что это новое ядро имеет конечный локальный носитель. Из-за дополнительного условия непрерывности тока непростой задачей оказалось создание реалистичных двумерных распределений тока для проведения численного моделирования. Для этих целей использовалась модифицированная модель Бина [49] с однородным распределением критического тока по плёнке. На рис. 25 и 26 представлены исходное и восстановленное распределения токов, для квадратной пленки, в реальных условиях. Магнитное поле было рассчитано из начального распределения токов. Затем случайная ошибка с нормальным распределением и типичной дисперсией была добавлена к значению поля. Таким образом, были получены «данные измерений», которые использовались для восстановления. Существует два источника ошибок измерений: случайный шум магнитного поля и ошибки связанные с недостоверностью измерения высоты датчика Холла. Случайный шум не коррелирован на шаге сетки измерений, и очень легко оценить его среднеквадратичное значение, используя данные измерений вне области влияния токов. Среднеквадратичное значение было оценено приблизительно в 0.1 Гс. Систематическая ошибка высоты датчика Холла в наших измерениях была меньше чем 50 мкм. Это дает приблизительно 0.5 Гс ошибку в максимуме поля, но поскольку мы используем разностный метод (см. (4.7)), ошибка в различии поля на расстоянии 0.6 mm -меньше, чем 0.03 Гс, и имеет незначительное влияние на точность решения.
Численное моделирование дало следующие результаты. Случайная среднеквадратичная ошибка восстановления при величине среднеквадратичной погрешности моделируемой случайной ошибки 0,1 Гс изменялась от 0,1 А/см для слабых токов (около 2 А/см) до 0,5 А/см для сильных токов (около 20 А/см). Качество восстановления оказывается весьма высоким, и лишь при уровне ошибки 30% возникают сильные искажения исходного распределения. Имеется также и систематическая ошибка, наиболее заметная около резких токовых особенностей или особенностей первых производных тока. Основной источник этих ошибок (обычно около 5%) связан с ошибками в ядре уравнения (4.7), т.к. ядро существенно изменяется на размере пикселя, что является, по-видимому, проблемой численной реализации метода. Другая возможная причина связана с известными трудностями восстановления резких распределений в некорректных обратных задачах. Во всяком случае, достигнутой точности оказалась достаточно для целей данного исследования. Положение токового центра восстанавливается весьма точно. Пространственное разрешение может быть оценено как размер воронкообразного центра восстановленного тока, который показан на рис. 27. Этот размер не превышает 250 мкм. Доступное разрешение при данной точности «данных» ограничено в основном размерами датчика Холла и в наших условиях остается достаточно хорошим вплоть до высоты около 1 мм.
Определение магнитного поля на поверхности пленки
В зондовой микроскопии разрешающая способность ограничена, как правило, размером апертуры зонда. Следует отметить, что среди работ по восстановлению изображений (см., например, [51-54]) практически отсутствуют относящиеся к сканирующей микроскопии, и в настоящее время можно назвать лишь метод восстановления изображений, развитый в атомно-силовой сканирующей микроскопии, основанный на геометрическом подходе, в котором учитывается форма иглы, движущейся вокруг неоднородностей [55]. Численное моделирование для задач этой главы вполне аналогично результатам, представленным в 1.2.2, поэтому для компактности изложения в данном разделе приводятся лишь экспериментальные результаты. В сканирующей туннельной микроскопии (СТМ) в настоящее время реализована разрешающая способность, позволяющая различать отдельные атомы, что предполагает соответствующие размеры зонда, его расстояния до поверхности и характерного радиуса его взаимодействия с поверхностью. Апертурой зонда фактически должен служить крайний атом на кончике зонда (см., например, обзор [56]). Взаимодействие зонд-поверхность определяет перекрытие волновых функций пустых и заполненных электронных состояний зонда и образца. Это взаимодействие, определяющее величину туннельного тока, экспоненциально спадает при удалении зонда от поверхности с характерным масштабом менее 1 А [56]. Именно по этой причине туннельный ток проходит только через крайний атом зонда. В ряде экспериментов, когда кончик зонда не удаётся сделать достаточно острым, наблюдались проявления многоатомного взаимодействия [57], но такие случаи легко идентифицируются по виду получаемого изображения.
Хорошо известная теория передаточной функции зонда "s-wave tip" [58] интерпретирует получаемое двумерное распределение туннельного тока как изображение локальной плотности электронных состояний образца. Эта теория достаточно хорошо работает для металлов, но для полуметаллов (в частности, для исследуемого в данной работе графита) или полупроводников получаемое изображение существенно зависит от электронной структуры зонда и может описываться свёрткой распределения локальной плотности состояний с передаточной функцией зонда [59]. В этом случае тонкая структура электронных состояний решётки заглаживается действием передаточной функции зонда, и в данной работе решается обратная задача восстановления истинного изображения на основе деконволюции уравнения свёртки. Нами исследовались образцы пиролитического графита, который благодаря лёгкости приготовления образцов с идеально правильной атомной решеткой на поверхности исследовался во многих работах. Наиболее интересная специфика СТМ изображений пирографита с гексагональной решёткой атомов углерода состоит в том, что туннельный ток в местах расположения атомов, имеющих ближайший соседний атом во втором слое, существенно меньше, чем для мест атомов, под которыми атом углерода во втором слое отсутствует. На изображении атомы первого типа (А-тип) выглядят как тени между атомами второго типа (Б-тип) [60-61]. То есть отчётливо различается только половина атомов решётки графита. В данной работе мы восстановили изображение структуры решетки графита, на которой отчётливо видны не только атомы обоих упомянутых типов, но и более тонкие, субатомные детали электронной конфигурации. Эта тонкая структура скрыта в исходном СТМ изображении из-за сглаживания реальной картины на масштабе размера взаимодействующего атома зонда. Нами измерялось двумерное распределение (128x128) туннельного тока между зондом и поверхностью графита в режиме постоянной высоты с использованием зонда из . платино-иридиевого сплава. Эксперименты выполнялись с помощью многомодового микроскопа "Solver Р-47", разработанного фирмой НТ-МДТ (Зеленоград, Россия).
Начальное значение туннельного тока устанавливалось вблизи 2,5 нА при приложенном напряжении 20 мВ. Скорость сканирования микроскопа составляла 4100 А/с при размере пикселя около 0,1 А. Измеренное двумерное распределение (изображение) туннельного тока может быть представлено согласно [59] двумерной сверткой истинного изображения и передаточной функции зонда: где ядро K(w,W) - это передаточная функция, jm(x,y) - измеренное распределение, j(s,t) - искомое истинное распределение. Уравнение (5.1) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Ширина экспоненциально спадающей на атомном масштабе передаточной функции зонда [59], использованной при решении задачи, близка к размеру изображения отдельного атома. Решение (5.1) относительно j(s,t) позволяет восстановить изображение электронной структуры решётки с более высоким разрешением. Для решения уравнения (5.1) нами использовался метод обобщенной невязки Тихонова [37].. Чем меньше уровень ошибки 8, тем более тонкие детали изображения могут быть восстановлены. По мере уменьшения ошибки восстановленное распределение сходится к истинному, причём большим достоинством использованного метода Тихонова является равномерная сходимость. На рис.42 представлено измеренное распределение туннельного тока образца пиролитического графита. Среднеквадратичное значение погрешности измерений составляло 0,08 нА (около 10% от максимального перепада тока в измеряемом сигнале). Ошибка в соседних пикселях была практически не коррелированна. Последнее обстоятельство дало возможность применить очевидный, но реализованный только в данной работе метод существенного увеличения точности исходного изображения путём усреднения данных по периоду решётки.
