Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Теория R-функций в задачах изучения физико-механических полей в конструктивных элементах сложной геометрической формы 22
1.1 Основные соотношения в задачах исследования физических процессов 23
1.2 Структурные модели (GSS) задач исследования физических полей 27
1.3 Автоматизация вычислительного процесса и компьютерное моделирование в задачах исследования физических процессов 46
Глава 2 Исследование электромагнитных полей в элементах сложной геометрической формы 50
2.1 Постановка задачи исследования электромагнитных полей 51
2.2 Структуры решений внутренних задач электродинамики 52
2.3 Расчет параметров двухчастотного гелий-неонового лазера с микроволновым возбуждением 54
2.4 Исследование электромагнитных полей в полукоаксиальных резонаторах, нагруженных кристаллами 69
2.5 Исследование электрооптического модулятора фотонного излучения методом R-функций 82
2.6 Расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем 93
2.7 Исследование резонансных фотоприемных устройств на основе полукоаксиального резонатора 97
Глава 3 Исследование тепловых процессов в элементах сложной геометрической конфигурации методом R-функций 111
3.1 Дифференциально-разностный метод и теория R-функций в исследовании пространственных задач теплопроводности 112
3.2 Апостериорные оценки погрешностей структурных решений краевых задач теплопроводности 120
3.3 Алгоритмы решения нестационарных краевых задач теплообмена 133
3.4 Исследование тепловых процессов излучающего тела 146
3.5 Температурные поля в полуаксиальных резонаторах, нагруженных кристаллами 151
Глава 4 Исследование напряженно-деформированного состояния конструк тивных элементов неклассической геометрической формы - 170
4.1 Оценка напряженно-деформированного состояния в цилиндрических и конических элементах технологической оснастки 172
4.2 Структурные модели термонапряженного состояния элементов технологической оснастки
4.3 Исследование термонапряженного состояния лопатки авиационного двигателя и цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса
4.4 Структурные и компьютерные модели задач упругопластического деформирования
4.5 Алгоритм определения упругопластических деформаций в осесимметричных телах конечных размеров
4.6 Структурная модель (GSS) задачи по отысканию силовых параметров элементов технологического процесса
4.7 Алгоритм определения термовязкопластических напряжений в телах сложной геометрии
4.8 Исследование напряженно - деформированного состояния кристалла, помещенного в резонатор
Заключение
Литература
Приложение
- Структурные модели (GSS) задач исследования физических полей
- Автоматизация вычислительного процесса и компьютерное моделирование в задачах исследования физических процессов
- Исследование электромагнитных полей в полукоаксиальных резонаторах, нагруженных кристаллами
- Апостериорные оценки погрешностей структурных решений краевых задач теплопроводности
Введение к работе
Актуальность темы.
При конструировании элементов приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. одной из задач является определение физических полей в них. Эта задача - один из наиболее важных факторов, влияющих на работоспособность, надежность и устойчивость работы элементов и приборов, так как изменение той или иной характеристики вызывает и изменение свойств различных материалов, входящих в состав всей исследуемой конструкции.
Экспериментальные исследования физических полей многих элементов и аппаратов неприемлемы в тех случаях, например, когда физические размеры компонентов достаточно малы, установка чувствительных приборов и датчиков в них представляется весьма трудной задачей и в некоторых других случаях. В силу этого актуальным является определение физических полей элементов и аппаратов аналитическими и численными методами.
Решение задачи определения необходимых физических параметров позволяет на стадии вычислительного эксперимента получить достоверную и объективную информацию о работе прибора или конструктивного элемента, частично или полностью заменить дорогостоящие опытные испытания режимов работы элементов и аппаратов расчетным проектированием, прогнозировать физические процессы, рассчитывать оптимальные режимы работы всего прибора.
В современной технике предъявляются повышенные требования к точности определения полей исследуемых элементов и узлов, поэтому объяснимо стремление создать универсальные методы и высокоточные алгоритмы решения таких задач.
Многие проблемы теоретического аспекта исследования физических полей в различных элементах связаны с необходимостью построения и исследования математических моделей, имеющих вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Для любых краевых задач характерно наличие в некоторой области fieR3 , ограниченной некоторой поверхностью S, разрешающей функциональной компоненты модели. В зависимости от условий реальной задачи эта компонента может представлять собой функцию (например, для скалярного поля температур), тензор (в за-
дачах определения напряженно-деформирбванного состояния тех или иных конструкций) или элементы других функциональных пространств.
Большое разнообразие математических моделей в задачах определения физических полей требует создания универсального математического и программного инструментария. Создание такого инструментария позволит оперативно переходить от одной математической модели к другой, проводить сравнение результатов, полученных при исследовании различных моделей, использовать результаты, полученные для одной модели как стартовые (вспомогательные) для исследования другой модели, применять различные методы (аналитические или численные) и т.д., т.е. речь идет об инструментарии универсального типа.
Наличие математического и программного инструментария, построенного по известному принципу математических аналогий, имеет значение для многих проблем исследования, расчета и оптимизации физических полей, охватывающих широкий круг научных направлений в различных отраслях промышленности.
В последние годы разработано много новых математических теорий, а на их основе появились новые разработки методов решения на ЭВМ задач исследования и оптимизации физических полей. Неослабевающий интерес к проблеме физических полей объясняется тем, что этой проблемой охвачен широкий круг таких направлений как электродинамика, теплофизика, теория упругости и пластичности, магнитная гидродинамика и другие, развитие которых имеет первостепенное значение для научно-технического прогресса.
Математическими моделями исследования многих физических полей являются задачи для уравнений с частными производными при определенных начальных и краевых условиях.
Особенно актуальной задачей является создание таких моделей задач для исследования полей, которые отражали бы физические аспекты постановки и позволяли осуществлять разработку методов решения краевых задач, имеющих универсальный характер и не требующих от исследователя (как правило, не математика) знания тонких вопросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач. Вообще же, для того или иного конкретного класса задач определения физических полей существуют или могут быть созданы специальные методы, превосходящие по эффективности любой универсальный метод Однако их использование требует,
как правило, хорошей математической и специальной подготовки, а также значительных затрат времени, что может оказаться неприемлемым для быстрого решения все новых и новых задач экспериментальной физики.
Специфическая особенность полей - их зависимость не только от характера физических законов,, учитываемых соответствующими уравнениями, но и от формы взаимного расположения тел, в которых поля возбуждаются, конфигурации площадок их контактного взаимодействия и других геометрических и физических факторов.
С учетом названных особенностей рассматриваемого класса задач полное их исследование с помощью точных аналитических методов возможно лишь в немногих случаях.
Наличие в постановке краевых задач двух разнородных видов информации - аналитической и геометрической — серьезное, препятствие при создании методов и алгоритмов решения этих задач, т.к. всякий метод должен учитывать оба вида информации.
В данной работе предлагаются
новый подход исследования некоторых физических полей в задачах экспериментальной физики, рассматриваемых в объектах сложной геометрической формы и находящихся под внешними воздействиями различной физической природы, который основан на использовании математического аппарата теории R-функций;
новые математические модели, аналитические решения — структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости;
компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;
вычислительный эксперимент по определению необходимых физических и геометрических параметров конкретных приборов, аппаратов и элементов.
Исследуются физические поля в новых приборах и элементах, применяемых в лазерной технике, таких как:
автогенераторные гелий-неоновые лазеры;
модуляторы;
автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микровол
нового диапазона длин волн.
Кроме того, определены температурные поля:
в пространственных тепловых элементах неклассической геометрической
формы конечных размеров (ТВЭЛы, термочувствительные датчики и др.);
в аппаратах для добычи твердых полезных ископаемых;
в теплоизлучающих объектах;
в модуляторах, нагруженных электрооптическими кристаллами.
Изучаются также поля напряжений
в элементах технологической оснастки, находящихся под механическими и температурными воздействиями и нагруженных за пределами упругости; в силовых элементах технологического процесса; в лопатке авиационного двигателя;
в элементе цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса; в кристаллах, находящихся в резонаторах, которые работают на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.
Математически каждая из перечисленных задач формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Аи = Дх), в П, (О
Яи = р(х), на S, (2)
Си = )фг,0, Jce(x,,Sj,JCj), !„((,, (3)
где операторы А, В, С в общем случае могут быть нелинейными; /(*) -функция, характеризующая внешние воздействия на тело Q; функция p(jr) характеризует граничные условия на поверхности 5; (/(*,/) -функция, определяющая состояние тела в начальный период времени; и(и,,и3,и,) - искомая разрешающая функциональная компонента поля (в общем случае - вектор).
Данная диссертационная работа посвящена исследованиям задач определения физических полей с помощью математического аппарата теории R-функций (RFM).
Теория R-функций в настоящее время достаточно широко применяется при исследовании краевых задач математической физики, в теории приближений, в задачах оптимального размещения и распознавания образов, в конструктивной теории функций, в автоматизации программирования и др., исследования по теории R-функций достаточно полно отражены в работах многих исследователей.
Метод R-функций дает такое функциональное представление приближенных аналитических решений (GSS), которые удовлетворяют граничным условиям и которые:
-
учитывают на аналитическом уровне геометрию области П;
-
учитывают на участках ее границы . граничные условия;
-
позволяют учесть имеющуюся априорную информацию о точном решении задачи (если оно есть);
-
позволяют приблизиться к точному решению в метрике соответствующего функционального пространства т).
При построении аналитических решений (структурных формул (GSS)) с использованием аппарата R-функций применяются дифференциальные операторы Dk и Tk, определяемые соотношениями
При этом на границе S операторы Dk и 7* имеют вид
т.е. превращаются в производную по нормали п и касательной неответственно.
Операторы Dt и 7* зависят от функции со и
-
содержат информацию о форме области Q;
-
определены всюду в области 2;
-
на границе совпадают с производными по нормали и касательной, за исключением угловых точек;
-
позволяют продолжать граничные значения внутрь области;
-
представляют собой разложение функции / по неопределенным коэффициентам полинома Лагранжа.
Аналитическое описание уравнений ефс) границ S произвольных областей Q предполагает следующие этапы построения:
-
теоретике-множественное описание области Г2, т.е. представление с помощью операций алгебры множеств П, U, /;
-
логическое или предикатное описание области П
[О, is Сі;
3) аналитическое описание области с помощью R„ - операций:
/, л„ /, =7-(/1+/,-^1 +Л1 -2^/,)-Ra-конъюнкция,
j; V,/; = ^-(/J+ /,+^//+//-2^,/,)-Іїд-ДИЗЬІОИіЩИЯ,
/ = -/—Re-отрицание.,
В данной работе применяются R-функции, которые строятся на множестве ^(-оо.оо) и соответствуют двузначным (булевым) функциям алгебры логики.
Следует отметить, что применение метода R-функций к задачам физики позволяет сохранить многие важные с физической точки зрения особенности, содержащиеся в постановке исходной задачи.
Методы построения решения краевых задач (GSS), опирающиеся на теорию R-функций, содержат конструктивно простые средства для удовлетворения самым разным типам краевых условий при практически произвольной геометрии областей. В то же время они позволяют использовать в качестве аппроксимационного аппарата как классические полиномы, так и функции с локальными носителями (сплайны, атомарные функции и др.). Эти обстоятельства ставят теорию R-функций в исключительно выгодное положение при разработке программирующих систем в области исследования задач экспериментальной физики.
В таких задачах, как расчет физических полей с учетом геометрических форм, среды, расположения и распределения возбудителей поля, величин физических параметров и другой информации важен, и почти неизбежен этап проведения численных экспериментов. Эти эксперименты необходимы для проведения анализа, выяснения пригодности и корректности выбранных физических и математических моделей поля; выбора метода и реализующего его вычислительного алгоритма; составления и отладки программ; решения тестовых и модельных задач; анализа численных результатов и др.
Метод R-функций обладает широкими алгоритмическими возможностями, что позволило создать программный комплекс со специальным входным языком - программирующую систему ПОЛЕ - программный инструментарий, который осуществляет компьютерное моделирование и автоматизацию вычислительного процесса в задачах исследования физических процессов, имеет средства взаимодействия с программами на физическом или математическом языке постановки конкретной задачи исследования, дает возможность проводить многовариантные вычисления.
Целью работы является развитие конструктивных средств теории R-функций для задач экспериментальной физики.
В связи с этим рассмотрены такие вопросы:
создание математических моделей задач экспериментальной физики;
разработка аналитических методов исследования физических процессов в приборах и аппаратах неклассической геометрической конфигурации;
создание компьютерных моделей численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;
проведение анализа физических процессов в приборах, аппаратах и конструктивных элементах.
Задачи и этапы исследования:
создание и исследование широкого класса математических моделей задач электродинамики, теплопроводности, термоупругости в средах, описываемых системами линейных и нелинейных дифференциальных уравнений;
проведение и теоретическое обоснование исследований электродинамических полей и характеристик в модуляторах, лазерах, приемниках и других приборах;
разработка методики решения пространственных и нестационарных задач теплопроводности, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций;
проведение исследования апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач математической физики;
разработка программного обеспечения для проведения исследований линейных, нелинейных и динамических задач теплопроводности, термоупругости, электродинамики;
выполнение вычислительного эксперимента по определению резонансных частот и электродинамических характеристики объемных резонаторов, широко используемых как колебательные системы (резонансные контуры) и нагруженных электрооптическими кристаллами, полуаксиальных резонаторов измерительных фотоприемных устройств, фотоприемных устройств на основе лавинных диодов, лазерных устройств и др.; по определению температурных полей и напряженно-деформированного состояния упругих и неупругих тел, подвергающихся внешним воздействиям;
разработка структурных моделей исследования дифракции установившихся и нестационарных упругих и термоупругих волн на объектах произвольной формы. Разработка новых вычислительных алгоритмов и схем для численной реализации новых структурных моделей.
Диссертационная работа выполнена в Московском физико-техническом институте и в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины.
Связь работы с научными программами, планами, темами основываются на исследованиях автора, которые выполнялись в МФТИ и в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины с 1985 по 2003 год, и отображена в отчетах нижеприведенных разработок: «Разработка эффективных методов и создание автоматизированных систем программирования» (ГР № 766077048);
«Развитие математической теории R-функций и создание автоматизированного программного обеспечения» (ГР№ 80023021);
«Разработка модулей R-функций решения задач математической физики» (ГР №018210012354);
«Создание системы «ПОЛЕ-ЕС» (ГР № 01840082148);
«Разработка новой теории программирования алгоритмов решения задач математической физики» (ГР№ 93456081);
«Создание на основе теории R-функций перспективного программного обеспечения и систем, ориентированных на решение задач математической физики, моделирующих взаимодействующие физико-механические поля» (ГР № 1870016839);
«Совершенствование конструктивных средств теории R-функций и создание новых версий (для ЕС-ЭВМ) генераторов программ серии ПОЛЕ (ГР № 1840057174);
«Разработка новых методов общей обработки и преобразования сложной геометрической и аналитической информации в математическом и компьютерном моделировании» (РК№ 0196U004537);
«Развитие и усовершенствование методов исследования структурных моделей и компьютерная реализация этих моделей для задач механики сплошных сред» (PK№0196U0044543);
«Развитие теории R-функций и создание на ее основе мобильного программного обеспечения современных ЭВМ ( в том числе персональных) для исследования термоупругих, упругопластических, деформационных, электромагнитных и магнитогидродинамических полей» (ГР №01900009451);
«Создание на основе теории R-функций интеллектуальных систем, ориентированных на задачи расчета физико-механических полей в научных исследованиях, инженерной практике и учебном процессе» (ГР № 01900034544);
«Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в математической физике» (РК № 0196U004543);
«Высокоинтеллектуальные системы, программирования, ориентированные на использование алгебраизованных структурных формул решения краевых задач» (ГР№ 0194U0353430);
«Развитие теории R-функций (RFM), расширение ее предметной области, усовершенствование конструктивных и программных способов» (ГР № 0198U 0054125);
«Методы построения «и обращения операторов структурных и компьютерных моделей объектов сложной формы в механике сплошных сред» (№ 1/262, грант Государственного комитета Украины в делах науки и технологий); «Аналитико-геометрическое и компьютерное моделирование высоких технологий изготовления и эксплуатации объектов сложной конфигурации, находящихся в условиях высоко градиентных воздействий» (№ 2/847, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);
«Разработка новых методов математического моделирования задач механики сплошных сред на основе теории R-функций и теории неархимедовых исчислений» (№ 1.4/162, грант Министерства Украины в делах науки и технологий); «Разработка новых методов исследования задач дифракции упругих и неупругих волн на объектах неклассической геометрической формы» (№ 1/2002 о научно-техническом сотрудничестве между ИРЭ РАН и ИПМаш НАНУ); «Разработка и обоснование новых численно-аналитических методов исследования задач упругости и термоупругости объектов сложной формы» (№2/2002 о научно-техническом сотрудничестве между НУК ИУ МПУим. Н.Э. Баумана и ИПМаш НАНУ).
Научная новизна результатов диссертации
Предложен новый подход исследования физических полей экспериментальной физики в объектах сложной геометрической формы, основанный на использовании конструктивного аппарата теории R-функций.
Построены математические модели, аналитические решения — структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.
Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.
Исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках.
1. Найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона - 20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуации, при исследовании электродинамических полей в гелий-неоновом лазере с микроволновым возбуждением. '2. Определены области оптимальных геометрических размеров полукоаксиального резонатора, нагруженного кристаллами KDP и ниобата лития. Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах.
-
Проведены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом KDP. Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.
-
Изучено электромагнитное поле фотоприемного устройства, созданное на основе биконического резонатора, внутри которого находится диод сложной геометрической формы.
-
Создана математическая модель и проведено численное моделирование и экспериментальные исследования электромагнитных полей в резонансных фотоприемных устройствах автогенераторного типа. В результате этих исследований удалось исключить побочные колебания гетеродина и найти оптимальную структуру поля в зазоре резонатора, воздействующую на фотоэлектронный умножитель, и создать резонансные фотоприемные устройства, обеспечивающие максимальный коэффициент преобразования лазерного излучения в измеряемый гармонический сигнал.
Исследованы тепловые процессы в элементах сложной геометрической
конфигурации.
1. Разработан подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории R-функций и дифференциально-разностного метода.
-
Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (GSS) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы.
-
Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию R-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию R-функций, а также метод наименьших квадратов и RFM.
-
Созданы математическая модель, алгоритм, вычислительные схемы и получены численные результаты задачи исследования - температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы выхода на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.
-
Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом R- функций.
-
Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.
Исследовано напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов неклассической геометрической формы. 1. Построены математические модели задач и проведен вычислительный эксперимент по исследованию напряженно-деформированного состояния в элементах технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.
-
Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке, авиацирнного двигателя и цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.
-
Разработаны математические модели задач определения упругопла-стического состояния элементов технологического процесса.
-
Представлены алгоритмы, вычислительные схемы, численные результаты решения задач определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных тел конечных размеров, которые широко используются в качестве элементов технологической оснастки, нагруженных за пределами упругости.
-
Создана математическая модель задачи отыскания силовых параметров элементов технологического процесса, которая рассматривается как задача упругопластического деформирования трубчатых заготовок.
-
Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.
-
Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электро-оптическом эффектах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью ма
тематических постановок задач, построением априорных и апостериорных оце
нок погрешностей численных решений, сравнением результатов, представлен
ных в диссертационной работе, с известными точными решениями или данны
ми других авторов, а также с результатами некоторых физических эксперимен
тов. Целесообразность разработанных подходов исследования физико-
механических полей подтверждается вычислительным экспериментом в реше
нии практически важных задач, а также результатами физических эксперимен
тов, о чем имеется акт внедрения.
Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы подтверждены физическими экспериментами и использованы при создании новых приборов, таких как гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.
Методы исследования В работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и математической физи-
ки, методы решения задач математической и экспериментальной физики, теория R-функций, компьютерное моделирование, программное обеспечение, вычислительный эксперимент.
Теоретическое значение работы
Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.
Построены математические модели задач исследования электродинами
ческих полей в лазерах, модуляторах, приемниках.
Получены зависимости электродинамических характеристик модулято
ров, лазеров и приемников от геометрических и физических параметров.
Разработана методика исследования пространственных задач математической физики для уравнений эллиптического типа, которая использует дифференциально-разностный метод и теорию R-функций.
Исследованы апостериорные погрешности решения пространственных краевых задач в неклассических областях, которые базируются на совместном использовании теории сопряженных вариационных задач и метода R-функций.
Предложены подходы к исследованию нестационарных температурных полей в областях сложной геометрической формы, основанные на теории R-функций и ее сочетании с конечными разностями и интегральными преобразованиями.
* Разработана математическая модель задачи определения температурного
поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана.
Предложен подход к исследованию задач для теплоизлучающего тела неклассической формы, который использует аппарат теории R-функций.
Разработана математическая модель для исследования тепловых процес
сов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изу
чены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволно
вых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электро
динамическим полям. Рассматривались полукоаксиальные резонаторы
сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены
температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на про
дольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.
Создана математическая и компьютерная модель определения термоупругих и упругопластических деформаций в элементах технологической оснастки, которые находятся в условиях сложного нагружения.
Построены алгоритмы определения термовязкоупругопластичных полей в геометрических телах сложной формы.
Разработана математическая модель исследования поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.
Разработаны новые структурные и компьютерные модели, алгоритмы и вычислительные схемы исследования динамических задач термоупругости (задачи дифракции упругих и термоупругих волн) для объектов неклассической формы.
Практическое значение работы
Результаты диссертационной работы использованы при создании Государственного первичного эталона объемной активности радона-222 (ДЕТУ 12-01-97) и рабочего эталона единицы длины метра в области больших длин согласно с «Программой создания эталонной базы Украины на 1993-1997 годы» и применены для автоматизации моделирования физических процессов в эталонных генераторах радона-222, для исследования электромагнитных полей в элементах сложной геометрических формы, таких как газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.
Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы использованы при создании новых приборов, таких как, газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.
Это позволило сократить ряд дорогостоящих экспериментальных исследований и выбрать конструкцию приборов, обеспечивающих высокую точность измерений.
Предложенные в диссертационной работе структурные модели, методы, программное обеспечение используются для оценки термонапряженного состояния в установках для добычи твердых полезных ископаемых со дна мирового океана (НИПИ "Океанмаш", г. Днепропетровск), в исследовании задач определения упругих, термоупругих, упругопластических деформаций в технологических элементах, которые широко применяются в авиастроении, а также в иных разработках, которые выполнялись по темам государственного бюджета и договорным роботам.
Апробация результатов работы Главные идеи, положения и результаты исследований были представлены на конференциях и научных семинарах: на кафедре математической физики Харьковского университета (г. Харьков, 1980 г., рук. семинара д-р физ.-мат.н. ВАЩербина); на Всесоюзной школе "Вычислительная математика и математическое моделирование" (г. Минск, 1984 г., рук. академик А.А. Самарский), на межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (г. Днепропетровск, 1987г., рук. академик В.И.Моссаковский), на кафедре общей механики Белорусского университета (г. Минск, 1988г., рук. д.-р физ.-мат.н. НА Прусов), на Республиканской конференции."Эффективные методы решения задач механики" (г. Харьков, 1989 г.); на Всесоюзной конференции "Жизнь и компьютер" (г. Харьков, 1991 г.); на Всеукраинской конференции "Новые подходы к решению задач математической физики" (г. Львов, 1993 г.), на Международной конференции 100 лет использования электромагнитных волн. Волновые процессы в радиофизике" (г. Москва, 1995 г); на Всеукраинской научной конференции "Разработка и использование математических методов в научно-технических исследованиях" (г. Львов, 1995 г.); на. ГУ международной конференции по механике неоднородных структур (г. Тернополь, 1995 г.), на конференции, посвященной памяти профессора Ю.Н. Коляно (г. Львов, 1996 г.), на семинарах отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины ( 1987 -1999 гг.), на Международной научной конференции «Сучасни проблеми механики и математики» (м Львов, 1998 р.); на Международной научной конференции "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves"(r. Харюв, 1998 p.), Международной научной конференции "Dynamical Systems Modeling and stability Investigation Systems Modeling" (г. Киев, 1999 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию профессора ХМ. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина (Казань, 26-30 июля 2000 г. Институт механики и машиностроения КНЦ РАН) « Актуальные проблемы механики бболочек»; шестой Международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (In Memory of N.N. Govorun, July 24-29, 2000, Dubna, Russia. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Computing Techniques and Automation), "Исследование физико-механических полей в областях сложной геометрической формы методом R-функций" (Московский государственный университет, 2002 г.), International Workshop on Laser and Filter-Optical Networks Modeling, (June 3-5, 2002, V.N. Karazin National University & National University of Radio Electronics, Харьков, Украина).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 33 научные работы. Автором выполнены следующие разработки:
предложен новый подход к изучению физических полей в приборах и элементах экспериментальной физики, который использует аппарат теории R-функций;
разработаны новые математические модели задач исследования физических полей в областях неклассической геометрической формы;
исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках, определены оптимальные геометрические характеристики резонаторов, имеющих наперед заданную структуру электродинамических полей;
определены структуры магнитного и электрического поля в биконическом резонаторе;
найдены оптимальные режимы работы фотоприемных устройств, созданных на осове биконического резонатора;
исследованы диссипативно-тепловые процессы в электрооптических кристаллах. Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям;
выполнен расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем и др.;
разработана методика исследования температурных полей в пространственных областях неклассической геометрической формы, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций;
проведено исследование апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач;
исследовано температурное поле в сложных геометрических объектах, используемых в качестве ТВЭЛов в различных теплообменниках;
получены тепловые характеристики и режимы работы установок для добычи твердых полезных ископаемых со дна океана;
разработаны алгоритмы определения нестационарных тепловых полей, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа, на основе теории R-функций с использованием:
а) интегральных преобразований,
б) дифференциально-разностного метода,
в) метода наименьших квадратов;
- предложен алгоритм решения задач определения температурных полей в
излучающих системах;
разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.
- исследованы поля температур и напряжений в лопатках авиационных
двигателей, а также в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса;
создана математическая модель и проведены исследования процессов формообразования и отыскания силовых параметров технологических элементов при упругом, термоупругом и упругопластическом деформировании трубчатых заготовок;
определены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах, на основе созданной математической модели.
созданы структурные модели и аналитические решения, вычислительные алгоритмы и схемы для численной реализации структурных моделей и задач дифракции упругих термоупругих и нестационарных волн на объектах произвольной формы;
создано программное обеспечение для проведения численных исследований линейных, нелинейных и динамических задач математической физики, в рамках которого выполнен вычислительный эксперимент по определению физико-механический полей различной природы в сложных геометрических объектах, которые широко используются в различных отраслях промышленности.
Объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы - 279 с, таблиц -34, рисунков -134, библиография включает 234 наименования.
Структурные модели (GSS) задач исследования физических полей
Исследованиям задач (1.19)-(1.20) посвящено достаточно большое число работ [23-45, 116,138 и др.], в которых решения получены как аналитическими, так и численными методами в большинстве для областей классической геометрической формы. Решения в областях сложной геометрии представлены недостаточно. В данной работе приводятся исследования задач определения физико-механических полей с помощью конструктивного аппарата теории R-функций (RFM) [56-67]. 1.2 Структурные модели (GSS) задач физических полей Приведем основные моменты теории R-функций [56-58], которая привнесла методы математической физики конструктивные элементы алгебры логики. Это в свою очередь позволило сформулировать понятие структуры решения (GSS) (т.е. формы, в которой отыскивается решение) как функциональное соотношение и=В(Ф), где U - решение задачи, В - известный оператор, учитывающий граничные условия краевой задачи, определяемый на множестве М, а элемент Ф выбирается так, чтобы наилучшим образом (в том или ином смысле) удовлетворить исходному уравнению. Основная идея построения структурных формул, учитывающих граничные условия, состоит в разложении в ряд искомого решения по степеням функции й) или $ї, где О), 6 -левые части нормализованных уравнений границы области S (д2) или их участков [56]. Пусть граница ЬО области Q будет С - многообразием и описывается а 0с)єС"(Д"), xeR", при этом такой функции &(х) осуществляется по методике [58] с использованием R - операций, это один из этапов нахождения решения исходной задачи. Приведем в качестве примера уравнение границы дО, области Q (рис. 1.1 а). Граница в данном случае состоит из отрезков АВ и ED прямых и дуг BCD и EFA. Исходя из этого, выберем в качестве опорных функций такие: Тогда для области Q можно записать уравнение границы dd будет иметь вид компьютерные символы &о и !о используются для следующих R-операций: операции R - конъюнкции и R - дизъюнкции, которые раскрываются таким образом Если рассматривается пластинка прямоугольная со сторонами айв и скругленными углами (рис.1.1, б), то ир 2) = (/і&о/2)!о(/з!о/4)Іо(/5Іо/б). радиусы и координаты центров окружностей, с помощью которых скругляются углы прямоугольника, &о, !о- знаки соответствующих R-операций. Уравнения более сложных геометрических объектов приведены в монографиях и многочисленных статьях по теории R-функций [56-66], а также в данной работе. Следующим этапом является удовлетворение исходному дифференциальному уравнению [59-60]. В большинстве случаев этот процесс при численных решениях реализуется обычно либо сеточными [88-107], либо вариационными методами [68,69]. В вариационных методах учет информации об области Q, ее границе дО, и граничных условиях осуществляется в процессе построения координатных (базисных) функций, обладающих необходимыми свойствами полноты и линейной независимости.
В данной работе координатные функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям, строятся с помощью метода R-функций. Это дает возможность при построении структур решений (GSS) [70-74] учесть геометрическую информацию краевой задачи на аналитическом уровне без какой - либо ее аппроксимации, т.е. создания структурных моделей. Введем понятие структуры решения краевой задачи. Пусть ищется решение уравнения которое удовлетворяет краевым условиям где Ф - элементы некоторого множества М, щ - известная функция, В - известный оператор, называется структурой решения, учитывающей краевые условия, если при любом выборе элемента Ф є М функция и, определяемая формулой (1.24), удовлетворяет краевому условию (1.23). После построения структуры решения краевой задачи и подстановки ее в основное уравнение приходим к уравнению относительно неопределенных компонент структуры Ф, но уже без граничных условий. Единственное требование -Ф є Ск (Q), U -замыкание Q, где к зависит от порядка уравнения рассматриваемой задачи. Для некоторых классов задач математической физики такие структуры построены [61-65]. Для более сложных классов задач (в особенности для систем уравнений) при решении вопросов конструирования структурных формул возникают дополнительные трудности, связанные с обеспечением их полноты и компьютерной реализацией (создание соответствующего функционального наполнения системы ПОЛЕ) [73, 80-84], Исследования по обоснованию метода R-функциЙ касаются таких вопросов как сходимость метода, его устойчивость при численной реализации, оценка точности решения -априорная или апостериорная, полнота структурных формул и их аппроксимационных свойств [70-75]. Приведем один из возможных приемов конструирования структурных формул [57,58]. Пусть на 6Q задано одно граничное условие вида где В - дифференциальный оператор граничного условия, имеющий наибольший порядок дифференцирования к. Продолжим граничное условие (1.23) с границы 8Q на всю область.
Автоматизация вычислительного процесса и компьютерное моделирование в задачах исследования физических процессов
Накопленные знания в области решения многих сложных задач экспериментальной физики в настоящее время реализуются не только опытными испытаниями, которые зачастую приводят к необходимости использования дорогостоящих материалов, но и помощью компьютерной техники. Проблемы компьютерного моделирования в исследовании процессов оптимальной эксплуатации конкретных приборов и установок относятся к одному из развиваемых современных направлений - компьютерному моделированию. В настоящее время популярностью в области решения задач исследования физико-механяческих полей пользуются системы и программные комплексы (QPSYN, KAUS, ANSYS и т.д.), разработанные на базе метода конечных элементов (МКЭ). Однако многие автоматизированные системы для вычислительного эксперимента имеют тот недостаток, что зачастую отсутствуют средства взаимодействия с программами на естественном математическом или физическом языке постановки конкретной задачи исследования. Стремительное повышение производительности современных компьютеров, разработка новых процессоров и языков, в большей степени, ориентированных на символьную обработку данных, позволяет создавать компьютерные системы для вычислнтельной механики, ориентированные на пользователя не знакомого с базами данных, программированием, компьютерным моделированием. На протяжении 30 лет под руководством академика Рвачева В.Л. ведутся работы по созданию программирующих систем серии "Поле" для решения краевых задач математической физики. За это время было создано около десяти крупных версий системы [57], рассчитанных на использование быстро меняющихся инструментальных средств и технологий программирования с учетом вычислительного ресурса того или иного поколения ЭВМ (М-222, БЭСМ-б, ЕС 1045, ПЭВМ). Системы серии "Поле" являются высокопродуктивными программными изделиями, базовым математическим аппаратом которых является теория R-функций. В рамках системы "Поле" выполнены многочисленные исследования и проведен широкий вычислительный эксперимент по определению температурных полей, полей напряжений, создаваемых в упругих телах, оценки динамической напряженности возле концентраторов различной формы, упругопластического деформирования, вычисление электродинамических характеристик [80 - 84]. Специализированная система "Поле" позволяет проводить вычислительный эксперимент для исследования физических полей различной природы без ограничения на характер краевых условий, форму области и участков ее границы. Применение системы а "Поле" позволяет получать приближенные аналитические решения, точно удовлетворять (в случае необходимости) всем краевым условиям, учитывать априорную информацию о поведении решения (если она есть) и т.д. Входные языки системы максимально приближены к обычной математической записи постановки задачи и алгоритма ее решения, практически полностью исключают процессы программирования в традиционном смысле слова. Использование системы "Поле" во много раз сокращает время на программирование и численное исследование задач математической физики. Разработанный проблемно-ориентированный язык RL - 2 имеет развитые средства для описания как геометрических, так и аналитических компонент краевых задач. В системе ПОЛЕ имеется широкий набор средств для описания: методов решения краевых задач (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов, Трефтца и др.) методов решения задач линейной алгебры (решение систем уравнений, проблемы собственных чисел и собственных векторов); выбор аппроксимирующих полиномов (Чебышева, тригонометрических, сплайнов, атомарных функций и др.); выбор методов интегрирования (по п - точечной формуле Гаусса и др.); различных конструктивных средств теории R-функций ( R-операции, специальные операторы, структуры решения и др.) и др. Возможность представления приближенных решений в виде формул, содержащих в качестве буквенных параметров характеристики физических и геометрических величин, позволяет проводить в рамках системы ПОЛЕ серию вычислительных экспериментов с изменением необходимых параметров, а также решать задачи оптимизационного характера. Результаты решения краевых задач (различные дифференциальные и интегральные характеристики) отображаются на устройства вывода информации в виде таблиц, графиков, картин линий уровня и др. Использование системы ПОЛЕ для задач экспериментальной физики позволяет в несколько раз сократить время на составление и отладку программ, а также проведение вычислительного эксперимента. Этот эксперимент необходим для выяснения пригодности и корректности физических и математических моделей задач; выбора метода и реализующего его вычислительного алгоритма; решение тестовых (модельных) задач; анализ численных результатов реальных задач и др. Основные фрагменты записи входной информации для системы ПОЛЕ на языке высокого уровня RL-2 при исследовании физических задач содержат такие разделы: 1. DECLARE - декларирует необходимые для конкретной задачи исходные геометри ческие и физические параметры, 2. OMEGA - представляет аналитическую запись функции св(х), также уравнения уча стков границы рассматриваемой области (если это необходимо). 3, PROGRAM - содержит в аналитическом виде структурные формулы решения конкретной [Задачи; функционал, соответствующий данной краевой задаче; информацию о методе решения системы алгебраических уравнений; виды характеристик решения задачи и способ вывода их на те или иные устройства ЭВМ и др. Этот блок является основным в системе ПОЛЕ. 4. VALUE - включает в себя численные геометрические и физические данные задачи. Проведение численного эксперимента предполагает замену блоков в программе, которые необходимы в численных исследованиях с учетом тех или иных критериев оценки решения. Если рассматривается одна и та же постановка задачи, но для различных геометрических объектов, то в программе достаточно изменить блок OMEGA. В том случае, когда один и тот же геометрический объект исследуется при различных воздействиях на границе, то изменение в блоке PROGRAM структурной формулы и функционала позволяет получать решения и в этом случае, не изменяя других программных модулей задачи [82]. Заметим, что, несмотря на то, что математической основой системы ПОЛЕ является теория R-функций (RFM), она позволяет использовать сочетание RFM с классическими и численными методами для исследования как скалярных, так и векторных задач (рис, 1.5). Например, исследование пространственных задач теплопроводности позволяет наряду с традиционным использованием теории R-функций, применять ее сочетание с конечными интегральными преобразованиями, или же с конечно-разностными методами.
Нестационарные тепловые задачи исследуются подходами, основанными на совместном применении теории R-функциЙ и интегральных преобразований, дифференциально-разностного метода или метода наименьших квадратов. В исследовании упругопластических деформаций применяется один из методов линеаризации нелинейных задач теории упругости и теория R-функций и др. Выводы 1. Приведены основные положения теории R-функций. 2. Представлены аналитические решения - структуры решения (GSS) основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости. 3. Построены компьютерные модели численного исследования основных задач математической физики. В данной главе исследуются электродинамические характеристики приборов, применяемых в лазерной физике. Современная лазерная физика решает следующие проблемы: - поиск новых генерирующих сред и методов их возбуждения; - функциональной, цифровой, шумовой и смешанной модуляции лазерных пучков; - оптимального распространения и приема лазерных пучков. В связи с этим разрабатываются и создаются новые приборы лазерной техники -автогенераторные гелий-неоновыми лазеры, модуляторы и автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микроволнового диапазона длин волн. Сложность геометрической формы новых приборов не позволяет записать в аналитическом виде известными классическими методами удобное для практического использования выражение для определения характеристик резонаторов в зависимости от его геометрических параметров. Известные соотношения [158-159] для резонансной частоты даются, как правило, для тел классической формы с заданными значениями физических характеристик е0,р0. В наших исследованиях для вычисления электродинамических характеристик резонаторов неклассической формы применяется метод R-функций (RFM) [58]. В главе приводятся математические модели задач исследования электродинамических полей, алгоритмы вычислительные схемы и программы, реализующие метод R-функций, при моделировании процессов генерации, модуляции и приема лазерных пучков с представлением конкретных результатов численного моделирования и лабораторных экспериментов с новыми приборами лазерной техники. Получены аналитические решения и численные результаты основных характеристик биконического резонатора с одноосным кристаллом. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения. Исследовано влияние геометрических параметров на электродинамические характеристики лазеров, модуляторов, приемников. Полученные решения использованы при создании резонансных электрооптических модуляторов лазерного, рентгеновского и гамма-излучений. Найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона-20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуации.
Исследование электромагнитных полей в полукоаксиальных резонаторах, нагруженных кристаллами
В данном разделе приводятся результаты исследования электрооптических резонансных модуляторов, работа которых основана на продольном и поперечном электрооптическом эффектах. Известно, что модуляция - это изменение по заданному закону характеристик лазерного излучения для получения информационного сигнала с определенной временной зависимостью. Она осуществляется изменением показателя преломления оптической среды, изменением добротности резонатора, расщеплением или сдвигов уровней энергии атомов, молекул и т.д. Для модуляции лазерного излучения используют эффекты: линейный электрооптический, магнитооптический и эффект фотоупругости. Существуют такие типы модуляции - амплитудная, фазовая, частотная и поляризационная. Глубина модуляции связана с амплитудными значениями выходного сигнала. Электрооптический эффект - это изменение показателя преломления кристалла пропорционально напряженности электрического поля (линейный электрооптический эффект, проявляющийся в твердых телах - кристаллах, лишенных центров симметрии) или пропорционально квадрату напряженности электрического поля (квадратичный электрооптический эффект, наблюдаемый в жидкостях и газах). Электрооптический эффект заключается в возникновении двулучепреломления оптически прозрачной изотропной среды, помещенной в электрическое поле напряженностью Е. Дипольные молекулы среды под воздействием электрического поля приобретают определенную, и оптическая ось этой ориентированной группы молекул становится параллельна вектору Е электрического поля. Излучение преобразуется в две волны -обыкновенную и необыкновенную. В нашем случае рассматриваются продольный эффект - направление лазерного пучка и силовых линий напряженности электрического поля параллельны; поперечный эффект - направление лазерного пучка и силовых линий напряженности электрического поля перпендикулярны. Исследуются одноосные кристаллы - дигидрофосфат калия KDP, а также кристалл ниобата лития, который относится к тригональной системе. В современных лазерных дальномерах-рефрактометрах (ЛДР) широко используются электрооптические резонансные СВЧ модуляторы, в которых применяется электрооптическая модуляция с использованием линейного электрооптического эффекта в кристаллах. При создании резонансных электрооптических модуляторов в микроволновом диапазоне возникают трудности, связанные с диссипативно-тешювыми процессами в электрооптических кристаллах, приводящими к нелинейно-оптическим эффектам. В результате этого происходит искажение волнового фронта, изменение оптического пути и снижение глубины модуляции лазерных пучков. Это приводит к возрастанию погрешности и уменьшению диапазона квантово-электронных систем (КЭС) линейных измерений [222-228]. Для того, чтобы учесть нелинейно-оптические эффекты в электрооптических модуляторах (ЭОМ) микроволнового диапазона, необходимо знать распределение электромагнитного и температурного полей в электрооптическом кристалле, а также в резонаторе.
В [229] приведены результаты решения задачи создания и исследования электрооптических резонансных СВЧ модуляторов для лазерных дальномеров-рефрактометров с абсолютной инструментальной погрешностью измерения длины не более ±0,05 мм. Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в электрооптических резонансных СВЧ модуляторах, нагруженных кристаллом класса KDP, с использованием методов разделения переменных и частичных областей, подтверждены физическими экспериментами. Предлагается новый подход, основанный на математическом моделировании стационарных электромагнитных полей в ЭОМ, с применением теории R-функций [58]. По найденным электромагнитным полям можно провести физический анализ температурного поля и дать оценку напряженно-деформированного состояния кристалла. Исследование рассматриваемых полей осуществляется в несколько этапов. На первом - определяются физические характеристики электромагнитного поля. На втором - температурное поле на основе стационарного уравнения теплопроводности, тепловьш источником в котором является диссипативная функция, характеризующая электромагнитное поле в ЭОМ и кристалле. Далее на основе решения электродинамической и тепловой задач изучается напряженно-деформированное состояние кристалла, когда действующей внешней нагрузкой на него являются только диссипативно-тепловые режимы. В данном разделе приведены результаты исследования электродинамических характеристик резонаторов, нагруженных кристаллами. Исследования тепловых и полей напряжений будут представлены далее. Рассмотрим СВЧ модулятор ЛДР, который представляет собой полукоаксиальный Рис. 2.13 резонатор (ПРК), нагруженный цилиндрическим ортотропным кристаллом класса 42 т, который расположен в торце резонатора (рис.2.13). Геометрические и физические параметры его выбирались таким образом, чтобы в полукоаксиальной части ПКР возбуждалась ТЕМ- волна, а в кристалле - Е -волна.
Апостериорные оценки погрешностей структурных решений краевых задач теплопроводности
Во всяком приближенном методе одним из вопросов исследования является вопрос о достоверности; значений получаемых искомых величин. 120 Априорные теоретические оценки носят общий характер и, как правило, содержат трудно вычисляемые константы и не учитывают специфики решаемой задачи. Для практики в большей степени приемлемы апостериорные оценки погрешности [114-115]. Эффективный метод определения апостериорных оценок погрешности приближенных решений изложен в работе [117]. Существующие подходы определения апостериорных оценок погрешности [114,117,118] состоят, как правило, в построении двойственных задач и нахождении экстремумов на множествах функций, которые должны удовлетворять некоторым дифференциальным связям, что затрудняет численную реализацию и автоматизацию решения задач с заданной оценкой точности. Концепция определения апостериорных оценок погрешностей, связанная с работой [114], предполагает получение их с помощью "сопряженных" вариационных задач. Суть этого подхода состоит в том, что основной вариационной задаче сопоставляется вариационная "сопряженная" задача. Затем по найденным решениям сопряженной и основной вариационных задач оценивается в той или иной метрике решение исходной задачи. В данной работе с использованием аппарата теории R-функций, интегральных преобразований и теории сопряженных вариационных задач исследуются апостериорные оценки погрешности пространственных краевых задач теплопроводности [116]. Для исследования пространственных задач используем подход, предложенный в [64-65], который основан на совместном применении конечных интегральных преобразований [2,94-98] и теории R - функций. Приведем основные моменты этого подхода применительно к уравнению (1.40)-(1.42), считая при этом выполненными условия применимости конечного интегрального преобразования [2]. Применим конечное интегральное преобразование, например, по переменной хз к уравнению (3.1)-(3.2) вида где К(хъу) =С2(аз,Ьз) - ядро (3.24) существует в смысле Лебега. Тогда приходим к двумерной краевой задаче относительно новой функции и(х) = и(х],х2,у) .t=i Параметр / и функция К(х ,у) являются собственными числами и собственными функциями соответствующей задачи Штурма - Лиувилля: L,K = -y2K, где Li - самосопряженный линейный дифференциальный оператор второго порядка, Ъг - оператор граничных условий задачи Штурма-Лиувилля [2].
При применении конечного интегрального преобразования (3.24) предполагается существование обратного конечного преобразования (3,28) 122 Определив решение задачи (3.25)-(3.26), решение исходной задачи (3.1) - (3.3) представим с помощью обратного преобразования (3.28) в виде ряда Краевая задача (3.25) - (3.26) решается как двумерная для каждого собственного числа -задачи Штурма - Лиувилля методом R-функций. Применение любого приближенного метода предусматривает исследование вопроса сходимости приближенного решения. Теорема 3.1. Если решение пространственной краевой задачи (3.1) - (3.3) можно получить в виде (3.29), то это решение сходится к точному решению в метрике того функционального пространства, в котором с помощью структурного метода и конечных интегральных преобразований (3.24) найдено решение преобразованной краевой задачи (3.25)-(3.28) [116]. Теорема 3.2. Пусть в области О с границей Г задана т раз непрерывно дифференцируемая функция и(х), x=ty\jci), удовлетворяющая на границе Г условиям Функция аэ(х\ определенная в открытой области, содержащей О, удовлетворяет условиям (1.21). Тогда для функции и(х) можно построить такую структуру (1.40), для которой, выбрав произвольные компоненты ро (х) структуры из пространства, элементы которого обладают свойством наилучшего приближения функций, непрерывно дифференцируемых до m-го порядка в области и обращающихся в нуль на границе Г, а компоненты pi{x), /=1 - N, из пространств, элементы которых обладают свойствами наилучшего приближения функций, непрерывно дифференцируемых до (т-к)-го порядка в области Q и равных нулю на границе вместе с первыми производными, будет справедливо неравенство
Похожие диссертации на Автоматизация моделирования физических процессов в задачах приборостроения
