Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 13
2 Физико-математическое моделирование 22
2.1 Поперечное сечение передач энергии от налетающей частицы в среду . 22
2.2 Разделение атомных оболочек 23
2.3 Атомные данные 26
2.4 Эмиссия вторичных частиц 30
2.5 Поглощение электронов 32
3 Сравнение с экспериментами 51
3.1 Число первичных кластеров 51
3.2 Количество ионизации ' 53
3.2.1 Амплитудные спектры в пропорциональных камерах 53
3.2.2 Спектры ограниченных средних в многослойных детекторах . 57
3.2.3 "Усредненное ограниченное среднее как функция скорости 59
3.2.4 Наиболее вероятная ионизация как функция скорости 66
3.2.5 Зависимость релятивистского роста наиболее вероятной ионизации от толщины слоя 68
3.3 Пространственные флуктуации 74
4 Численное моделирование 77
4.1 Введение 77
4.2 Язык программирования и основные компоненты программы 78
4.3 Методология численного моделирования на C++ 81
4.4 Моделирование геометрии экспериментальных установок на C++ 86
Заключение 92
Литература 94
- Поперечное сечение передач энергии от налетающей частицы в среду
- Амплитудные спектры в пропорциональных камерах
- Зависимость релятивистского роста наиболее вероятной ионизации от толщины слоя
- Язык программирования и основные компоненты программы
Введение к работе
Детекторы, основанные на регистрации ионизации, производимой быстрыми заряженными частицами в газах, широко распространены в физике высоких энергий и ядерной физике. Их главная роль заключается в определении пространственного положения трека и времени его появления без поглощения пролетающей частицы или какого-либо существенного влияния на ее дальнейшее движение. Количество ионизации, созданной в рабочем объеме детектора, может также измеряться и давать информацию о заряде и скорости частицы. Благодаря фактической прозрачности газонаполненных детекторов для быстрых заряженных частиц эти устройства обычно оказываются совместимыми с другими детекторами и часто используются как компоненты сложных детекториых систем. В целом, они часто становятся ключевыми элементами современных экспериментальных установок. В современных и планируемых коллайдерных экспериментах наиболее масштабное применение они находят для регистрации мюонов. В качестве примера процитируем «Technical Proposal» эксперимента CMS, который готовится на создаваемом сейчас коллайдере LHC [1]: «Мюоны являются безошибочным признаком большей части физики, которую собираются изучать на LHC. Способность триггери-ровать и реконструировать мюоны при наибольших светимостях является центральной для концепции CMS, компактного мюонного соленоида (the Compact Muon Solenoid)». Причем общая площадь шоонных камер CMS составляет почти гектар [2]. Аналогичные масштабы имеют газонаполненные детекторы и в других современных коллайдерных детекторах. Газонаполненные детекторы широко используются и в экспериментах с фиксированной мишенью. И в коллайдерных экспериментах, и в экспериментах с фиксированной мишенью газонаполненные (далее просто газовые) детекторы часто используются для измерений искривления траекторий частиц в магнитном поле, что позволяет определить импульсы частиц (в частности и в CMS). Иногда они используются для идентификации типов частиц по величине производимой ими ионизации и интенсивности переходного излучения.
Большинство газовых детекторов, применяемых в физике высоких энергий, являются проволочными камерами, многочисленные разновидности которых берут свое начало от базисной конструкции, известной как многопроволочная пропорциональная камера, или счетчик (multi-wire proportional chamber, или counter) и имеющей английскую аббревиатуру «MWPC» [3,4]. Обычная MWPC детектирует количество ионизации в рабочем объеме детектора, одну координату дискретными шагами, соответствующими промежуткам между анодными проволоками, и время события. Камеры, производные (it MV/PC, обладают различными дополнительными свойствами и улучшенными характеристиками, оставаясь, как правило, камерами со многими проволоками и пропорциональным режимом работы. Они известны как дрейфовые камеры, катодные стриповые камеры, времяпроекционные камеры и пр. Существует много новых беспроволочных камер, основанных на использовании новых технологий производства. Это такие камеры, как резистивные плоские камеры (resistive plate chambers, RFC, см. [5] и другие ссылки из этой работы), и большое разнообразие микроструктурных (micro pattern) газовых детекторов (см. [6] и ссылки в этой работе): микростриповые газовые счетчики (MSGC) (об MSGC см. также [7]), газовые электронные умножители (GEM), микросеточные газовые структуры (Micromegas) и многие другие. Они обычно тоже имеют пропорциональный режим работы.
При организации крупномасштабных экспериментов весьма привлекательными оказываются возможность производства газовых детекторов но относительно простым технологиям и их относительно низкая стоимость. К недостаткам газовых детекторов относится свойственное им старение, а также необходимость квалифицированного обслуживания.
Для проектирования, совершенствования, оптимизации характеристик, анализа измерений на газовых детекторах (так же, как и на детекторах других типов), а также для различных связанных с ними исследований, например, исследований взаимодействия излучения с веществом, применяют компьютерное моделирование.
Как отмечается в работе [8], термин «модель» многозначен: «Он употребляется для обозначения, например, образцов продукции той или иной конструкции. Он может использоваться и для обозначения теории, рассматриваемой в качестве модели, соответствующей исследуемой действительности, и т. д. и т. п.» При компьютерном моделировании под термином «модель» будем подразумевать теорию и ее компьютерную реализацию. Первое удобно обозначить термином «физико-математическая модель» (этот термин применялся, например, в [9]), а второе — «численная модель». Физико-математическая модель в нашем случае — это совокупность физико-математических представлений и концепций, подходящих для численных расчетов. Они должны быть и достаточно точными, и, в то же время, достаточно простыми, чтобы избегать необоснованных затрат вычислительного времени. Численная модель, как правило, также основана иа особых представлениях и концепциях относительно того, как абстрактные теоретические представления можно реализовывать в виде компьютерных операций. Когда эти представления объединены общим философским подходом, говорят о методологии программирования. Практическая применимость, а значит и практическая ценность численной модели, существенно зависит от способов ее технической реализации. Данная работа посвящена, в основном, физико-математической модели, а вопросы создания численной модели и методологии программирования будут затронуты лишь в общих чертах.
Несмотря иа широкое использование газовых детекторов, их компьютерное моделирование пока что представляет серьезную проблему. Большое разнообразие явлений и микроскопических процессов, протекающих в них, трудно описать реалистично или надежно воспроизвести феноменологически. Существующие и особенно существовавшие на момент начала данной работы (начало 90-х годов) модели (и физико-математические, и численные) были приблизительны и основаны на комбинировании микроскопического моделирования одних явлений и использовании феноменологических, или обобщенных, свойств других. В силу многих причин прагматического, прикладного характера, в связи с необходимостью проектирования новых больших экспериментов с использованием в том числе и газовых детекторов было необходимо их всестороннее совершенствование.
Заметим, что в современной физике высоких энергий вследствие практических нужд существуют два фактически разных подхода к моделированию детекторов. Кроме детального моделирования отдельных детекторов, основанного на моделировании физики взаимодействия излучения с веществом и механизмов распространения световых и электрических импульсов, весьма распространено также и моделирование «больших» составных детекторов для целей проектирования, планирования и анализа результатов «больших» экспериментов. При таком моделировании взаимодействие частиц с веществом и особенности функционирования отдельного детектора часто можно учесть более обобщенно или формально. В современных больших экспериментах (таких, например, как CMS (CERN), участником которого является автор [1]) обычно задействовано множество «элементарных* детекторов (например, отдельных MWPC), а «события» регистрируются как множество сигналов, поступающих от иих. По этим сигналам надо восстановить треки, т. е. решать проблемы комбинаторного и пространственно-геометрического характера: «восстановление образов», удаление «мнимых» треков, фильтрация, экстраполяция треков и пр. Моделирование же отдельного слоя MWPC может быть предельно упрощено даже до уровня простого выбора между «есть сигнал» (есть «хит») или «нет сигнала» с какой-либо вероятностью, которая может быть определена либо экспериментально, либо все-таки при помощи отдельного детального моделирования. Пример анализа и решения такого рода проблем можно найти в работе автора [10], а также в работах [И, 12], в которых он был соавтором. Данная диссертационная работа посвящена другому, детальному моделированию газовых детекторов. Нас будет в основном интересовать физика функционирования отдельного детектора и физика взаимодействий заряженных частиц с веществом, а таюке возможности по их компьютерному моделированию.
Случайные процессы в обоих упомянутых выше категориях задач, как правило, моделируются, или, в буквальном переводе с английского, «симулируются», методом
Монте-Карло. В результате получается набор «событий», в которых все величины флуктуируют так, как они это делали бы в реальности. В литературе по моделированию сложных систем различной природы в технике и экономике получил распространение также и термин «имитационное моделирование» [13,14], но в физике высоких энергий ои практически не встречается. Прямая компьютерная имитация процессов и визуализация их хода иногда полезны с исследовательской и познавательной точек зрения. Однако она часто бывает и вынужденной, когда распределения вероятностей каких-либо величин или результатов элементарных процессов известны, а получить аналитически суммарный или средний результат всех процессов невозможно или слишком сложно. Бывает и так, что изначально нужен не средний результат, а именно имитация. Эта ситуация характерна и для детального моделирования газовых детекторов. Существуют различные аналитические выражения, позволяющие вычислять потери энергии в слое газа, т. е. оценивать средние потери энергии (обычно с ограничением максимальной переданной энергии), наиболее вероятные потери и флуктуации потерь. Это, прежде всего, известная формула Вете-Блоха (см., например, работы [4,15] и ссылки в них) и методика расчетов поправок и флуктуации, иногда кратко обозначаемая как теория Ландау-Штернхаймера [16-20]. Точность таких расчетов для типичных современных газовых детекторов в силу ряда причин не очень высока (что обсуждается во многих работах по ионизации, на коорые потом будут даваться ссылки). Кроме того, существуют и многочисленные более сложные и в различных аспектах более точные аналитические формулы и методы расчетов [21-25], включая и метод автора данной диссертации, опубликованный в работе [26]. Зная суммарные потери энергии пролетающей частицей в рабочем объеме детектора, можно приближенно оценить и суммарное количество начальной ионизации в нем. Однако это мало что дает для моделирования механизма его функционирования и определения его характеристик, поскольку для этого необходимо знать распределение ионизации по объему, причем с учетом всех флуктуации и корреляций между всеми характеристиками. Ясно, что получить такого рода «реалистичное» распределение можно только в виде компьютерной модели, прямым образом моделирующей все физические процессы методом Монте-Карло.
Приемы «разыгрывания» случайных процессов были известны математикам очень давно. Причем для выполнения случайного выбора зачастую использовались атрибуты азартных игр. Когда в середине сороковых годов прошлого века для этих методов нашлось применение, далекое от игр (расчет цепных ядерных реакций), для автоматизации расчетов были применены первые электронные компьютеры, а сам метод получил название «метод Монте-Карло». В качестве авторов этого названия и идеи применения компьютеров для расчетов по этому методу указывают Джона фон-Неймана, Николаса Метрополиса и Станислава Улама (John von Neumann, Nicholas Metropolis, and Sanislav Ulam) [13,27-30]. Впервые систематическое описание этого метода опубликовано в 1949 г. в статье [27], причем уже там указано, что «новые вычислительные машины крайне хорошо подходят для выполнения описанных процедур».
Программирование компьютеров превратилось с тех пор в отдельную науку. Мы здесь ее затронем лишь фрагментарно и в концептуально-методологическом плане, причем с точки зрения физика. Суть последней автор «схем конденсированной имитации» Бергер (Berger) [31] поясняет в 1963 году следующим образом. Бергер рассматривает свои расчеты «с точки зрения физика, который программирует на упрощенном языке программирования (FORTRAN) и который желает минимизировать не только вычислительное время, но также и объем работы по программированию. Так, не много внимания уделяется способам, при помощи которых вычисления могут быть ускорены путем ЧИСТО программных приемов на базисном машинном языке, а эффективность достигается, 8 основном, через оптимальное планирование хода вычислений». При дальнейшем развитии компьютеров и практики их применения выяснилось, что проблема минимизации работ по программированию, а также и предсказания их сложности и продолжительности вообще крайне не проста. В 1968 г. было далее введено понятие «софтверного кризиса» [32]. Относительно «упрощенного языка программирования Фортран» заявлялось следующее [33]: «Чем скорее мы забудем, что Фортран когда-то существовал, тем лучше. Как способ мышления он более не является адекватным: он зря расходует мощь нашего разума, он слишком ненадежен и обходится слишком дорого. Трагическая судьба Фортрана — его широкое распространение, что ментально закрепостило тысячи и тысячи программистов на наших прошлых ошибках». Несмотря на дальнейшее развитие языков программирования и способов их применения решить окончательно эти проблемы не удалось и до сих пор [34-36]. Как резюмирует Боллингер [37]: «Создание абсолютно новой программы имеет гораздо больше общего с разработкой новой теории в физике, чем с производством автомобилей или часов на сборочной линии». Тем не менее по многим направлениям в программировании имел место впечатляющий прогресс. Особое значение имеет изобретение и становление так называемого «объектно-ориентированного программирования» (ООП).
Согласно принципам ООП информация, представленная данными и имеющими к ним отношение функциями, группируется в соответствии с ее значением и образует агрегаты, называемые классами (см. [34,38,39] и множество других источников, в частности работы автора [40,41]). Эта технология оказывается наиболее эффективна, если классы и объекты интерпретируются не просто как какие-нибудь обозначения в программе, а как представления реальных типов реальных объектов или, быть может, представление абстрактных понятий и концепций предметной области. Операции над программными объектами представляют реальные или абстрактные свойства настоящих объектов. При этом мы уже не просто «планируем ход вычислений», а создаем модели объектов и явлений предметной области, т. е. описываем их названия, состояния, свойства, взаимодействия, время жизни и т. л. Эффективность при этом обеспечивается не только и не просто оптимальным планированием хода вычислений, а скорее выбо- ром подходящего уровня детальности моделирования [42]. Фактически мы записываем в компьютер на понятном ему и нам языке все концепции данной предметной области, существенные с точки зрения решаемых задач. Это особо высвечивает познавательную ценность программы, а также и роль языка программирования как инструмента познания. «Инструменты, которые мы пытаемся использовать, так же, как и язык или обозначения, которые мы используем, чтобы выразить или записать наши мысли, являются основными факторами, определяющими, что мы можем подумать или выразить вообще» [33]. В качестве философского обоснования ООП можно рассматривать теорию познания, развитую Эйн Рэнд (Ayn Rand), см. [43] и другие книги и статьи этой американской писательницы и философа. Например, мышление, по мнению Рэнд, и есть процесс формирования концепций, а инстанция, которая их формирует, есть разум. В этом контексте весьма интересно также изречение, приписываемое Нильсу Бору: «Нашей целью является не проникнуть в суть вещей, значение которых мы не знаем все равно, а развить концепции, которые позволили бы нам говорить продуктивным образом о явлениях природы» [7].
С прагматической точки зрения можно еще отметить, в частности, что такая технология дает возможность масштабировать, а также «повторно использовать» (re-use) программу [10]. Термин «масштабирование» мы определяем как возможность увеличивать (существенно) размер программы при расширении или обобщении ее предназначения (например, включение более широкого ряда физических процессов) либо при детализации расчетов (т. е. когда моделирование становится более микроскопическим). А термин «повторное использование» употребляется в литературе для обозначения использования программы или ее части для другой цели, нежели та, для которой она первоначально писалась. Например, использование компонент программы Монте-Карло не для генерации моделируемых данных, а для обработки данных реального эксперимента. Но четкого разграничения между масштабированием и повторным использованием нет.
Когда налетающая заряженная частица проходит через газ, она передает часть ее энергии атомам в неупругих соударениях с ними. Эта энергия рассеивается в веществе через эмиссию серии электронов и фотонов, которые ионизируют другие атомы, и так далее. Когда энергии электронов и фотонов становятся меньше, чем минимальный ионизационный потенциал в данном материале, размножение свободных электронов заканчивается. После этого выбитые электроны остаются свободными в течение некоторого значительного времени. Вместе с ионами они могут быть названы начальной ионизацией. Регистрация начальной ионизации и измерение ее количества, положения и времени возникновения является целью газовых детекторов. Однако процессы, задействованные при регистрации (дрейф, прилипание, усиление, наведение сигналов и т. п.), мы рассматривать не будем. Компьютерное моделирование количества и пространственного положения начальной ионизации является целью данной работы.
Нам нужен достаточно универсальный алгоритм, применимый, как минимум, для любых газов, хорошо теоретически обоснованный и экспериментально проверенный. В качестве налетающих частиц мы будем рассматривать лишь быстрые (т. е. движущиеся много быстрее, чем атомные электроны) и однократно заряженные частицы (для многократно заряженных частиц в программе используется простое предположение о пропорциональности сечения ионизации квадрату заряда; но вопрос об ионизации под действием тяжелых ионов здесь рассматриваться не будет). С точки зрения практических применений, наиболее вероятные кандидаты «в налетающие частицы», это протоны, ті--, /г-, К-мезоны, электроны и позитроны. Будем считать, что потери энергии частицы в газовом детекторе незначительны по сравнению с начальной энергией, так что изменением энергии частицы при ее пролете, так же, как и искривлением ее траектории из-за рассеяний, на атомах можно пренебречь. Тормозное, переходное и черепковское излучения рассматриваться не будут.
Также не будем рассматривать здесь, что происходит потом с начальной ионизацией, созданной в рабочем объеме газового детектора. Это могут быть дрейф, прилипание, рекомбинация, диффузия, флюоресценция, лавинное усиление в окрестности проволок, объемный заряд, наведение заряда на электродах, влияние магнитного поля. Существуют исследователи и компьютерные программы, специализирующиеся на этих направлениях исследований и моделирования. Генерации же начальной ионизации на момент начала работы (да во многом и сейчас) никем не уделялось должного внимания. Можно, в частности, упомянуть известную программу GARFIELD [44,45] (CERN), написанную Р. Виинхофом (R, Veenhof) с участием и с использованием компонент от нескольких других авторов и активно использовавшуюся физиками во всем мире. Она моделировала почти все дальнейшие процессы, но начальную ионизацию вырабатывала (до подключения к ней программы автора) по совершенно неподходящей для этого модели,
Другое соображение, которое учитывалось при выборе такой сферы ответственности, состоит в том, что большинство камер используются в пропорциональном режиме, когда амплитуды измеренных импульсов приблизительно пропорциональны начальному заряду [4,15]. В этих случаях знание количества и пространственного распределения начального заряда позволяет оценивать некоторые важные конечные характеристики камер без моделирования переноса этого заряда к электродам и его регистрации там. Это дает возможность, во-первых, довольно качественно протестировать правильность моделирования начального заряда по некоторым экспериментальным данным независимо от других программ и моделей и, во-вторых, непосредственно использовать эту модель для ряда исследований и прогнозов.
Решение указанных задач понадобилось в связи с проектированием детектора GEM для ускорителя SSC (строительство которого разворачивалось в штате Техас, США, но потом было отменено по решению Конгресса США), а затем детектора CMS для ускорителя LHC в Швейцарии. ПИЯФ принимал участие в проектировании мюонных систем для обоих детекторов, а позднее также в производстве катодных стриповых камер для CMS. В настоящее время производственная программа для CMS успешно завершена.
Существует широкий консенсус о том, что интенсивность ионизации атомов среды быстрой заряженной частицей зависит определенным образом от сечения ионизации этих атомов реальными фотонами, а также от диэлектрической проницаемости среды [46-55]. Диэлектрическая проницаемость является функцией суммарного сечения фотопоглощения среды. Эту теорию ионизации вслед за авторами работы [50] Эллисо-ном и Коббом (Allison & Cobb) называют моделью «фотопоглощение-ионизация», по-английски — «the photoabsorption ionization model», или «PAI»; мы будем употреблять также и русскую аббревиатуру «ФПИ».
В литературе обсуждались и некоторые другие методы расчетов сечений ионизации, не ФПИ, но сопоставимые с ней. Большинство из них, как и ФПИ, имеют в своей основе теорию Фано [56]. Но все они носят частный (например, реализованы только для отдельных субстанций, таких как алюминий или кремний) или заведомо более грубый характер (например, использование классической теории), а некоторые из них оказываются и чрезмерно трудоемкими для практического применения, см. далее в обзоре литературы.
Модель ФПИ описывает передачи энергии от частицы к среде, т. е. дает сечение этих передач. При применении этой модели для моделирования сигналов газовых детекторов обычно считается, что количество ионизации, созданной после каждого «первичного» взаимодействия, приблизительно пропорционально переданной энергии с некоторыми флуктуациями. Это приближение достаточно для тех практических расчетов, в которых небольшое пространственное рассеяние ионизации вокруг точки взаимодействия несущественно. Вследствие небольшого практического пробега (S-электронов с энергией от пуля до величин порядка кэВ, а также малой вероятности флюоресценции, часто можно считать, что вся энергия поглощается и превращается в ионизацию в точке взаимодействия. Однако это допущение оказывается неоправданным, если камера имеет очень высокое пространственное разрешение, лучшее, чем величина типичных практических пробегов. В современных катодных стриповых и микроструктурных камерах дело обстоит именно так (см., к примеру, [6,57]). Кроме того, это допущение также неоправданно, когда исследуются какие-либо процессы, которые могут зависеть от плотности начальной ионизации (например, объемный заряд вокруг анодных проволок в пропорциональной камере). Пробеги 5-электронов, а также вероятности и пробеги флюоресцентных фотонов, также играют роль при изучении характеристик детекторов переходного излучения и детекторов рентгеновских лучей. Пробеги <5-электронов являются, разумеется, функцией их энергии. Модель же ФПИ описывает передачи энергии от частицы в среду, что не идентично энергиям испускаемых (ї-злектронов. Энергии ИС- пускаемых частиц зависят от атомной оболочки, которая поглощает порцию переданной энергии. Принимая в качестве приближения, что энергия, передаваемая от налетающей частицы в столкновении с атомом, передается, в основном, одному из атомных электронов, который мы по аналогии с фотоэффектом будем называть фотоэлектроном, получаем, что энергия фотоэлектрона после его вылета из атома будет равна переданной энергии минус энергия связи данной оболочки. Затем вакансия, оставшаяся после выбитого электрона, может быть заполнена с излучением флюоресцентных фотонов и электронов автоионизации (Оже). Все эти электроны и фотоны могут быть также поглощены с испусканием вторичных продуктов, и т. д. Но ФПИ не делит оболочки, а учитывает их как бы «скопом», выдавая вероятности взаимодействий налетающей частицы с целым атомом, а не с отдельным электроном или атомной оболочкой. Причем для газов, в которых присутствует много разных атомов, она не будет делить и разные атомы. Т. е. когда «среда» представляет собой смесь атомов разного типа, сечение ФПИ соответствует даже не конкретным атомам, а некоторым «усредненным», представляющим все разные атомы, имеющиеся в среде, пропорционально их концентрации.
Таким образом, сечение ФПИ необходимо модифицировать или заменить его парциальными сечениями для отдельных оболочек. Эти парциальные сечения должны, однако, учитывать присутствие диэлектрической среды, в образовании которой все оболочки участвуют вместе. «Интуитивное» разделение, основанное на определении номера оболочки (главного квантового номера) по переданной энергии (выбор оболочки с энергией связи, меньшей, чем переданная энергия, но ближайшей к ней), не всегда оправданно, в частности, в некоторых газовых смесях и в широких газовых слоях. Правильное же разделение сечения ФПИ с последующим моделированием релаксации и поглощения вторичных частиц, по сведениям автора, не было еще никем произведено ни к периоду времени, когда автор начинал данную работу, ни в настоящее время. Не была доступна, и соответствующая программа. Причем, выяснилось, что даже и еще одно тщательное тестирование ФПИ без разделения оболочек и релаксации до сих пор представляет значительный интерес ввиду наличия некоторых интригующих разногласий в расчетах разных авторов и существования в теории некоторых тонких эффектов, которые еще не были замечены никем. Оно представляло бы и практическую пользу ввиду того, что большинство авторов, занимавшихся исследованием ионизации, не предоставляет свои программы, а также и ввиду программно-технических трудностей, неизбежно возникающих при использовании чужих программ.
Мы будем коротко называть модель ФПИ с разделенными оболочками, атомной релаксацией, генерацией вторичных частиц и их поглощением моделью «фотопоглощение-ионизация и релаксация» и обозначать ее сокращенно как ФПИР, или PAIR. Физическо-математическая модель ФПИР, описанная в данной диссертации, реализована в компьютерной программе, названной HEED. Аббревиатура HEED означает электродинамику высоких энергий (high energy electrodynamics). Это обозначение было подсказано за- главием книги «Электродинамика высоких энергий в веществе», написанной Ахиезером и Шульгой [58], и показывает связь между ионизационными потерями энергии, а также черепковским и переходным излучениями (которое также можно было моделировать по одной из старых версий данной программы) и классическими электродинамическими свойствами среды, пересекаемой высокоэнергичной частицей. Первая распространявшаяся версия данной программы [59] была написана на языке FORTRAN 77 и выпущена в 1995-1996 гг. [60]. Данная программа в основном использовалась (и продолжает использоваться) как компонент упомянутой выше программы GARFIELD, а также вместе с другими пакетами программного обеспечения в разнообразных важных исследованиях и разработках [5,45,61-71]. Были проведены и независимые сравнения результатов расчетов по ней с результатами экспериментов с выводами об их согласии — например, в диссертации [61]. Применение HEED, как отдельной и независимой программы, тоже возможно и содержательно, если камера работает в пропорциональном режиме. Новая версия [72] написана на языке C++ и выпущена в 2003-2005 годах, о чем объявлено в большой статье [73]. Новая версия лучше организована и позволяет выполнять более систематические исследования и тесты. Она основана на несколько лучше проработанной физике, более всесторонне протестирована, и фактически мы будем здесь описывать именно ее, хотя все версии имеют много общего. Новая версия имеет и много других усовершенствований, например способность моделировать экспериментальные установки с произвольной геометрией. Новая версия на C++ содержит интерфейсный пакет, который позволяет вызывать ее из головной программы на языке Фортран примерно так же, как вызывалась старая программа. Расчеты, представленные в этой диссертации, выполнены по новой версии программы, а уже упомянутая выше 20-страничная статья, опубликованная лично автором в журнале «Nuclear Instruments and Methods in Physics Research» [73] (т. е. ее перевод на русский), положена в основу текста диссертации и дополнена более подробным введением, обзором литературы, более детальной не вошедшей в статью информацией по физико-математическому моделированию и сравнению результатов моделирования с экспериментальными данными. Кроме того, диссертация дополнена и главой по численному моделированию, написанной на основе других публикаций автора. В целом, результаты этой диссертации опубликованы в 6-ти печатных работах, из которых пять опубликовано лично автором (общим объемом 93 стр.). а одна — в соавторстве, (объемом 17 стр.).
Поперечное сечение передач энергии от налетающей частицы в среду
Хотя существует большое разнообразие способов применения уравнений (2.1-2.3) для моделирования энергии, теряемой пролетающей через вещество частицей, эти выражения не позволяют воспроизвести пространственный разброс ионизации вокруг трека, а также некоторые другие эффекты. Для того чтобы воспроизвести пространственный разброс, нам надо определить энергию первого фотоэлектрона и описать реалистично процессы релаксации, следующие за его эмиссией. Важно воспроизвести эти процессы главным образом для больших передач энергии, за которыми следует эмиссия энергичных 5-электронов, имеющих сколько-нибудь заметную длину пути.
Будем в первом приближении считать, что каждая порция переданной энергии поглощается отдельной атомной оболочкой. Тогда выражение (2.1) может быть заменено суммой парциальных сечений, ответственных за поглощения отдельными оболочками. Для наших целей это разделение может быть приближенным, но мы хотим, чтобы полное сечение оставалось точным (т. е. равным (2.1)). Но оболочки не могут рассматриваться независимо, так как они влияют на способность поглощения друг друга через общие свойства диэлектрической среды, которые они определяют. Мы также должны обеспечить возможность работы с газами, состоящими из нескольких разных атомов. Наши парциальные сечения должны поэтому описывать каждую оболочку каждого атома.
Так как выражение (2.1) зависит от сечения фотопоглощения о.,{Е), мы должны начать наше разделение с аналогичного разделения по оболочкам сечения фотопоглощения, которое хорошо обосновано. Заменяя ст7(-Е) в выражении (2.1) на соответствующую сумму сечений фотопоглощения всех оболочек всех атомов среды, мы получаем довольно простое разделение трех членов выражения (2.1): первого, третьего и четвертого. Три этих члена в сечении (2.1) доллшы быть отнесены к тем же атомам и оболочкам, которые представлены парциальным ст7, входящим в них как сомножитель (но Б четвертом члене т7 еще и интегрируется по энергии), в то время как общее влияние этих атомов и оболочек на распространение поля в среде описывается через е, которая должна быть вычислена с суммарным значением 77. Таким образом, эти члены распределяются по оболочкам вместе с ат Член номер 2 не содержит а1(Е) как сомножитель и не может быть разделен по оболочкам прямым образом. Как уже указывалось, этот член связан с эффектом черенковского излучения и является коллективным эффектом. Так как нас здесь интересует ионизация, можно пренебречь этим членом при энергиях ниже минимального ионизационного потенциала среды Imin. Однако этот член не исчезает полностью выше этого порога (где он не может быть интерпретирован как черепковское излучение). К счастью, этот член очень мал численно, и мы можем распределить его равномерно по оболочкам (при каждой данной энергии по тем оболочкам, энергии связи которых меньше данной энергии, и пропорционально числу электронов на плх) и тем обеспечить, что суммарное сечение останется равным выражению (2.1).
Итак, а1 в выражении (2.1) должно быть заменено на величину, соответствующую электронам конкретного атома и оболочки f{na)a(E,na,ns), где f(na) есть доля атомов данного сорта в газе, п„ fina) = 1, па обозначает атом, и п„ — оболочку. В дополнение, для первого и для третьего членов (которые мы объединим в один) необходимо использовать только ионизационную часть сечения фотопоглощения, т. е. сечение фотоионизации. Оно будет обозначено значком «г»: а7{. Чтобы обеспечить корректное асимптотическое поведение, последний член должен содержать сечение поглощения, а ые ионизации. Однако он не должен вносить вклад под порогом ионизации атома, где могут быть дискретные линии возбуждения. Возможностью возбуждения выше порога ионизации можно пренебречь. Как уже указывалось, второй член в выражении (2.1) также должен быть обрезан при энергиях, меньших ионизационного потенциала среды. Математически оба упомянутых ограничения можно выразить при помощи шаговой функции Н(х), Н(х) = 1 для х 0 и Н(х) = 0 иначе.
Таким образом, возможность возбуждения атома без его ионизации не учитывается явно при вычислении сечения передач энергии от налетающей частицы в вещество (хотя эта возможность все равно влияет на сечение в наших расчетах неявно через диэлектрическую проницаемость, в которой она учитывается). Это является приближением, поскольку возбуждение одного атома может иногда вызвать ионизацию другого, имеющего меньший ионизационный потенциал (эффект Джесса [51,143]).
В результате, дифференциальное сечение ионизации некоторого атома па и оболочки n.s при переданной энергии Е, нормированное на один атом среды, описывается выражением
Итак, мы получили выражение, позволяющее для каждого взаимодействия налетающей частицы с веществом идентифицировать конкретную провзаимодействовавшую оболочку. На практике можно на стадии инициализации программы вычислить таблицы сечений согласно (2.7) для всех присутствующих в среде атомов и их электронных оболочек и для такого набора (массива) переданных энергий (Е), который перекрывает весь диапазон интересующих нас энергий с необходимой плотностью. Чтобы получить высокую точность при минимальном количестве точек в таком массиве, можно использовать т. н. логарифмическую сетку, шаг которой растет логарифмически с ростом энергии. Ее первая точка Ef должна находиться ниже /min и уровней возбуждения, т. е. в районе нескольких электронвольт, последняя Еі для типичных газовых детекторов — в районе примерно от 50 до 200 кэВ. Сетка может иметь где-то от 100 до 1000 делений. Мы опускаем различные детали и тонкости, с которыми приходится иметь дело при вычислениях по этим нетривиальным выражениям. Упомянем только главное.
Далее, для каждого атома и оболочки вычисляется и сохраняется полный интеграл сечения по энергии S(Ei, па, щ), а также «интегральная функция распределения», т. е.
На стадии генерации событий программа моделирует траекторию частицы и определяет следующий шаг (например, из чисто геометрических соображений — до следующего пересечения границы объема). Из длины шага, полного интеграла сечения и плотности среды она вычисляет среднее число взаимодействий с каждой оболочкой. Генерируя случайное число по распределению Пуассона, она определяет конкретное число взаимодействий с данной оболочкой и случайным образом генерирует координату каждого взаимодействия, считая, что они распределены равномерно по длине шага (в силу предполагаемой малости типичных потерь энергии на ионизацию по сравнению с энергией налетающей частицы последнюю можно считать неизменной). Наконец, конкретная величина энергии Е, переданной в данном взаимодействии, определяется по «методу обратных функций» [13,29,31,144,145]: это та энергия, для которой интегральная функция распределения (2.9) равна .случайному числу, равномерно распределенному от нуля до единицы. Таким образом, программа получает всю информацию, необходимую для дальнейшего моделирования процессов релаксации.
Амплитудные спектры в пропорциональных камерах
Эти эмпирические закономерности позволяют оценивать и генерировать количество ионизации, созданной каждым 5-электроном. Но как она должна быть распределена в пространстве? Как уже неоднократно указывалось, простейшая локализация этой ионизации в точке рождения 5-электрона — слишком грубое и часто неприемлемое для детального расчета газового детектора приближение. Мы знаем, что й-электрон, выпушенный в заданном направлении, преодолеет слой вещества с толщиной в среднем порядка чуть больше половины т. н. практического пробега электрона с данной энергией в данном веществе [155]. Практический пробег — это такая толщина поглотителя, которую не может преодолеть «практически» ни один электрон данной энергии. Термин «практически» здесь имеет особый, строго определенный смысл. Варьируя толщину поглотителя, измеряя и откладывая на графике вероятность проникания за поглотитель как функцию его толщины, строят кривую пропускания (или поглощения: в разных источниках ее называют по-разному). Она обычно имеет приблизительно линейный участок где-то между 50% и 15% уровнями пропускания. Этот участок экстраполируют до нуля (или до уровня фона [155]), и точка пересечения с абсциссой и дает численное значение практического пробега.
Отметим, что чтобы избежать произвола в идентификации линейного участка, представляется целесообразным просто проводить прямую через точки на кривой пропускания, соответствующие 50% и 15% уровнями пропускания — так это и делалось в этой работе.
Практический пробег измерен во многих экспериментах в середине прошлого века, и для каждого вещества и энергии его можно оценить по простым формулам, которые подобраны так, чтобы описать существующие экспериментальные данные [156]. Зная практический пробег, мы можем разместить созданные электроны проводимости в точке, находящейся в конце или где-то в середине предполагаемого пробега. Но тогда, во-первых, в случае 5- электрон а с большой начальной энергией мы получим искусственную сингулярность — много электронов проводимости в одной точке пространства, что может негативно повлиять на точность последующего моделирования эффектов прилипания и объемного заряда, а также и на другие детали, например, на зависимость измеряемого сигнала от времени, прошедшего от момента прохождения регистрируемой частицы через детектор. И, во-вторых, мы не учтем пространственных флуктуации траекторий 5-электрона и созданного им электронного облака, что, разумеется, тоже повлияет на моделирование поведения газовых детекторов, В более точном приближении можно моделировать траекторию 5-электроыа в виде отрезка прямой с длиной, равной практическому пробегу или какой-либо его доле, и с равномерным или неравномерным распределением ионизации вдоль нее (так это было в одной из очень старых версий данной программы). Но этот метод не воспроизводит, в частности, поперечных по отношению к направлению вылета электрона срлуктуаций. Не ясно и то, какую долю пробега следует брать. Модель, возможно, будет точнее в смысле пространственных флуктуации, если мы разместим ионизацию, например, в случайно выбранной точке на поверхности сферы с радиусом, равным половине практического пробега, как предлагалось в работах [156,157]. Но, во-первых, как выяснилось из более точного моделирования, такая модель все-таки не совсем точна. А во-вторых, вся начальная ионизация опять будет локализована в одной точке, открывая возможности для появления различных артефактов в исследованиях и сужая область применения программы. Эти приближения, основанные на непосредственном применении формул для практического пробега, будут, конечно, точнее, чем выделение всего заряда непосредственно в точке взаимодействия (и автор применял некоторые из них в ранних версиях своих расчетов), но они не дают гарантии отсутствия артефактов в результатах расчетов. Такие методы, по сравнению с отсутствием пробега вообще, можно назвать вторым приближением. Нам нужно, однако, третье, с хотя бы приблизительным моделированием траектории й -электрона и генерации электронов проводимости вдоль нее.
Полная длина пути 5-электрона может быть приблизительно оценена путем интегрирования какой-нибудь формулы, дающей «непрерывные» потери энергии на ионизацию и применяемой малыми шагами. При текущей энергии мы находим потери энергии на следующем малом шаге, вычитаем их из текущей энергии и переходим к следующему шагу. Однако длина пути, вычисленная таким образом, будет гораздо больше, чем практический пробег -электрона (приблизительно в два раза). Это происходит из-за того, что -электрон сильно рассеивается атомами среды и практически никогда не пролетает по прямой значительную часть своего пути. Моделирование упругих рассеяний по методу Монте-Карло вместе с непрерывными потерями энергии дает результаты, согласующиеся с практическим пробегом, хотя при этом не учитывается изменение направления движения 5-электрона в результате неупругих рассеяний, а также «размножение» iS-электронов, т. е. генерация второго и последующих 5-электронов (т. е. электронов с достаточно большой энергией, способных ионизировать другие атомы) в результате взаимодействия с веществом «первичного». В рамках этого пробли-жения -электрон оставляет за собой только электроны проводимости,
Упомянутые выше средняя работа на создание пары w и фактор Фано F позволяют нам сгенерировать случайное число электронов проводимости, выделенных на каждом шаге с корректным средним и флуктуациями, Если электрон теряет энергию АЕ на данном шаге, среднее количество созданных электронов проводимости будет равно N = AE/w. В первом приближении мы можем распределить их равномерно на длине шага. Необходимо учесть и промоделировать также и флуктуации их количества, причем так, чтобы полное их количество, выделенное данным 5-электроном до его остановки, флуктуировало бы в соответствии с фактором Фано, а их количество на каждом шаге было бы целым числом. Здесь возникает трудность, состоящая в том, что распределение Гаусса, которое позволяет моделировать любую дисперсию, непрерывно, т. е. дает нецелое число, а распределение Пуассона, которое дает целое число, имеет фиксированную дисперсию, соответствующую F = 1. Использование распределения Гаусса с любым вариантом округления: вниз, вверх, к ближайшему целому или со случайным округлением — сместит или среднее, или дисперсию, или и то, и другое сразу. Причем, заметим, что даже при нулевом значении F и, соответственно, при отсутствии флуктуации проблема возникла бы все равно, так как и формула N = AE/w дает, в общем случае, дробное, рациональное число (при компьютерных вычислениях — «число с правающей точкой»), а не целое.
Например, представим, что F = 0, а вся траектория состоит из шагов с N = 0.5. Тогда, если N округляется до нуля, то ионизации вообще не будет, если до единицы, то она будет переоценена в два раза, а если округление вниз и вверх выбирается случайным образом, то среднее количество ионизации будет воспроизведено правильно, но ее дисперсия будет, очевидно, переоценена (на величину 0.25 из расчета на каждый шаг). Если же выбирать округление не случайным образом, независимо для каждого шага, а поочередно: то вниз, то вверх — то оказывается, что не смещается ни среднее, ни дисперсия (кроме незначительной, в общем случае, флуктуации, возникающей на последнем шаге). В форме, допускающем обобщение для произвольных и различных на каждом шаге N. эта идея формулируется как округление N вниз с переносом остатков на следующий шаг.
Зависимость релятивистского роста наиболее вероятной ионизации от толщины слоя
Интеграл выражения (2.7), домноженный на концентрацию атомов (число атомов в единице объема), представляет число передач энергии на единице длины пути, пройденного налетающей частицей. Это число практически идентично числу первичных ионизационных кластеров, которое измерено в ряде экспериментов. Этот параметр практически важен, т. к. он определяет временное разрешение разнообразных триггеров (см., к примеру, работы [5,57]), а также используется для многих других целей [46]. Рис. 3.1 (а) показывает, что результаты, полученные по HEED, находятся в разумном согласии с экспериментальными данными.
Этот рисунок также показывает, что число первичных ионизационных кластеров не язляется хорошей функцией молекулярного веса или плотности газа (для разных газоїї при одинаковой температуре и давлении). Только большинство углеводородов оказывается на одной прямой линии, что, очевидно, является проявлением одинаковой атомной структуры. Все не углеводороды лежат ниже этой линии. Имеется два объяснения этому. Первое — это непропорциональность Zm (суммарный заряд всех атомов в мслекуле) и Ат (полный молекулярный вес) и непропорциональность электронной плотности обычной плотности. А второе — это то обстоятельство, ЧТО При рОСТе %гп Ат исе больше электронов лежат на все более глубоких уровнях энергии, и, вследствие наличия сомножителя 1/Е1пЕ в первом члене уравнения (2.7), они взаимодействуют менее часто с налетающей частицей. Если мы хотим видеть все точки на одной линии, то, во-первых, необходимо отложить их относительно полного заряда молекулы Zm. поскольку именно ему пропорциональна электронная плотность, а не относительно Ат-Но только этого не будет достаточно для переноса всех точек на одну линию1. Для того чтобы учесть, что элементы с большими атомными зарядами Z имеют более глубокие
1Валепта [167] наблюдал корреляции между числом кластеров в некоторых газах и некоторой переменной, чья существенная часть есть Zm/Im\a. Но число кластеров, измеренное для углеводородов, с ней не коррелирует. энергетические уровни, т. е. для того чтобы охарактеризовать «глубину» электронных уровней в молекуле, мы могли бы охарактеризовать молекулу средним атомным зарядом Z = T,{f{na)Z(na))/Y,f(na) составляющих ее атомов. Очевидно, чем больше средний атомный заряд, тем меньше должно быть количество ионизационных кластеров при прочих одинаковых условиях. Поэтому Z должно появиться в знаменателе, но степень, с которой оно должно учитываться, не выводится из общих соображений и может быть просто отфитирована. Подходящее значение, при котором все точки оказываются примерно на одной линии, равно примерно 0,4, см. рис. 3.1 (Ь). Только CF4 лежит с некоторым сдвигом от этой линии, вероятно, вследствие большого ионизационного потенциала этой молекулы, 16.23 эВ [166], что значительно больше, чем у ее соседей, 11.5 эВ для СгН6 и 11.07 эВ для C3Hg [153]. Кроме того, интересно, что из трех газов, не принадлежащих ни к одной категории на рис. 3.1 (а): СгЩ, СОа; и CF4 — первые два успешно описываются общим законом на рис. 3.1 (Ь), да и CF4 не очень далеко от него отстоит. Математически этот закон можно выразить формулой 3.996х - 0.025а:2 , где х = Z.mjZ , а коэффициенты получены в результате фитирования функцией ах + Ьх2 всех точек, кроме CF.4 Опубликовано несколько экспериментальных спектров количеств ионизации, созда-ваемгй быстрой заряженной частицей, в которых шкала амплитуд задана в единицах энергии, а ее калибровка выполнена путем регистрации рентгеновских лучей известной энергии, см. рис. 3.2 и 3.3. Фактически эти спектры показывают, с какой вероятностью налетающая заряженная частица произведет сигнал, эквивалентный сигналу, производимому фотоном некоторой энергии. Модель ФПИР дает нам количество электрон-ионных пар. Но, если w известно, эквивалентную энергию фотонов и количество нар можно переводить одно в другое. Мы даем графики в энергетических единицах. Кроме моделирования по ФПИР, даются и графики, вычисленные по простой ФПИ путем простого суммирования всей переданной энергии, полученной при генерации случайных чисел согласно ур. (2.7). В такой процедуре параметр w нигде не используется (кроме обычно очень малой поправки на приборное разрешение), и его численное значение не существенно. Однако, сравнивая кривую ФПИ с экспериментальным спектром, мы предполагаем, что величина w для налетающей быстрой заряженной частицы равна величине W для фотона. При расчетах по модели ФПИ с релаксацией, описанной в данной работе, значение w используется для получения ионизационного эффекта от 5-электронов. Для сравнения таких результатов с экспериментальной кривой необходимо использовать w и для обратного перевода полного количества ионизации в эквивалентную энергию фотонов. Заметим, что если полная модель непротиворечива и самосогласована (включая все предположения об асимптотических значениях и энергетических зависимостях ад), то среднее спектров, полученных по ФПИР и ФПИ, должно, в принципе, совпадать. Отметим также важную техническую подробность: для исключения периодических особенностей в гистограммах, связанных с дискретностью энергетических спектров, получаемых по ФПИР после умножения на w целого числа электронов, шаг гистограмм должен быть кратен w.
К сожалению, в реальных экспериментах калибровка амплитудных спектров при помощи 7-источников оказывается не всегда возможна и точна, поскольку регистрация лучей обычно предполагает другой способ запуска измерительных систем и другие пути передачи сигналов с другим их ослаблением. Например, связанные с этими обстоятельствами смещения спектров в работе [170] привели авторов к заключению, что их калибровка имеет точность 20%. В двух других работах, результаты из которых показаны на рис. 3,3, точность калибровки не указана.
Ширина фотопика позволяет оценить также разрешение камеры. При регистрации быстрых заряженных частиц приборное разрешение весьма мало влияет на ширину зарегистрированного распределения, но все-таки слегка увеличивает ее. Статистическая точность, с которой измеряется ионизация, приблизительно пропорциональна корню из амплитуды сигнала {см., например, [171]). Поэтому для целей моделирования ее достаточно задать для какой-нибудь одной конкретной величины ионизации и считать изменяющейся по этому закону при других величинах. Мы должны вычесть из ширины фотопика долю в разрешении, относящуюся к фактору Фано. Моделируя событие но модели ФПИР, мы получаем количество электронов проводимости, преобразуем его в потери энергии (умножая иа го), определяем приборное разрешение для этой потери энергии и получаем соответствующую флуктуацию измеренного сигнала путем случайной выборки из распределения Гаусса. Моделируя событие по модели ФПИ. мы получаем суммарные потери энергии и количество передач энергии. Затем определяем приборное разрешение для этой потери энергии. Разница между потерей энергии, деленной на w, и количеством передач энергии дает иам приблизительно количество вторичной ионизации, которая должна флуктуировать согласно фактору Фано. Вычисляем соответствующую дисперсию, складываем ее с дисперсией, соответствующей приборному разрешению, и, наконец, генерируем соответствующую флуктуацию измеренного сигнала путем случайной выборки из распределения Гаусса.
Язык программирования и основные компоненты программы
При толщинах, меньших 4 см, положение пика определяется взаимодействиями с L- и М-оболочками. Как впервые было отмечено Эллисоном [190], при толщине слоя меньше 1 см пик начинает приобретать «неправильные очертания, в которых начинает просматриваться влияние отдельно L- и М-оболочек аргона. Для аргона энергии оболочек Ll, L2 и L3 248, 251 и 326 эВ, соответственно, что сравнимо с шириной распределения ионизации создаваемого М-оболочкой в слоях тоньше, чем 1 см. Для таких слоев вероятность взаимодействий с М-оболочкой не слишком высока. Поэтому события, в которых такие взаимодействия не происходят, формируют один пик, и события с одним или несколькими такими взаимодействиями формируют второй пик. При некоторых условиях эти пики могут приобретать равную высоту, таким образом формируя две одинаково «наиболее вероятные ионизации, как на рис. 3.13. Подобный эффект должен проявляться и в других субстанциях: хорошее расщепление на два пика, правда, разной высоты, было ранее продемонстрировано расчетным путем для 2-мкм слоя кремния (с учетом плазмонов) Акимовым при помощи сечения Бишеля [77,80]. Расщепление может случиться при низких или высоких /З7, например на плато Ферми. В последнем случае можно сказать, что плато Ферми расщепляется (конечно, если оно определяется по наиболее вероятной ионизации) и вместо одного плато формируются два плато Ферми на разных высотах, см. 3.13(a). Другой случай, когда похожий эффект появляется в минимуме ионизации, показан на рис. 3.13(b),
Хорошая возможность протестировать, насколько достоверно модель предсказывает пространственные флуктуации начальной ионизации, предоставляется измерениями предельного пространственного разрешения позиционно-чувствительных пропорциональных камер, облучаемых рентгеновскими лучами. При некоторых условиях пробеги электронов являются доминирующим вкладом в пространственную погрешность. Моделирование таких экспериментов по программе HEED включает и поэтому позволяет протестировать моделирование процесса фотопоглощения, атомные каскады релаксации, поглощение вторичных частиц и формирование 5-электронов (но ур. (2.7) не тестируется этим способом). Измерения из [157] и наше моделирование этого эксперимента представлены на рис. 3.14. В моделировании фотон заданной энергии испускался вдоль оси г в широкий газовый объем. Если он оказывался поглощен, то х- или у-позиция «центра тяжести» сформированных электронов проводимости регистрировалась как измеренная позиция. Так же, как и в эксперименте, только события из «фотопика» отбирались при помощи подходящего порога по энергии. Ширина на половине высоты соответствующего распределения откладывалась на рис. 3.14. Можно видеть, что моделирование воспроизводит экспериментальные данные вполне хорошо. Выраженные структурные эффекты, видные на этом рисунке, обсуждаются в работах [156,157].
Для того чтобы проверить моделирование пространственных флуктуации, возникающих в газе в случае налетающей быстрой заряженной частицей (что включает ур. (2.7)), мы можем сравнить моделирование с экспериментальными данными, которые были получены при тестировании прототипов катодных стриповых камер, разработан пых для концевой (end-cap) мюонной системы эксперимента CMS в CERN [57]. Сборка из 6-ти одинаковых пропорциональных камер, конструктивно составляющих единое целое, облучалась мюонами больших энергий. Пять из этих камер использовались для восстановления траектории мюона, а одна яз средних изучалась, Координаты треков в каждой камере определялись по зарядам стрипов путем применения некоторого алгоритма нахождения центроида, суть которого здесь не существенна. Если ионизация слегка рассеяна вокруг трека, заряды стрипов зависят от положения центра тяжести ионизации, и это положение по ним и восстанавливается. Разность между положением траектории и координатой, измеренной в изучаемой камере, составила распределение, показанное на рис. 3.15 в двух разных масштабах. Колоколообразиая форма центральной части хорошо описывается и по форме, и по ширине простой моделью, в которой флуктуации происходят из-за примеси шума в зарегистрированных на стрипах зарядах и из-за его влияния на алгоритм нахождения центроида. Амплитуда шума определена в эксперименте по флуктуациям пьедесталов. На рис. 3.15 имеются, однако, небольшие хвосты, хорошо видимые в увеличенном масштабе, которые не объясняются шумом. В работе [57] эти хвосты воспроизведены только после некоторой искусственной «настройки» моделирования при помощи добавления дополнительных хитов к часлі событий. Однако после сравнения с результатами моделирования по программе HEED оказалось, что эти хвосты воспроизводятся по HEED и являются разультатом разлета (ї-злектроіюв. Для каждого события в HEED вычислялось смещение центра тяжести электронов проводимости относительно траектории налетающей частицы. Как видно из рис. 3.15 (Ь), это распределение описывает хвосты очень хорошо. Одновременно центральная часть распределения сдвигов центров тяжести оказывается крайне топкой и из-за нормировки распределений на одинаковую площадь она уходит далеко вверх за рамки рисунка. Отсюда можно предположить, что шум на стрипах и разлет tf-электронов в комбинации опишут все экспериментальное распределение. Так и есть, согласно моделированию, в котором к смещению центра тяжести, генерируемому по HEED, добавляется еще одно смещение, генерируемое согласно штриховой линии. Хотя па эксперименте может быть и много других неучтенных здесь факторов, способных повлиять на хвосты, такое хорошее совпадение можно интерпретировать как еще одно экспериментальное подтверждение правильности модели.
