Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата
1.1. Постановка задачи 16
1.2. Первый алгоритм решения задачи 20
1.3. Второй алгоритм решения задачи 25
1.4. Численное моделирование алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости 26
1.5. Результаты численного моделирования 31
1.6. Выводы 41
Глава 2. Построение векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Построение законов управления, использующих векторную часть кватерниона ошибки ориентации 44
2.3. Построение законов управления, использующих вектор конечного поворота 49
2.4. Исследование законов управления ориентацией твердого тела
2.4.1. Законы управления со скалярными коэффициентами усиления нелинейных обратных связей 51
2.4.2. Законы управления с матричными коэффициентами усиления нелинейных обратных связей 53
2.5. Построение законов управления эйлеровым углом вращения твердого тела 57
2.6. Численное моделирование законов управления 58
2.7. Выводы 62
Глава 3. Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела
3.1. Постановка задачи 64
3.2. Метод решения задачи 66
3.3. Исследование дифференциальных уравнений задачи 70
3.4. Оптимальные стабилизирующие законы управления 73
3.5. Решение задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела с использованием теоремы Красовского. 81
3.6. Выводы 85
Глава 4. Оптимальное управление ориентацией космического аппарата с использованием в качестве управления вектора кинетического момента
4.1. Постановка задачи 87
4.2. Метод решения задачи 89
4.3. Решение задачи для космического аппарата произвольной динамической конфигурации 93
4.4. Случай сферической симметрии космического аппарата 96
4.5. Случай осевой симметрии космического аппарата 98
4.6. Числовой пример 103
4.7. Выводы 105
Заключение 107
Список литературы 109
- Численное моделирование алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости
- Построение законов управления, использующих векторную часть кватерниона ошибки ориентации
- Исследование дифференциальных уравнений задачи
- Решение задачи для космического аппарата произвольной динамической конфигурации
Введение к работе
Задачи определения ориентации и управления угловым движением твердого тела играют важную роль в создании систем управления подвижными объектами. Так, например, при проведении научных или технических экспериментов на борту космического аппарата (КА) требуется знать ориентацию связанных с КА осей относительно инерциальной системы координат, управление же угловым положением необходимо для обеспечения нормальной работы различного рода оборудования (фотоаппаратов и телевизионных установок, оси визирования которых должны направляться на наблюдаемые объекты; солнечных батарей, плоскости приемных элементов которых должны быть перпендикулярны направлению солнечных лучей; антенн направленного излучения и приема радиотехнических устройств).
Решению задач определения ориентации и управления угловым движением КА, рассматриваемого как твердое тело, посвящено большое количество работ как в российских, так и в зарубежных изданиях. Но сложность решаемых здесь задач, связанная, в основном, с отсутствием общих аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения и высокими требованиями, предъявляемыми к точности алгоритмов численного решения, продолжает оставлять эту проблему актуальной.
Задача определения ориентации КА заключается в определении взаимного углового положения осей системы координат, связанной с твердым телом (космическим аппаратом), и осей инерциальной системы координат, начало которой находится в центре масс Земли, а оси направлены на удаленные (неподвижные) звезды. В качестве связанной с КА системы координат, как правило, выбирают систему координат с началом в центре масс КА, а оси направляются по главным центральным осям инерции КА.
Взаимное угловое положение связанной и инерциальной систем координат можно задавать при помощи различных кинематических параметров,
5 таких как углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы, вектор конечного
поворота, параметры Кэли-Клейна и параметры Родрига-Гамильтона (Эйлера).
Среди всех параметров особое место занимают параметры Родрига-Гамильтона. Эти параметры не вырождаются при любом угловом положении КА, в отличие от углов Эйлера-Крылова, [4,19,20,37] и имеют лишь одно уравнение связи, в отличие от шести для направляющих косинусов.
Особенно эффективны параметры Родрига-Гамильтона, рассматриваемые как компоненты кватерниона поворота. Применение кватернионов дает возможность создать весьма удобный и наглядный формализм, использующий параметры Родрига-Гамильтона.
Кватернионы впервые ввел в математику W.R. Hamilton в 1843 г. В работе [69] W.R. Hamilton описывает теорию созданных им кватернионов, исследуя возможность применения их для изучения геометрии пространства.
Применению кватернионов при решении задач определения ориентации и управления угловым движением твердого тела посвящено большое количество работ [18-22,27,32-35,37,40,42,43,47-49,53-64] в том числе В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, В.Н.Кошлякова, Ю.Н. Челнокова, П.К. Плотникова, Д.В. Лебедева, А.И. Ткаченко, А.П. Панова, Ю.В. Казначеева, М.Б. Чертока, Н.А. Стрелковой, А.В. Молоденкова, О.В. Зелепукиной и др.
В бесплатформенных инерциальных навигационных системах (БИНС) определение ориентации КА осуществляется путем измерения проекций вектора абсолютной угловой скорости на оси связанной системы координат при помощи датчиков угловой скорости, установленных на борту КА, и интегрирования дифференциальных кинематических уравнений углового движения в реальном времени.
Дифференциальные кинематические уравнения углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона имеют следующий вид [38]:
б 2л0 = —XjCOj — А20)2 — Лз^з»
2л2 =A,qO)2 ч-Лз^і — ^і^з'
2Л3 = А0С0з + Aj2 — ^2Ю1 >
где А,0, Al5 А,2> ^з ~ параметры Родрига-Гамильтона, Юі,со2,0)3- проекции вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на оси связанной с твердым телом системы координат.
Если ввести кватернион ориентации, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона Х0, Х{, Х2, Х3, то дифференциальные
кинематические уравнения углового движения твердого тела запишутся в следующем виде [20]:
2І~ = Хосо, (2)
где символ "о" - обозначает кватернионное произведение, 0 = 0^/,+0)2/2+0)3/3 "~ кватернион абсолютной угловой скорости, Х = Х0+Х1іі+Х2і2 + Х2і3 — кватернион ориентации твердого тела, /,,/2,/з ~~ векторные мнимые единицы Гамильтона, подчиняющиеся следующим правилам умножения:
/,0/,=/20/2=/30/3=-1,
h h = ~h h = h» h h ~ ~h h '= h» '3 h = ~h h = ~h Задаче построения общего аналитического решения системы дифференциальных уравнений (1) для частных случаев углового движения твердого тела и разработке численных алгоритмов интегрирования этой системы, а также оценке погрешностей этих алгоритмов посвящено большое количество работ [1,20,37,44,49,53-57,70].
В работе [20] разработаны различные алгоритмы определения ориентации твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона по известным проекциям вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные оси, а также проведена оценка погрешностей построенных алгоритмов.
7 В [36] приведен нелинейный алгоритм определения ориентации твердого
тела в параметрах Родрига-Гамильтона по результатам сопровождающихся
погрешностями измерений вектора угловой скорости твердого тела и проекций
на оси, связанные с телом, какого-либо вектора, положение которого известно в
подвижной системе координат. Полученный в этой работе алгоритм имеет
достаточно простой вид, что делает возможным его реализацию в реальном
масштабе времени на бортовой ЭВМ космического аппарата.
В статье [70] найдено приближенное аналитическое решение кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела (1). Это решение построено на основе известного решения для случая, когда вектор угловой скорости постоянен по модулю и по направлению. В статье также приводятся результаты решения задачи об осесимметричном твердом теле, подверженном действию постоянного крутящего момента, который не меняет своего направления относительно тела. Результаты сравниваются с результатами численного решения.
В работе [44] исследуется комбинированный алгоритм определения ориентации твердого тела. Методом математического моделирования этот алгоритм сравнивается с другими известными алгоритмами.
На основе метода векторного рассогласования в работах [54,55] построены алгоритмы определения ориентации приборного трехгранника с использованием информации об угловом положении другого трехгранника, неизменным и неизвестным образом ориентированного относительно приборного трехгранника, при условиях, что начальная ориентация приборного трехгранника не задана. При этом в [54] все измерения полагаются идеальными, а в [55] строятся алгоритмы, учитывающие инструментальные погрешности датчиков угловой скорости.
Оценки погрешностей численного интегрирования кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела посвящены работы [1,16,43,49,53,57] и др.
В работах [28,30] рассмотрена возможность определения ориентации твердого тела по измерениям одного направления при малых колебаниях твердого тела относительно центра масс. В этих работах для построения алгоритма определения ориентации используется метод наименьших квадратов. Характер колебаний полагается известным.
Управление ориентацией КА является в большинстве случаев главным режимом управления его движением [50]. Это следует из того, что управление ориентацией, как правило, происходит непрерывно, нередко продолжаясь многие месяцы, в то время как длительность других режимов - коррекции траектории, спуска, сближения - исчисляются десятками минут или секунд. Кроме того, эти режимы неосуществимы без управления ориентацией, которое предшествует коррекции орбит или спуска, обеспечивая необходимые повороты корпуса КА перед запуском двигателя, или является составным элементом сложного движения, связанного со сближением двух КА.
В работе [50] дано следующее определение понятия "управление ориентацией КА":
управление ориентацией КА называется осуществление заданного углового движения триэдра осей, оісестко связанного с корпусом КА, относительно некоторой заданной системы одноименных осей (начала обоих триэдров находятся в одной и той же точке корпуса КА), при котором движение вокруг центра масс не влияет на движение самого центра масс.
Управление угловым движением КА необходимо во многих случаях [17]. Приведем примеры некоторых из них.
КА должен совершать угловые маневры вокруг центра масс с целью придания его осям определенного пространственного положения. Например, в момент схода с орбиты и перехода с одной орбиты на другую необходимо придать осям аппарата определенную ориентацию. Оси обитаемых КА должны занимать определенное пространственное положение, особенно при полетах вблизи планет, с целью создания элементарного комфорта.
9 Для управления угловым движением КА используются управляющие
реактивные двигатели, линии действия сил тяги которых не проходят через
центр масс аппарата; вращающиеся маховики; гироскопические стабилизаторы;
устройства, основанные на использовании градиента гравитационного поля,
светового давления, магнитного и электрического полей.
Построение управления угловым движением КА в традиционной
постановке включает задачу построения программного углового движения,
программного управления и задачу построения управления, стабилизирующего
программное угловое движение в малом. Задача построения программного
углового движения и программного управления во многих случаях решается с
помощью теории оптимального управления [2,19,20,22,25-
27,29,39,40,52,66,71,73]. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела не найдено. Поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное решение задачи.
В кинематической постановке задача оптимального управления ориентацией твердого тела исследовалась в [20]. В этой работе решена задача оптимального по быстродействию кинематического разворота для ограниченной по модулю угловой скорости.
Одной из первых работ, посвященных оптимальному по быстродействию управлению переориентацией твердого тела в динамической постановке, является работа [52], где для случая несимметричного твердого тела рассматривается задача плоского разворота вокруг заданной неподвижной оси. Предполагается, что проекции вектора управляющего момента на главные оси инерции вращающегося тела ограничены по величине. На основе принципа оптимальности В.Ф. Кротова проведен синтез оптимального управления.
В работах [2,45] рассматривается задача оптимального по быстродействию пространственного разворота твердого тела одним поворотом
10 вокруг неподвижной оси (эйлеровой оси вращения) при условии, что известны ограничения на компоненты вектора управляющего момента.
В работе [22] рассматривается задача оптимального по быстродействию разворота твердого тела с одной осью симметрии в предположении, что вектор управления ограничен эллипсоидом, подобным эллипсоиду инерции. Оптимальное решение найдено в классе траекторий, на которых кинетический момент твердого тела имеет постоянное направление в инерциалыюм пространстве.
Как указано в [20,21] построение стабилизирующего управления угловым движением К А можно разделить на две задачи: кинематическая задача управления и динамическая задача управления. Под кинематической задачей управления ориентацией КА понимается задача приведения жестко связанной с КА системы координат к опорной (программной) системе координат, вращающейся в инерциальном пространстве с заданной угловой скоростью. Причем процесс ориентации заключается в том, что связанной системе координат сообщается абсолютная угловая скорость, равная сумме программной абсолютной угловой скорости и угловой скорости коррекции. Назначение угловой скорости коррекции, рассматриваемой в качестве управления - изменять таким образом ориентацию связанного базиса, чтобы вызвать его совпадение с опорной системой координат.
В динамической задаче управления угловым движением КА полагается, что управлением является не абсолютная угловая скорость коррекции, а управляющий момент, прикладываемый к КА. Управляющий момент вызывает соответствующее движение КА; при этом целью управления ориентацией остается также совмещение связанного базиса с опорным.
Построение стабилизирующего управления в малом осуществляется на основе линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела.
Большое количество работ посвящено другому подходу к построению управления угловым движением твердого тела, например, [18,19,74,75]. Этот
подход использует принцип обратной связи для формирования законов управления и метод Ляпунова для анализа устойчивости управляемого углового движения твердого тела. Во многих работах этот подход используется для построения управления большими пространственными поворотами КА, рассматриваемого как твердое тело. В большинстве этих работ изучается задача переориентации твердого тела: задача перевода твердого тела из одного фиксированного углового положения в другое (при нулевых угловых скоростях твердого тела в начальном и конечном положениях). Законы управления строятся в виде линейных или нелинейных компонент кватерниона ошибки ориентации и вектора угловой скорости твердого тела так, чтобы процесс переориентации был асимптотически устойчивым в большом или целом.
В работах [48,58-64] изучается более общая задача построения управления, обеспечивающего асимптотически устойчивый в большом или целом перевод твердого тела, имеющего произвольную начальную угловую скорость, из его произвольного заранее не заданного углового положения на любую выбранную программную траекторию углового движения и дальнейшее асимптотически устойчивое движение твердого тела по этой траектории. При этом переходный процесс должен иметь желаемые качественные и количественные характеристики.
Настоящая диссертационная работа содержит четыре главы основного текста.
В первой главе рассмотрена задача построения алгоритма нахождения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по известным двум другим компонентам этого вектора и показаниям датчика местной вертикали. Такая задача возникает в случае выхода из строя одного из трех датчиков угловой скорости. Эта задача изучалась СВ. Рыжковым для случая геостационарного спутника. Им был построен алгоритм определения ориентации по неполной информации о векторе угловой скорости, использующий углы Эйлера-Крылова в качестве кинематических параметров. В настоящей работе, в отличие от исследований, проведенных СВ. Рыжковым, на
12 движение центра масс КА не накладывается никаких ограничений, в качестве
математической модели, описывающей угловое движение КА, взяты
кватернионные кинематические дифференциальные уравнения. С
использованием аналитического решения кватернионного кинематического
уравнения (1) углового движения твердого тела, имеющего место в случае
постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости
твердого тела на интервале дискретности вычислений, построены два
алгоритма определения неизвестной компоненты вектора угловой скорости КА.
Соотношения, по которым определяется искомая компонента, имеют простую
структуру, однако содержат особые точки, которые, как показано в работе,
могут быть исключены за счет комбинированного использования этих
алгоритмов. Приведены результаты численного моделирования в виде
графиков методических погрешностей.
Во второй главе работы рассмотрена задача построения векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела. На основе кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела и его программного углового движения, а также формулы сложения конечных поворотов построены две формы кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела в кватернионной и векторной формах в предположении, что параметры программного углового движения и управление являются произвольными, но заданными функциями времени. При этом использованы два способа описания ошибки по угловой скорости: 1) векторный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде векторной разности векторов действительной и программной угловых скоростей; 2) формальный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде разностей проекций соответствующих векторов, определенных в разных системах координат.
С использованием построенных уравнений возмущенного углового движения найдены две группы векторных кинематических законов
13 стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую
устойчивость в большом произвольно выбранного программного углового движения твердого тела. Уравнения возмущенного движения, замкнутые полученными законами управления принимают эталонный вид: вид линейных стационарных дифференциальных уравнений относительно векторной части кватерниона ошибки ориентации или вектора конечного поворота, характеризующего ошибку ориентации твердого тела. Также построены законы управления, использующие в качестве кинематических параметров единичный вектор оси эйлерова поворота и угол эйлерова поворота. Проведено аналитическое и численное исследование построенных законов управления.
Построенные в работе законы кинематического стабилизирующего управления проще известных законов управления, построенных в [48] с использованием ненормированных кватернионов поворотов, однако содержат особую точку. В построенных законах, в отличие от законов, построенных в работе [18], могут быть аналитически строго определены коэффициенты усиления нелинейных обратных связей, исходя из требуемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.
В третьей главе рассмотрена кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Задача заключается в построении вектора абсолютной угловой скорости твердого тела, рассматриваемого в качестве управления, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального углового положения, на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.
В качестве функционалов минимизации выбирались функционалы, имеющие смысл смешанных интегральных критериев качества, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление.
14 С использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина получены законы
. оптимальных управлений в виде функций фазовых и сопряженных переменных.
Найдены первые интегралы дифференциальных уравнений задачи, использование
которых позволило построить законы оптимального управления в виде линейных
функций компонент кватернионов, характеризующих отклонение действительной
ориентации твердого тела от его программной ориентации. Показано, что
коэффициенты законов управления выражаются через весовые коэффициенты
функционалов минимизации. Найдены аналитические решения кватернионных
нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения
твердого тела, замкнутых построенными законами управления. Из построенных
аналитических решений видно, что движение замкнутой системы асимптотически
устойчиво. Показано, что построенные управления совпадают с управлениями,
построенными с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана,
что говорит о том, что эти управления удовлетворяют не только необходимым, но
и достаточным условиям оптимальности.
В этой главе также были аналитически построены оптимальные стабилизирующие законы управления с использованием теоремы Н.Н. Красовского [31,51], обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения и минимизирующие другие функционалы, характеризующие качество переходного процесса.
В четвертой главе рассматривается задача управления угловым движением космического аппарата, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента КА. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с использованием управляющих маховиков. Задача заключается в построении вектора кинетического момента КА, сообщение которого КА обеспечивает его перевод из заданного начального в требуемое конечное угловое положение. При этом функционал, интегрантом которого является квадрат модуля кинетического момента, должен принимать минимальное значение. Такой функционал характеризует общие энергетические затраты на управление. Полагается, что на вектор
15 кинетического момента не наложено никаких ограничений, а время
переориентации задано.
Поставленная задача решалась на основе кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации КА и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Найдено аналитическое решение задачи для случая, когда КА обладает сферической симметрией. В случае осесимметричного КА задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций, что затрудняет аналитическое исследование уравнений углового движения КА, замкнутых этими управлениями. Приведены результаты численного моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии.
Рассмотренная задача отличается от задачи построения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренной в работе [27], постановкой задачи (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и используемой математической моделью движения. Кроме этого, рассматривается не только случай осевой симметрии КА, но и общий случай распределения масс КА.
Численное моделирование алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости
Во второй главе работы рассмотрена задача построения векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела. На основе кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела и его программного углового движения, а также формулы сложения конечных поворотов построены две формы кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела в кватернионной и векторной формах в предположении, что параметры программного углового движения и управление являются произвольными, но заданными функциями времени. При этом использованы два способа описания ошибки по угловой скорости: 1) векторный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде векторной разности векторов действительной и программной угловых скоростей; 2) формальный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде разностей проекций соответствующих векторов, определенных в разных системах координат.
С использованием построенных уравнений возмущенного углового движения найдены две группы векторных кинематических законов стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в большом произвольно выбранного программного углового движения твердого тела. Уравнения возмущенного движения, замкнутые полученными законами управления принимают эталонный вид: вид линейных стационарных дифференциальных уравнений относительно векторной части кватерниона ошибки ориентации или вектора конечного поворота, характеризующего ошибку ориентации твердого тела. Также построены законы управления, использующие в качестве кинематических параметров единичный вектор оси эйлерова поворота и угол эйлерова поворота. Проведено аналитическое и численное исследование построенных законов управления.
Построенные в работе законы кинематического стабилизирующего управления проще известных законов управления, построенных в [48] с использованием ненормированных кватернионов поворотов, однако содержат особую точку. В построенных законах, в отличие от законов, построенных в работе [18], могут быть аналитически строго определены коэффициенты усиления нелинейных обратных связей, исходя из требуемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.
В третьей главе рассмотрена кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Задача заключается в построении вектора абсолютной угловой скорости твердого тела, рассматриваемого в качестве управления, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального углового положения, на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.
В качестве функционалов минимизации выбирались функционалы, имеющие смысл смешанных интегральных критериев качества, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление. С использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина получены законы . оптимальных управлений в виде функций фазовых и сопряженных переменных. Найдены первые интегралы дифференциальных уравнений задачи, использование которых позволило построить законы оптимального управления в виде линейных функций компонент кватернионов, характеризующих отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации. Показано, что коэффициенты законов управления выражаются через весовые коэффициенты функционалов минимизации. Найдены аналитические решения кватернионных нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела, замкнутых построенными законами управления. Из построенных аналитических решений видно, что движение замкнутой системы асимптотически устойчиво. Показано, что построенные управления совпадают с управлениями, построенными с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана, что говорит о том, что эти управления удовлетворяют не только необходимым, но и достаточным условиям оптимальности. В этой главе также были аналитически построены оптимальные стабилизирующие законы управления с использованием теоремы Н.Н. Красовского [31,51], обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения и минимизирующие другие функционалы, характеризующие качество переходного процесса. В четвертой главе рассматривается задача управления угловым движением космического аппарата, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента КА. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с использованием управляющих маховиков. Задача заключается в построении вектора кинетического момента КА, сообщение которого КА обеспечивает его перевод из заданного начального в требуемое конечное угловое положение. При этом функционал, интегрантом которого является квадрат модуля кинетического момента, должен принимать минимальное значение. Такой функционал характеризует общие энергетические затраты на управление. Полагается, что на вектор кинетического момента не наложено никаких ограничений, а время переориентации задано. Поставленная задача решалась на основе кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации КА и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Найдено аналитическое решение задачи для случая, когда КА обладает сферической симметрией. В случае осесимметричного КА задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций, что затрудняет аналитическое исследование уравнений углового движения КА, замкнутых этими управлениями. Приведены результаты численного моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии.
Построение законов управления, использующих векторную часть кватерниона ошибки ориентации
Результаты численного решения системы (3.5.14) представлены в виде графиков компонент кватерниона v на рисунках 3.3 и 3.4. При этом, начальные условия движения и весовые множители брались такими же, как и в п. 3.4.
Следует отметить, что решение системы (3.5.15) будет полностью совпадать с решением системы (3.5.14). Из графиков, изображенных на рисунке 3.3 видно, что под действием кинематического управления (3.5.12) или (3.5.13) твердое тела также, как и в случае рассмотренном в п. 3.4, совершает апериодическое движение. Заметим также, что переходный процесс, совершаемый под действием управления (3.5.12) или (3.5.13) требует больше времени, чем переориентация под действием управления (3.4.6) или (3.4.7).
Отметим, что законы управления (3.5.12) и (3.5.13) не содержат особых точек. Аналитически решена в двух нелинейных постановках задача построения стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом любого невозмущенного движения и доставляющих минимум функционалам, имеющих смысл смешанных интегральных критериев качества, характеризующих отклонение по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление.
С использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина получены законы оптимальных управлений в виде функций фазовых и сопряженных переменных. Показано, что уравнения движения твердого тела, замкнутые такими управлениями, имеют вид систем нелинейных обыкновенных стационарных дифференциальных уравнений седьмого порядка. Найдено три первых скалярных интеграла каждой из этих систем дифференциальных уравнений. С использованием первых интегралов показана необходимость выполнения условия коллинеарности векторных частей кватернионных фазовой и сопряженной переменной. Это условие, в свою очередь, позволило построить (в виде функций фазовых координат) законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности принципа максимума и обеспечивающие асимптотическую устойчивость в целом любого невозмущенного углового движения твердого тела. Построенные законы управления не имеют особых точек и имеют простую структуру. Коэффициенты усиления обратных связей, фигурирующие в них, выражены в явном виде через коэффициенты функционалов минимизации.
Показано, что построенные законы совпадают с законами, построенными с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана, что говорит о том, что эти управления удовлетворяют не только необходимым, но и достаточным условиям оптимальности.
Также аналитически построены с использованием теоремы Н.Н. Красовского оптимальные стабилизирующие законы управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в целом невозмущенного движения и минимизирующие другие функционалы, характеризующие качество переходного процесса. Построенные таким образом законы управления также не содержат особых точек, но имеют более сложную структуру.
Приведены результаты моделирования управляемого движения твердого тела в виде графиков зависимостей компонент кватерниона ошибки ориентации и компонент вектора стабилизирующей угловой скорости от времени, показывающие эффективность построенных управлений.
Исследование дифференциальных уравнений задачи
Результаты численного решения системы (3.5.14) представлены в виде графиков компонент кватерниона v на рисунках 3.3 и 3.4. При этом, начальные условия движения и весовые множители брались такими же, как и в п. 3.4.
Следует отметить, что решение системы (3.5.15) будет полностью совпадать с решением системы (3.5.14).
Из графиков, изображенных на рисунке 3.3 видно, что под действием кинематического управления (3.5.12) или (3.5.13) твердое тела также, как и в случае рассмотренном в п. 3.4, совершает апериодическое движение. Заметим также, что переходный процесс, совершаемый под действием управления (3.5.12) или (3.5.13) требует больше времени, чем переориентация под действием управления (3.4.6) или (3.4.7).
Отметим, что законы управления (3.5.12) и (3.5.13) не содержат особых точек. Аналитически решена в двух нелинейных постановках задача построения стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом любого невозмущенного движения и доставляющих минимум функционалам, имеющих смысл смешанных интегральных критериев качества, характеризующих отклонение по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление.
С использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина получены законы оптимальных управлений в виде функций фазовых и сопряженных переменных. Показано, что уравнения движения твердого тела, замкнутые такими управлениями, имеют вид систем нелинейных обыкновенных стационарных дифференциальных уравнений седьмого порядка. Найдено три первых скалярных интеграла каждой из этих систем дифференциальных уравнений. С использованием первых интегралов показана необходимость выполнения условия коллинеарности векторных частей кватернионных фазовой и сопряженной переменной. Это условие, в свою очередь, позволило построить (в виде функций фазовых координат) законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности принципа максимума и обеспечивающие асимптотическую устойчивость в целом любого невозмущенного углового движения твердого тела. Построенные законы управления не имеют особых точек и имеют простую структуру. Коэффициенты усиления обратных связей, фигурирующие в них, выражены в явном виде через коэффициенты функционалов минимизации.
Показано, что построенные законы совпадают с законами, построенными с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана, что говорит о том, что эти управления удовлетворяют не только необходимым, но и достаточным условиям оптимальности.
Также аналитически построены с использованием теоремы Н.Н. Красовского оптимальные стабилизирующие законы управления, обеспечиваю 86 щие асимптотическую устойчивость в целом невозмущенного движения и минимизирующие другие функционалы, характеризующие качество переходного процесса. Построенные таким образом законы управления также не содержат особых точек, но имеют более сложную структуру.
Приведены результаты моделирования управляемого движения твердого тела в виде графиков зависимостей компонент кватерниона ошибки ориентации и компонент вектора стабилизирующей угловой скорости от времени, показывающие эффективность построенных управлений. Построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по известным двум компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали, основанные на использовании аналитического решения кватернионного дифференциального кинематического уравнения углового движения твердого тела для случая постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата на интервале дискретности вычислений. Разработанные алгоритмы не имеют накапливающихся методических погрешностей. Каждый из алгоритмов содержит особые точки, однако комбинированное их использование позволяет эти особые точки исключить. Проведенное численное моделирование алгоритмов показало их работоспособность и эффективность. 2. С использованием двух форм кватернионных кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела построены три группы новых стабилизирующих векторных законов, управления угловым движением твердого тела, обеспечивающих в нелинейной постановке асимптотическую устойчивость в большом любого выбранного невозмущенного углового движения твердого тела и использующих в качестве кинематических параметров компоненты кватерниона ошибки ориентации, вектор конечного поворота, эйлеров угол и параметры ориентации эйлеровой оси вращения. Проведено аналитическое и численное исследование полученных законов стабилизирующего управления. Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей. 3. С использованием методов теории оптимального управления получены в различных нелинейных постановках аналитические решения кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Построены оптимальные в смысле минимума функционалов, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление, стабилизирующие законы управления угловым движением твердого тела, использующие информацию о кватернионе ошибки ориентации тела и содержащие в явном виде коэффициенты функционалов минимизации. При построении стабилизирующих оптимальных законов управления были использованы различные методы теории оптимального управления: принцип максимума Л.С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана и теорема Н.Н. Красовского. Приведены результаты численного моделирования, показывающие эффективность построенных законов управления. 4. Построены с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина законы оптимального (программного) в смысле минимума энергозатрат изменения вектора кинетического момента космического аппарата. Для случая сферически симметричного космического аппарата найдено аналитическое решение задачи. В случае, когда космический аппарат имеет ось динамической симметрии, задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций. Приведены примеры численного решения задачи и моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии. 5. Разработаны алгоритмы и программы численного решения изучаемых задач и моделирования управляемого углового движения твердого тела (КА). Выражаю глубокую признательность д.ф.-м.н., профессору Ю.Н.Челнокову за постановку задач исследования, многолетнюю помощь в работе и обсуждение полученных результатов.
Решение задачи для космического аппарата произвольной динамической конфигурации
Рассмотрена задача построения программного управления угловым движением космического аппарата, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента КА. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с использованием управляющих маховиков. Задача заключается в построении вектора кинетического момента КА, сообщение которого КА обеспечивает его перевод из заданного начального в требуемое конечное угловое положение. При этом функционал, интегрантом которого является квадрат модуля кинетического момента, должен принимать минимальное значение. Такой функционал характеризует общие энергетические затраты на управление. Полагается, что на вектор кинетического момента не наложено никаких ограничений, а время переориентации задано.
Поставленная задача решена на основе кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации КА и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Найдено аналитическое решение задачи для случая, когда КА обладает сферической симметрией. В случае осесимметричного КА задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений и предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций, что затрудняет аналитическое исследование уравнений углового движения КА, замкнутых этими управлениями. Приведены результаты численного моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии. Рассмотренная задача отличается от задачи построения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренной в работе [27], постановкой задачи (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и используемой математической моделью движения. Кроме этого, рассматривается не только случай осевой симметрии КА, но и общий случай распределения масс КА. 1. Построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по известным двум компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали, основанные на использовании аналитического решения кватернионного дифференциального кинематического уравнения углового движения твердого тела для случая постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата на интервале дискретности вычислений. Разработанные алгоритмы не имеют накапливающихся методических погрешностей. Каждый из алгоритмов содержит особые точки, однако комбинированное их использование позволяет эти особые точки исключить. Проведенное численное моделирование алгоритмов показало их работоспособность и эффективность. 2. С использованием двух форм кватернионных кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела построены три группы новых стабилизирующих векторных законов, управления угловым движением твердого тела, обеспечивающих в нелинейной постановке асимптотическую устойчивость в большом любого выбранного невозмущенного углового движения твердого тела и использующих в качестве кинематических параметров компоненты кватерниона ошибки ориентации, вектор конечного поворота, эйлеров угол и параметры ориентации эйлеровой оси вращения. Проведено аналитическое и численное исследование полученных законов стабилизирующего управления. Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей.
