Введение к работе
1.Актуальность темы диссертации.
На протяжении последних нескольких десятилетий внимание специалистов различных областей науки и техники привлекают явления, системы и устройства, параметры которых периодически изменяются во времени..
Несмотря на многочисленные препятствия, связанные как с существенными пробелами в теории управленя такими объектами, так и с проблемами их практической реализации, интерес к параметрическим системам не угасает, а прогресс в отдельных.отраслях технологий каждый раз дает новый толчок к развитию и совершенствованию систем с периодически изменяющимися параметрами.
Неиссякающий интерес к параметрическим системам связан, в первую очередь, с тем,-- что применение периодического воздействия на параметры системы существенно расширяет ее функциональные возможности и связано, как правило, с появлением дополнительных свойств у таких технических систем, что открывает новые перспективы управления ими. Кроме того существует значительное число естественно-научных объектов и явлений, которые постоянно находятся в условиях периодических воздействий на их характеристики и свойства и потому по существу представляют собой системы с периодически изменяющимися во времени параметрами.
Таким образом, применение периодических воздействий, как с целью управления техническими характеристиками систем и устройств, так и для цели расширения их функциональных возможностей, остается перспективным направлением практики построения современных технических систем различного назначения, а изучение параметрических явлений в технических устройствах - актуальное направление теории управления.
Особое место в рамках указанного направления занимают линейные параметрические колебательные системы с распределенными параметрами (ЛПКС РП).Такие системы, обладая ярко выраженными свойствами избира-
тельности по форме и чувствительности к фазе сигнала на входе устрой тва, допускают простое и эффективное управление параметрами, обеспечі .вая перестройку и адаптацию системы под заданный селектируемый сигна: По совокупности возможностей ЛПКС PR обеспечивают оптимальное решен! задач селекции сигналов сложной формы и перспективны к применению системах, используемых в радиовидении и интроскопии (радиолокациокнч поверхностном зондировании). Область наиболее рационального использс вания ЛПКС с РП - дециметровый и сантиметровый диапазон длин волн, кс торый в условиях разумной аппаратурной реализации е настоящее вpe^ недоступен для цифровых методов обработки сигналов.
ЛПКС с РП интенсивно изучались специалистами в области радиоФизі ки и теории управления на протяжении 70-х - начала 80-х годов. Достг точно, например, указать работы таких представителей Горьковской ико; радиофизиков как Островский Л.А., Кабанов Д.А., Степанов Н.С., Веснш. кий А.И. и др., которым принадлежат большинство опубликованных в зтс области исследований и основные полученные результаты. Характерно, чт публикации этого периода посвящены, как правило, описанию фигичесго особенностей процессов, протекающих в таких устройствах, описанию хг рактера преобразования спектра гармонических колебаний, устойчивости условий возникновения автоколебаний, получаемых на основе изучею-весьма простых математических моделей, доступных для исследования этот период, а также прикладным вопросам, а именно: изучению возион ности практического применения ЛПКС с РП в качестве управляемых лину задержки, аттенюаторов, модуляторов СВЧ колебаний и преобразователе гармонических колебаний в импульсное.
Незавершенность теории ЛПКС с РП, определенные трудности практь ческой реализации и, как следствие, невостребованность практикой нг копленных результатов исследований привели к тому, что с середины 80-
годов объем исследований по теории и практическому применению ЛПКС с РП существенно сократился. Следует особо подчеркнуть, что среди причин, которые послужили препятствием широкому использованию на практике ЛПКС с РП. одной из главных является отсутствие содержательной теории таких устройств. Здесь в первую очередь необходимо отметить нерешенность вопросов устойчивости» регулирования и реализации устойчивых режимов, вопросов реализации и управления собственным и вынужденным резонансом в ЛПКС с РП.
Анализ этого этапа развития теории и практического применения ЛПКС с РП показывает, что среда причин сложившегося положения первостепенной является неразработанность теории математических моделей ЛПКС с РП - теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.
В этой связи радикальным средством решения прикладных задач теории ЛПКС РП следует считать построение содержательной законченной теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа (ЛП ДРУ НТ). которые служат математическим описанием процессов, протекающих в ЛПКС с РП.
До настоящего времени не существовало законченной содержательной теории ЛП ДРУ НТ. Известные немногочисленные работы в этой области рассматривали лишь отдельные частные наиболее простые случаи.
Цель представленной диссертационной работы восполнить указанный пробел.
Теория Флоке ЛП ДРУ НТ, разработанная в представленной диссертации не только позволяет решить основные задачи теории ЛПКС РП, но также полезна при решении ряда естественнонаучных проблем (биология, медицина), описываемых ЛП ДРУ НТ. В этой связи значимость развитой в диссертационной работе теории Флоке ЛП ДРУ НТ выходит за рамки указан-
- б -
ных выше прикладных задач.
2.Цель работы/
Цель диссертационной работы - построение содержательной теор математических моделей ЛПКС с РП - теории линейных периодических ди ференциально-разностных уравнений нейтрального типа и ее применение решению вопросов устойчивости и реализации управления собственным вынужденным резонансом в ЛПКС с РП.
3.Научная новизна результатов, полученных в диссертации.
В представленной диссертации рассмотрены линейные параметричесн колебательные системы с распределенными параметрами, построенные базе одномерных волновых систем с параметрическими условиями на граї це и их математические модели - скалярные -линейные периодические др ференциально-разностные уравнения нейтрального типа с конечным чиы постоянных сосредоточенных запаздываний рационально соизмеримых с г риодом коэффициентов.
Впервые построена содержательная теория скалярных линейных пері дических дифференциально-разностных уравнений"нейтрального типа с і нечным числом постоянных запаздываний, рационально соизмеримых с пе[ одом коэффициентов.
Поставлены и впервые решены следующие проблемы:
предложен метод решения проблемы существования решений Флоке скалярного ЛП ДРУ НТ с конечным числом постоянных сосредоточ* ных запаздываний рационально соизмеримых с периодом козффици тов, опирающийся на применение техники теории сингулярных в мущений;
построена теория Флоке для упомянутого .выше класса Ш ДРУ НТ именно:
1.сформулированы достаточные условия существования решений Ф
ке (невырожденный случаи,' и получены их асимптотические представления; 2.сформулированы условия существования решений Флоке. (вырожденный случай); 3.построено семейство решений Флоке (невырожденный случай), предложен и реализован способ пополнения указанного семейства; 4.доказаны минимальность и базисность пополненного семейства решений Флоке в гильбертовых пространствах H(0,t) и Соболева С.Л. W9(0,t); 5. поставлена и решена задача на собственные значения. Построено семейство периодических собственных функций и получены их асимптотические представления. Доказаны минимальность и базисность системы периодических собственных функций в гильбертовом пространстве 1^(0, Т). Помимо решения основной задачи - построения теории Флоке указанного выше класса ЛП ДРУ НТ - и в ходе ее решения в диссертации
- предложен и описан новый метод решения задач теории сингулярных возмущений - модифицированный метод регуляризации, предназначенный для решения задач типа
s4P(s)u=A(t,e)u u(0)=u, где Р(є) - полином, Р(0)иО, A(t,s) - матрица n*n, полином степени m относительно е. Эффективность предложенного модифшдированного метода регуляризации продемонстрирована на примере решения задачи существования решений Флоке у ЛП ДРУ НТ (случай ц>1,тде q - кратность предельного мультипликатора) .
4.Практическая ценность, полученных результатов. Предложенный в диссертационной работе метод и развитая на его основе теория Флоке Ж ДРУ НТ позволяют
проанализировать в пространстве параметров устойчивость ЛПКС РП, описываемых ЛП ДРУ НТ,
осуществить построение, диаграмм устойчивости в пространстве параметров, использовать их для управления характеристиками ЛПКС с РП и реализации режимов вынужденного резонанса.
Разработанная автором диссертации теория Флоке ЛП ДРУ НТ использована для синтеза параметрического фазового детектора по заданной амплитудно-фазовой характеристике.
Построенная в диссертационной работе теория Флоке ЛП ДРУ НТ может быть с успехом использована при изучении процессов в биологических объектах, а также при решении других естественнонаучных задач, связанных с описанием волновых процессов в системах с периодическими параметрами.
5. Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальньк уравнений (Душанбе,1987г.), на 7 Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989г.), на Украинской республиканской конференции "Моделирование и устойчивость систем" (Киев, 1990, 1992, 1995г.), на Уральской региональной конференции "Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988г.). на.семинаре кафедры теоретической кибернетики ЛГУ (руководитель В.А, Якубович) Ленинград, 1985г., на семинаре кафедры механики Свердловского государственного университета (руководитель С.Н.Шиманов) Свердловск., 1988г., на семинаре Института математики АН УССР (руководителі
А.Н. Шарковский) Киев,1986г.. на семинаре "Дифференциальные уравнения" ЛГПУ им.А.И.Герцена (руководитель Н.М.Матвеев) Ленинград. 1986-1991гг.. на семинаре Московского энергетического института (руководитель С.А.Ломов) Москва,1992г.
6. Публикации.
Основные результаты проведенных автором научных исследований, опубликованы в 16 работах и монографии "Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения" изд. ЛГУ 1986г.
7.Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения и двух разделов. Первый раздел содержит две главы, заключение и указатель литературы из 17 наименований. Второй раздел диссертации состоит из вводных замечаний, 6 глав, 3 приложений, заключения и указателя литературы, содержащего 118 наименований. Всего диссертация содержит 265 страниц текста, включая 2 рисунка.
