Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор математических методов исследования хаотических процессов 9
1.1 Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории 9
1.2 Общая постановка задачи 17
1.2 Основные понятия теории динамического хаоса 18
1.3 Классификация динамических систем 20
1.4 Аттракторы диссипативных систем 22
1.5 Инвариантные множества динамических систем 24
1.6 Устойчивость динамических систем 25
1.7 Выводы 26
2. Разработка математического аппарата оценки хаотических сигналов 27
2.1 Инвариантная мера динамических систем 29
2.2 Энтропия динамической системы 31
2.2.1 Обобщенные энтропии ренъи 34
2.3 Размерности аттракторов динамических систем 34
2.3.1 Геометрические размерности 35
2.3.2 Вероятностные размерности 37
2.4 Характеристические показатели ляпунова 39
2.4.1 Неподвижные точки обыкновенных дифференциальных уравнений 39
2.4.2 Периодические решения автономных систем оду. 40
2.4.3 Построение сечения пуанкаре 41
2.4.4 Обобщенный подход к исследованию устойчивости 43
2.4.5 Свойства показателей ляпунова 49
2.4.6 Связь показателей ляпунова с другими характеристиками 51
2.5 Выводы 53
3 Разработка алгоритмического обеспечения оценки параметров хаотических процессов по одномерной реализации 54
3.1 Статистическое моделирование динамических систем 54
3.2 Реконструкция по временным рядам 56
3.3 Задача выбора параметров реконструкции 61
3.3.1 Выбор размерности реконструкции 63
3.3.2 Выбор временного интервала 66
3.4 Алгоритмы поиска ближайших соседей 68
3.4.1 Стандартный алгоритм 68
3.4.2 Алгоритмы быстрого поиска «ближайших соседей» 70
3.5 Фильтрация шумов 77
3.6 Методы расчета показателей ляпунова 78
3.6.1 Мультипликативная эргодическая теорема 78
3.6.2 Оценка показателей ляпунова по временному ряду 81
3.7 Оценка энтропии динамической системы по временному ряду 89
3.8 Оценка корреляционной размерности по временному ряду 90
3.9 Методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам 92
3.10 Выводы 93
4. Использование разработанных алгоритмов для моделирования хаотических процессов 94
4.1 Тестирование алгоритмов на модельных примерах 94
4.2 Исследование реально существующих диссипативных динамических систем, с помощью разработанных средств 107
4.4 Выводы 125
Основные результаты и выводы 126
Список использованных источников 127
Приложения 138
- Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории
- Энтропия динамической системы
- Реконструкция по временным рядам
- Тестирование алгоритмов на модельных примерах
Введение к работе
Актуальность темы. Создание эффективных технических систем и повышение качества их функционирования, является одной из важных проблем современной техники. Для решения этой задачи необходимо исследование ее структурной и динамической сложности.
Диссертационная работа посвящена разработке средств моделирования и исследования технических объектов, представляющих собой открытые диссипативные динамические системы и демонстрирующих хаотическое поведение. Изучение хаотических систем важно для решения задач гидродинамики, радиотехники, теплоэнергетики и других областей науки и техники в связи с исследованием различных предельных режимов. Такие системы характеризуются сжатием фазового объема, которое приводит к тому, что фазовые траектории с течением времени стягиваются в фиксированную ограниченную область — странный аттрактор.
Математическое моделирование реальных диссипативных систем, проявляющих хаотическое поведение, является сложной и трудно решаемой задачей, в связи с их сложной внутренней структурой и частой невозможностью получения данных о системе в полном объеме. Одним из подходов к решению этой задачи является метод задержки. Предложенный Н. Паккардом в начале 80-х годов прошлого века, и математически обоснованный Ф. Таксисом он позволяет реконструировать аттрактор динамической системы по ее одномерной реализации. В дальнейшем, на основе метода задержки Такенса-Паккарда, были разработаны методы вычисления различных инвариантных характеристик исходной динамической системы, позволившие расширить область применения данного подхода- Развитию этого направления были посвящены труды многих ученых — А. Вольфа, Г. Г. Малинецкого, В, С. Анищенко, Т\ Шрейбера, Т. Сауэра, Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М- Розенштейна и многих других.
Вместе с тем общая методика моделирования хаотических процессов на основе разработанных методов, алгоритмическое и программное обеспечение методов проработано недостаточно. В связи с этим тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.
Целью диссертационной работы является разработка методики и программно-математических средств моделирования и исследования хаотических процессов сложных систем на основе методов нелинейной динамики.
Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:
Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории систем.
Формулировка задачи разработки методики и алгоритмического обеспечения моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.
Разработка программно-математического обеспечения и исследование существующих алгоритмов построения моделей хаотических процессов и их характеристик. .
Программная реализация и тестирование алгоритмического и математического обеспечения на известных моделях хаоса; исследование области применимости методик.
Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения на экспериментальных данных.
Решение практических задач по моделированию реально существующих диссипативных хаотических систем.
В качестве объекта исследования выбраны диссипативные хаотические динамические системы на этапе асимптотического поведения, которые либо не допускают непосредственного исследования своей
структуры, либо эта структура слишком сложна, но для анализа доступен производимый системой сигнал.
В работе используются методы информатики, теории сложных систем, теории динамических систем, теории хаоса и бифуркаций и современные компьютерные технологии.
Научная новизна работы состоит в следующем:
разработана методика исследования моделей и получения инвариантных характеристик хаотических систем по временным рядам;
разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость вычислений инвариантных характеристик.
создано алгоритмическое обеспечение методики моделирования и исследования хаотических моделей структурно-сложных систем, на основе реконструкции аттракторов методом Такенса-Паккарда и модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам;
Практическая ценность. Разработанные методологии, модели и программное обеспечение могут быть использованы для проектирования автоматических систем управления сложными техническими процессами и реализации подсистем прогнозирования поведения хаотических систем.
Реализация результатов работы. Разработанные методики
использованы для моделирования теплоэнергетических систем промышленных предприятий Ступинского района Московской области. Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6 научных конференциях: III Всероссийской научно-технической конференции
7 «Новые информационные технологии» (г. Москва, МГАПИ, 2000); Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в науке и образовании» (г. Шахты, Ростовской обл., ЮРГУЭС, 2001); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные модели экономики» (г. Москву, МГАПИ, 2003); V Молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (г. Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003);научном семинаре «Теории, методы и средства моделирования сложных систем» кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ; IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск, ИМИ СО РАН, 2003).
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 160 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 12 таблиц. Список литературы содержит 131 наименование.
В первой главе диссертационной работы проведен обзор научных результатов современной нелинейной теории систем; приведена классификация динамических систем; на основании проведенного обзора уточнена общая постановка задачи; рассмотрены основные понятия нелинейной теории систем.
Во второй главе рассмотрены характеристики хаотических процессов, приведены их математические модели, и связь характеристик
между собой; выбраны основные инвариантные характеристики, позволяющие по одномерной реализации получить оценки устойчивости, энтропии и размерности исходной системы; обоснован выбор характеристик
В третьей главе разработана методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам на основе реконструкции аттрактора методом Такенса-Паккарда; разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость расчетов по разработанной методике, построено
8 алгоритмическое обеспечение методики моделирования сложных хаотических систем по временным рядам, на основе модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам.
В четвертой главе произведено тестирование предложенной методики и разработанного алгоритмического обеспечения на известных системах. С помощью разработанных средств, проведено исследование
*
реально существующих диссипативных динамических систем.
Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории
Одним из фундаментальных способов изучения различных процессов и явлений является построение и исследование их математических моделей. Этот подход является универсальным, поскольку он позволяет абстрагироваться от изучаемого объекта, рассматриваемого в рамках конкретной области естествознания, путем перехода на язык математического описания. В зависимости от типа объекта или изучаемого явления, к исследованиям динамически сложных и структурно сложных систем могут быть привлечены методы нелинейной динамики и теории колебаний (в том случае, если математическое описание представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или дискретных отображений), теории волновых процессов (если модель выбрана в виде уравнений в частных производных) и др. Наличие модели исследуемой системы значительно расширяет возможности ее изучения, позволяя, например, решать задачу предсказания как ее поведения во времени, так и эволюцию режимов ее функционирования при изменении управляющих параметров и т.д.
Работая с тем или иным математическим описанием, исследователь должен иметь четкое представление об адекватности такого описания реальному явлению. Соответственно, при построении модели в нее должны быть заложены все наиболее существенные факторы, оказывающие влияние на поведение системы. Разумеется, адекватность любого математического описания будет зависеть от степени осведомленности исследователя об изучаемом объекте.
Многие объекты подвергаются одновременному воздействию колебаний, имеющих природное и искусственное происхождение. Наибольшую сложность представляет создание математического описания нелинейных или хаотических процессов, протекающих в различных природных и технических системах. И лишь значительные успехи в исследовании нелинейной динамики и хаоса сделали это в принципе возможным.
На протяжении многих лет в исследованиях по построению динамических моделей преобладал детерминистский подход. Ученым казалось возможным представлять себе всю Вселенную как одну гигантскую динамическую систему. Понадобился длительный путь развития науки и научного мировоззрения (теория поля, термодинамика и статистическая физика, квантовая механика), чтобы убедиться в несостоятельности такого представления о мире.
Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к ряду важнейших открытий. Исследования в этой области начались еще в 19-м веке. А. Пуанкаре великий французский математик был первым, кто столкнулся с возникновением сложной динамики и хаоса[127]. Развитие идей Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Однако нелинейная динамика вначале возникла не как отдельная наука, а как одна из «дополнительных глав» теории динамических систем, поэтому как практические, так и теоретические результаты, связанные с исследованиями хаотических систем были разрозненными и относились к разным областям науки. Тем не менее, именно эти результаты легли в основу последующих открытий, сделавших возможным выделение нелинейной динамики в отдельную дисциплину.
К 70-м годам прошлого века уже была разработана практически вся математическая техника для анализа хаотических динамических систем. Было получено обоснование эргодической теоремы Больцмана для определенного класса систем. Результатом явилось формирование отдельной математической дисциплины — эргодической теории или метрической теории динамических систем, большой вклад в разработку которой внесли Энрико Ферми, Джордж Биркгоф и Джон фон Нейман.
В 1945 опубликована работа Картрайт и Литтлвуда[19]. В этой работе, посвященной математическому исследованию уравнения автогенератора под периодическим внешним воздействием, была обнаружена необычайная сложность динамики, в частности, наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических орбит. Эта работа впоследствии оказала влияние на американского математика Стефана Смейла, с именем которого связано осознание того факта, что в пространстве систем могут существовать области, где структурно неустойчивые системы образуют всюду плотное множество. Работы Смейла [128], в свою очередь, стимулировали создание советским математиком Д.В.Аносовым так называемой гиперболической теории, имеющей в основе систему аксиом, выполнение которых обеспечивает хаотическую динамику.
В начале 50-х было получено доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера).
В 1950 году была рпубликована работа советского физика Н.С.Крылова [114], показавшая, что по-настоящему существенным является наличие свойства перемешивания — неустойчивости фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий. Количественная характеристика неустойчивости траекторий известная как ляпуновский характеристический показатель — величина, введенная русским математиком А.М.Ляпуновым (докторская диссертация «Общая задача об устойчивости движения», 1892).
Энтропия динамической системы
Определив, таким образом понятие вероятности, можно применять к динамическим системам статистические методы, например, ввести понятия средней величины, дисперсии, различных моментов распределений, корреляций, энтропии и т. п., а также получать для них оценки. Для динамических систем с регулярным поведением, как правило, это не имеет большого смысла, но в случае динамического хаоса статистика оказывается весьма подходящим языком для его описания- Кроме того, при этом естественно получается и способ описания поведения динамических систем, на которые действует случайный шум. Заметим, что инвариантная мера динамической системы неединственна, она может быть связана как с устойчивым по Ляпунову множеством (аттрактором), так и с неустойчивым. Добавление малого шума позволяет избавиться от «лишних», неустойчивых мер.
К понятию инвариантной меры можно прийти и иным путем, лежащим, кстати, в основе ее строгого определения. Рассмотрим не одну траекторию, а целый ансамбль, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей Р(х) (изначально вводится некоторая вероятностная мера). «Включим» теперь временную эволюцию, динамику — отображение х— ц \х). При этом вероятность оказаться в бесконечно малой окрестности точки х для какой-нибудь траектории из рассматриваемого ансамбля и в окрестности ее образа ф (х) должны совпадать, т. е. (x)dx =Р(ф (х) Уф (л;). Однако из-за преобразования пространства р размер этой бесконечно малой окрестности, вообще говоря, изменится, а потому изменится и плотность вероятности. і Преобразование пространствах - ф (ж) порождает преобразование плотности вероятности F(x)- P(x,t)=3Q?(x),t). Если же при таком преобразовании плотность остается неизменной, ее называют инвариантной. Оператор 3 получил название оператора Перрона—Фробениуса. Можно поставить задачу исследования асимптотического поведения Р(лг,/). Если оказывается, что, независимо от начального распределения, Р(х,0 стремится к инвариантной мере, то говорят, что динамическая система обладает свойством перемешивания (начальное распределение «перемешивается» и «растекается» по всему аттрактору). Вообще, связь теории динамических систем и теории вероятностей оказывается довольно глубокой. Дело в том, что задолго до современной нелинейной динамики в теории вероятностей рассматривалась модель стационарных последовательностей случайных величин или стационарных случайных процессов, основанная на использовании динамических систем. В основе теории вероятностей , ЇЄЖИТ понятие пространства событий, на котором вводится вероятностная мера. Оказалось, что стационарные случайные последовательности можно представить как результат действия некоторого отображения на пространстве случайных событий при условии, что это отображение сохраняет меру или мера для него является инвариантной. Поэтому понятие инвариантной меры позволяет использовать результаты теории вероятностей для анализа динамических систем.
Выше говорилось о двух различных подходах к введению понятия инвариантной вероятностной меры для динамической системы. И соответствующие меры могли бы также оказаться различными. Тем не менее, они совпадают и этот факт носит название эгодического свойства - среднее по времени равно среднему по мере(или ансамблю).
В теории информации энтропию вводят для систем, которые могут находиться в некоторых состояниях, которые будем обозначать хп с некоторыми вероятностями р,=р(Х;). Допустим» что система достоверно находится в состоянии хк. Информативность такого сообщения зависит от «неопределенности» системы. Если все pi кроме рк равны нулю, то информативность равна нулю. Если же различных состояний много и они почти равновероятны, то сообщение очень сильно уменьшает неопределенность, а потому содержит значительную информацию Проблема количественного измерения неопределенности и информации в данном контексте рассматривалась Шенноном, Им было показано, что при весьма разумных предположениях очень полезной характеристикой состояния неопределенности (и, соответственно, получаемой информации) оказывается энтропия, определяемая как:
В свою очередь мерой информации, содержащейся в сообщении, является изменение энтропии. В частности, если сообщение полностью определяет текущее состояние системы, то после его получения Н= О, Тогда информация, содержащаяся в сообщении, / = ДЯ = Я0.
Логарифмы используют либо натуральные, либо по основанию 2. В оследнем случае единица информации называется бит. Например, если некоторая система может с равной вероятностью находиться в одном из двух состояний, то сообщение о ее текущем состоянии несет информацию в 1 бит.
Пусть задана некоторая динамическая система и ее инвариантная мера, которую будем считать физической. Разбив фазовое пространство на непересекающиеся множества А, с диаметром не больше є и вычислив меру каждого pt-ft(At) можно определить информацию, которую дает знание текущего состояния системы с точностью Если система хаотическая, то с течением времени образ почти всех Ак будет иметь непустое пересечение со всеми остальными Д. Это означает, что, хотя при =0 неопределенность с точностью є отсутствовала, в дальнейшем она будет увеличиваться. Хаотическая система с течением времени увеличивает неопределенность своего состояния, В таком случае иногда говорят, что система производит информацию. Скорость производства информации или неопределенности при е- 0 называется (метрической) энтропией динамической системы.
Реконструкция по временным рядам
Для них было изобретено даже специальное название: ARMA, от слов AutoRegression — авторегрессия, первая сумма, и Moving Average — скользящее среднее, вторая сумма. Коэффициенты о/, и bj определяют, например, методом наименьших квадратов. Получение искомых коэффициентов можно рассматривать как возможное решение задачи идентификации, а модель можно использовать и для прогноза следующего значения по m предыдущим. В качестве прогнозируемой величины обычно используется среднее значение. Шум является совершенно необходимой и неотъемлемой частью таких линейных моделей. В отсутствие шума поведение модели чаще всего абсолютно не похоже на исследуемый ряд. Поэтому подобные «линейные прогнозы» можно делать лишь на сравнительно небольшое число шагов вперед.
Иногда модели этого типа называют также линейными цифровыми фильтрами, поскольку процесс порождения временного ряда такой системой по сути представляет собой фильтрацию некоррелированного шума. Приведенная модель — это дискретный аналог свертки двух сигналов x(t) и %{t) с финитными функциями a(t) и b(t).
Это единственная модель, для которой можно получить какие-либо аналитические результаты, а ее построение и использование требует сравнительно небольших затрат машинного времени.
Можно строить и более сложные нелинейные статистические модели вида (для них иногда используют термин NARMA), но в этом случае построение модели требует более существенных затрат и сильно затрудняет получение каких-либо аналитических оценок. В частности, довольно сложно получить аналитическое выражение для среднего значения правой части. Чтобы преодолеть эту трудность, иногда сразу строят детерминированную модель. Кроме того, нелинейные модели уже сами по себе могут порождать нетривиальное временное поведение, так что простая картина фильтрации шума оказывается неприменимой.
Нелинейные модели ІІЄЛЯТ на два типа: параметрические и непараметрические. Параметрическими называют модели, для которых функция F( ,,a) одна и та же для всех х и и зависит от нескольких параметров а, которые и необходимо как можно точнее найти по временному ряду. Непараметрические методы используют локальные аппроксимации в окрестности некоторого набора точек {х Е }9 так что функция получается как набор кусочных аппроксимаций в окрестностях заданных узлов (чаще всего кусочно-линейных). Каждая из таких локальных функций, разумеется, тоже зависит от параметров, но набор параметров свой в каждой окрестности.
В 1980 г. группа американцев, изучавших гидродинамические течения, опубликовала работу «Геометрия по временному ряду» [9], в которой показала, что можно получить удовлетворительную геометрическую картину странного аттрактора небольшой размерности, если вместо переменных х, входящих в уравнения динамической системы i&/ #=F(x), использовать m-мерные вектора, получаемые из элементов временного ряда по тому же принципу, что и в задачах авторегрессии В том же году голландский математик Ф. Такенс доложил о своей знаменитой теореме, опубликованной годом позже[13]. Именно она лежит в основе всех алгоритмов анализа временных рядов методами нелинейной динамики. Пусть М А-мерное многообразие. Когда такое многообразие реализуется в виде поверхности L в n-мерном пространстве, которая не пересекается сама с собой, то говорят, что оно вложено в 9ЇП. Само вложение можно представить себе как дифференцируемую векторную функцию F, определенную на М\ для которой отображение M -»L является взаимно однозначным и существует обратная дифференцируемая функция F"1, отображающая Lk обратно в М\ То есть определена только на іД в противном случае она не будет однозначной- Выбирая разные F и п, можно получить различные представления одного и того же многообразия. Пусть на многообразии М (или на какой-либо поверхности L. диффеоморфной ему) определена векторная функция, нужное количество раз дифференцируемая и отображающая Мк в m-мсрное евклидово пространство Пусть М — как минимум дважды дифференцируемое многообразие, а #(х) — некоторая дважды дифференцируемая функция, отображающая Мк- 9їт для которой матрица производных dg/dxj имеет ранг к. Последнее условие необходимо, чтобы при отображении не получился объект меньшей размерности; скажем, плоскость не отображалась в одномерную кривую, т.е. ранг отображения должен быть равен к Такое отображение будет давать погружение многообразия М в 9ЇЛ при условии, что т 2к+1 (теорема Уитни)-Погружение локально аналогично вложению, но может содержать самопересечения, а потому глобально невозможно определить обратное отображение. Например, если в качестве многообразия рассматривать окружность, то на плоскости эллипс будет вложением, а восьмерка — только погружением. Точке пересечения восьмерки будут соответствовать две различные точки окружности. Поэтому теоремы Уитни оказалось недостаточно для обоснования методов обработки временных рядов.
Тестирование алгоритмов на модельных примерах
При всей своей простоте практическая реализация идей реконструкции часто сталкивается с проблемами. Возникают они из-за того, что длина обрабатываемого ряда всегда ограничена, во-первых, возможностями хранения информации, во-вторых, скоростью обработки, и в третьих, стационарностью исследуемого объекта — важно знать, в течение какого времени мы можем полагать, что исследуем одну и ту же динамическую систему (как только изменится (р (х), вектора z начнут строиться по-другому). Пусть имеется временной ряд из N чисел, которые являются значениями некоторой наблюдаемой, характеризующей одну и ту же динамическую систему. Тогда реконструированные z-вектора дадут N—m точек на поверхности і/є9Г, по которым надо будет судить о динамической системе Ш и ее аттракторе. Объем информации, который можно извлечь из этого множества точек, вообще говоря, зависит от свойств поверхности (насколько она искривлена, закручена и т. п.) и от свойств функции 4 (z) (насколько велики ее производные). Так как точек конечное число, то существует некоторое характерное расстояние / между точкой и ее ближайшим соседом. Меньшие масштабы будут неразрешимы для данного временного ряда. Если на масштабах порядка / поверхность L сильно искривлена, а функция (z) сильно изменяется, то методы нелинейной динамики будут, скорее всего, бесполезны. Эта же проблема в несколько ином виде встречается, например, в задачах цифровой обработки сигналов (теорема Котел ьникова). Считается, что если временной интервал между отсчетами равен Д/, то частоты больше чем 1/2ДГ разрешить невозможно. Однако в задачах реконструкции свойства і/ и (г) априорно неизвестны, поэтому аналогичных оценок (скажем, кривизна или производная, не превышающие Ґ) сделать невозможно. Можно только разумно распорядиться несколькими свободными параметрами. Чаще всего это /ииг.
Свойства L и Ч (г) зависят от динамической системы ф, наблюдаемой h, задержки т и размерности векторов m («размерность вложения»). Обычно первые два фактора можно менять. Для отображений фиксирован и временной шаг. Относительно размерности теорема Такенса требует, чтобы она не была слишком мала - верхней границы, с точки зрения теорем, нет. Поэтому можно сформулировать задачу оптимального выбора параметров реконструкции, так чтобы получаемый набор реконструированных векторов был наиболее информативен.
Для оценки информативности модели необходимы критерии ее качества. Исчерпывающих критериев качества на сегодня не существует. Для каждого критерия существуют ситуации, в которых он вообще не будет работать. Не самым худшим оказывается простой подбор ти т: произвести расчет некоторой величины(например )2)для нескольких комбинаций гит пока результат не перестанет зависить от т.
Следует различать временные интервалы между элементами временного ряда At=t i и временной сдвиг, запаздывание, задержка т между компонентами вектору z. Они не обязаны совпадать. Можно выполнить процедуру реконструкции даже для непрерывной скалярной функции x(t): Более того, доказательство теоремы Такенса не требует даже, чтобы временные сдвиги между компонентами были одинаковы. То есть в принципе можно даже строить реконструированные вектора как важно только, чтобы способ был один и тот же для всех z(t), т. е. набор задержек х, должен быть всегда один и тот же.
На практике, цифровые системы непрерывных функций не измеряют, поэтому т всегда кратно At. В теоретических же рассуждениях, напротив, часто удобнее считать наблюдаемую непрерывной функцией и анализировать вектора Для непрерывных реконструкций можно поставить задачу восстановления дифференциальных уравнений dz/dt=Q(z) по экспериментальным данным. Практически же для этого достаточно, чтобы 1. Не обязательно соотносить момент / именно с первым элементом z-вектора. Иногда удобнее считать, что он относится к некоторой промежуточной точке, например, к середине временного интервала, захватываемого вектором. 3. Реконструкции можно строить не только по скалярным временным рядам. Можно строить вектора и из нескольких наблюдаемых. При этом, возникнет небольшая проблема, связанная с тем, как вычислять расстояние между такими векторами. Однако она обычно вполне разрешима. В литературе можно найти много рекомендаций и способов выбора задержки т и размерности вложения /и, например, [117,18,21,34,35,50,51,54,61,62,64,78,86,87,97,101,121]. Как уже говорилось выше, ни на одно из них нельзя полностью полагаться.
