Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и постановка задачи исследования 12
1.1. Соленый водоем как объект исследования массообменных процессов 12
1.2. Причины и виды диффузионных процессов в рапе и в лечебной грязи 17
1.3. Постановка задачи исследования 25
2. Математическая модель концентрационного поля системы рапа лечебная грязь 27
2.1. Физическая модель водоема грязевого месторождения как объекта, в котором реализуются диффузионные явления 27
2.2. Математическая модель процесса массопереноса в грязевом месторождении 33
2.3. Безразмерная форма записи уравнений, описывающих массоперенос .39
2.4. Методы решения уравнений массопереноса 47
2.5. Решение уравнения диффузии методом конечных разностей 54
2.6. Результат решения уравнения диффузии методом конечных разностей 63
2.7. Учет влияния возмущающих факторов на процесс массопереноса в грязевом месторождении -. 79
2.8. Обобщение результатов математического моделирования массопереноса в грязевом месторождении 99
3. Массоперенос в грязевом месторождении с изменяющимся уровнем рапы 104
3.1. Постановка задачи 104
3.2. Использование дифференциального подобия для неоднородной среды 107
3.3. Решение уравнения диффузии для ограниченной области с одной подвижной границей 109
3.4. Результаты решения уравнения диффузии для области с одной подвижной границей 114
3.5. Обобщение результатов исследования модели массопереноса в области с одной подвижной границей 133
4. Практическое применение результатов моделирования для исследования концентрационного поля грязевого месторождения 136
4.1. Получение данных о стратификации вещества в рапе/лечебной грязи... 137
4.2. Определение направления изменения концентрации вещества 138
4.3. Экспериментальное определение коэффициента диффузии 141
4.4. Определение концентрации вещества на глубине xt через некоторый промежуток времени Ат 143
4.5. Программный комплекс для проведения расчетов концентрационных полей 144
4.6. Прибор для отбора проб рапы 158
4.7. Обобщение результатов 160
5. Моделирование системы управления минерализацией грязевого месторождения 162
5.1. Общее описание проблемы управления грязевым месторождением 162
5.2. Водный баланс грязевого месторождения 167
5.3. Основные математические модели для расчета водного баланса 169
5.4. Результаты расчетов 175
5.5. Исследование динамики водного баланса 180
5.5. Обобщение результатов исследование модели водного баланса 185
Заключение 186
Список литературы
- Причины и виды диффузионных процессов в рапе и в лечебной грязи
- Методы решения уравнений массопереноса
- Результаты решения уравнения диффузии для области с одной подвижной границей
- Программный комплекс для проведения расчетов концентрационных полей
Введение к работе
з
Актуальность темы. В зоне Кавказских Минеральных вод одним из важных компонентов природных экосистем являются месторождения лечебных грязей, размещаемые в соленых озерах небольших размеров. Важной составляющей грязевых месторождений, кроме лечебной грязи, является рапа. Изучение динамики минерализации системы "рапа-лечебная грязь" было и остается одним из важнейших элементов мониторинга состояния грязевого месторождения, так как именно от значения этого показателя во многом зависят не только лечебные свойства добываемого пелоида, но и условия его новообразования.
Основу такого мониторинга в настоящее время составляют анализы проб рапы и лечебной грязи. Являясь ценными, с точки зрения описания предшествующей эволюции грязевого месторождения, эти данные не позволяют, во-первых, оценить влияние на величину минерализации рапы и пелоида таких факторов, как турбулентное движение рапы, условия на границах системы "рапа-лечебная грязь", уменьшение/увеличение уровня рапы; во-вторых, получить обоснованный прогноз минерализации для будущих периодов; в-третьих, предложить более экономичные и дающие более достоверные результаты способы отбора проб рапы/пелоида. Ввиду невозможности проведения натурных экспериментов и физического моделирования грязевого месторождения наиболее приемлемым способом решения перечисленных выше вопросов является математическое моделирование.
Актуальность темы исследования подтверждена решением Пленума Ученого совета ГосНИИ курортологии (г. Пятигорск) от 13 июля 1999 г, а также Федеральными целевыми программами "Юг России (2002-2006 г.г.)" и "Экология и природные ресурсы России (2002-2010 года)". Более того, в Федеральном законе "Об охране окружающей среды" лечебно-оздоровительные местности и курорты отнесены к особо охраняемым природным объектам, и закреплены такие принципы, как презумпция экологической опасности планируемой деятельности, приоритет сохранения естественных экологических систем, сохранение биологического разнообразия.
Цель работы заключается в системном анализе процессов протекающих в месторождений лечебных грязей на основе математического моделирования процессов тепло- и массообмена соленых озер. Для этого необходимо:
провести системный анализ процессов минерализации и переноса тепла грязевого месторождения и выделить основные параметры, оказывающие влияние на исследуемые процессы;
разработать математические модели исследуемых процессов;
создать комплекс программных средств для исследования и прогнозирования изменения основных количественных и качественных характеристик массообмена в рассматриваемом объекте - грязевом месторождении;
- на основе результатов проведенного системного анализа разработать реко
мендации по практическому мониторингу и управлению минерализацией грязево
го месторождения;
- разработать инструментарий для отбора проб рапы, которые используются
для получения экспериментальных данных по минерализации рапы.
Научная новизна работы состоит в следующем:
на основе системного анализа составлены математические модели исследуемых процессов и разработана методика оценки минерализации рапы и лечебной грязи. В результате определены различные пространственно-временные области концентрационного поля грязевого месторождения; определен характер влияния на минерализацию грязевого месторождения таких факторов, как ветровое движение рапы и изменение ее уровня;
установлено существование в грязевом месторождении нескольких зон мас-сообмена; доказана возможность применения математической модели, основанной на уравнениях диффузии, для описания динамики минерализации грязевого месторождения; доказано влияние толщины слоя рапы и ее возможного турбулентного движения на интенсивность явлений массообмена, происходящих в грязевом месторождении;
разработана динамическая модель грязевого месторождения, которая показала возможность управления уровнем рапы;
предложен научно-обоснованный способ отбора проб рапы, позволяющий получать объективные данные об ее минерализации. Способ отличается от существующих тем, что при минимальных (однократных) затратах на эксперимент дает возможность оценить не только актуальное состояние грязевого месторождения, но и прогнозировать направление его развития.
Практическое значение работы. Разработанная методика расчета нестационарных концентрационных полей химических компонентов, содержащихся в рапе и в лечебной грязи, и их реализация в виде единого программного комплекса позволяет:
прогнозировать концентрацию ионов солей, входящих в состав рапы и лечебной грязи в любой момент времени в любой точке по глубине водоема и толщине пласта лечебной грязи;
прогнозировать динамику состава, а значит и качество лечебной грязи;
определить горизонт, на котором добываемая лечебная грязь имеет в данный момент времени оптимальный химический состав;
- организовать мониторинг состояния лечебной грязи на месторождении.
Результаты исследования динамической модели изменения уровня рапы
позволяют применять обоснованные решения по регулированию поверхностного стока.
Разработан приборный инструментарий для отбора проб рапы на грязевом месторождении.
Достоверность и обоснованность результатов. Системный анализ проводился с применением математических моделей, для которых использовались фундамен-
5 тальные законы переноса массы и тепла с учетом физических особенностей исследуемых процессов. Адекватность математических моделей подтверждается удовлетворительным согласованием экспериментальных и расчетных результатов в широком диапазоне изменения характерных параметров. Достоверность научных положений обеспечивается использованием классических численных методов решения задач тепло- и массообмена, совпадением результатов расчетов и экспериментальных материалов.
Реализация результатов исследований. Комплекс программных средств для расчета концентрационных полей химических компонентов в рапе и в лечебной грязи принят к использованию (имеется акт) в ОАО "Кавминкурортресурсы" (г. Ессентуки). Прибор для отбора проб рапы на грязевом месторождении принят к использованию (имеется акт) в отделе "Изучение курортных ресурсов" ГосНИИ курортологии (г. Пятигорск).
Апробация результатов работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях: "Математические методы в технике и технологиях" (г. Новгород, 1999 г.; г. Санкт-Петербург, 2000 г.; г. Тамбов, 2002 г.); на научно-практической конференции, посвященной 80-летию ГНИИК (г. Пятигорск, 1999 г.); на IV объединенной научной сессии, посвященной 30-летию Северо-Кавказского научного центра высшей школы (г. Ростов-на-Дону, 1999 г.); на юбилейной научно-практической конференции "Актуальные вопросы курортной науки в России" (г. Пятигорск, 2000 г.); на Международной научно-практической конференции "Теория, методы и средства контроля и диагностики" (г. Новочеркасск, 2000 г.); на VI-ой Международной теплофизической школе "Теплофизические измерения в начале XXI века" (г. Тамбов, 2001 г.); на межрегиональной научно-практической конференции "Устойчивая безопасная энергетика - основа эффективного социально-экономического развития региона" (г. Ростов-на-Дону, 2002 г.), на П-й Региональной научно-технической конференции «Управление в технических, социально-экономических и медико-биологических системах» (г. Новочеркасск, 2002 г.), а также на научных семинарах кафедр "Теоретические основы теплотехни-ки","Тепловые электрические станции" и "Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами" Южно-Российского государственного технического университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ. На защиту выносятся:
нестационарные математические модели массообмена между рапой и лечебной грязью на грязевом месторождении , описываемые уравнениями в частных производных;
методика расчета зон массообмена на месторождении лечебной грязи;
методика контроля и прогнозирования величины минерализации различных компонентов грязевого месторождения;
методика отбора проб рапы на месторождении лечебной грязи;
- комплекс программных средств для исследования и прогнозирования из
менения основных количественных и качественных характеристик массообмена в
рассматриваемом объекте - грязевом месторождении;
- результаты системного анализа процессов, происходящих в месторождения
лечебных грязей Табуканского озера.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения. Содержит 187 страниц основного текста, список литературы из 116 наименований, приложения на 33 страницах.
Причины и виды диффузионных процессов в рапе и в лечебной грязи
Все традиционно применяемые для описания подобных явлений математические модели можно условно разделить на два больших класса. Одни представляют объект исследования в виде "черного ящика", для которого можно измерить функцию отклика на некоторый набор входных параметров, и, анализируя полученные результаты, сделать вывод о взаимосвязи входных и выходных значений. Формализованное описание этих взаимосвязей и будет представлять собой математическую модель. Математический аппарат, используемый в этом случае, основывается на методах исследования операций (факторный и регрессионный анализ, линейное и нелинейное программирование и т.п.) [9, 27, 35, 37, 73, 83, 98]. Главный недостаток этих методов - в необходимости регулярных наблюдений большого числа параметров в открытой системе грязевого месторождения. И если такие масштабные работы не проводились раньше (15-20 лет назад), то навряд ли они возможны в настоящее время.
Другая группа методов математического моделирования использует некоторые предварительные сведения о природе реального объекта с целью описания его функций посредством математических уравнений — обычно это дифференциальные уравнения в частных производных. В этом подходе существенную трудность представляет тот факт, что, строя математическую модель физических объектов, эти объекты заменяются некоторыми математическими символами, идентификаторами. Стремление использовать максимально точные идентификаторы приведет, в конечном счете, к операциям с самими физическими объектами. Даже если на этом пути и удастся добиться цели, то ценным может оказаться только сам процесс, а не результат. Поэтому обычно подобные модели строятся при предварительно оговоренных допущениях, упрощениях исходной задачи.
При построении, изучении модели массопереноса в грязевом месторождении можно выделить две главные особенности. Первая состоит в том, что одна из частей исследуемой системы - рапа - представляет собой жидкость, и для описания массопереноса в ней применимы уравнения Навье-Стокса и неразрывности, известные из курса гидромеханики. Вторая особенность - это возможность использования формальной аналогии между явлениями переноса массы и тепла. Учитывая сказанное, при исследовании вопроса, связанного с моделированием массопереноса в соленом озере, использовалась литература, посвященная не только вопросам диффузии в жидкостях и газах, но и проблемам теплопроводности в этих средах.
Непосредственно вопросы массопереноса в водоемах рассмотрены в [55, 57, 73]. Причем в [55, 57] используемые математические модели основаны на уравнениях диффузии и гидродинамики, а в [73], как уже отмечалось выше, применяются имитационные модели (аналог "черного ящика"), в основу которых, тем не менее, положен анализ готовых решений этих уравнений. В [23] строится полная система уравнений тепло- и массопереноса, но без привязки к конкретной среде. Недостатком этих работ, применительно к задаче исследования минерализации в грязевом месторождении, является то, что, во-первых, в них объектом изучения являются природные объекты, для которых важнейшим фактором являются различные виды течений (ветровые в морях и океанах, естественные - в реках), во-вторых, целью моделирования, главным образом, является изучение распространения разного рода загрязнений, и, наконец, совершенно без внимания остается массоперенос в донных отложениях (в [55] на дне применяется граничное условие непроницаемости).
Прикладные проблемы тепло- массопереноса в составных телах, к которым можно отнести систему "рапа-лечебная грязь", рассматриваются в [1, 7, 44, 72]. В [1] задача теплопроводности стефановского типа применяется для изучения методов подземной выплавки серы; в [7, 44] подвижная жидкая среда контактирует с полубесконечным твердым телом, являющимся просто источником вещества, растворяемом в жидкости или газе. Для практических расчетов наиболее полезной может быть работа [72], где приведено решение большого числа уравнений диффузии. Однако все эти решения представлены в аналитическом виде, который жестко связан с видом граничных условий, что значительно сужает область применения получаемых результатов.
Работы [32, 41, 68, 75] также с разной степенью подробности освещают вопросы практического применения уравнений гидродинамики и диффузии-теплопроводности. В [32] основной упор сделан на формулировки различных задач теплопроводности, в том числе и для составных тел, но обсуждаемые в этой работе методы решения применяются лишь к самым простейшим случаям уравнений диффузии - стационарные процессы или однородные среды. А [41, 68, 75] больше посвящены конвективному массопереносу, причем в [41, 75] для решения получаемых уравнений применяются аналитические методы. Более интересна работа [68] - в ней задачи массообмена решаются численными методами. И хотя это в основном уравнения Навье-Стокса, в работе приведены сведения о разностных схемах, применяемых и для уравнения диффузии.
Особенности массопереноса в коллоидных капилярно-пористых телах, к которым относится и лечебная грязь, рассмотрены в [10, 12, 52, 76, 101]. В работах [10, 101] предлагаются способы расчета коэффициентов диффузии таких тел, в [12] обсуждаются модели транспорта вещества на уровне клеток, а в [52, 76] изложены аналитические методы расчетов кинетики процесса переноса вещества в системах, объединяющих тела, находящиеся в различных фазовых состояниях.
Методы решения уравнений массопереноса
Еще одним плюсом от использования (2.26), кроме расширения области применения полученного решения за рамки конкретного процесса, описываемого исходной функцией (2.25) ( возможности интерпретации этого решения не в зависимости от числовых значений параметров, а от их отношений) является меньшее число самих параметров в (2.26) по сравнению с (2.25). С одной стороны, это является следствием тс-теоремы [23], с другой стороны — результатом анализа самих значений безразмерных параметров, которые получаются в результате перехода от (2.25) к (2.26).
Будем называть "нормализацией" операцию преобразования уравнений и граничных условий к безразмерному виду, а получившуюся при этом форму записи краевой задачи - "нормализованной" формой.
Получим нормализованную форму для задачи (2.15) - (2.24).
Для этого, прежде всего, определим масштабы используемых переменных таким образом, чтобы область их изменений лежала примерно от 0 до 1. Проще всего это сделать для пространственных переменных, если определить их безразмерные аналоги следующим образом: - х - _ У - _ z X L "М Z_N (2-27) где L — максимальная глубина месторождения, которую можно принять равной hM, а М и N - максимальные "длина" и "ширина" месторождения.
При выборе масштаба для зависимой переменной с (концентрации) естественно воспользоваться принципом максимума [36, 49, 59, 86], согласно которому функция с(х, у, z, т) достигает своего минимального и максимального значения или в начальный момент времени или в точках геометрической границы системы. Так как концентрация входит в уравнение (2.15) только под знаком производной, то ее можно отсчитывать от любого уровня cM[N. В случае использования граничных условий первого рода этот уровень может быть определен как CMIN = min{ min (ц(х)), min (vj(r)), min (v2(r)) }, (2.28) где функция ц.(х) - задает начальное условие, a Vi(r) и v2(r) - граничные условия (см. (2.20) - (2.21) ). Теперь, если за значение концентрации принять разность с(х, у, z, т) - CMIN , то ее минимальное значение будет равно 0. Аналогично (2.28) определим значение сМдх CMAX = max{ max ( i(x)), max (vi(r)), max (v2(r)) }. (2.29) Выберем в качестве масштабного множителя разность СМАХ — Смш- Тогда безразмерная концентрация определится следующим выражением -_ C CMIN с с (2-3) СМАХ CMIN и новая зависимая безразмерная переменная с будет иметь область изменения от 0 до 1. В случае использования граничных условий второго рода, когда точные значения концентрации на границах области неизвестны, cMIN и сМАХ можно задать искусственно [31]. Например, cMIN = 0 (концентрация не может быть отрицательной), а СМАХ max (ц(х)).
Преобразование времени к безразмерному виду более сложно, так как возникает проблема с определением его масштаба: в случае периодического процесса это может быть продолжительность одного периода ГПЕР, а для апе 43 риодических явлений — некоторая величина гх, выбранная исходя из общих закономерностей изучаемого процесса. Так как массоперенос в грязевом месторождении не является периодическим процессом, считаем время особенной независимой переменной, для которой не существует характерного промежутка, претендующего на роль масштабной единицы.
Используя определения (2.27) и (2.30), подставим значения х, у, z, с в уравнение (2.15), оставив время т без изменений: дс где hi ( 1 а2 с — д + ТЛ._. д" с 1 D(x) D(x)—— + —: дх дх дт h м V ил; Mz дуА Nz " dz2 (2,31) Одновременно, используя (2.16), переопределим функцию D(x): D(x) = (2.32) Dp, 0 x hP; Dr, hp x 1, hp ——, и найдем величину D0: LM D0 = max(D(x)). Разделим обе части уравнения (2.31) на комбинированный параметр D0/hM2: D( ) д де r-D, дх DO) — дх + Л ГЪ \2 V М D(x) д2с ду2 + I % N -2 -,д2с dz (2.33) V пм ) где D,x X (2.34) (A) = D(A)/D0 безразмерный коэффициент диффузии. По характеру связей, выраженных в уравнении, комплекс (x-D0/ hM2) считаем безразмерным временем, для которого в качестве масштаба выбрано отношение (hM /Do). Полученная таким образом переменная называется "числом Фурье" и обозначается "Fo".
Теперь в уравнении (2.33) рассмотрим комплексы 7Ci = M LM И 7C2 = I Для реального грязевого месторождения (Тамбуканского озера) значение Ьм (с учетом определения "грязи") не превышает 10 м, его максимальная протяженность с севера на юг (параметр N) составляет 1290 м, а с запада на восток (параметр М) - 2400 м [61]. Поэтому %х и %2 имеют порядок 10 5. В тоже время безразмерный коэффициент диффузии, определенный как (2.34), не превосходит 1. д2 д2 Следовательно, множители при слагаемых и — много меньше 1 и этими ду2 dz2 слагаемыми можем пренебречь. Физический смысл комплексов %\ и тг2 — отношение массопроводности в направлении оси Оу и Oz соответственно, к массо-проводности в направлении оси Ох. Отбрасывая слагаемые, в которые входят эти комплексы, вводим в условие исходной задачи предположение, что для грязевого месторождения преобладающим является массоперенос в вертикальном направлении. Это допущение подтверждается как численным значением комплексов тс і и %2, так и отсутствием данных о горизонтальных составляющих градиента концентрации, который является движущей силой массопереноса. В результате функция с(х, у, z, х) представляется зависящей только от одной пространственной координаты х: с = с(х, х).
Результаты решения уравнения диффузии для области с одной подвижной границей
Информация о наличии безградиентной зоны в рапе имеет существенное значение для правильной организации процедуры отбора проб. Так, если пробы рапы в грязевом месторождении последовательно брать в точках Аь А2 или А], Аз (рисунок 2.9), то это может привести к ложному заключению об отсутствии процесса массообмена в рапе. Поэтому мониторинг рапы грязевого месторождения должен обязательно включать результаты проб на глубине хБг (рисунок 2.9) и контроль промежутка времени между пробами - необходимо выделить те пробы, время измерения между которыми превышает тБг- ТО есть даже не зная верхней и нижней границ безградиентной зоны, желательно иметь возможность вычислить значения точки (хБГ, ТБГ) - глубины и момента времени исчезновения безградиентной зоны.
При условиях Задачи I, когда за относительный ноль концентрации принимается граничное условие на поверхности водоема, а за относительную единицу - начальное условие для лечебной грязи (рисунок 2.3), можно считать, что координаты точки исчезновения БГ зоны есть функции вида Br = fi(hp, сп), (2.66а) тБГ = f2(hP, сп), (2.666) где hP — относительная толщина слоя рапы, сн - начальная концентрация вещества в рапе. Причем исследование решения при разных значениях отношения Dp/Dp показало, что если оно изменяется в диапазоне от 1 до 2,5, то не оказывает какого-либо заметного влияния на координаты точки исчезновения. Поэтому можно считать, что соотношения (2.66) есть функции двух переменных и представляются аналитическими выражениями БГ О, сн) = (-0,0095 + 0,004- сн) + (2.67а) + (0,5+0,093-cH)-hP + + (-0,029+ 0,022- cH)-hP2, ТБГ (hP, сн) = (-0,000202 + 0,000611- сн- 0,000349- сн2) + (2.676) + (-0,002 - 0,00137- сн + 0,000509- сн 2) hP + + (0,0146 - 0,00548- сн + 0,00631 сн 2) hP 2. Для получения функции (2.67) применялся следующий алгоритм: 1. В решении Задачи I с использованием (2.64), (2.65) определялись границы безградиентной зоны. 2. Верхняя и нижняя граница аппроксимировались линейными функциями: в аов + аш-г, (2.68а) хн = а0іі + аін--г. (2.686) 3. Точка исчезновения БГ зоны определялась из решения системы уравнений (2.68) 4. Пункты 1-3 повторялись при различных значениях hP, сн. 5. В результате получились две таблично заданные функции двух переменных ХБГ (hp, сн) и хБг (hp, Сн), аппроксимациями которых и являются выражения (2.67).
Относительная погрешность расчета точки исчезновения БГ зоны по формулам (2.67) составляет не больше 2%.
Еще одной важной характеристикой решения параболического уравнения является его поведение при неограниченном возрастании времени. С одной стороны, в качестве решения стационарной задачи (когда в (2.43) dc/SFo = 0) можно взять решение соответствующей нестационарной задачи, когда время стремится к бесконечности [56], с другой стороны, при больших значениях времени (числа Фурье) получается достаточно простое выражение для определения значения с(х, т) (напомним, что обозначение Fo заменено на т). Традиционно процесс на стадии больших значений безразмерного времени называют регулярным режимом [48, 53], а саму зависимость с(х, т) описывают в виде с(х, і) = СПР + А(х)-е mT, (2.69) где сПр - предельное значение концентрации (то, которое установится в среде при х — оо), m 0 — коэффициент, называемый по аналогии с [48] темпом уменьшения концентрации. В [48, 53, 79] для получения уравнений вида (2.69) используется представление решения параболического уравнения в виде бесконечной суммы, а в [36] эта зависимость суть результат доказательства общего случая параболических уравнений.
Особенность регулярного режима для грязевого месторождения проистекает из представления объекта исследования в виде системы двух тел. В [48] доказывается обобщенный вариант теоремы Кондратьева, распространяющий закономерности регулярного режима на составные тела, однако там же отмечается принципиальная трудность получения конкретных значений параметров для таких случаев при помощи аналитических методов.
Регулярный режим для составного тела может быть представлен как с(х, т) = сПР(х) + A(jc)-e т{хУ\ (2.70) Главное отличие (2.70) от (2.69) в том, что темп уменьшения концентрации m представляется в виде функции m = m(x). Причем, так как m определяется из физических свойств составляющих системы, функция т(х), согласно той же теореме Кондратьева [48], должна быть постоянной в пределах каждой из составляющих и иметь разрыв первого рода на их внутренних границах.
Для определения параметров (2.70) было проведено исследование полученного решения Задачи I. Применяемая для этого разностная схема (2.57) -(2.60а) должна обладать так называемой асимптотической устойчивостью, т.е. аппроксимировать выражение (2.70). Эти свойства имеет симметричная разностная схема (с весовым коэффициентом а = 0,5) со следующим соотношением между шагами по времени и пространственной переменной [40, 79, 80] Ат Ах/тг, (2.71) т.е. асимптотическая устойчивость является условной.
Программный комплекс для проведения расчетов концентрационных полей
Напомним, что при составлении задачи (3.1) - (3.8) использовался ряд допущений, описанных в главе 2 (п. 2.1). Например, не учитывалось горизонтальное движение рапы, игнорировалась зависимость коэффициента диффузии вещества от температуры, реальная многокомпонентная рапы заменена бинарным раствором одной соли в воде, причем диссоциация этой соли на ионы также остается за рамками задачи. Тем не менее, сравнение расчетных и экспериментальных данных показало, что эти предположения вполне правомочны, и, следовательно, реальный вклад этих явлений в распределение концентрационного поля грязевого месторождения (Тамбуканского озера) либо очень незначителен, либо находится за пределами точности используемых для анализа методов и инструментов.
Можно также считать установленным и тот факт (даже несмотря на отсутствие экспериментальных данных), что на поверхности рапы постоянно действует фактор опреснения - наличие постоянной концентрации вещества (минерализации) со значением меньшим, чем во всей остальной области грязевого месторождения (в вертикальном направлении). Причем следует учесть, что для того, чтобы сделать подобный вывод при помощи экспериментальных данных потребовалось бы гораздо больше времени и, возможно, средств. Однако вышесказанное не отменяет необходимость отбора пробы рапы с ее поверхности (сейчас такие наблюдения не проводятся), так как получаемые при этом данные о минерализации позволят значительно повысить точность математической модели и делать более обоснованные прогнозы.
Общее замечание о периодичности наблюдений за минерализацией и уровнем рапы на грязевом месторождении — максимально допустимым можно считать период в один месяц.
Что касается турбулентной диффузии (или ветрового перемешивания рапы [65]), по крайней мере, для Тамбуканского озера, оценка ее влияния на концентрационное поле рапы была сильно преувеличена. Результаты моделирования показывают, что данный вид диффузии если и существует, то уж никак не во всей толще рапы, и, следовательно, не может приводить к уничтожению концентрационной стратификации в рапе.
Как показывают экспериментальные и расчетные данные, скорость изменения минерализации рапы обычно имеет противоположный знак со скоростью изменения ее уровня. Но при постоянном уменьшении глубины рапы и наличии на ее поверхности постоянного фактора опреснения, вполне реально наблюдать одновременное уменьшение минерализации и глубины. Причем момент времени, когда эти две величины начинают изменяться подобным образом, практически не зависит от начальной глубины рапы и наступает тем раньше, чем больше начальная концентрация вещества (минерализация). При одинаковых начальных значениях глубины и концентрации вещества (минерализации), этот момент времени зависит от скорости убывания глубины - чем больше скорость, тем раньше минерализация и глубина начинают убывать одновременно. Практическое применение этого результата в том, что не всякое обмеление грязевого месторождения неотвратимо ведет к увеличению минерализации рапы.
В заключение отметим, что если на поверхности грязевого месторождения постоянно действует фактор опреснения, то при любых колебаниях уровня рапы и ее минерализации, минерализация грязи постоянно убывает. И оценка запасов кондиционной лечебной грязи на длительный период, например в 200 или 400 лет [82], безусловно, должна каким-либо образом учитывать и этот факт, а не только объем добычи данного природного ресурса.
Практическое применение результатов моделирования для исследования концентрационного поля грязевого месторождения Как уже было установлено выше (см. п. 2.2, 2.3), если представлять грязевое месторождение в виде системы, состоящей из двух тел, рапы и лечебной грязи, то массоперенос в пределах одной составляющей системы может быть описан следующим дифференциальным уравнением (опуская индексы Риг, означающие принадлежность к конкретному слою) 5с _ д с где с = с(х, т) - функция, описывающая концентрацию исследуемого вещества в рапе или лечебной грязи, D - соответствующий коэффициент диффузии, т -время (причем обыкновенное, размерное), х - глубина месторождения. Ниже, если это не оговорено особо, считаем, что рассматривается массоперенос в отдельном слое.
Функцию с(х, т) можно определить, например, при помощи алгоритма решения уравнения (4.1) так, как это описано в п.2.5. Но более достоверные данные о состоянии концентрационного поля получаются в результате отбора проб рапы/лечебной грязи и проведения их лабораторных анализов. Самым слабым звеном в этом процессе является именно процедура отбора проб, которая в нынешнем состоянии способна только зафиксировать некоторую среднюю минерализацию или концентрацию тех или иных солей/ионов, однако не может достаточно полно выявить их динамику. Изменение химического состава рапы/лечебной грязи описывается только исходя из возможных химических реакций между отдельными составляющими растворов [2,13,60], но без учета действующих градиентов концентрации, которые обеспечивают такие динамические характеристики, как скорость и направление перемещения вещества.
В общем случае, анализ проб формирует некоторую функцию концентрации исследуемого вещества с (хг- ,Tj), определенную на сетке а) = Ъхх Ъх.
Отличие сеток Ъх = {х\, х2, ..., xN} и а)т = {ть т2, ..., тм} от использованных в п. 2.5. только в том, что они представляют собой реальные точки пространства/времени, в которых производились отборы проб. Покажем, как и при каких условиях можно использовать уравнение (4.1) для получения характеристик функции с(х,, г ) .
Очевидное решение этого вопроса — в некоторый момент времени Ts взять несколько проб на разной глубинеХ] х2 ... xN. Если в результате c(xi rs) = c(x2 rs) = ... = c(xN rs)5 (4.2) то делается вывод об отсутствии стратификации и, как следствие, об отсутствии массопереноса. Для слоя лечебной грязи подобные наблюдения в настоящее время маловероятны, но даже в случае их проведения - вполне достаточны. Однако для рапы существенным фактором является наличие безградиентной зоны (см. п. 2.6), которая может привести к неверной интерпретации результатов опытов. Так если точки х\, х2, ..., xN лежат внутри безградиентной зоны, то получаем результат, аналогичный (4.2), который, если и означает отсутствие стратификации, то только временное, и только на глубине от Х\ до xN.
Таким образом, в опыт по исследованию стратификации рапы необходимо включать не менее двух проб (N = 2), причем одна проба обязательно берется с поверхности водоема (0 = Х\ х2 hP). Тогда, если с(Х],rs) с(х2,ts), то делается заключение о наличии градиента концентрации, а c( i rs) c( 2 rs) - суть условие наличия устойчивой стратификации [23]. Проба с поверхности водоема может быть заменена придонной: 0 х\ х2& hP.
Похожие диссертации на Системный анализ и управление процессами минерализации месторождений лечебных грязей
