Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальные следящие системы управления и оптимальная фильтрация для объектов со случайными скачкообразными параметрами 13
1.1. Введение 13
1.2. Следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления 14
1.3. Фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями 25
1.4. Результаты численных расчетов 30
1.5. Основные выводы по главе 1 37
Глава 2. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами 38
2.1. Введение 38
2.2. Постановка оптимизационной задачи 38
2.3. Фильтрация нестационарного процесса 40
2.4. Фильтрация стационарного процесса 44
2.5. Численный синтез фильтров 46
2.6. Основные выводы по главе 2 53
Глава 3. Робастные следящие системы для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами 54
3.1. Введение 54
3.2. Робастные следящие системы по наблюдаемому выходу для объектов с мультипликативными возмущениями 54
3.2.1. Модель управляемого объекта 55
3.2.2. Синтез робастных следящих систем для нестационарных объектов 55
3.2.3. Синтез робастных следящих систем для стационарных объектов 63
3.3. Робастные следящие системы с фильтром в контуре управления 66
3.4. Численный синтез робастных следящих систем 80
3.5. Основные выводы по главе 3 90
Глава 4. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами 91
4.1. Введение 91
4.2. Локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами 91
4.3. Локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами при неизвестных возмущениях 94
4.4. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и аддитивными возмущениями 103
4.5. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами при неизвестных возмущениях 106
4.6. Моделирование системы управления запасами 113
4.7. Основные выводы по главе 4 117
Заключение 118
Список цитируемой литературы 119
- Следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления
- Фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями
- Постановка оптимизационной задачи
- Робастные следящие системы по наблюдаемому выходу для объектов с мультипликативными возмущениями
Введение к работе
Актуальность проблемы. Данная диссертационная работа посвящена проблеме синтеза робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами. Рассматриваются методы синтеза следящих систем по вектору наблюдаемого выхода, а также методы синтеза следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр.
Задачи управления для стохастических линейных систем со скачкообразными параметрами впервые были рассмотрены в 1961 году в работе Н.Н. Красовского, Е.А Лидского "Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами" [12].
В настоящее время для многих оптимизационных задач применительно к динамическим системам используют две различные постановки задач синтеза. Согласно одной из них оптимальное управление ищется как функция времени и начального состояния системы, то есть в виде оптимального программного управления. Другая постановка задач синтеза предполагает нахождение оптимального управления в виде некоторой функции от текущего состояния управляемой системы и времени, то есть в виде управления с обратной связью. Решение задачи синтеза управления в первой ее постановке использует принцип максимума Понтрягина, а решение этой же задачи при использовании второй постановки сводится к необходимости решения функциональных уравнений Белл мана или синтеза систем управления заданной структуры.
Существенный вклад в решение проблем оптимального управления объектами со случайными скачкообразными параметрами внесли такие авторы, как D.D. Sworder [85-86], W.M. Wonham [90], М. Mariton [66, 67], В. Bertrand [70, 71], Р.Е. Caines, H.F. Chen [48], Y.J. Chizeck, H.J. Chizeck [49-51], R. Rishel, L. Harris [76], W.E. Hopkins [61], O.L.V. Costa, M.D. Fragoso [52], P. Shi [82, 83], E.K. Boukas [46, 80, 81], П.В. Пакшин [26-31, 74, 75], Ю.И. Параев [32-33]. В общем случае проблема оптимального управления сводится к нахождению решения системы нестандартного типа уравнений Риккати или соответствующих
5 матричных неравенств.
Системы со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами могут использоваться в качестве моделей реальных объектов. Примеры синтеза систем управления для объектов, модели которых описываются системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами, приведены в [4, 53, 67, 78, 86, 87] и в ряде других работ, в которых рассматриваются приложения к производственным объектам, техническим системам (управление летательными аппаратами), энергетическим системам, экономическим системам (управление запасами, управление портфелем ценных бумаг) и др.
Важной проблемой является проблема синтеза регуляторов, обеспечивающих замкнутой системе стохастическую устойчивость. Эта проблема исследовалась в работах J.C. Doyle, К. Glover, P.P. Khargonekar, В.A. Francis [55, 91], Boukas Е.К., Shi P., Ngnang S.K., Agarwal R.K. [56], Mahmoud M., Jiang J., Zhang Y. [65].
Законы управления системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами зависят от значений скачкообразных параметров, от вероятностных характеристик марковской цепи и от измеряемого выхода. В реальных системах значения скачкообразной составляющей, входящей в описание объекта, точно определить сложно. Бывают ситуации, когда значения скачкообразного параметра определяются блоком диагностики ошибочно, что может привести к потере устойчивости замкнутой системы, а это в свою очередь к отказам техники вплоть до катастрофических последствий. Определенным выходом из положения может быть применение робастного подхода к синтезу следящих систем управления объектами со скачкообразно изменяющимися параметрами.
Методы робастного управления изучались во многих работах. В работе [80] осуществлен синтез управления объектом с неопределенностью в задании параметров модели, где область изменения неопределенных параметров задается неравенствами, в которые входят нормы от матриц, определяющих неопределенности. В работе [31] рассматривались алгоритмы, позволяющие осуществить синтез управления в условиях неопределенности в задании вероятностных характеристик скачкообразно изменяющегося параметра. В [59] допустимая область изменения вероятностей ограничивается полиэдрами, а в работе [6] — аналитическими выражениями, зависящими от интервальных параметров. В этих работах [59, 6] используется частичная информация об интенсивностях переходов скачкообразной составляющей. Задача робастной стабилизации с коэффициентами передачи, независящими от состояния случайной скачкообразной составляющей, рассматривалась в [38].
Задача фильтрации является одной из важнейших в современной теории оптимальных стохастических систем. Эта задача используется для синтеза систем управления и следящих систем в случае косвенных измерений вектора состояния. Основы теории оптимальной фильтрации были сформулированы А.Н. Колмогоровым [11], Н. Винером [88]. Существенный вклад в решение задач синтеза алгоритмов фильтрации был сделан R.E. Kalman, R. Busy [63, 64], а также Э.А. Клекисом [10], B.C. Пугачевым и И.Н. Синициным [35], Л.Б. Ряшко [36], G.A. Hewer [60], P.J. McLane [72], КС. Mohanty, Т.Т. Soong [73] и др.
Задачи робастной фильтрации для объектов с неопределенностями в задании матрицы динамики рассматривалась в работе [82], а задачи робастной фильтрации для объектов с полной и неполной неопределенностью в задании интенсивностей переходов в [47].
В силу того, что задачи фильтрации являются двойственными к задачам управления, то при синтезе систем робастной фильтрации для объектов со случайными изменениями параметров, в частности с Марковской цепью, появляются проблемы, аналогичные проблемам, возникающим при синтезе систем управления.
Таким образом, класс задач синтеза робастных регуляторов и фильтров в системах со случайными скачкообразными изменениями параметров является очень широким. Эти задачи отличаются одна от другой предположениями о модели наблюдаемого процесса, о принципах робастности и подходами к ее решению.
Анализ литературы показал, что для объектов со случайными скачкообраз-
7 ными параметрами достаточно подробно изучена задача стабилизации, а также рассмотрены некоторые подходы синтеза робастных систем управления. И достаточно слабо изучены алгоритмы синтеза следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами. Эти задачи были исследованы для случая полной информации о векторе состояния или для структур управления частного вида [32, 34, 38, 40]. Задача синтеза робастных следящих систем не рассматривалась. В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи синтеза робастных следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами, сохраняющих свою работоспособность при ошибках в диагностике скачкообразной составляющей в модели объекта.
Цель работы заключается в разработке алгоритмов синтеза робастных и оптимальных следящих систем управления по выходу и робастных следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр, для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами.
Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории матриц, теории вероятности, теории случайных процессов, теории функций Ляпунова, численные методы и методы имитационного моделирования.
Научная новизна состоит в следующем:
Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами в условиях возможных ошибок диагностики состояния скачкообразной составляющей в модели объекта.
Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и мультипликативными возмущениями.
Предложены новые алгоритмы синтеза робастных следящих систем с фильтром в контуре управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами.
На основе оптимизации локального критерия разработаны новые ал го-
8 ритмы синтеза робастных следящих систем для объектов со скачкообразными параметрами.
Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в различных предметных областях, в которых модели управляемых объектов имеют случайную структуру. Это, например, такие системы как производственные, энергетические, технические, экономические.
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем, д.т.н., проф. Смагиным В.И. Результаты, полученные в диссертации, выводились и доказывались лично автором.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц, содержит 10 рисунков и И таблиц, список литературы насчитывает 91 наименование.
На защиту выносятся:
Методы и алгоритмы синтеза робастных и оптимальных следящих систем со случайными скачкообразными параметрами, мультипликативными возмущениями и косвенными измерениями вектора состояния по интегральному и локальному критериям (в условиях возможных ошибках диагностики скачкообразной составляющей).
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: V Краевой конференции по математике "МАК-2002" (Барнаул, 2002); Всероссийских научно-практических конференциях "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002, 2003, 2004); Всероссийской научной конференции молодых ученых (Новосибирск, 2003); VI Международной конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" в рамках V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004); Международной научно-практической конференции "Электронные средства и системы управления" (Томск, 2004).
9 Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ: 1. Смагин В.И., Ломакина С.С Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника — 2004. — №.4.-С.31-43.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со скачкообразными изменениями в случайные моменты времени // Автометрия - 2005. - №.2. - С.36-43.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастные следящие системы с фильтром для объектов со случайными скачкообразными параметрами // Обозрение прикладной и промышленной математики — 2004. — Т. 2, Вып. 11. - С.363-364.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 280. - С201 -203.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Следящие системы управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями, зависящими от состояния и управления // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284. — С Л 55-159.
Ломакина С.С Локально-оптимальное управление запасами при неизвестном спросе // Актуальные проблемы экономики в творчестве студентов. — СПб.: СПбГИЭУ. - 2003. - С.41-44.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными параметрами и мультипликативными возмущениями // Материалы Международной научно-практической конференции "Электронные средства и системы управления". Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН. - 2004. - С159-161.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Дискретное локально-оптимальное управление запасами при неизвестном спросе // Материалы V краевой конференции по математике "МАК-2002". Барнаул. - 2002. - С.59-60.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Локально-оптимальные следящие системы
10 для непрерывных систем с неизвестными возмущениями // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: "Твердыня". — 2002. - С.208-210.
Ломакина С.С. Робастные следящие системы для объектов со случайными параметрами // Наука. Технологии. Инновации. Материалы докладов Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2003. Часть 1.- С.46-47.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными параметрами при вырожденных шумах в канале измерений // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: "Твердыня". - 2003. - С. 140-142.
Ломакина С.С, Смагин В.И. Локально-оптимальные робастные следящие системы со скачкообразными параметрами // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: Изд-во Томск, ун-та. — 2004. - С. 160-161.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении произведен обзор существующих задач синтеза робастных следящих систем и фильтров для объектов со случайными изменениями параметров, а также задач стабилизации данных систем. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.
В первой главе диссертации разработаны алгоритмы синтеза следящих систем для объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления. Для нестационарного случая сформулирована и доказана теорема, с помощью которой получено аналитическое решение задачи слежения. Теорема доказывается на основе объединения принципа максимума и метода функций Ляпунова. В основу синтеза положено решение двухточечной краевой задачи. В стацио- нарном случае синтез следящей системы сводится к решению системы матричных алгебраических уравнений. Сформулирована и доказана теорема об асимптотической устойчивости замкнутой стационарной системы. Получены формулы оптимальных коэффициентов передачи для объекта с коррелированными белыми гауссовскими шумами. Разработаны алгоритмы фильтрации в непрерывных системах со случайными изменениями параметров и мультипликативными возмущениями для стационарного и нестацонарного случаев. Получены условия асимптотической устойчивости замкнутой стационарной системы. Выполнено моделирование следящих систем для стационарного объекта со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами. Проведен анализ характеристик устойчивости оптимальной системы.
Во второй главе синтезируется робастная система фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами, вырожденными шумами в наблюдениях и мультипликативными шумами для стационарного и нестационарного процессов. Рассмотрена задача синтеза робастного фильтра с коэффициентами передачи независящими от состояния скачкообразной составляющей. Показано, что синтезируемый робастный фильтр позволяет сохранить свою устойчивость при ошибочном определении состояния скачкообразной составляющей. Получены условия асимптотической устойчивости стационарного процесса фильтрации. Осуществлен численный синтез оптимального и робастного фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами, вырожденными шумами в наблюдениях и мультипликативными возмущениями. Проведен анализ устойчивости фильтров.
В третьей главе разработаны алгоритмы синтеза робастных следящих систем для объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами при наличии мультипликативных шумов, зависящих от состояния и управления системы для стационарного и нестационарного объектов. Рассмотрен случай с коррелированными белыми гауссовскими шумами. Получены условия устойчивости в среднеквадратическом замкнутой робастной стационарной следящей системы. Осуществлен синтез робастных следящих систем со
12 случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и фильтром в контуре управления в стационарном и нестационарном случаях. Выполнено моделирование робастных следящих систем для стационарного непрерывного объекта второго порядка с мультипликативными шумами и тремя состояниями. Осуществлен численный синтез робастных следящих систем для стационарных объектов второго порядка с двумя состояниями и фильтром в контуре управления.
В четвертой главе разработаны алгоритмы синтеза локально-оптимальных следящих непрерывных систем управления со скачкообразным параметром. Разработаны алгоритмы синтеза локально-оптимальных следящих систем со скачкообразным параметром при неизвестном возмущении. Осуществлен синтез управления робастной линейной локально-оптимальной системой слежения со скачкообразным параметром при аддитивном случайном возмущении. Разработаны алгоритмы синтеза линейной локально-оптимальной робастной следящей системы со скачкообразным параметром при неизвестном возмущении. Синтез осуществлен в виде Пи-регулятора. Выполнено моделирование системы управления запасами с неизвестной составляющей спроса и скачкообразным параметром.
В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе. ІЗ ГЛАВА 1. ОПТИМАЛЬНЫЕ СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.1. Введение
Важной проблемой синтеза систем управления является проектирование регуляторов, таких чтобы замкнутая система была устойчивой, а выход системы удерживался бы вблизи желаемой траектории.
Эта проблема является актуальной и для класса систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических объектов. Такой класс систем имеет две составляющие состояния. Первая составляющая изменяется непрерывно, вторая изменяется дискретно и для ее описания часто используется дискретная цепь Маркова с конечным числом состояний. К данному классу могут быть отнесены системы с возможными нарушениями (например, вследствие внезапных отказов), многорежимные системы, в которых смена режима функционирования осуществляется скачкообразно и определяется в соответствии с измерением некоторого случайного процесса. Примеры синтеза систем управления для реальных объектов, модели которых описываются системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами, приведены в [53, 67, 78, 86, 87] и в ряде других работ, в которых рассматриваются приложения к производственным объектам, энергетическим системам, летательным аппаратам, моделям финансовой математики. Задачи определения состояний скачкообразных составляющих рассматривалась в [3, 5, 32, 57, 62].
Методы и алгоритмы синтеза систем управления объектами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами изучались в [8, 9, 12, 32, 40, 45, 67, 69, 90], в которых осуществлялся синтез систем для решения задачи стабилизации, либо задачи слежения, использующей обратную связь по состоянию. В данной главе методы синтеза следящих систем по интегральным квад-
14 ратичным критериям для объектов со случайными скачкообразными параметрами развиваются для систем с мультипликативными шумами, зависящими от состояния системы и управления, при этом следящая система синтезируется непосредственно по вектору наблюдаемого выхода (в виде обратной связи по выходу) и не использует оценок состояния. Рассматривается случай точного измерения скачкообразной составляющей.
Также важной задачей является задача синтеза фильтра.
Актуальной является задача разработки алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и мультипликативными возмущениями, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических объектов. В данной главе методы синтеза фильтра развиваются для систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными и аддитивными воздействиями гауссовского типа. Рассматривается случай точного измерения скачкообразной составляющей.
Основные результаты главы опубликованы в работах [20, 24].
1.2. Следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления
Поведение непрерывного объекта со случайными скачкообразными параметрами описывается следующими уравнениями: x(t) = A(y)x(t)+B(yMt) + 2X(YM')9,(0 + +вдМ0ф,(')+*(0, *(0) = *в, (1.2.1) где x(t) є R" - вектор состояния; u{t) є Rl - вектор управления; х0 - начальные условия (М{*„} =**,,, M{x0xl} = NXg); q{t)eR\ 9(0еД"\ ф(0єД% -векторы белых гауссовских шумов с характеристиками: M{q(t)} = 0, МШ?т(т)} = Є5(*-т), М{Є(ґ)} = 0, М{Є(09т(т)} = /5(f-т), M{g(09T(/)}-0,
15 М{Ф(ґ)} = 0, М{ф(/)фт(т)} = Щ - т), М{^(0ФТ (0) = 0, М{Є(ґ)фт (т)} = 0; у^єД1 - марковская цепь с дискретным множеством состояний у1(у2,...,уг (вероятность перехода из і-то состояния в 7-е (i^J) за время At равна
Х.?Лг + о(Д0; Л(у),5(у), Лр(у), Я, (у) (p = l,mt,s = l,m2) - матрицы порядка их и, их/, пхп, пхп соответственно (М-оператор математического ожидания, индекс <Т> - обозначает транспонирование, 6(ґ-т) - дельта функция Дирака, Q = QT >0 - неотрицательно определенная матрица, / - единичная матрица), Процесс y(t) задается уравнением dy(t)= \vn(dt,dv), у(0) = у0, (1.2.2) где у0- начальное состояние переменной у(0> пуассоновская случайная мера Q(dt,A) характеризуется функцией
П,,7(Л) = 5]\5(у + у(-уу)Л, лриу = у,. (1.2.3)
Обозначим вектор управляемого выхода объекта: {t) = Rx(t) (^,(t)eR"'). Для объекта (1.2.1) необходимо найти управление u(t) (/ є[0, 7}]), при котором выход объекта <;(0 был бы близок к отслеживаемому сигналу z(t) є R"1. Зададим меру близости в виде квадратичного интегрального критерия
Л0,Г7] = ^М{ J[((T)-z(T))TC(yX^)-^(T)) + iiT(T)D(y)u(T)]rfx +
2. 0 (1.2.4) +^(T/)-z(T/)yE(y)(^T/)~z(T/))/x(0) = Xof у(0) = у0}, где С(у) = С(у)т > 0, >(у) = >(у)т > 0, Я(у) = Е(у)т > 0 - весовые матрицы. Задача состоит в выборе такого управления u(t), при котором достигается минимум критерия (1.2.4).
Будем считать, что наблюдению доступен вектор y(t) = S(y)x(t), (1.2.5) где y(t) є R"1 (пг < п), S(y) - матрица полного ранга. Зададим закон управления в следующем виде: и(0 = *(7.'ЖО + ш(У.О, (1.2.6) где K{y,i) и со(у,ґ) подлежат определению из условия минимума критерия (1.2.4). Переменная 7(0 принимает конечное число значений, поэтому удобно ввести следующие обозначения A(yl) = Aji B{yt) = Bn A (yi) = A(i\ 2^(7,) = 5^,
С(у,) = С„ Щу,) = Ц, E(y,) = El9 5(7,) = 5, (і = ї?).
Теорема 1.1. Матрица оптимальных коэффициентов передачи (7,,0-^/(0 и вектор ю(7,,0 = ю/(0 имеют вид: с1{К^)) = -т Г, -D, Т^ВЩф, -xx)Sjt (1.2.7) to, (0 = -ОВД* W + ^"'^т (gw + Цх(п )), (1.2.8) (A =si')T^>+А, Г, = 5ДДТ, T^S^x^S?), если существуют матрицы Nt(t)>0, Lj(t)>0 и векторы xl'\ g^\ удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче: +Ё^Х,Т^Л(ВД. *i(0) = М{*0*0Т /у(0) - 7,}, (1-2.9) xw = 4x(0 + i?,0),+^^(xw-jcw), *<;)(0) = M{Vy(0) = YJ> (1.2.10)
Г ІД, +2>ДОІЗД0*А. 1,(^) = КтЕЯ,(і = Гг)> (1.2.11) ~g(0 = ДУ - *TC,z + ЗД, + SjKjDjv, + +2X(s/-ir,)> а(7»=-дт^(т», <L2-12) At=Al + BlK,S„ Q^Q^B^x^+x^B,, CI=R1CR, (i = T^r). (1.2.13) При этом объект (1.2.1) со следящим регулятором по выходу (1.2.6) устойчив в среднеквадратическом. Здесь - кронекеровское произведение; ct{Ktif)) -вектор-столбец, составленный из элементов строк матрицы Kt(t).
Доказательство. Вычислим значение критерия при управлении (1.2.6):
УДЛГ/] = |м{}[й(т)-г(т))тС(№(т)-г(т)) + «т(т)^и(т)]Л + +(5(7)) - z(7)))T Е, ((2>) - z(2))) I у(0 = у Л = = IМ{ }[(Дг(т)-г(т))тС,(Аг(т)-z(x)) + (ЛТДх(т) + со,(т))т/>,(*Д*(т) + +/(т))]Л + (Лх(Г/)-2(Г/))т((ДЯг(Г/)-г(2)))/у(0 = уі} =
1 Г/ = - М{ |([лтЛтС(Дх - 2zTCiRx + zTC,z + хт S] К] Dfi&x + +2ajD,KiSix + (ojDpJdx + хт(7) )R1ElRx(T/)--2zT(7))A(7» + zT(7)):iz(r/))/y(0 = yJ =
1 -= - J*r[C,JV, - 2zTC,7c(0 + zTC,z + SjKjfyK&N, + +2mjDlKiSix0) + о J До, ]t (7) ) Д ТЯ, Д - -zl(7))^'47)) + -r1(7))^(r/)].
В результате получим
1 Г/ /,[^7>] =- /ОД(С, +S]K]DiKiSi)-2z1CiKx{i) +zrCiz + +2tfDtKiSix0) + jDiG>i]dx + tr[-Nl(T/)R1EiR- (1.2.14) -^(^)^^47))+^^(7))^2(^)1, где JV, = M{x(t)x(t)T fy(t) = yt}, x(0 = M{x(t)/y(t) = yi}i tr- обозначает след мат- рицы. Выберем в качестве функции Ляпунова выражение тVit^^N^^^^g^x^+^trL^+^trj^adx, (1.2.15) где Qt > 0 - некоторые матрицы, такие что Qt>a+Qr (1-2.16)
Входящие в (1.2.15) \|/р g^ и Lt удовлетворяют уравнениям -Vi=rzTClz+-ffl7Diffll+gWTB(ml+-frftIi + Z^(4'y-4',)» J* (1.2.17) ^) = -^(2))^0}). -g(0 =(4 + 5,M)Y -RtClz + SjKjDjm, +ЬДщ + +2Х0ГШ-Л я(0(3» = -Лтедг», (1.2.18) -А = А(4 + W.)+(4 + W,)T А +с, + +ZWA). ЦТ^Я^к. (1.2,19)
В (1,2.19) С( - некоторые неотрицательно определенные матрицы. Первые три слагаемые в представлении функции Ляпунова (1.2.15) являются значением критерия (1.2.14) при управлении (1.2.6), в котором Tpg^L, определяются из (1.2.17)-(1.2.19), последнее слагаемое в (1.2,15) также неотрицательно при Lt>0, Qi>0, поэтому функция Ляпунова (1.2.15) неотрицательна. Найдем полную производную функции Ляпунова:
4^,3^,^,,0 = Ч>( +<от5с(0 + gi0Tx(i) +~trliNi -Д/ОД ~trLJQt. (1.2.20) at 2 2 2
Проинтегрируем по времени полную производную функции Ляпунова (1.2.20), учитывая уравнения для Л*", (1.2.9) и х^ (1.2.10):
7 ^ J 2 +^ід ~\trLQ№ = }te(,)T(4 + ДД)*(0 +SWT*,«>, + +ЯШТЕЧ(^У) -^) + ^, + (',T*( +^Л ~trL& + (1.2.21) y=i 2 2 +24Ч40Т +25ХяГ^Ч^+2м^ -ад^
Также интеграл полной производной функции Ляпунова (1.2.20) имеет следующий вид:
Ь . , -^^-^(0^(0-1^(0^(0-^1^^- (1-2.22)
Учитывая равенство (1.2.21) и (1.2.22), квадратичный критерий (1.2.14) представим в эквивалентной форме: Jt[t,Tf] = IWi-NXq+SjKjDfrSJ + g^A^ + у, +^т*1,> +±*4*( --zTC,/Z3ct0 +-z1C^+-(u]Dl(ulH^jDl+ginTBl)KlSixlt)+gli)TBt(ol + +^24(^ -*0)) +^A[(4 + ЯіВДЖ + Щ4 + Bftsf + a + +W* + *<ЧДТ + W/ "^H E4'44'T + ./=1 j)=l +^Т^')ТЛГ(ДІ'>ВД]1 }^т + (1.2.23) +v,(0+g( W40 +^4(0^,(0-^,0)).
Применяя правила матричного дифференцирования [44] к формуле (1.2.23), из dJ,lUTf] условия — - 0 получим следующее уравнение; dK{
Д К,Г, + BjL.N^J+Djdi^Sj + Bjgl0xunSj = 0. (1.2,24) dJtlt,Tf]
Из условия — = 0 получим уравнение для вычисления со;. Это уравнение будет следующим:
Доз, + ЦКДхи) + Bjgi0 + BjL^0 = 0. (1.2.25)
Из уравнения (1.2.25) оптимальные со, определяются по формуле (1.2.8). Подставляя оптимальные со, в уравнение (1.2.24), получим уравнение для вычисления оптимальной матрицы К,. Это уравнение будет иметь вид
Д Я,Г, -D,KlTi + BjLi(Nt-,xl')x(')'t)Sj = 0. (1.2.26)
Тогда в силу (1.2.26) К, определится по формуле (1.2.7).
Найдем в уравнении для Ц (1.2.19), выражение для матрицы С, такое, чтобы критерий (1.2.23) был минимальным. Для этого правую часть (1.2.19) подставим вместо L, в (1.2.23): -zTCliCc<0 +-zTC,z +-со* Дсо, +(о>-Д + gU)TBt)KiSlx0) + g(,)TS,o, + +2(ТІХ<*0) ~*С) ~Ы^ + XX ^ - AM + \*Ц& + (1.2.27) j*i J*' j=i p=i *=i +v((0+gmT№<0(0+jfrA(0^(0-|((2».
21 Выполнив преобразования, в результате получим t ^ p=i -2ТС(ІЄс(0 +izTC,z+-Q^O)(+(ffl;D, +gii)TBl)KiSixll) + +Е)ТВы+8и)Т^(х(Л-х") -^ЇХ^у -ЦЩ+±ГгЦ(& + (1.2.28) /=i ^ y=i l +Z^(^-^i)l }Л+ ,(0+Я(І)Т(0^0(0 + |/г,(ОЛГ((0- ^,(ї».;=i ^ 2
Так как значение критерия (1.2.28) должно быть всегда неотрицательным, то его минимум достигается при
С, = С, +SjKjDlKiSi +214^4^ + ^К^В^ЦВ^К^ (1.2.29)
Уравнения (1.2.9)-(1.2.12) получаются, если в уравнения для Nn х{1) ив (1.2.18), (1.2Л 9) (с учетом (1.2.29)) подставить выражение для Кг
Покажем, что полная производная функции Ляпунова (1.2.15) при матрице Kt равной (1.2.7) отрицательна. Это необходимо для обеспечения устойчивости в среднеквадратическом [1]. Учитывая (1.2.17)-(1.2.19) и (1.2.29), получим —Vfax10Ж,і) - --zTC,z-Iffijno + zTrRx(i) - dt 2 ' 2 ' ' ' -(SjKjDjai, + ХД g>,)5cw - і triSjKjDfoS, + К^С^Щ - (1.2.3 0) -tuvj -v,)-Ste
22 Приведя подобные и в силу равенства trRTCiRNi = М{(;с(0 -Зсм)тЯтС,Д(д:(0 -;е<0)} + ;с<')ТЯтС(йх('\ (1.2.31) формула (1.2.30) преобразуется к виду
4^,5с(О^(,0 = -^(г-Дг<,))тС((г-Лх<'))- at 2 --oojA-co, -(SjKjDja, + Х,Дсо,)Зесо - (1.2.32) --M{(^ -х(0)ТЛтС;/г(х(0 -xli))}--trSjKjD,KtSlNl -p„ где +(ga)^)_g(0T^))+(._4,()]j / = ^ (L233)
Очевидно, что полная производная функции Ляпунова (1.2.32) будет отрицательной, так как значения р^ (1.2.33) всегда можно сделать положительными в силу условия (1.2.16), задавая соответствующим образом матрицы Qt >0. Теорема доказана.
В случае если канал измерений содержит аддитивную помеху y{t) = Six(t) + v{t), (1.2.34) где v(t)R"2 - белый гауссовский шум (M{v(/)} = 0, M{v(/)^t(t)} = 0,
М{у(ґ)Єт(т)} = 0, М{у(г)фт(т)} = 0 U{v(ty(x)} = Vt5(t-x)), в формулировке теоремы 1.1 необходимо в уравнении (1.2.16) матрицу Qt заменить на следующую Q, = Qt + Bp^K] Д(т + Д,т,3с(0т +x^Bj, (1.2.35) а матрицу Г, необходимо принять равной SjNfiJ + V(.
В стационарном случае при постоянном отслеживаемом сигнале вместо критерия (1.2.4) необходимо минимизировать критерий limsup—./[0,7}]. (1.2.36)
Ту-*» 7}
Предполагается, что пары матриц Ап Bt (i=ltr) стабилизируемы и в критерии (1.2.4) Ei =0. Задача синтеза при этом упрощается, так как уравнения (1.2.9)-(1.2.12) становятся алгебраическими лд+лгДт +JX(jv, -tf,)+fi,+ +2><Ч4,)Т+Е W*r*Al0*A =0. О-2-37)
Д.3сw + Д,ю, + \(х(у) - ^) = > (1.2.38) іД + А[Ц + С, + SjKjDfoS, + М, = 0, (1.2.39)
ДУ > -ЯтС,г + ЦВ,щ + SjKjDj, + 5>,(*(Л -g() = О, (1.2.40) Afi =S40A40T + W А) + 2SJKJBlTLM%Sr (1-2.41) р=1 y=I J=l
Постоянные оптимальные коэффициенты передачи и вектор со, определятся по формулам; ct(K,) = -[(Д Г, -D, T^BjliiN, - xioxiOT)Sj, (1.2.42) со,. = -(*А*( +D-lBj(gw +i(.3c{0)), (1.2.43) — . —
Теорема 1.2. Если существует решение уравнений (1.2.37) — (1.2.40) и существуют числа Pj (0<Р, < 1) такие, что матрицы, Ц >0, М( =СД +Л/. >0 и пары матриц л/С,, Д детектируемы, то матрицы Д. = Д. + Я(-ЯД асимптотически устойчивы (і = 1,г).
24 Доказательство. Учитывая, что Ц > О, Mt > 0 и применяя теорему
3.6 [43] получим, что из условия детектируемости пар матриц уС, , At следует детектируемость пар матриц V(I-Р,УС, + SjKjDfrS; + м(, 4 + ^Л- О-2-44)
В силу того, что уравнение (1.2.39) эквивалентно следующему (4+5^^^4+^(^+^^) + (1-^+^7^.^ + ^=0, (1.2.45) по лемме 12.2 [43] при ^>0 и условии детектируемости пар матриц (1.2.44) следует, что матрицы A. + BlKiS{ асимптотически устойчивы. Теорема доказана.
Замечание 1.1. В случае коррелируемости белых гауссовских шумов 9Г и Ф в правую часть уравнения (1.2.9) и левую часть уравнения (1.2.37) добавятся слагаемые
2],WT*WVJ0 и ZiZ.AWfySjKjB?, в правые части уравне- р-\ s=l р=\ 1=1 ний (1.2.29), (1.2.41) добавятся слагаемые Yu^Bf1 К^ЦА^ и p=i »=1 ^2^^^457^7^, а уравнение для нахождения оптимальных коэффициен- р~\ j=i тов передачи станет следующего вида
Д Kfr + BjliNfiJ +Dj(olxmTSj + откуда определяются оптимальные коэффициенты передачи: ctiK,) = -(Ц Tl~Difi У1 [BjL, {Nt - x{x(i)T )Sj + +2Я,(0ТА^)Т^]. (1-2.47)
Вектор о, определится по формуле (1.2.43).
25 1.3. Фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями
Линейная динамическая система со случайными скачкообразными параметрами описывается следующим уравнением: л(0 = л(у.0*(0+л^0*(09,(0+*(ъ0. *(0) = *о> (1.3.1) где A(y1t)>Aa{yJt) (s = \,m,) — матрицы порядка пхп, x(t) — вектор состояния; q(y,t)t 9(/) - векторы белых гауссовских шумов с характеристиками, описанными в разделе 1.2, y(t) - цепь Маркова, поведение которой описано в разделе
Наблюдаемый вектор выхода измерителя y{t) определяется соотношением: y(t) = S(y,t)x(t) + v(y,t), (1.3.2) где S(y,t) - матрица канала наблюдений полного ранга, v(y,f) - белый гаус-совский шум с характеристиками: M(v(Y,0> = 0,M{v(y,04T(Y,T)} = 0,M{v(y,0vt(y,t)} = Г(у, ґ)5(* - т), (1.3.3) где матрицы интенсивностей шумов в канале наблюдений V(y,t) - положительно определены.
Определим оценку состояния x(t) с помощью фильтра, по своей структуре совпадающей с фильтром Калмана [63] т=АШ)т+т> зд=*0- о-3-4)
В (1.3.4) 4(0 - обновляющийся процесс ад=лг(у,0М0-ЗД,0*(0). (ьз.5)
Здесь х0 = М{х0}, кроме того предполагаются известными начальные дисперсии D0I = М{(х0 -х0)(хй -х0У /у = у,}.
Будем определять коэффициенты передачи K(y,t) из условия минимума следующего критерия j[0,Tf]= U{ \e1{t)R{y,t)e{t)dt + (eT(T)YTe(T))/y(O) = y0}> (1.3.6) где e(t) = x(t) - x(t) - вектор ошибок фильтрации, R(y,t) > 0 и 7Г > 0 - весовые матрицы. Подынтегральное выражение критерия (1.3.6) характеризует точностные характеристики фильтра.
Переменная y(t) принимает конечное число значений, поэтому удобно ввести следующие обозначения R(yj) = Rn ?/=2(У()> Р/=^(У*)> -^(Ур0 = -^(О
Будем предполагать, что пары матриц Sn Af (У = l,r ) детектируемы.
Решение задачи синтеза оптимального фильтра для нестационарного случая определяет следующая
Теорема 1.3. Если существуют матрицы Yt(t)> 0 и Dt(t)> 0, являющиеся решением двухточечной краевой задачи: j=i j=i ц = (4 -лад+dm -к&? +Х4<>д4»т +4(0^тлГ +2 + +WsT+EW -А). А(0) = А.
У=1 J*i (13.7) x = Aix^Kt(y-Six), х(0) = х0, (1.3.8) -Y, = YM -^) + (4-^)^+^+241^01 + +1МГ/-^)> Г,(7» = УГ, (1-3-9) то элементы матрицы оптимальных коэффициентов передачи определятся по формуле: K,(t) = DtSjV-1. (1.3.10)
Доказательство. Матрица дисперсии ошибки фильтрации D,(0= M{e(t)eT(t)/y(t)^ у ,),1=1^, (1.3.11) удовлетворяет дифференциальному матричному уравнению D, = (А, -К&Щ+ЩА, -^)T+^WT+f«T^ + j=i *=i +а+^Л/ + Х^(^-А)5 Д(0) = Д. (U.12)
Уравнение для ошибки e(t) при оптимальных коэффициентах передачи фильтра должно быть устойчивым в среднеквадратическом. Поэтому для уравнения (1.3.12) должна существовать функция Ляпунова, которую будем искать в виде: W(ttDi(t)) = trDi{t)Yt(t) + tr\{Qi + Vi+KtViK?)Yid'c, (1.3.13) где ХУІ >0 - некоторая матрица, Yt(t)> О - матрица, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, двойственному уравнению (1.3.12) -t-чА -едж4 -вд)тг;+с,+2 -7Д
Я (1-3.14)
В (1.3.14) С, >0 - матрица, подлежащая определению. Очевидно, что функция Ляпунова (1.3.13) неотрицательна. Проинтегрируем от t до 7) полную производную функции Ляпунова: }-^(т,>,(т))л=& |[й<(4, -^Л)од+А(Л -ад)тії+ j=i j=i ^=1 = /^)^^(7))-^(0^(0-^(а+^+ад^,7)^]^. (1-3.15)
Вычислив значение критерия, получим
У, [г, 7)] = |ґг»((т)^(тУт + ^(Г)7г. (1.3.16)
Учитывая (1.3.15), критерий (1.3.16) представим в эквивалентной форме
ЛО,г}]=у([о,2}]- |1>зд+*г(од + /=1 о '=i +(4 -Вд)од+dm -кдуг,+j>,(z>, - АЯ +240^0 + +24Д4')Т^ + (й+*tf Ода^+2>А(0ВД- 0-3.17)
Приравнивая к нулю градиент функции (1.3.17) по Кп используя правила дифференцирования скалярной функции по матричному аргументу [44], получим матричное уравнение
ВДГ(-ВД5^=0. (1.3.18)
Решение уравнения (1.3.18) относительно матрицы Kt представляется в виде (1.3.10). Найдем в уравнении для Yi (1.3.14), выражение для матрицы Ct такое, чтобы критерий (1.3.17) был минимальным. Для этого правую часть (1.3.14), взятую с противоположным знаком, подставим вместо Yt в (1.3.17). Выполнив преобразования, в результате получим: J[>Tf]= JI>A№+2>;0^<от -ci)+tr((Qt+KiviK^)rl +
0 /=1 J=l m г г ! j=l ;=1 j=\ /=1
Так как значение критерия (1.3.19) должно быть всегда неотрицательным, то его минимум достигается при C^R^AfY^. (1.3.20)
Покажем, что полная производная функции Ляпунова (1.3.13) при матрице Kt равной (1.3.10) отрицательна. Это необходимо для обеспечения устойчивости в среднеквадратическом [1]. Учитывая (1.3.7) - (1.3.9), полная производная функции Ляпунова примет вид
294^(/.А(/)) =-/гОД -ц„ (1.3.21)
Ці —Z VW -^) + ^^ (1-3-22) /*< Очевидно, что выражение (1.3.21) будет отрицательным, так как все значения ц, в (1.3.22) всегда можно сделать положительными, задав соответствующим образом матрицы ,. > 0. Теорема доказана.
В стационарном случае вместо критерия (1.3.6) необходимо минимизировать критерий
Iim sup—./[О,?}], (1.3.23) где при вычислении J[Q,Tf] предполагается, что YT = 0 ,
Уравнения, с помощью которых осуществляется синтез стационарного фильтра при отсутствии мультипликативных составляющих А^ = 0, будут алгебраическими и будут иметь следующий вид: (4 -ед)д+dm -едт + о, + +ад^т+1Хф, - А)=о, (і .3.24) Yi(Ai-^Si) + (At~KiSt)TYi + Rl+±Xu(YJ~Yi) = 0. (1.3.25)
Оптимальные коэффициенты передачи определятся по формуле: K^Dtfy-1. (1.3.26)
При решении уравнений (1.3.24), (1.3.25) необходимо дополнительно учитывать зависимость (1.3.26) К, от Yt и Dr
Условия асимптотической устойчивости в среднеквадратическом стационарного фильтра определяет следующая
Теорема 1.4. Если существует решение уравнений (1.3.24) - (1.3.25) и существуют числа Р; (0 < рі < 1) такие, что Y,>0t Af,=M, + a,ff(y;-yf)0, (1.3.27) пары матриц
Д\ 4 (1.3.28) детектируемы, то матрицы Ai-KiSi асимптотически устойчивы для всех і = 1,г. Доказательство. Из условия детектируемости матриц (1.3,28) следует детектируемость пар матриц л/(1-Р,Ж>4- (1-3-29)
Тогда учитывая, что Mk >0, и применяя теорему 3.6 [43], будут детектируемы пары матриц
7(1-Р,)^+Л/(1 А-К&. (1.3.30)
В силу того, что уравнение (1.3.25) эквивалентно матричному алгебраическому уравнению Ляпунова
УМ-к^НА-к^Уї + іі-рж+м^о, (1.3.31) по лемме 12.2 [43] при Yt>0 и условии детектируемости пар матриц (1.3.30) следует, что матрицы At - Л7Д асимптотически устойчивы. Теорема доказана.
1.4. Результаты численных расчетов
Пример 1.1. Рассмотрим задачу синтеза следящей системы по вектору выхода. Пусть поведение непрерывного стационарного объекта со случайными скачкообразными параметрами, с мультипликативными и аддитивными шумами описывается линейной системой второго порядка вида (1.2.1) с тремя состояниями у = (1, 2, 3}. Исходные данные имеют вид: A{\) = f-0,04 0,0 -0,75 0,4
5(1) =
Л(2) =
5(2) = r 0 0,3^ ^-0,2 0,9 A(3) =
5(3) = '-0,2 0,4 ^-0,1 0,3j Г-од\
0,5 J: -0,25 0,05 0,2 ^ 0,25 -0,45 0,2 0,2 0,05 -0,25 '0,02 0 ^ ^ 0 0,05; [^0,03 0 > 0 0,05^ a =
5,=(0 1);C,= (0,006 0,07^1 0,003 0,01 (0,001^ 0,008 ; 4(0 =
4(0 =
52(/>
ВД) =
0,04 0 J ^ 0 0,05J A =
0,0035 0,05 J' f 0,002^ 0,009
Для исходной системы все матрицы A{i) / = 1,3 неустойчивые. Их собственные числа приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1 Собственные значения матриц динамики А{і) {і = 1,3)
Пары матриц A(i) и B(i) / = 1,3 стабилизируемы. Задача синтеза следящей сие- темы заключается в решении системы матричных уравнений (1.2.37 - 1.2.43).
Для системы был синтезирован следящая система со следующими параметрами
Кх = -1,966847; Х^-1,077277; К3 = -3,210018; о, = 28,436371; ш2 = 5,929395; ш3 = 26,977933.
Условия теоремы 1.2 выполняются, так как существуют следующие векторы g(3) = gm = sm = ^-85,169542^ -9,738589 х(,> = ^19,980625^ 8,466364 -93,365203' -27,456509
Зс<2> =
Г22Д1626Л 4,055381 у f-66,246082^ _ -34,943061/ /"19,210780 8,655938; и матрицы N3 = N2 = (А, 778059 0,208156> 0,208156 0,519802; '3,067306 1,236354^ ^1,236354 1,389764, ^497,017563 84,625764^ 84,625764 23,239269 '5,397959 0,97613 \ ^0,97613 1,009219/ ("405,293587 166,582411^ 166,582411 73,391424 '372,929507 165,828149' ^165,828149 75,76966 удовлетворяющие матричным алгебраическим уравнениям (1.1.37) — (1.1.40), причем матрицы Lt и iV, положительно определенны, существуют числа Р, (например, р; приняты равными 0,8) такие, что матрицы L: положительно определены, матрицы ("0,494478 0,246523^ 0,246523 1,000427
М2 = ґ 0,190432 -0,134839^ -0,134839 0,757154
М3 =
1,274193 -0,211832^1 -0,211832 0,614063
,(/ = 1,3), де- неотрицательно определены и пары матриц А(і) и yjC(i) ~ (\ 0\ — тектируемы. Поэтому матрицы динамики замкнутой системы Ai=Aj-\-BjKjSi
33 (/ = 1,3) устойчивые.
Таблица 1.2 Собственные значения матрицы динамики замкнутой системы (для управления вида (1.2.6)
Итак, в результате синтеза получили устойчивую замкнутую следящую систему, в то время как исходная система была неустойчивой. Заметим, что для реализации данной системы управления необходимо точно измерять скачкообразную составляющую.
Моделирование следящей системы выполнено с помощью пакета MathCad 2001. Результаты моделирования приведены на рис. 1.1-1.2.
1 І і г
x,i 20
1_ I „ ! I L о -ю.
Рис. 1.1. Реализация компонент вектора состояния
400 і
Рис. 1.2. Реализация скачкообразной составляющей
Из графиков видно, что предлагаемый алгоритм обеспечивает отслеживание заданных характеристик (х\ удерживается вблизи 20, х^ вблизи 10). То есть результаты моделирования подтвердили работоспособность алгоритма.
Для численного решения задачи использовался метод простой итерации. Исходная система матричных алгебраических уравнений в правой части имеет нулевые матрицы, В уравнении (1.2.37) нулевая матрица размера п хпв правой части заменяется на Nt, в уравнении (1.2.39) - на Ljt в уравнениях (1.2.38, 1.2.40) нулевые векторы размерности и х 1 заменяются на x{i) и g0) соответственно. Далее полученные дифференциальные уравнения интегрируются по методу Эйлера до установившихся решений. Итерационный процесс осуществляется до тех пор, пока норма невязки исходных уравнений не станет равной є = 10~5. Отметим, что такой прием используется в диссертации при решении матричных алгебраических уравнений.
Выполним анализ устойчивости матриц системы при ошибках в определении скачкообразной составляющей.
Матрица АА соответствует случаю, когда система находится в первом состоянии, а блок диагностики определил это состояние как третье. A=Al-BlK2S] '-0,04 0,1 ^-0,75 -2,810018J Матрица А\ соответствует случаю, когда система находится во втором со-
35 стоянии, а блок диагностики определил это состояние как третье. ґ 0 -0,021002^ -0,2 -3,915026/
Л5=А2-В2Кз$2, А\ =
Матрица А6 соответствует случаю, когда система находится в третьем состоянии, а блок диагностики определил это состояние как второе. A6=A3-B3K2S3; (-0,2 0,507728 > -0,1 -0,23 863 8,'
Матрица А1 соответствует случаю, когда система находится в первом состоянии, а блок диагностики определил это состояние как второе. AJ=Ai-BlK2Sl; (-0,04 0,1 > -0,75 -0,677277/
Матрица А\ соответствует случаю, когда система находится во втором состоянии, а блок диагностики определил это состояние как первое, - ( 0 0,103315 ^ А=А2 - B2K1S2', А = ^ ч {-0,2 -2,050271/
Матрица А\ соответствует случаю, когда система находится в третьем состоянии, а блок диагностики определил это состояние как первое, (-0,2 0,596685 ^ -0,1 -0,683424
А=Л3-ВДй;
Таблица 1.3
Анализ устойчивости замкнутой системы всех вариантов при ошибочных показаниях блока диагностики скачкообразной составляющей
Как видно из таблицы 1.3 матрица А^ из набора матриц Д (i = 4,9) является неустойчивой, все остальные матрицы устойчивые. Поэтому применение не-робастных следящих систем (в этом случае коэффициенты передачи зависят от скачкообразной составляющей) для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами не гарантирует устойчивость системы при ошибочных показаниях блока диагностики скачкообразной составляющей. При ошибках в определении состояния скачкообразной составляющей возможно такое состояние системы, при котором происходит потеря устойчивости замкнутой системы, что для реальных систем неприемлемо, так как может привести к катастрофическим и аварийным последствиям. Поэтому для того чтобы избежать ситуаций с потерей устойчивости системы целесообразнее синтезировать робастные следящие системы.
37 1.5. Основные выводы по главе 1
Разработан алгоритм синтеза следящих систем для линейных непрерывных объектов с мультипликативными составляющими по состоянию и управлению и случайными скачкообразными параметрами. Алгоритм позволяет осуществлять синтез следящих систем в классе линейных, при этом закон управления формируется по наблюдаемому вектору выхода. Структура предлагаемого управления не содержит дополнительные оцениватели или фильтры для вектора состояния.
Разработан алгоритм синтеза фильтров для линейных непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными скачкообразными параметрами на основе оптимизации суммы следа матрицы ковариации ошибок фильтрации.
Получены условия, гарантирующие устойчивость замкнутой системы и стационарного фильтра.
Реализован численный пример синтеза оптимальной следящей системы. Показано, что при ошибках диагностики скачкообразной составляющей возможна потеря устойчивости замкнутой системы.
Следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления
Современные системы автоматизации, применяемые на проектных предприятиях, являются развитием систем системы электронного технического документооборота (ЭТД), первые из которых появились в конце 80-х — начале 90-х годов [1, 29]. Их появление было вызвано возрастающими сложностями в области систем автоматизированного проектирования (САПР) на уровне рабочей группы. Собственно проблемы состояли в том, что для обеспечения эффективной работы над одним сложным изделием группы разработчиков требовалось дополнительное к САПР профаммное обеспечение (ПО), которое отслеживало бы состав всех файлов, генерируемых САПР, каталогов внутри группы на предмет их целостности, непротиворечивости и актуальности.
Областью применения систем автоматизации первого поколения были группы проектировщиков. Основное препятствие, которое устранялось за счет внедрения системы — это несогласованность автоматизированной работы группы проектировщиков. Упорядочение, рационализация и координация движения проектной информации внутри группы конструкторов-проектировщиков и достигалось за счет применения систем первого поколения. Характерными представителями второго поколения, первыми появившимися на российском рынке, были Optegra от Computervision и IMAN от EDS Unigraphics [1, 48].
К середине 90-х стало ясно, что системы автоматизации первого поколения успешно решают только задачи информационного обеспечения группы проектировщиков. Характерной задачей систем второго поколения стало обеспечение управления всеми проектными данными в соответствии с правилами, устанавливаемыми для участников на каждом этапе работ над изделием — задача управления жизненным циклом изделия. В качестве «параллельной» решалась также задача «сотрудничества» с модулями материально-ресурсного планирования производства систем АСУ.
Областью применения систем автоматизации второго поколения стали группы и подразделения предприятия, непосредственно занятые в процессе производства. Их внедрение позволило расширить информационный обмен, включив в его сферу все подразделения предприятия, автоматизировать некоторые функции принятия решений при продвижении информации об изделии по этапам жизненного цикла, сократить потери на организацию доступа к общему банку данных предприятия для каждого из клиентов системы автоматизации. Как результат — применение такого рода систем должно было сократить непроизводственные потери, особенно при выполнении работ над образцами новой техники.
Для систем третьего поколения характерны следующие особенности: полная реализация идеологии клиент-сервер, наличие интерфейса с системами управления предприятием, вызов клиентских модулей через унифицированный пользовательский графический интерфейс. Базовыми функциональными возможностями систем третьего поколения считаются: контроль структуры изделия, контроль жизненного цикла изделия, контроль версий и «релизов» информационных объектов, генератор спецификаций. Дополнительно решалась задача контроля потока работ каждого конкретного исполнителя. Как результат, применение систем автоматизации третьего поколения должно было существенно сократить непроизводственные потери не только при выполнении работ над образцами новой техники, но и при организации работ по серийному и мелкосерийному выпуску продукции. К этому поколению принадлежит продукт EPD.Connect [62], уже нашедший применение в ряде отраслей российской промышленности. К концу 90-х на предприятиях возникли новые задачи, которые нельзя было решить в системах третьего поколения. Речь идет об электронной коммерции и все более углубляющейся глобализации промышленного производства. Все это требовало появления ПО, учитывающего оптимальный по количеству и рациональный по производительности состав соисполнителей, допустимых для участия в проекте вне зависимости от их реального географического расположения.
- В системах автоматизации четвертого поколения появилась полноценная организация связей с заказчиками, напрямую или, что чаще всего — через сеть дилеров-поставщиков. При этом использование возможностей технологии «клиент-сервер» уже недостаточно, необходимо ориентироваться на широкое использование принципов организации среды WEB, особенностей применения Java, HTML и XML для формирования взаимодействия с пользователями системы и т.д. Совокупность всех этих требований приводит к появлению принципиально нового поколения Web-ориентированных систем автоматизации. От систем ожидается не централизованный характер управления данными (в проекте — один директор, «иерархия» отношений соответствует структуре «классического» унитарного предприятия), а «collaborative» - характер производственных связей, подразумевающий сотрудничество, а не прямое подчинение (в проекте — несколько предприятий, объединяющихся для выполнения одних целей, а в другое время — вольных входить в любые другие производственные союзы, связи и кооперативные объединения).
Фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями
Под проектной будем понимать организацию, основным видом деятельности которой является проектно-изыскательские и конструкторские работы по новому строительству, реконструкции и техническому перевооружению, а также капитальному ремонту объектов нефтегазового комплекса (ОНК) - магистральных газо-, пефте- и продуктопроводов, компрессорных и насосных станций, хранилищ газа, нефти и нефтепродуктов, обустройству нефтегазовых месторождений, промышленных и гражданских зданий и сооружений [57, 59]. Проектные предприятия ведут свою деятельность в России, странах бывшего СССР и за рубежом, в основном в Африке, Азии и Восточной и Южной Европе. В зависимости от страны проведения работ, проектирование должно удовлетворять требованиям российских и/или международных стандартов.
В последние десятилетие в связи с ростом промышленного производства (особенно в области добычи минерального сырья) проектные организации находятся в состоянии бурного развития — растет количество проектов, численность персонала, обновляется вычислительная техника и программное обеспечение. Столь интенсивное развитие не может продолжаться долго и о том, чем будет занимать организация в период грядущей стагнации необходимо задуматься уже сейчас. Через несколько лет наступит время модернизации и реконструкции объектов спроектированных в середине 90-х годов. Имея систему поддержки жизненного цикла изделия, проектная организация сможет выполнить работы по модернизации и реконструкции в кратчайшие сроки с минимальными затратами ресурсов. К тому же, внедренная система поддержки жизненного цикла значительно повышает шансы на выигрыш зарубежных тендеров [33, 35, 55].
Нынешнее финансовое положение проектных организаций [20] по российским меркам можно охарактеризовать как очень хорошее — платежеспособные отечественные и зарубежные заказчики обеспечивают стабильный доход [4]. В последние несколько лет проектными организациями созданы финансовые резервы, позволяющие решить накопившиеся проблемы - обновление парка техники, капитальный ремонт офисов, сравнительно высокая оплата труда позволяет решать кадровые проблемы. Однако необходимо помнить, что основным конкурентным преимуществом отечественных проектных предприятий по сравнению с западными конкурентами является стоимость работ. Она может быть ниже в несколько раз, соответственно у отечественных предприятий нет финансовых средств для полноценного внедрения западных информационных систем (в частности систем автоматизации), в лучшем случае, возможно использование отдельных компонентов собственными силами или с привлечением отечественных консультантов. Таким образом, налицо противоречие между стоящими задачами и невозможностью применить существующие решения.
Необходимо отметить, что проектный бизнес отличается высокой конкуренцией, а сам продукт — проектно-сметная документация, легко отчуждается от производителя и без должной защиты может быть похищена или уничтожена. Система автоматизации представляет собой сложный распределенный программный комплекс, который без должной защиты может быть выведен из строя неумелыми или преднамеренными действиями пользователей системы. Эти два фактора диктуют обязательное наличие в системе автоматизации подсистемы защиты информации.
Внешняя среда проектных организаций формирует несколько предпосылок для внедрения системы автоматизации - необходимость соблюдения разнообразных стандартов в процессе проектирования, наличие системы управления жизненным циклом изделия облегчит реконструкцию уже построенных объектов. Внедрение автоматизированного проектирования ставит задачи обеспечения информационной безопасности. Финансовое положение позволяет проектным предприятиям вкладывать средства в модернизацию технологий проектирования, основным этапом которой должно стать внедрение системы автоматизации .
Обзор автоматизированных систем проектных предприятий [34, 54, 56] показал, что обязательными компонентами являются: — системы автоматизированного проектирования; — системы управления проектами; — финансово-учетной системы; — справочно-информационные системы. В силу их изолированности друг от друга в полной мере не удается воспользоваться преимуществами использования информационных технологий и получить рост производительности труда. Более того, в связи с резким ростом количества проектной документации производительность начала снижаться. Для преодоления негативной тенденции необходимо решение следующих задач: — организация процесса управления документацией (организация хранения, поиска, архивирования проектной, технической и экономической документации); — организация процесса управления процессом проектирования (контроль степени загрузки исполнителей, управление согласованиями); — интеграция процесса управление проектами с документооборотом; — создание системы управления техническими знаниями (выделение, хранение, повторное применение).
Постановка оптимизационной задачи
В 60 - 80х годах прошлого века на ряде предприятий различных отраслей (в том числе и на проектных) была предпринята попытка массового внедрения автоматизированных систем управления (АСУ). В подавляющем большинстве случаев эти проекты провалились. Ряд исследователей [43, 41, 17, 66] изучая проекты, указывают на причину — несоответствие структур организации и внедряемой автоматизированной системы. Зарубежный опыт внедрения информационных систем привел к появлению новой области знаний - «реорганизация бизнес процессов». Учитывая эти факторы, одним из этапов разработки системы автоматизации проектных организаций должна стать разработка методики реорганизации организационной структуры проектных организаций.
В современных условиях высокой конкуренции от предприятия требуется оперативно и адекватно реагировать на изменения, происходящие на рынке. Скорость реакции не в последнюю очередь определяется организационной структурой управления, принятой на предприятии. При этом функционирование предприятия происходит во взаимодействии с внешней для него средой - рынками сбыта и ресурсов всех видов. Таким образом, формирование организационной структуры происходит как результат взаимовлияния стратегического замысла собственника и внешних условий. Под организационной структурой предприятия здесь и далее мы будем понимать состав и взаимосвязи всех его подразделений, а также организационно-юридический статус. Для выстраивания приемлемой организационной структуры управления особую важность приобретает задача классификации структур управления предприятием, принятых в мировой практике.
Организационная структура управления - это внутреннее строение любой производственно-хозяйственной системы, то есть способ организации элементов в систему, совокупность устойчивых связей и отношений между ними. Организационная структура является не только основой существования количественно определенной системы управления, но и формой, в рамках которой протекают изменения, зреют предпосылки для перехода системы в целом в новое качество.
Механистическая (бюрократическая) структура выступает как жесткая иерархия, как пирамида управления. Механистические структуры функционируют подобно хорошо работающей машине, механизму.
Органистические структуры получили свое название по аналогии с деятельностью живой материи, живой клетки. Они являются более гибкими и адаптивными. Для них характерно небольшое число управленческих уровней, правил и инструкций, большая самостоятельность в принятии решений на низовом уровне. Конечно, такая классификация достаточно условна. В больших организациях многоуровневые организационные структуры дифференцируются одновременно по нескольким признакам.
Для адаптивных организационных структур характерно отсутствие бюрократической регламентации деятельности органов управления, отсутствие детального разделения труда по видам работ, размытость уровней управления и небольшое их количество, гибкость структуры управления, децентрализация принятия решений, индивидуальная ответственность каждого работника за общие результаты деятельности.
Необходимо отметить принципиальное отличие органистических и адаптивных структур от структур механистического типа, в основе которых лежит комплексное управление объективно складывающимися подсистемами, в то время как органистические и адаптивные структуры базируются на комплексном управлении всей системой в целом, как единым объектом, ориентированным на определенную цель.
Разработанная классификация позволяет однозначно определять принадлежность того или иного вида организационной структуры к определенному классу и соответственно его применимость для проектной организации в целом или ее подразделений.
Робастные следящие системы по наблюдаемому выходу для объектов с мультипликативными возмущениями
В работах известных специалистов Климова В.В. и Краюшкина В.К. [49, 38], показано, что современная система электронного документооборота должна охватывать все рабочие места в корпоративной информационной среде предприятия. Средства управления потоком заданий на протяжении всего жизненного цикла обеспечивают единые, но при этом достаточно гибкие правила управления процессом изготовления документа, разделяя его на отдельные рабочие задания. Средства управления потоком заданий современной системы документооборота позволяют значительно улучшить качество управления организационной деятельностью, а пользователи получают возможность заранее подготовиться к выполнению своих бизнес задач.
Современная система электронного документооборота и интегрированная с ней система поддержки жизненного цикла изделия должна реализовывать следующие основные функции: — интеграцию с электронным архивом; — поддержку структурированных документов с распределенной системой хранения; — блокирование данных для сетевого режима использования; — контроль версий и предыстории для каждого документа; - — отображение содержания каждого документа в зависимости от его типа и вида; — управление переходом документа из одного состояния в другое для связывания этапов обработки и этапов принятия решений с процессами потока заданий; - расширенный протокол документооборота, отображающий актуальное состояние работ по каждому из документов; — оповещение участников работ жизненного цикла о контролируемых состояниях документа («Подписан», «Утвержден», «Просрочен», «Аннулирован», «Выпущен» и т.д.). Однако, несмотря на достаточную полноту, необходимо отметить ряд существенных недостатков - не рассмотрены вопросы безопасности и производительности системы, ее интеграции с приложениями пользователя. К тому же, одним из критериев при выборе системы автоматизации являются вопросы стоимости и поддержки, и их также необходимо рассматривать как требования. В предлагаемых ниже требованиях сделана попытка их классификации по группам, что позволяет яснее представить их руководству, и облегчает дальнейший выбор.
Информационная безопасность: о развитая система идентификации и аутентификации пользователей; о возможность использования базы данных пользователей домена; о защищенная база данных и хранилище файлов (документов); о установка прав пользователей и групп на доступ к объектам и документам; о возможность индивидуальной функциональной настройки рабочих мест; о система мониторинга действий пользователей с системой; о система архивирования/восстановления данных после сбоев. Интеграция с прикладными программами: о встроенные средства просмотра документов; о поддержка «режима красной линии»; о вызов соответствующих приложений для разных типов документов (возможность задания альтернатив); о возможность автоматического вызова клиента системы непосредственно из приложений; о связь данных из карточек документов с содержимым документов (например, поля, свойства файлов в MS Office; атрибуты блоков в AutoCAD). Масшабируемость системы: о распределенная структура базы данных в рамках ЛВС; о поддержка работы с удаленными архивами с различными методами репликации; о поддержка удаленной работы пользователей. Организация нескольких типов хранения данных: о поддержка нескольких типов СУБД; о возможность использования носителей долговременного хранения для архивирования редко используемой информации. Соответствие внутренним нормативам: о выполнение отчетов по стандартам; о поддержка стандартов управления документами и процессами; о поддержка стандартов обозначения объектов и документов. Функциональность: о развитые средства поиска по карточкам (предпочтительно полнотекстовый поиск в телах документов); о поддержка многофайловых документов (например, ссылки/гиперссылки на другие файлы, а также «проекты» в некоторых специализированных приложениях); о учет документов в системе без помещения в файловое хранилище (ссылки); о система построения отчетов, в том числе, с возможностью применения различных фильтров, сортировок, группировок и т.д. о возможность экспорта отчетов в наиболее распространенные текстовые форматы (предпочтительно MS Office); о наличие системы маршрутизации документов с возможностями настройки маршрутов, сбора подписей, отслеживания сроков исполнения, назначения ответственных и т.д.; о удобный интерфейс пользователя, соответствующий сложившимся стандартам; о выгрузка файлов (наборов файлов) из системы с сохранением объектной структуры (например, для передачи электронной версии проекта заказчику); желательно восстановление оригинальных имен файлов или возможность формирования имен по различным критериям; о поддержка хранения редакций (версий) документов.
