Введение к работе
Актуальность темы. Проблема размещения собственных чисел с помощью обратной связи по выходу является актуальной задачей теории управления. Случай обратной связи по состоянию был полностью решен Вонэмом еще в шестидесятые годы. При этом, как отмечает Калман, впервые теорема о том,, что для полностью управляемой стационарной системы с одним входом характеристические числа можно устанавливать по своему усмотрению (если допустить использование обратной связи по состоянию) была доказана Бертрамом, использовавшим метод «корневого годографа». В 1961 г. Бэсс независимо сформулировал и доказал теорему в неопубликованных лекционных заметках. Его доказательство опиралось на шнейную алгебру. Кроме этого альтернативное доказательство, которое существенно проще многих других было дано Калманом в 1963 году.
В технических приложениях случай полностью наблюдаемого іектора состояний практически не встречается. Отсюда, наибольший інтерес представляет задача модального управления при неполной шформации о векторе состояний - задача модального управления «по іаблюдаемому выходу». При этом, в отличие от случая обратной связи по юстоянию, задача модального управления по выходу, несмотря на начительное количество работ, исчерпывающего решения до сих пор не імеет.
Проблема модального управления прошла сложный путь развития, "ак известно, в классической теории автоматического регулирования шрокое применение имел и имеет метод корневого годографа. Этим іетодом изучается характер перемещения корней характеристического равнения на комплексной плоскости в зависимости от изменения какого-ибо параметра обратной связи, в частности коэффициента усиления егулятора, что дает возможность изучать движение полюсов на
комплексной плоскости. Однако управлять этим движением, создавать желаемые конфигурации полюсов не позволяют ограниченные возможности метода. Все это привело к необходимости разработки новых подходов на основе более сильных математических средств.
В нашей стране теория модального управления в основном развивалась на основе подхода, базирующегося на анализе характеристического полинома замкнутой системы, коэффициенты которого являются функциями параметров обратной связи и описанного в монографиях Ю.Н. Андреева, Н.Т. Кузовкова, Л.И. Кожинской, Н.И. Неймарка. В рамках этого подхода был разработан ряд эффективных методов расчета матрицы пропорциональной обратной связи (Е.М. Смагина, A.M. Шубладзе, В.А. Подкучаев). Несколько другой подход, связанный с исследованием инвариантных подпространств матрицы замкнутой системы, был предложен Уонемом. Развивая этот подход, Кимурой был установлен простой критерий полной спектральной управляемости замкнутой многосвязной системы, а также были предложены методы расчета динамических компенсаторов. Из других зарубежных работ стоит отметить также работы Дэвисона, Кабамбы, Лонгмана, Ванга и Розенталя. Однако, несмотря на большое количество работ по данному вопросу, универсальных методов и алгоритмов, обеспечивающих полное решение данной задачи, к настоящему времени не получено.
Затруднения в решении проблемы модального управления тесно связаны ее с существенно нелинейной природой. Осмысление этого факта естественно приводит к идее применения нелинейных методов при решении общей задачи модального управления, в частности к разработке теории на основе использования функций Ляпунова. Такой подход, связанный с непрерывной деформацией спектра замкнутой системы был предложен в работе Ю.М. Максимова и В.А. Брусина и получил название
непрерывного модального управления. При этом необходимость получения алгоритмических процедур, ориентированных на создание прикладных программ, обладающих высокой вычислительной эффективностью, обусловила постановку общей задачи разработки дискретного способа управления спектром замкнутой системы (рекуррентного модального управления), а также практически важных частных задач, связанных с реализацией этой общей задачи
В прикладном плане наиболее остро проблема размещения полюсов стоит применительно к синтезу широкого класса электромеханических систем с упругими связями, к числу которых относятся большие космические конструкции, большие антенные установки, линии длинных механических трансмиссий, прокатные станы и т.п. Динамика систем такого рода характеризуется наличием большого числа слабодемпфированных мод. Это приводит к появлению паразитных механических колебаний при управлении этими объектами, негативно сказывающихся на их динамической точности. В связи с этим, задача управления объектом должна сочетаться с необходимостью активного подавления паразитных колебаний, что может быть достигнуто увеличением декрементов затухания колебательных мод в замкнутой системе. Другими словами, полюса, определяющие паразитные колебания упругого объекта, необходимо максимально сместить в левую часть комплексной плоскости, обеспечив при этом приемлемое расположение полюсов, определяющих основной процесс.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование нелинейной теории рекуррентного модального управления многосвязными объектами, а также демонстрация ее эффективности при решении практических задач проектирования сложных следящих систем.
Задачи диссертационной работы.
Вывод рекуррентных уравнений, описывающих эволюцию спектра замкнутой системы;
разработка методов редукции порядка системы уравнений, описывающих эволюцию спектра замкнутой системы;
показ существования целого семейства алгоритмов синтеза матрицы обратной связи, решающего поставленную задачу;
синтез эффективных в вычислительном плане алгоритмов нахождения матрицы обратной связи;
демонстрация эффективности метода на примере практически значимого объекта.
Методы исследования. Для решения задач модального управления используется аппарат линейной алгебры, базирующийся на исследовании подпространств собственных векторов, и аппарат нелинейной теории устойчивости, основанный на использовании второго метода Ляпунова. Применение указанных подходов связано с универсальностью и гибкостью как первого, так и второго аппарата, что позволяет развивать теорию, не привязываясь к каким-либо специальным структурным представлениям и не находясь в зависимости от каких-либо специфических численных методов расчета. При этом, инструментом описания динамических систем служит пространство состояний. Все положения теории реализуются в виде алгоритмов рекуррентного типа и строго обоснованы соответствующими теоремами и экспериментами.
Научная новизна. Проведенный в работе комплекс исследований позволил создать новый подход к решению задачи модального управления многосвязными объектами по выходу. Предложенный метод' заключается в создании дискретного процесса деформации спектра замкнутой системы таким образом, что либо достигается желаемый спектр, либо спектр с
минимальным расстоянием от желаемого в евклидовой метрике. В этой области получены следующие результаты:
получены рекуррентные уравнения, описывающие эволюцию изменения спектра и собственных векторов матрицы замкнутой системы;
разработаны алгоритмы синтеза модального регулятора, минимизирующие в общем случае невязку текущего и желаемого спектров;
получены локальные критерии спектральной управляемости.
полученные результаты применены к задаче синтеза следящей системы со структурой «подчиненного регулирования»
Практическая ценность работы. Практическая ценность работы состоит в создании нового эффективного и универсального метода синтеза матрицы обратной связи при неполном измерении вектора состояния, при которой реализуется желаемое расположение полюсов замкнутой системы, а также применении этого метода к классу задач проектирования САУ со структурой подчиненного регулирования.
Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на конференции «Ш-d International Conference on Dynamic Systems & Application", Atlanta, USA, 1999; на конференции "Second Nonlinear Control Network (NCN) Workshop" "Nonlinear Control in the Year 200", France, 2000; на семинарах «Современные проблемы теории управления», Н.Новгород, 1998, 1999, «Пятая нижегородская сесия молодых ученых. Математика и гуманитарные науки», Саров, 2000.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах.
Личным вкладом диссертанта в совместные. работы является разработка метода рекуррентного модального управления, его
обоснование, а также применение полученных результатов к задаче синтеза следящей системы со структурой «подчиненного регулирования» и разработка соответствующего программного обеспечения. Научному руководителю, принадлежат постановки задач и формулировка общего подхода к решению.
Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 100 страниц, в том числе 75 страниц основного текста, 23 рисунка, 4 таблицы, 6 страниц списка литературы (62 наименования).
