Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА Г. Социально-исторические условия становления и развития педагогических взглядов Каюма Насыри
1.1. Развитие татарской педагогической мысли в Казанском крае во второй половине XVIII-XIX вв. и её влияние на формирование мировоззрения Каюма Насыри 14
1.2. Этапы развития педагогических взглядов и научно-методической деятельности Каюма Насыри 31
1.3.Общие понятия педагогической науки в творческом наследии Каюма Насыри 43
ГЛАВА II. Содержание и методы преподавания естественно-математических дисциплин в педагогическом наследии Каюма Насыри
2.1. Принципы и методы преподавания естественно-математических дисциплин в педагогическом наследии Каюма Насыри 73
2.2. Построение и изучение арифметики и геометрии в учебниках Каюма Насыри 90
2.3.Распространение Каюмом Насыри естественнонаучных знаний среди населения 107
2.4.Возможности использования концептуальных положений педагогического наследия Каюма Насыри в условиях современной школы 122
Заключение 129
Список использованной литературы 139
Приложения 159
- Развитие татарской педагогической мысли в Казанском крае во второй половине XVIII-XIX вв. и её влияние на формирование мировоззрения Каюма Насыри
- Этапы развития педагогических взглядов и научно-методической деятельности Каюма Насыри
- Принципы и методы преподавания естественно-математических дисциплин в педагогическом наследии Каюма Насыри
- Построение и изучение арифметики и геометрии в учебниках Каюма Насыри
Введение к работе
Искусственные нейронные сети (ИНС) являются эффективным средством решения сложных плохоформализуемых задач. К этому классу традиционно относятся задачи классификации, кластеризации, аппроксимации многомерных отображений, прогнозирования временных рядов, нелинейной фильтрации, идентификации, а также управления сложными технологическими объектами. В настоящее время методы нейротехнологии активно применяются для обработки аэрокосмических изображений и гидроакустических сигналов, идентификации и управления нелинейными динамическими объектами в реальном времени.
Наибольшее распространение в технических приложениях получили многослойные нейронные сети прямого действия, что обусловлено простотой их алгоритмической и программно-аппаратной реализации, наличием развитых методов обучения, возможностью параллельного выполнения вычислений.
Для эффективного использования ИНС для решения задач идентификации нелинейных динамических объектов и проектирования систем автоматического управления, необходимо решить задачу оптимизации параметров ИНС и провести оптимизацию структуры сети. В настоящее время для обучения ИНС разработан ряд алгоритмов, основанных на градиентном методе, методах Ньютона, Гаусса-Ньютона, Левенберга-Марквардта и методе сопряжённых градиентов.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов оптимизации параметров и структуры ИНС, применяемых для решения задач идентификации нелинейных динамических объектов и проектирования систем автоматического управления с использованием нейроконтроллеров.
В соответствии с указанной целью определены следующие задачи исследований:
1. Исследовать нейросетевой подход к решению задач идентификации
нелинейных динамических объектов и проектирования систем автоматического управления с использованием нейроконтроллеров.
Реализовать и исследовать процедуру идентификации на основе нейросетевых моделей.
Провести исследование, анализ и реализацию алгоритмов оптимизации параметров и структуры ИНС.
Реализовать и исследовать методы управления на основе нейросетевых моделей.
Методы исследования. В процессе выполнения диссертационной работы использовались методы теории нейронных сетей, математического моделирования, теории управления и др. Кроме того, использовались методы численного моделирования разработанных алгоритмов. При моделировании применялись пакеты прикладных программ Matlab-SimulLink.
Научная новизна. На основе анализа, систематизации и обобщения научных достижений в таких областях, как теория автоматического управления, информатика, вычислительная математика и статистика, сформирован подход к решению задачи проектирования систем автоматического управления на основе ИНС.
В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты:
Проведен анализ методов и разработаны алгоритмы оптимизации параметров и структуры ИНС.
Разработан новый алгоритм решения задачи определения оптимальной структуры ИНС.
Методы оптимизации параметров и структуры ИНС реализованы в виде программного комплекса.
Разработаны и исследованы нейросетевые структуры управления дистилляционной колонной и положением считывающего устройства накопителя на жестком диске.
10 Разработанные нейросетевые алгоритмы идентификации динамических
объектов могут быть использованы при создании программного обеспечения и технических средств информационно-вычислительных комплексов моделирования систем управления нелинейными процессами при отсутствии достаточного объема априорной информации.
Практической реализацией разработанных алгоритмов является программный продукт, представляющий собой композицию модулей, объединенных в одной оболочке. Интуитивно понятный интерфейс пользователя, быстрота и вычислительная робастность используемых алгоритмов позволяют получать адекватные нейросетевые модели динамических объектов за рекордно короткие сроки и с минимальным участием пользователя (проектировщика).
Внедрение результатов. Материалы диссертации использованы в учебном процессе НУК ИУ МГТУ им. Баумана.
Апробация работы. Материалы исследований представлены на Шестом международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (Россия, Саратов, 2004г.), аучном семинаре "Интеллектуальные системы" кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н-Э.Баумана, Седмом международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (Россия, Краснодар, 2006г.).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырёх печатных трудах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 106 наименований и приложений. Основная часть работы составляет 195 страниц машинописного текста, 13 таблиц и 65 рисунков. Общий объем приложений - 20 страниц.
В первой главе представлен обзор возможностей применения ИНС в системах идентификации и управления
Приведены функциональные особенности искусственных нейронных
* сетей. Сформулированы задачи диссертационной работы.
*
Во второй главе рассмотрена реализация процедуры идентификации динамических на основе нейросетевых модельных структур.
Проведен анализ многоэтапной процедуры идентификации. Исследованы вопросы выбора нейросетевых модельных структур.
В третьей главе приведены исследования методов и алгоритмов оптимизации параметров нейросетевых моделей.
Рассмотрены методы и алгоритмы оптимизации параметров ИНС с условиями инициализации и останова. Для иллюстрации эффективности работы алгоритмов приведены результаты моделирования.
В четвертой главе исследованы методы и алгоритмы оптимизации структуры нейросетевых моделей. Кроме того, представлен анализ причин переобучения ИНС.
В пятой главе исследуется реализация схем и методов управления на основе ИНС.
Рассмотрен и реализован ряд схем управления на основе нейросетевых структур и алгоритмов ИНС. Проведен анализ алгоритмов синтеза нейросетевых систем управления.
В шестой главе приведена нейросетевая реализация алгоритмов управления дистилляционной колонной.
В заключении приведены основные выводы по результатам диссертационной работы.
Развитие татарской педагогической мысли в Казанском крае во второй половине XVIII-XIX вв. и её влияние на формирование мировоззрения Каюма Насыри
Изучение педагогического наследия татарского народа имеющегося в трудах выдающихся просветителей и педагогов прошлого не потеряли актуальности и в наши дни. Другими словами, лишь зная историю своего народа, духовное наследие дореволюционной школы, в лице лучших её представителей, можно успешно решать те задачи, которые стоят перед педагогами нашего времени.
Формирование передовой общественной мысли в Казанском крае во второй половине XVIII-XIX веков происходило в период становления буржуазных отношений, формирования наций, отмены крепостного права в России. Население Казанского края, жившее в центре России, не могло остаться в стороне от новых веяний. Само время диктовало необходимость изменения новых форм бытия: общения, обучения, воспитания. Обновление духовной жизни татарского общества проявляется во многих сферах его жизнедеятельности. В просвещении - меняется методика преподавания учебных курсов.
В 1834 году выпускник Казанского университета А.Никольский, обосновывая необходимость издания на татарском языке газеты, подчеркивает довольно широкую распространенность грамотности среди татарского населения. «У татар, - пишет он, - по меньшей мере, каждый седьмой грамотен. В женском поле эта пропорция идет еще выше. Мне даже в самых укромных уголках приходилось видеть татарок, которые очень порядочно знают по-персидски и арабски»[23, с. 12]. Профессор К.Фукс, проработавший в Казани долгое время, отмечает приверженность татар к учению. «Татарин, - пишет он, - не умеющий писать и читать, презирается своими земляками и, как гражданин, не пользуется уважением других. Посему всякий старается, как можно раньше записать своих детей в училище, где бы они научились, по крайней мере, читать и писать»[163, с. 126]. Поэтому татарские печатные книги, начиная с XIX века, пользовались большим спросом у населения, которое было духовно подготовлено к получению светского образования.
Некоторые татары обучаются в Казанском университете, приобщаются к русской и западноевропейской культурам. Новое наблюдается и в семейном укладе: женщины выступают за равноправие с мужчинами в семейном быту, за открытие школ для девушек и т.п.
Изменяется в крае и языковая ситуация и отношение к господствующей средневековой мусульманской культуре. До XVIII века, чтобы получить или продолжить образование, татарская молодежь, которая обладала для этого необходимыми средствами, ездила в Среднюю Азию, Ближний Восток. С открытием в Казани гимназии (1758г.) и университета (1804г.) отношение татар к европейской культуре меняется, становится притягательнее. Обновление затрагивает и татарскую литературу. Появляются жанры, похожие на западноевропейские и русские: роман, повесть. Рождается драматургия, театр. Обновляется и литературный татарский язык: средневековый литературный язык трансформируется в современный, доступный каждому.
В формировании татарского просветительства определяющую роль сыграла русская культура и просветительская мысль. Рассмотрим предысторию татарского просветительского движения как этапа, предшествующего татарскому просветительству второй половины XIX века.
Если исходить из типологических черт, свойственных западноевропейскому (XVIII в.) и российскому (XIX в.) просвещению, основу которого составляют антифеодальная идеология и процесс духовной подготовки буржуазной революции, то нам представляется возможным говорить о предыстории татарского просветительства (вторая половина XVTII-первая половина ХІХвв.).
Уже в воззвании к повстанцам и в письме Батырши к царице ясно вырисовывается объективно антифеодальные элементы программы крестьянского восстания: вражда к существующему строю, защита самоуправления, свободы и просвещения, отстаивание интересов народных масс. Отдельные протопросветительские идеи в Казанском крае, выдвинутые на рубеже XVIII-XIX веков, функционировали вначале в научно-педагогической среде первых светски образованных татарских педагогов (семья Хальфиных, А.Вагапов, С.Кукляшев) и, в основном, касались вопросов изменения методики преподавания, усвоения светских наук посредством приобщения к русской и западноевропейской мысли того времени.
В это время все еще сильным было влияние на общественное сознание татарского населения религиозного мировоззрения, в особенности традиционализма, препятствовавшего проникновению научного знания Нового времени. Это влияние вполне отвечало духу средневековья, обрекавшему татарское общество на очень медленное развитие экономики, науки и культуры. Тормозящее влияние теологического традиционализма заключалось, в частности, в его догматизме, в том, что оно внедряло догматический подход к познанию явлений природы и общества, что особенно ярко проявилось в конце XVIII-начале XIX веков.
Этапы развития педагогических взглядов и научно-методической деятельности Каюма Насыри
Габделкаюм Габделнасырович Насыров - Каюм Насыри - родился 14(2) февраля 1825 года в деревне Верхние Ширданы Свияжского уезда Казанской губернии.
Родители его были образованными людьми для своего времени. Отец работал учителем татарского мэктебе, знал русский язык, что было тогда редким явлением.
Материально семья жила бедно; ведь татарские учителя за свою работу в мэктебе жалования не получали, живя зимой за счёт приношений родителей учащихся, а летом, занимаясь сельским хозяйством. Отец Каюма, кроме того, прирабатывал перепиской книг.
Позже Каюм Насыри писал об отце так: «Хорошо знал арабский и персидский языки. В последние годы своей жизни он написал много книг и составил много сборников на арабском языке»[238]. Вспоминая о своём деде Хусаине, К.Насыри также указывал, что он был большим знатоком языков и автором нескольких книг по синтаксису и этимологии.
Детские годы Каюма Насыри прошли в родной деревне. Первоначальное образование он получил в мэктебе своего отца. Содержание обучения, как и во всех мэктебах того времени, основывалось на мусульманской религии. Кроме элементарной грамотности и некоторых навыков счета, никаких светских знаний здесь не давали. Поощряя незаурядную любознательность мальчика к природоведению и истории, отец занимался с ним дополнительно. Под руководством отца Каюм изучал арабский, персидский и русский языки.
Видя большие способности и прилежание сына и стремясь дать ему образование, отец отправил его учиться в Казань.
В 1841 году Каюм Насыри поступил в казанское медресе пятого прихода («Мухаммадия»), где учился в течение 14 лет. Это медресе было высшим мусульманским учебным заведением, где готовили в основном служителей культа (мулл) и обучение было главным образом религиозным. Отрадно то, что в этих школах акцент делался на нравственном воспитании, то, чего не хватает сейчас.
Каюм основательно изучил литературу Востока, самостоятельно занимался русским и татарским языками. С целью овладения разговорным русским языком он брал частные уроки, так как в медресе фанатически настроенные преподаватели преследовали шакирдов (учеников) даже за единичное употребление русских слов. Несмотря на угрозы, Каюм упорно работал над овладением русским языком, ибо в нём видел ключ к светским знаниям, единственный путь приобщения к большой, настоящей науке.
К тридцати годам К.Насыри успешно закончил медресе. Будучи в курсе всех новинок по языкам, литературе, истории ряда стран Востока, хорошо владея русским языком, он легко разбирался в специальных вопросах языках, литературы и истории России.
Руководители медресе видели в Каюме муллу, но неожиданно для них он по окончании медресе дал согласие быть преподавателем татарского языка в Казанском духовном (православном) училище. Не только мусульманское духовенство, но даже часть молодой татарской интеллигенции пришла в недоумение, настолько это было явным нарушением всех установившихся понятий и традиций. Хальфы расценили этот поступок чуть ли не как измену религии, канонам шариата, обвинив К.Насыри в неверии в догматы ислама. Но он, прекрасно зная, что православное духовенство, верно служившее интересам великодержавной политики царизма, также не заинтересовано в поднятии культуры татарского народа, все-таки сознательно пошел на такой шаг, ибо верил, что сможет успешно способствовать просвещению татарского народа не как мулла, а как педагог, опираясь на прогрессивную культуру.
Научно-педагогическую деятельность Каюма Насыри можно разделить на несколько этапов[174]:
Первый - охватывает 1855-1870 годы. Начав преподавание в духовном училище, он впоследствии был повышен в должности и стал преподавать в духовной семинарии и академии. Общение с русскими учителями, бесспорно, способствовало совершенствованию его знаний по различным наукам.
Сохранилась собственноручная запись К.Насыри, где отмечается, что теперь он может «выдержать экзамены: 1) по русскому языку, 2) по русской грамматике, 3) математике, 4) по географии Российской империи, 5) по русской истории, а также по языкам: арабскому, персидскому, турецкому, джагатайскому и татарскому»[95, с. 15].
Семинария имела довольно богатую библиотеку, которая помогла Насыри более полно ознакомиться с русской научно-педагогической литературой, учебниками по различным предметам, основополагающими трудами русских и зарубежных педагогов. Посещая уроки своих русских коллег, он усвоил классно-урочную систему обучения, учился изготовлять и применять наглядные пособия, беседовал и спорил об активных методах преподавания. Все это оказало влияние на формирование педагогических взглядов Каюма Насыри.
Принципы и методы преподавания естественно-математических дисциплин в педагогическом наследии Каюма Насыри
Основанием средневековой мусульманской педагогики, применяемой у татар в эпоху К.Насыри, были схоластика, формализм в обучении и зубрёжка. Догматизм в обучении не допускал никакого критицизма. Учитель и ученики должны были слепо идти за древними мусульманскими богословами. Каюм Насыри, естественно, не мог удовлетвориться схоластическими методами работы в мэктебах и медресе.
Каюму Насыри принадлежит заслуга поисков новых дидактических принципов в развитии педагогической мысли татарского народа. Правда, с точки зрения достижений мировой дидактики, и в частности русской, К.Насыри не сделал большого вклада в научное обогащение теории о принципах обучения. Но личность его как татарского педагога и значимость его дидактических взглядов от этого не уменьшается. Дело в том, что в татарских школах тех лет совершенно не применялись те большие успехи дидактики, которые были разработаны у других народов. Татарские учителя даже не знали об этих дидактических принципах. Заслуга К.Насыри как раз и заключается в том, что он впервые применил их в процессе своей практической деятельности, при составлении целого ряда учебников, учебных пособий и т.д.
Исходя из установки, что наука и воспитание должны служить народу, К.Насыри применяет важный дидактический принцип связи обучения с жизнью, воспитания с потребностями народа, теории с практикой, выдвинутой русскими педагогами демократической направленности.
Учащиеся должны овладевать такими знаниями, которые жизненны и могут быть применены на практике. Если человек не умеет применять свои знания на деле, то он не будет пригодным к жизни: от таких знаний мало пользы и ему самому и другим людям, - говорит Каюм Насыри. Составляя учебники, он исходит из принципа связи теории с практикой. В каждом случае разъясняет научные основы отдельных практических ремесел (никелирование, электролиз, лечение травами и т.п.) и прикладное значение теоретических наук (геометрия нужна землемерию, строительству; анатомия- для охраны здоровья и т.д.) Поэтому он придаёт большое значение решению практических задач прикладного значения по арифметике, геометрии, физике и другим предметам.
Этот принцип объясняет и его защиту реального образования, когда он требует увеличения объёма знаний по естественно-математическим предметам и введения практических дисциплин: слесарного дела, ручного труда, основ земледелия и домоводства.
Разделяя сенсуалистские концепции, Каюм Насыри придавал исключительно важное значение наглядности обучения. Если в татарских школах того периода не было никаких наглядных пособий, то он впервые в практике татарских школ применил глобус, географические карты, геометрические фигуры, чертежи, грамматические таблицы. Каюм Насыри утверждает, что в процессе обучения внешние чувства детей должны находиться в постоянном действии. Это ведет к лучшему усвоению материала, облегчает процесс обучения. В целях наглядности он рекомендует экскурсии и путешествия, подкрепляя этот тезис народными пословицами: «Много знает не тот, что много жил, а тот, кто много видел», «Камень, будучи в употреблении, обрабатывается, шлифуется, лежачий камень только мхом обрастает».[95]
Каюм Насыри выступил против догматического обучения, требуя сознательности и активности учащихся в процессе усвоения знаний.
Обращаясь к ученику, он говорил: «Что бы ты ни учил на уроке, ты не должен уходить без знания и понимания. То, чего не знаешь, спроси у учителя, не стесняйся спросить и у других».
Учителю он тоже советует активизировать учащихся в процессе обучения, не следовать трафарету, слепо подражая учебнику, а проявлять творчество, видоизменяя материал соответственно уровню развития учеников, подбирая разнообразные примеры и предложения, варьируя их. [95] Учитель должен подробно объяснить каждое слово, правило, закон, чтобы ничего не оставалось непонятным, применять активные методы преподавания, развивающие самостоятельность и инициативу детей.
Такие дидактические установки К.Насыри коренным образом отличались от существовавшего догматического обучения со строгим авторитарным подходом, не допускавшим критичности и активности ума, требовавшим лишь развития объёма памяти. В книге «Сорок садов» он дал специальный раздел «Испытание ума», где использовал народные задачи на развитие ума и сообразительности. Вот одна из его задач, требующая самостоятельности рассуждений ученика:
Старик встретил молодого человека у речки, оба пасли овец. Старик обратился к нему:
- О, прекрасный юноша! Отдай мне одну свою овцу: тогда у меня овец будет в два раза больше, чем у тебя. Юноша, обдумав это предложение, ответил:
- О нет, дорогой дедушка: так будет несправедливо. Вы сами отдайте одну вашу овцу, тогда у каждого из нас овец будет поровну, и нечего будет завидовать друг другу. Сколько овец было у каждого из них?»[109]
- Ведущим дидактическим принципом К.Насыри считал также последовательность, системность. Он особо подчеркивает значимость этого принципа в преподавании русского и родного языков, математики.
Системность в обучении, повторение способствуют и прочности усвоения знаний. Поэтому он особенно тщательно разрабатывал систему упражнений по решению задач, по работе с немыми картами, грамматические упражнения. К.Насыри советует: «Чтобы не забыть того, чему ты учился, повторяй, учи наизусть». Необходимость частых повторений он подчеркивает особенно для математики:
«Эти науки следует постоянно повторять, так как они быстро забываются». [95]
Построение и изучение арифметики и геометрии в учебниках Каюма Насыри
В 1873 из-под пера К.Насыри выходит «Арифметика»[234], а в 1895 году - «Геометрия» [111].
Переходя к анализу учебника «Арифметика» следует отметить, что он написан в форме перечня правил для решения различного рода практических задач. Эти задачи приведены не в отдельной главе, а по всему тексту, в котором они занимают главное место. Весь материал в учебнике распределяется в таком порядке: предисловие (с.2,3); о числах (однозначном, двухзначном, трехзначном и т.д.) (с.3,4); разряды и классы чисел (включая квадриллионы) (с.5-7); действия над целыми числами (правила сложения, вычитания, умножения и деления) (с.8-36); о действиях над именными числами (правила сложения, вычитания, умножения и деления) (с.37-43); общие задачи на вычисление (с.44-52).
В предисловии к книге автор пишет: «Этот «Хисаплык» или так называемая «Арифметика» есть такая наука, изучив которую можно вычислить числа, не поддающиеся вычислению простым счётом. Таким образом, для того, чтобы узнать такие вещи, мы составили книгу и назвали её «Хисаплык», или, по-русски говоря, «Арифметика»» (с.2). Так определяет К.Насыри цель и предмет настоящего учебника арифметики. Далее, в книге «Хисаплык» вместо арабских терминов, употреблявшихся ранее в арифметике, он вводит татарские термины и дает следующее объяснение этому: «До этого на нашем языке не было книги по арифметике и не было по ней терминологии, в силу чего пришлось выработать терминологию применительно к нашему языку. Например, книгу мы назвали «Хисаплык»: хотя это слово арабское, но нет человека, который не знал бы это слово. Также мы дали термин «сан», пусть это будет вместо арабского слова «гадэт» (число). Одно из правил арифметики мы назвали «джию», по-арабски будет «джамгы» (сложение). Второе правило, мы назвали «аеру», по-арабски будет «тарх» (вычитание). Третье правило, мы назвали «сугу», по-арабски будет «зарыб» (умножение). Четвертое правило, мы назвали «булю», по-арабски будет «таксим» (деление).
В правиле сложения «собираемые числа» мы называем «джияси сан» (слагаемое). Слово «сумма», хотя и не наше, но употребляется на нашем языке постоянно и по-русски будет «сумма». В правиле вычитания большое число, из которого начинается меньшее число «алынган сан»(вычитаемое). Полученный результат от вычитания из большего числа называется «калдык»(остаток).
В правиле умножения, число умноженное, мы называем «сугылмыш сан» (множимое), а число, на сколько должно делиться делимое, мы называем «булгуч сан» (делитель). Число измерения мы называем «ульчау саны» (именованное число), а раздробление их мы называем «ульчау саннарын ваклау» (раздробление), а «возвращение чисел измерения» по-русски называется «превращение» (с.2,3).
Стиль дальнейшего изложения арифметических сведений отличается большой систематичностью и лаконичностью в рассуждениях. В начале каждого нового раздела даются определения, разъясняющие смысл употребляемых впоследствии понятий, знаков, действий и различных терминов.
Определение числа К.Насыри дает в очень доступной форме: «Числа есть слова, употребляемые для вычисления всех однообразных и однородных вычисляемых предметов».
Тут же под заголовком «достижение цели» (с.5-8) автор знакомит учащихся с обозначением первых десяти чисел при помощи цифр. Особо выделяется знак О(ноль), который «присоединяется к этим 9-ти цифрам» и дается ему такое толкование: «Но этот знак «ноль» сам по себе ничего не значит, а если он ставится с правой стороны цифр, то число увеличивается на десять... А потом первое место занимают единицы, второе место десятки, третье место сотни и т.д.». Затем он показывает поместный принцип записи с помощью десяти цифр числа выше десяти, выше ста, выше тысячи и делает вывод: «насколько выше числа, настолько увеличивается их степень справа налево».
Отбирая арифметический материал, подлежащий изучению, разрабатывая и анализируя отдельные приемы обучения, К.Насыри все время пользуется такими методическими приемами, как доступное изложение, ведущее от конкретного к абстрактному, практическое использование и проверка учащимися полученных знаний, для достижения цели сознательного усвоения. В частности, после введения чтения и записи многозначных чисел, автор учебника подробно разбирает правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел в отдельности, иллюстрируя их множеством примеров по нарастающей трудности (см. 8-36).
Правила сложения. «В науке арифметике, - пишет К.Насыри, - есть правило, называемое сложением. После складывания(собирания) нескольких чисел образуется одно число(когда считают на счете говорят: «Клади на счет! Считай все! Сколько получилось?» или говорят: «Клади счет!».
После такого пояснения сначала рассматриваются примеры на сложение однозначных, двухзначных и четырехзначных чисел без перехода на разрядные единицы, а затем четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел с переходом на разрядные единицы. В каждом отдельном случае формулируется правило.
Похожие диссертации на Разработка и исследование нейросетевых алгоритмов управления
