Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов анализа устойчивости жестких ЛСАУ 10
1.1 Некоторые аспекты анализа ЛСАУ 10
1.1.1 Необходимые и достаточные условия устойчивости ЛСАУ. Характеристическое уравнение ЛСАУ 10
1.1.2 Коррекция ЛСАУ 12
1.1.3 Жесткие дифференциальные уравнения. Понятие жесткости ЛСАУ 12
1.2 Решение характеристического уравнения системы 13
1.2.1 Общие обозначения 13
1.2.2 Методы нахождения корней нелинейных уравнений 14
1.2.3 Метод Лагерра 17
1.2.4 Метод собственных значений 19
1.2.5 Метод Дженкинса-Трауба 20
1.2.6 Краткий обзор остальных методов 21
Выводы 23
Глава 2. Основная идея метода 24
Введение 24
2.1 Использование формул Виета для оценки коэффициентов полинома через корни .24
2.1.1 Традиционная форма записи формул Виета 24
2.1.2 Модификация формул Виета в виде компактной итерационной формулы. Понятие таблиц индексов 25
2.1.3 Численный пример. Запись формул Виета и таблицы индексов 26
2.2 Случай комплексных корней и коэффициентов 28
2.2.1 Рассмотрение составляющих комплексных корней и коэффициентов. Понятие матриц комплексных произведений 28
2.2.2 Численный пример. Запись формул Виета с учетом комплексной природы коэффициентов и корней 30
2.3 Формулировка задачи оптимизации для нахождения корней полиномиальных уравнений 32
2.3.1 Требования, предъявляемые к критерию оптимизации 32
2.3.2 Формирование критерия оптимизации. Окончательная запись задачи оптимизации 32
2.3.3 Овражный характер критерия оптимизации 35
2.3.4 Численный пример. Формирование критерия. Исследование области экстремума 37
Выводы 40
Глава 3. Использование методов поиска для решения поставленной задачи оптимизации 43
Введение 43
3.1 Метод подвода рабочей точки в область экстремума 43
3.1.1 Трудности применения методов спуска для оптимизации сформулированного критерия 43
3.1.2 Модификация градиентного метода для случая овражных функций. Сходимость метода. Задание начальных условий 44
3.1.3 Вычисление градиента по аналитическим формулам. Введение дополнительных таблиц индексов 47
3.1.4 Использование дробления шага 52
3.1.5 Численный пример. Подвод рабочей точки в область экстремума 53
3.2 Дальнейшая оптимизация критерия. Нахождение значений корней полинома 56
3.2.1 Различные способы оптимизации в области экстремума 56
3.2.2 Метод Левенберга-Марквардта и его применение для рассматриваемой задачи. 58
3.2.3 Численный пример. Результат работы метода Левенберга-Марквардта 59
Выводы 60
Глава 4. Некоторые аспекты реализации предлагаемой методики 61
Введение 61
4.1 Алгоритмы генерации статической информации 61
4.1.1 Генерация таблиц индексов для коэффициентов полинома 61
4.1.2 Генерация матриц комплексных произведений 65
4.1.3 Генерация таблиц индексов для производных 68
4.1.4 Численный пример. Генерация статической информации 72
4.2 Расчет корней полинома 79
4.2.1 Расчет значения критерия 79
4.2.2 Расчет градиента в заданной точке 82
4.2.3 Генерация релаксационной последовательности 84
4.2.4 Применение метода Левенберга-Марквардта 88
4.2.5 Расчет сочетаний 90
4.2.6 Численный пример. Первый такт генерации релаксационной последовательности 91
Выводы 95
Глава 5. Использование предложенного метода и результатов его работы 97
Введение 97
5.1 Разделение свободного движения ЛСАУ 97
5.1.1 Способы разделения свободного движения ЛСАУ 97
5.1.2 Алгоритм разделения свободного движения ЛСАУ по декременту затухания. Реализация алгоритма 100
5.1.3 Численный пример. Разделение свободного движения ЛСАУ с постоянными коэффициентами 102
5.2 Выработка начальных условий для метода и его модификации 106
5.2.1 Проблемы сходимости метода 106
5.2.2 Начальные условия для метода подвода рабочей точки в область экстремума. 107
5.2.3 Модификация предложенной методики. Улучшение сходимости 108
5.2.4 Применение метода для целей адаптивного регулирования 111
5.2.5 Численный пример 1. Поиск корней полинома шестого порядка 113
5.2.6 Численный пример 2. Система управления лентопротяжным механизмом в устройстве памяти последовательного доступа 116
5.3 Применение методики для решения задачи собственных значений 117
5.3.1 Получение характеристического полинома матрицы 118
5.3.2 Решение характеристического уравнения 119
5.3.3 Численный пример. Вычисление собственных значений матрицы с помощью предложенной методики 119
Выводы 120
- Методы нахождения корней нелинейных уравнений
- Рассмотрение составляющих комплексных корней и коэффициентов. Понятие матриц комплексных произведений
- Модификация градиентного метода для случая овражных функций. Сходимость метода. Задание начальных условий
- Генерация релаксационной последовательности
Введение к работе
Современный уровень развития компьютерной техники и численных методов анализа систем автоматического управления дают большие возможности для проектирования систем автоматического управления, а в достаточной мере разработанные методики анализа и синтеза линейных систем позволяют избежать многих трудностей на стадии разработки и первичного анализа.
При анализе линейных систем автоматического управления, а также при синтезе регуляторов для них, часто возникает задача поиска корней характеристического уравнения исследуемой системы [53], причем левая часть уравнения представляет собой алгебраический полином, а правая равна нулю. Особенный же интерес при анализе вызывают так называемые "жесткие" системы, в которых можно выделить несколько групп корней и рассматривать движение системы с точки зрения анализа получившихся групп. На данный момент наука располагает достаточно большим количеством методов решения полиномиальных уравнений [17, 18, 28, 42, 65], но применение их для жестких систем иногда затруднительно из-за различия в значениях корней, принадлежащих разным группам. Среди имеющихся методов можно выделить методы, которые достаточно ясны для понимания, однако неэффективны, а также методы, которые считаются достаточно эффективными, но при этом численная процедура, соответствующая им, является достаточно сложной для освоения и реализации. В частности, одним из наиболее эффективных методов на сегодняшний день считается метод Дженкинса-Трауба [64], но при этом его описание достаточно сложно найти даже в книгах, описывающих большинство популярных на сегодняшний день численных методов. Например, в книге [65], являющейся основным учебником и руководством по программированию численных методов в США и Западной Европе, метод Дженкинса-Трауба только упоминается, а подробное описание его не приводится из-за слишком большой сложности этого метода для понимания. В некоторых случаях, упомянутый метод, а также наиболее популярный сейчас метод собственных значений, являются неэффективными (в смысле сходимости и быстродействия) по сравнению с более простыми методами, например, с комбинацией методик Мадсена-Рейда и Мюллера или Ньютона [64, 67]. Также есть методы, предложенные в различных источниках, но не исследованные с точки зрения эффективности, например, комбинация методов Мадсена-Рейда и наискорейшего спуска [18]. В данной работе будет предложена достаточно простая и эффективная численная методика [30-32] решения полиномиальных уравнений, основанная на переформулировке задачи отыскания корней в задачу оптимизации, использующая как аналитические выражения (формулы Виета), так и численные алгоритмы.
Для многократного получения корней полинома с постоянным порядком и изменяющимися коэффициентами предлагаемый метод имеет некоторые преимущества по отношению к другим, а именно:
1.Информация о расчетных формулах (формулы Виета) всегда может находиться в оперативной памяти, а значит, есть возможность быстрых расчетов по этим формулам.
2.При достаточно малом изменении коэффициентов значения корней на предыдущем шаге будут являться достаточно хорошими приближениями для корней на текущем шаге, а использованная методика Левенберга-Марквардта [66] с хорошими приближениями позволит достичь заданной точности всех корней достаточно быстро. Подобные расчеты могут понадобиться для анализа систем с изменяющимися во времени коэффициентами, а также для пошагового построения корневого годографа [11, 13, 14]. Большинство методов решения полиномиальных уравнений, применяемых на практике в настоящее время, рассчитаны на то, что все коэффициенты полинома являются действительными числами. Однако следует заметить, что в некоторых ситуациях при проектировании систем автоматического управления (см., например, [11,33]) приходится сталкиваться с комплексными коэффициентами и вычислять корни. Предлагаемый метод рассчитан на общую формулировку задачи вычисления корней полиномов, то есть коэффициенты и корни полинома могут быть как действительными, так и комплексными.
Объектом исследования в данной работе являются особенности и свойства характеристических уравнений линейных систем автоматического управления, а также их корней.
Предмет исследования - новый численный метод решения полиномиальных уравнений, позволяющий одновременно оценивать все корни уравнения.
Целью работы является создание численного метода определения всех корней полиномиального уравнения, достаточно простого для понимания и эффективного.
Методом исследования в данной работе является численный эксперимент, проводимый средствами электронной вычислительной техники, результаты которого в дальнейшем анализируются и сопоставляются с ожидаемыми результатами, а также с результатами работы известного математического пакета MathCad.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней предложен качественно новый метод решения полиномиальных уравнений, являющийся универсальным, то есть применять предложенный метод без потери им своих качеств возможно к любым полиномиальным алгебраическим уравнениям, а не только для получения корней характеристического полинома жесткой системы автоматического управления.
Практическая значимость работы состоит в возможности расширения функциональности популярных математических пакетов и средств анализа и синтеза систем автоматического управления с помощью новой предложенной методики. Также необходимо отметить, что идея предлагаемого метода достаточно легко воспринимается, а поэтому метод может быть предложен к использованию для обучения студентов. Кроме вычисления корней полинома с постоянными коэффициентами, в работе показана возможность использования метода для расчета корней "в темпе с объектом" для случая, когда коэффициенты характеристического уравнения изменяются с течением времени. Также представлена процедура разделения свободного движения линейной системы автоматического управления.
Структура диссертационной работы.
В главе 1 проведен анализ существующих методов решения полиномиальных уравнений, выявлены достоинства и недостатки каждого из рассматриваемых методов, причем в обзор методов включены как наиболее популярные на сегодняшний день методы, так и некоторые модификации численных процедур, известные лишь в узком кругу специалистов.
В главе 2 излагаются математические основы новой методики, в частности, возможность использования аналитических формул Виета для оценки коэффициентов полинома с помощью вычислительной техники, возможность вычисления произведения нескольких комплексных чисел с помощью аналитических формул, переформулировка задачи нахождения всех корней полиномиального уравнения для частного и общего случаев полиномиального уравнения (при наличии только действительных или комплексных корней, соответственно). Вводится понятие псевдокорней и показывается, почему пользоваться псевдокорнями для вывода формул и получения результатов проще, чем обыкновенными корнями. Также описывается процедура перевода псевдокорней в обыкновенные корни. Исследуются некоторые свойства полученной задачи оптимизации.
В главе 3 рассматривается возможность применения различных методов для решения поставленной в главе 2 задачи оптимизации, предлагается аналитический метод расчета градиента критерия в заданной точке. Описывается применение методов градиента и Левенберга-Марквардта для оптимизации целевой функции, причем особое внимание уделяется ее овражному характеру.
В главе 4 предлагаются алгоритмы и реализации новой численной методики. В разделах этой главы также имеются модификации предлагаемых алгоритмов с целью повышения скорости их работы на вычислительной технике, например, предлагается замена деления умножением и быстрый расчет сочетаний. Приводятся соображения, исходя из которых можно делать выводы о постоянном хранении так называемой "статической информации" в оперативной памяти во время вычислений, а также и постоянном хранении этой информации в ППЗУ компьютера для использования в дальнейших вычислениях. Также приводятся исходные тексты реализации предложенных алгоритмов на языках C++ и С#.
В главе 5 рассматриваются различные аспекты применения предлагаемой методики для разделения свободного движения линейной системы автоматического управления и для задачи поиска собственных чисел матрицы, а также производится анализ недостатков методики и предлагается быстрый алгоритм генерации начальных условий для нее, основанный на схеме Горнера и алгоритме Мадсена-Рейда.
Все теоретические результаты, изложенные в главах 2-5 сопровождаются численными примерами.
Методы нахождения корней нелинейных уравнений
Среди многих существующих на данный момент методов и их модификаций, самым простым методом является метод половинного деления или дихотомии. Рассмотрим его.
Пусть корень уравнения (1.7) отделен и известен его интервал локализации » )" Как уже было сказано выше, корень находится внутри этого интервала, и мы в дальнейшем будем сужать начальный интервал так, чтобы корень всегда находился внутри нового интервала. Для этого на каждом шаге метода мы находим середину отрезка в( +0 = Д ,( +!) = A(0. (1.9.2) После такого вычисления производится переход к следующему шагу. На к -м шаге погрешность определения корня равна «( =„(» -, ——1=—j—і. (їло) В качестве преимуществ метода дихотомии можно отметить то, что он всегда сходится и устойчив к ошибкам округления, а недостатками является медленная скорость сходимости и невозможность обобщения метода на системы уравнений. Следующий метод, рассматриваемый в этой работе - метод простой итерации. Для этого метода уравнение (1.7) переписывается в форме Р(Р)=Р. (1Л1) Итерационный процесс в этом методе строится так: / +,ЦР )), (1.12) но стоит отметить, что сходится он не всегда, а только если условие \ р (р] выполняется на всем отрезке следования к конечной оценке корня. Этот метод обобщается на системы нелинейных уравнений, однако мало используется на практике, так как условия сходимости являются слишком
ЖеСТКИМИ, Кроме ТОГО, СКОрОСТЬ СХОДИМОСТИ Также ЗаВИСИТ ОТ \ р (р) .
Следующим методом в рассмотрении является метод Ньютона, который довольно популярен в библиотеках и инструментах численного решения нелинейных уравнений. В качестве примера можно привести функцию root популярного пакета Mathcad, в которой используется данный метод. Для вывода итерационной формулы разложим функцию f(p) в окрестности корня в ряд Тейлора:
Пренебрегая остаточным членом /? и учитывая, что /(р ) = о, можно вывести такую формулу:
Последний сходится медленнее, чем метод (1.14), но позволяет сэкономить на вычислениях. Метод Ньютона обобщается и на системы нелинейных уравнений, причем в этом случае он так же популярен в различных математических пакетах. Обычно метод Ньютона используется в окрестности корня для уточнения его значения.
Идеология метода Ньютона в смысле использования разложения в ряд Тейлора функции f(p) в окрестности истинного значения корня не применяется в методе Мюллера, где используются формулы квадратичной интерполяции. Основные формулы метода имеют следующий вид (используются 3 точки, в отличие от метода Ньютона, где использовалась одна): Данный метод, хоть и не сильно отличается по быстродействию от метода Ньютона, тем не менее, имеет следующее преимущество - с помощью этого метода можно находить комплексные корни при действительном начальном приближении. Из формулы (1.17) следует, что переменной % присваивается два значения, но на самом деле при работе алгоритма из двух значений ад выбирается максимальное. В некоторых источниках [64, 67] указано, что комбинация методов Мюллера, Ньютона и методик деления полиномов дают более быстрый и точный результат для решения полиномиальных уравнений, чем один из самых популярных методов для нахождения корней полиномов - метод сопровождающей матрицы (собственных значений).
В данном разделе было рассмотрено четыре основных метода решения нелинейных уравнений. Для нахождения всех корней полиномиального уравнения с помощью этих методов необходимо использовать методики деления полиномов для исключения найденных корней, но при этом стоит отметить, что при использовании подобных методик имеет место накапливающаяся погрешность, поэтому после каждого нахождения корня, оставшийся полином следует уточнять. В главах 2-4 данной работы будет представлен алгоритм, использование которого позволит уточнять корни лишь на финальной стадии процесса нахождения корней. Такая ситуация будет рассмотрена в главе 5.
Рассмотрение составляющих комплексных корней и коэффициентов. Понятие матриц комплексных произведений
Таблицы индексов, полученные в предыдущем разделе, определяют результат формулы (2.4), при этом, если коэффициенты уравнения -комплексные числа, то среди корней, согласно фундаментальной теореме алгебры, также будут встречаться комплексные числа. В предлагаемом методе действительная и мнимая часть комплексных чисел (здесь подразумеваются коэффициенты полинома, которые впоследствии будут участвовать в формировании критерия оптимизации) разделяются и учитываются по отдельности. Если рассмотреть формулы (2.4) и (2.2 ), то можно заметить, что любой коэффициент полинома равен сумме произведений корней, а это означает, что если мы просуммируем все действительные части всех произведений в соответствующей формуле, то получим действительную часть рассматриваемого коэффициента. С мнимыми частями произведений ситуация аналогична. Поэтому для того, чтобы получить отдельно действительную и мнимую части коэффициента, мы должны предложить метод разделения произведения произвольного количества комплексных чисел на эти части.
В последнем выражении действительная и мнимая части произведения разделены. Тогда введем матрицы комплексных произведений R[k] и l[k], которые будут задавать наборы элементов в произведениях из к комплексных чисел. Вполне очевидно, что выражения для действительной и мнимой частей будут представлять собой суммы произведений действительных и мнимых составляющих комплексных чисел, участвующих в произведении. Столбцы матрицы будут представлять из себя произведения компонентов, таким образом, элемент, стоящий на пересечении / -й строки и / -го столбца будет представлять собой признак элемента, который стоит в / -м произведении на /-м месте. Как известно, от перемены мест сомножителей произведение не меняется, поэтому строки в описываемых матрицах можно менять местами без ущерба для результата, а поэтому элемент матрицы должен нести в себе два признака - мнимая или действительная часть числа участвует в произведении и знак этой части. Таким образом, мы получаем правило формирования матриц:
В формуле (2.7) число 0 обозначает действительную часть числа, 1 -мнимую, а знак - показывает, с каким знаком войдет данный сомножитель в произведение. 2.2.2 Численный пример. Запись формул Виета с учетом комплексной природы коэффициентов и корней.
В разделе 2.1.3 были получены формулы Виета для полинома пятого порядка, причем очевидно, в таких полиномах максимальное количество сомножителей в произведении равняется пяти - для коэффициента OQ L = (O і 2 з 4), а количество столбцов таблицы индексов как раз равняется количеству сомножителей. В контексте предлагаемого метода действительная и мнимая части коэффициентов и корней рассматриваются по отдельности, поэтому запишем матрицы комплексных произведений до пятого порядка включительно (способ их получения см. в главе 4).
С помощью полученных формул можно проверять правильность взятия частных производных по различным частям критерия оптимизации, который будет введен в дальнейшем.Основой предлагаемого метода является переформулировка исходной задачи, то есть задачи нахождения корней полинома, к виду задачи оптимизации. Для того, чтобы сформулировать задачу оптимизации, мы должны определить критерий оптимизации и область поиска (ограничения). Областью поиска в нашем случае будет пространство действительных чисел размерности п для случая чисто действительных корней и 2« - для случая комплексных корней, причем на эту область не будут налагаться никакие ограничения.
К самому критерию оптимизации для облегчения дальнейших рассуждений предъявляются следующие требования:
критерий должен быть по крайней мере дважды непрерывно-дифференцируемым;
критерий должен принимать минимальное значение в точке, соответствующей корням исходного полиномиального уравнения.
Следствием из второго условия (при равнозначности корней в критерии) является то, что критерий будет иметь по крайней мере и! точек минимума, что для данной ситуации (как будет показано дальше) является скорее преимуществом, чем недостатком.
Модификация градиентного метода для случая овражных функций. Сходимость метода. Задание начальных условий
Для вышеупомянутых овражных функций существуют определенные модификации градиентного метода (метод Гельфанда). В одной из них итерации осуществляются следующим образом:
Из точки начальных приближений z делается шаг по методу наискорейшего спуска, который дает нам точку на дне оврага х ).
Затем из точки г% находящейся рядом с г(), совершается аналогичный спуск на дно оврага, который дает нам точку х К
Вдоль вектора в направлении убывания функции делается большой овражный шаг, который дает нам точку z 2 .
Затем вся процедура повторяется уже для точек В литературе показана сходимость такого метода. Если функция носит ярко выраженный овражный характер, то можно модифицировать и этот метод. В данной работе предлагается следующая модификация:
Из точки начальных приближений z ) делается шаг по методу наискорейшего спуска, который дает нам точку на дне оврага 0 .
Затем из точки г% находящейся рядом с z ), совершается аналогичный спуск на дно оврага, который дает нам точку 0).
Вдоль вектора в направлении убывания функции делается большой овражный шаг, который дает нам точку z\2 . До этого момента воспроизводятся действия вышеупомянутого метода с учетом того, что овражный шаг тоже подвергается дроблению по формуле, аналогичной (3.3). Но после этих действий точка zv2) интерпретируется как новая точка начального приближения и по отношению к ней применяются все операции, каковые применялись к точке z ). Такая модификация не повлияет на сходимость метода, ибо дополнительные овражные шаги в худшем случае не дают убывания функции и не двигают рабочую точку (такая ситуация будет рассмотрена позднее и ее следует интерпретировать как некоторое исключение для метода), тогда метод следует рассматривать как просто метод наискорейшего спуска, сходимость которого определяется, как и сходимость обыкновенного градиентного метода, выполнением условий:
Функция с(р) ограничена снизу (это условие выполняется, так как ф) о),
Градиент чс(р) удовлетворяет условию Липшица [26, 42, 50] (то есть существует постоянная R, такая, что
Все эти условия выполняются, а это означает, что предлагаемый метод будет сходиться к стационарной точке.
При минимизации критерия, предложенного в разделе 2.3.2, вышеупомянутым методом можно использовать любые начальные условия, за исключением случая, когда они инициализируются (точка z ) одинаковыми значениями. В этом случае получается, что составляющие градиента VG(P) также получатся одинаковыми, то есть шаг, который будет совершен, даст нам точку () с одинаковыми координатами. Если выбирать точку г 1) простым домножением всех координат точки z() на некоторое наперед заданное число (здесь предлагается использовать множитель 1.01, то есть каждая из координат увеличивается на один процент), то мы также получим точку А] с одинаковыми координатами. При дальнейшей минимизации точка 0) получится близкой или равной точке (), при этом вектор bw- 0)j может не задавать направление движения вдоль оврага, кроме того, составляющие этого вектора будут достаточно малыми. Для такого случая можно проверять составляющие вектора овражного шага и если они будут достаточно малыми - делать шаг в случайном направлении, что позволит избежать одинаковости составляющих вектора градиента.
Предложенный метод минимизации подходит только для приведения рабочей точки в область экстремума, так как, учитывая сказанное в разделе 2.3.3, критерий вблизи точки экстремума изменяется мало, а поэтому значения градиента (как это будет показано позже) также незначительны. Для дальнейшего приближения рабочей точки к точке истинных корней можно использовать методы нулевого порядка, которые требуют в большинстве своем достаточно частого вычисления критерия в рабочей точке, или методов, обеспечивающих сверхлинейную скорость сходимости (метод Ньютона и квазиньютоновские методы) - они не требуют большого количества вычислений критерия, но в них учитывается кривизна поверхности отклика, а значит, оценивается матрица Гессе. В предлагаемой реализации методики используется метод Левенберга-Марквардта [66, 53], который предназначен для минимизации функций, представимых как сумма квадратов некоторых функций своих аргументов. В заключение следует отметить, что для указанного метода подвода рабочей точки к области экстремума получен эмпирический результат - для полинома и-го порядка метод заводит рабочую точку в область экстремума не более чем за in шагов.
Генерация релаксационной последовательности
Известно, что для квадратной матрицы А порядка п имеет место уравнение которое называется характеристическим или вековым [8, 17, 29, 41, 42, 65].
Корни такого уравнения называются собственными значениями матрицы А . Следует отметить, что решение задачи собственных значений применяется во многих областях науки и техники. Уравнение (5.18) может быть записано по-другому:
Уравнение (5.19), очевидно, является полиномиальным, более того, как это уже было упомянуто в главе 1, эту связь между матрицами и полиномами используют для вычисления корней полиномиальных уравнений. Но подобную связь можно использовать и в противоположном направлении, хотя в литературе этого делать не рекомендуется. Однако стоит отметить некоторые ситуации, которые были описаны в главе 1, где для нахождения собственных чисел матрицы использование методов нахождения корней полиномов является предпочтительным.
Для получения коэффициентов характеристического полинома матрицы существуют несколько методов, среди которых самыми популярными являются методы Леверье и Данилевского [42].
Сущность упомянутых методов состоит в том, чтобы преобразовать матрицу к такой форме, для которой вычисление коэффициентов характеристического полинома было бы тривиальным. Метод Данилевского приводит исходную матрицу к канонической форме Фробениуса, а метод Леверье использует формулы Ньютона для последовательного составления системы, из которой можно получить коэффициенты. Если сравнивать эти методы по скорости, то наибольшую скорость имеет метод Данилевского, но все имеющиеся эффективные методы работают быстрее, чем простое развертывание определителя матрицы.
Для решения характеристического уравнения мы можем воспользоваться любым из предложенных в работе методов, а также теми методами, которые существуют на данный момент. Для того чтобы вычислить собственные числа матрицы, мы должны сперва произвести операцию, рассмотренную в разделе 5.3.1, а затем обработать получившиеся коэффициенты так, чтобы получить полином, для которого выполняются все условия метода. Это означает, что надо проверить полином на наличие нулевых корней, то есть если т младших коэффициентов равны нулю, то надо сдвинуть все коэффициенты на т позиций вправо и запомнить, что имеется т нулевых корней. После этой операции надо убедиться, что коэффициент при старшей степени равен единице. Если это не так, то необходимо разделить уравнение на этот коэффициент, после чего полином можно решать рассмотренными в работе методами. В следующем разделе будет рассмотрен численный пример нахождения собственных чисел матрицы с помощью модификации метода, предложенной в разделе 5.2.3.
Итак, пусть имеется матрица А четвертого порядка. Найдем ее собственные числа.
Если представить характеристическое уравнение для этой матрицы в виде (5.18), то оно будет выглядеть следующим образом:
При сворачивании определителя или при использовании метода Данилевского, будем иметь следующий характеристический полином:
Следуя рекомендациям, изложенным в разделе 5.3.3, надлежит сдвинуть коэффициенты на 1 позицию вправо с потерей старшей степени, и при этом запомнить, что один корень найден и равен нулю. Таким образом уравнение приобретает следующий вид:
Проверка полученных значений путем подстановки последних в характеристическое уравнение показала правильность найденных результатов.
