Содержание к диссертации
Список сокращений и обозначений 5
Введение 7
Глава 1. Абсолютная параметрическая инвариантность выхода системы
относительно параметрической неопределенности матричных
компонентов модельного представления объекта управления 16
-
Условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода непрерывной системы относительно неопределенности матрицы состояния исходного объекта 16
-
Синтез системы, обладающей абсолютной параметрической инвариантностью (АПИ), методами обобщенного модального управления 24
-
Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, равного размерности вектора состояния 27
-
Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, меньшего размерности вектора состояния 31
-
Оценка выполнимости условия (AI - A)Dj є ImB 33
-
Решение проблемы абсолютной параметрической инвариантности (АЛИ) выхода системы относительно неопределенности задания матричных компонентов модельного представления общего вида.... 36
-
Проблема абсолютной параметрической инвариантности выхода дискретной системы относительно неопределенности задания матриц модельного представления объекта 38
Выводы по главе 1 48
Глава 2. Параметрическая ^-инвариантность выхода относительно
неопределенности матриц представления объекта 50
2.1. Проблема базиса представления объекта 50
-
Фактор передаточных нулей отношения «вход-выход» в задаче достижения условия rank [(Лу/ - A)Dj: В] = гапкВ 54
-
Анализ каузальных факторов появления параметрической є -инвариантности 57
-
Оценка величины є в задаче синтеза параметрически инвариантных
до є систем 59
2.5. -инвариантность, обусловленная процессом наблюдения за
состоянием объекта с параметрической неопределенностью
матричных компонентов модельного представления 69
Выводы по главе 2 74
Глава 3. Ранжирование параметрических неопределенностей модельных
представлений по степени влияния на выход (ошибку)
системы 76
3.1. Экспресс-ранжирование параметрических неопределенностей по
факту строчной локализации 76
-
Ранжирование параметрических неопределенностей на основе матрицы управляемости «параметрический вход-выход» произвольных объектов 78
-
Ранжирование параметрических неопределенностей на основе грамианов управляемости пары матриц (A,Dj)
устойчивых объектов *
3.2. Ранжирование параметрических неопределенностей с
использованием аппарата чувствительности сингулярных чисел.... 84
-
Чувствительность сингулярных чисел матрицы управляемости по выходу 84
-
Чувствительность сингулярных чисел грамианов управляемости по выходу 88
3.3. Ранжирование параметрических неопределенностей с
использованием аппарата траекторной чувствительности 91
Выводы по главе 3 98
Глава 4. Параметрическая инвариантность для особых случаев
модельных представлений задачи управления 99
-
Параметрическая инвариантность при конечномерном экзогенном воздействии 99
-
Параметрическая инвариантность при интервальном модельном представлении объекта управления ПО
-
Сведение задачи синтеза системы со стабильными показателями качества процессов по выходу для нелинейных объектов к проблеме параметрической инвариантности 121
Выводы по главе 4 131
Глава 5. Прикладные задачи синтеза параметрически инвариантных
систем управления 132
-
Достижение параметрической инвариантности выхода при произвольном задающем воздействии методами обобщенного динамического модального управления в задаче Т. Миты 134
-
Достижение параметрической инвариантности ошибки слежения при конечномерном задающем воздействии методами обобщенного изодромного управления в задаче Т. Миты 152
Выводы по главе 5 159
Заключение 161
Литература 165
Приложение 1 172
Приложение 2 182
Список сокращений и обозначений
дм мм
ДОУ НОУ
л, A , Aj
det(^)
А-1 rank\A}
с{л]
A = diag{Zi} dim{(*)}
arg{^[(*)]}
векторно-матричное представление;
метод пространства состояний;
модальное управление;
уравнение Сильвестра;
абсолютная параметрическая инвариантность;
обобщенное модальное управление;
обобщенное изодромное управление;
объект управления;
закон управления;
дифференциальная модель;
модальная модель;
дискретный объект управления;
непрерывный объект управления;
модель траекторной чувствительности;
матрица; /-я строка и jг-столбец этой матрицы
соответственно;
определитель матрицы А;
матрица, обратная матрице А;
ранг матрицы А;
алгебраический спектр собственных значений
матрицы А;
число обусловленности матрицы А;
диагональная матрица с элементами Д,- на главной
диагонали;
размерность элемента (*);
р-ичная норма элемента (*);
аргумент выполнения условия у4(*)]»
предикат наличия полной управляемости пары матриц {<<4,2?};
строка (матрица-строка) из элементов (*),-; столбец (матрица-столбец) из элементов (#)у-;
интервальная матрица Л, составленная из интервальных скалярных элементов \Лу J;
компонент (*), вариация которого наиболее сильно
влияет на выход объекта;
выход (), на котором наблюдается максимальный совокупный эффект влияния неопределенностей, присутствующих в объекте.
Введение к работе
Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления» возникла в результате работы диссертанта в составе научной группы кафедры Систем Управления и Информатики Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Механики и Оптики, созданной профессорами кафедры, докторами технических наук В.О. Никифоровым и А.В. Ушаковым. Проблемы, над которыми работает указанная научная группа, связаны с задачами управления в условиях неопределенности сигнальной, параметрической и структурной природы. Частично результаты работы этой группы представлены в монографии [30] названых выше ученых. В рамках проблемной области группы на диссертанта были возложены задачи анализа возможностей неадаптивных методов управления, опирающихся на концепцию параметрической инвариантности, доставляющих системе, встроенной в техническую среду обслуживаемого технологического процесса, гарантированную стабильность показателей качества в условиях параметрической неопределенности. Данное направление научных исследований поддержано грантом правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга (Шифр гранта М05-3 Л1К-21).
Концепция параметрической инвариантности как сепаратной ветви общей теории инвариантности [22, 17, 18, 31, 51] в задачах управления в предпринятых диссертантом исследованиях разработана на основе возможностей векторно-матричного формализма метода пространства состояний (МПС). Следует заметить, что основные результаты в общей теории инвариантности получены с использованием сигнального подхода в скалярной форме. Такой подход приводит к управлению, использующему принцип двухканальности Б.Н. Петрова, позволяющий скомпенсировать нежелательное воздействие на регулируемую переменную (выход или ошибку) специ- ально формируемым сигналом компенсации. Ситуация качественно меняется, если сигнальная среда становится векторной. В этом случае в своей полноте раскрываются возможности метода пространства состояния современной теории управления [5, 16, 20, 21, 33, 36, 47, 50, 52]. Геометрическая прозрачность метода позволила существенно расширить банк базовых алгоритмов управления. Так, в дополнение к алгоритмам, построенным на концепции сигнальной компенсации, добавился класс алгоритмов геометрического парирования возмущений путем погружения регулируемой переменной (выхода или ошибки) в нуль-пространство оператора, отображающего пространство, которому принадлежит возмущение в пространство, которому принадлежит регулируемая переменная. Такой подход, предложенный в работах Уонема, получает хорошую алгоритмическую поддержку в среде методов модального управления, если его сформулировать в обобщенной форме. Метод модального управления (МУ) исторически [76] в теории управления возник как метод, гарантирующий проектируемой системе желаемую структуру собственных значений (мод) матрицы состояния проектируемой системы. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке в основном строилось путем представления матрицы состояния объекта в канонической управляемой форме. Со временем метод был переформулирован как метод, гарантирующий векторно-матричное подобие процессов в проектируемой системе процессам в некоторой эталонной модели той же размерности, именуемой чаше модальной моделью. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке строится на использовании матричного уравнения Сильвестра (УС), которое решается относительно матрицы преобразования подобия, связывающей матрицу состояния модальной модели и проектируемой системы. Обнаружилось, что указанная постановка задачи модального управления допускает ее расширение, позволяющее достигать как желаемой структуры мод, так и желаемой структуры собственных векторов. Если учесть, что матрица преобразования подобия, приводящая произвольную матрицу к диагональному виду, строится на соб- ственных векторах преобразуемой матрицы, то обобщенная версия модального управления также может быть алгоритмически обеспечена решением уравнения Сильвестра. В этом случае достаточно матрицу состояния модальной модели задать в диагональном базисе, тогда решение уравнения Сильвестра в форме матрицы преобразования подобия будет состоять из собственных векторов матрицы состояния проектируемой системы. Нетрудно видеть, что если задать желаемую структуру собственных векторов, т.е., по существу, сформировать матрицу подобия, то уравнение Сильвестра должно решаться относительно структуры мод проектируемой системы. Не всегда полученная структура удовлетворяет разработчика по ее динамическим свойствам. В этой связи появляется необходимость поиска паритетного решения, когда структурой доминирующих мод обеспечиваются требуемые показатели качества в переходном и установившемся режиме, а структурой доминирующих собственных векторов достигаются дополнительные геометрические свойства системы, к которым следует отнести и обеспечение параметрической инвариантности регулируемой переменной к неопределенности матричных компонентов модельного представления исходного объекта. Использование возможностей обобщенного модального управления обеспечивать желаемые структуры собственных значений и собственных векторов положено в основу построения инструментария разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления. Причем задача решается как в постановке достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта, так и в постановке ^-инвариантности, дополненной контролем достигаемой є. Таким образом, в отличие от существующих методов обеспечения робастно-сти поведения систем в условиях параметрической неопределенности, рассматриваемых в работах [14, 27, 29, 58-61, 65, 66, 68, 69, 74], автор сосредоточил свое внимание на геометрических возможностях метода обобщенного модального управления для решения задачи обеспечения стабиль- ности процессов по выходу с использованием неадаптивных методов управления.
Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составляют метод пространства состояний, линейная алгебра в части, касающейся конструирования структуры пространства линейных one-раторов, обобщенное модальное управление, интервальные модельные представления неопределенностей матричных компонентов, метод В. Л. Харитонова анализа робастной устойчивости, интервальная линеаризация нелинейных компонентов модельного представления объектов и систем, принцип внутренней модели применительно к объектам с интервальными матричными компонентами при решении задачи синтеза параметрически инвариантных систем с нулевой ошибкой слежения за конечномерным экзогенным воздействием.
Математический аппарат, использованный при проведении диссерта- ционных исследований, поддерживается программной модельной оболочкой -г, Matlab. При построении текста диссертации соискатель структурировал его с помощью рубрик: определение, утверждение, доказательство, примечание, вывод, пример.
Структурно диссертация состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первом главе диссертации осуществляется введение в проблему абсолютной параметрической инвариантности выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления непрерывного объекта управления. Формулируются алгебраи- 4 ческие условия абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) выхода системы относительно параметрической неопределенности ее матрицы состояния. Проблема обеспечения АПИ выхода системы для непрерывных объектов, содержащих параметрические неопределенности в матрицах состояния и управления решается структурными методами путем модификации исход- ных объектов данного типа к представлению, при котором параметрические неопределенности содержатся только в матрице состояния с помощью введения на входе объекта буферной системы минимальной размерности с фиксированными параметрами. Проблема синтеза системы, обладающей АПИ, рассматривается при различных рангах матрицы управления. (Показывается, что успех решения проблемы синтеза системы, обладающей АПИ, существенным образом зависит от ранга матрицы управления объекта). Предлагаемое в главе алгоритмическое обеспечение процедуры синтеза АПИ строится на использовании возможностей обобщенного модального управления (ОМУ).
Во второй главе диссертации анализируются алгебраические причины, приводящие к невыполнению условий абсолютной параметрической инвариантности и вызывающие необходимость использования параметрической б-инвариантности выхода относительно параметрической неопределенности матриц представления объекта. Предлагается алгоритм оценки величины є достигаемой параметрической инвариантности, использующий системные грамианы управляемости каналов «задающее воздействие - выход системы» и «параметрическое воздействие — выход системы», а также свойства пучка квадратичных форм, конструируемых на этих грамианов. Рассматривается возможность обеспечения параметрической инвариантности путем введения нулей передаточной функции отношения «задающее воздействие — выход системы».
В третьей главе диссертации для целей правильного использования ресурсов управления производится ранжирование параметрических неопределенностей модельных представлений объектов управления.
Предлагаются априорные алгоритмы ранжирования параметрических неопределенностей, расположенных в различных строках матрицы исходного объекта. Для моделей исходных объектов с неустойчивым номинальным компонентом матрицы состояния ранжирование производится на основе матрицы управляемости. Для моделей исходных объектов с устойчивым номи- нальным компонентом матрицы состояния ранжирование производится на основе грамианов управляемости.
Предлагаются алгоритмы покомпонентного ранжирования параметрических неопределенностей, являющиеся квазиаприорными, так как в этом случае ранжирование производится не на основе модели исходного объекта, который в общем случае может быть неустойчивым, а на основе модели системы с номинальными параметрами, априори спроектированной согласно заданным техническим требованиям, но без контроля достижения параметрической инвариантности. В главе предложены алгоритмы, основанные на использовании чувствительности сингулярных чисел матриц управляемости и грамианов управляемости каналов «задающее воздействие—выход системы», а также алгоритмы ранжирования с использованием аппарата тра-екторной чувствительности и последующим вычислением спектральных норм грамианов управляемости каналов «задающее воздействие - функция траекторией чувствительности по выходу».
В четвертой главе диссертации рассматриваются способы обеспечения параметрической инвариантности для особых случаев свойств модельных представлений объектов управления, а также постановок задач управления.
Для задачи слежения объектом с минимальной (возможно нулевой) ошибкой за конечномерным задающим воздействием предлагается использование закона обобщенного изодромного управления (ОИУ), использующего принцип внутренней модели. Закон ОИУ сочетает в себе два положительных начала, первое из которых состоит в реализации принципа буферной системы, а второе состоит в минимальном составе измерений, необходимых для его реализации так, что для построения его динамической версии достаточно измерения только ошибки слежения за задающим воздействием. Алгоритмическое обеспечение синтеза закона ОРТУ, доставляющего параметрическую инвариантность ошибки слежения в спроектированной системе также строится на использовании возможностей обобщенного модального управления.
Показывается, что идеи параметрической инвариантности регулируемой переменной относительно параметрической неопределенности компонентов модельного представления могут быть с минимальной модификацией перенесены на объекты управления для случая интервального модельного их представления. Более того, метод В.Л. Харитонова анализа устойчивости интервальных систем принимается при решении задач анализа устойчивости систем с неопределенными матричными компонентами как базовый при проведении диссертационных исследований в целом.
В заключении главы предлагается процедура сведения проблемы синтеза систем со стабильными показателями качества процессов по выходу для нелинейных объектов к проблеме параметрической инвариантности с использованием интервальной линеаризации нелинейных компонентов его модельного представления.
Пятая глава диссертации посвящена решению прикладных задач параметрически инвариантного управления, которые решаются с использованием технологии достижения параметрической инвариантности выхода системы, опирающейся на векторно-матричные представления метода пространства состояний исходного объекта и системы.
В качестве примера рассматривается задача Т. Миты [75], в которой автор решал проблему обеспечения нулевой чувствительности поведения системы к неопределенности задания параметров передаточной функции вход-выход. Для рассматриваемой задачи синтезируется параметрически инвариантная система методами обобщенного модального управления, а также следящая система методами обобщенного изодромного управления.
В разделе «Заключение» диссертационной работы автором в сжатой форме излагаются основные теоретические и технические результаты проведенных диссертационных исследований, указываются возможные пути их дальнейшего развития.
В разделе «Приложение» помещены вспомогательные теоретические сведения, приведены листинги М-файлов, построенных в программной обо- лочке Matlab, использованные в программном сопровождении процесса разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления, а также при модельном исследовании задач, решенных в главе 5.
На защиту выносится комплексное решение задачи разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления, состоящее в формулировке алгебраических условий абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) регулируемой переменной (выхода, ошибки системы) относительно параметрических неопределенностей матрицы состояния объекта управления; разработке алгоритмов синтеза параметрически инвариантных систем управления для случая выполнения алгебраических условий АПИ на основе возможностей ОМУ; анализе каузальных факторов, вызывающих нарушение алгебраических условий достижения АПИ и оценке величины є достигаемой є-инвариантности; разработке алгоритмов синтеза є -инвариантных систем управления на основе ОМУ; разработке алгоритмов априорного ранжирования в групповой и покомпонентной постановке параметрических неопределенностей модельных представлений по степени их влияния на выход системы; разработке алгоритмов обобщенного изодромного управления, обеспечивающих параметрическую инвариантность ошибки слежения выхода объекта за конечномерным задающим экзогенным воздействием; — разработке алгоритмов управления, обеспечивающих параметриче скую инвариантность регулируемых переменных для объектов управления с интервальным модельным представлением и для нелинейных объектов, до пускающих использование интервальной линеаризации; - разработке параметрически инвариантных реализаций систем обобщенного модального управления для случая произвольного внешнего воздействия и обобщенного изодромного управления для случая конечномерного внешнего воздействия для задачи Т. Миты, демонстрирующих сильные и слабые стороны разработанного подхода.
