Содержание к диссертации
Введение
1. Основные понятия анизотропийного анализа 16
1.1. Анизотропия случайных векторов 16
1.2. Средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности 18
1.3. Формула для средней анизотропии в пространстве состояний 26
1.4. Анизотропийная норма линейной системы 27
1.5. Формулы для анизотропийной нормы в частотной области 30
1.6. Формулы для анизотропийной нормы в пространстве состояний 34
1.7. Распространение средней анизотропии в соединении фильтров 36
1.8. Выводы 38
2. Анализ робастной устойчивости линейной системы с неопределенностью 39
2.1. Постановка задачи 39
2.2. Достаточные условия робастной устойчивости линейной дискретной стационарной системы 41
2.3. Критерий робастной стабилизируемое 47
2.4. Выводы 52
3. Синтез анизотропийного регулятора для линейной стацио нарной системы с параметрической неопределенностью . 53
3.1. Постановка задачи 53
3.2. Погружение исходной задачи в более общую задачу Ноо -оптимизации 58
3.3. Седловая точка и условие оптимальности в смешанной ЛВа /Ноо -задаче 62
3.4. «Наихудший» ВР-вход для системы, замкнутой произвольным допустимым регулятором 64
3.5. «Наихудший» BS-вход для системы, замкнутой произвольным допустимым регулятором и «наихудшим» ВР-входом 68
3.6. 7Ї2 -регулятор в форме наблюдателя 71
3.6.1. Оцениватель состояния 72
3.6.2. Оптимальный регулятор 75
3.7. Принцип разделения в задаче смешанной ЛВа/Ноо-оптимизации 79
3.8. Окончательный алгоритм синтеза регулятора и частные случаи 81
3.9. Выводы 83
Асимптотическое поведение анизотропийных регуляторов и их связь с классическими задачами Ноо -оптимизации 84
4.1. Постановки классических детерминированных и стохастических задач оптимального управления линейными объектами с возмущениями 84
4.2. Формулировка задачи синтеза анизотропийного регулятора 87
4.3. Связь между задачами Ні- и Ноо -оптимизации и задачей синтеза анизотропийного регулятора 88
4.4. Выводы 93
Численное моделирование 94
5.1. Вычислительный метод гомотопии 94
5.1.1. Метод гомотопии: общие сведения 94
5.1.2. Вычислительный алгоритм решения задачи 95
5.2. Математическая модель продольного движения самолета 97
5.2.1. Постановка задачи управления 98
5.2.2. Линеаризованная дискретная модель продольного движения самолета на режиме посадки в условиях ветровых возмущений 99
5.3. Результаты моделирования 101
5.4. Выводы 107
Заключение 108
- Анизотропия случайных векторов
- Достаточные условия робастной устойчивости линейной дискретной стационарной системы
- Погружение исходной задачи в более общую задачу Ноо -оптимизации
- Постановки классических детерминированных и стохастических задач оптимального управления линейными объектами с возмущениями
Введение к работе
Актуальность темы. При синтезе алгоритмов оптимального управления для линейных систем, функционирующих в присутствии внешних возмущений, основным фактором при выборе критерия качества управления является априорная информация о входном возмущении. Первое вполне естественное и распространенное предположение, что на систему действуют возмущения в виде гауссовского белого шума приводит нас к задаче синтеза так называемого линейно-квадратичного гауссовского регулятора, который является линейной системой и минимизирует некоторый квадратичный по управлению и состоянию функционал качества. Такая задача может быть сведена к задаче 7І2 -оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает % -норма передаточной функции (в дальнейшем ПФ) системы.
Теория синтеза линейно-квадратичных гауссовских регуляторов появилась в конце 50-х годов 20-го века и связана с именем Р. Кал-мана. Эта теория на годы обеспечила мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления с квадратичным критерием качества [54]. Однако уже в начале 70-х годов появились работы, ставившие под сомнение универсальность этой теории. Источник фундаментального изъяна этой теории (потеря устойчивости системы при малых возмущениях в описании модели) был точно определен в работе [37]. Поэтому перед исследователями в области теории управления встала задача поиска критерия, лишенного этого серьезного недостатка, и позволяющего осуществлять синтез регуляторов, которые были бы робастны по отношению к входным воздействиям. И вскоре такой критерий был предложен.
Отправной точкой задач синтеза стабилизирующих регуляторов, минимизирующих ТСоо -норму ПФ замкнутой системы по праву можно считать статью Зеймса [73]. С тех пор был достигнут значительный прогресс в решении задач синтеза Ноо -оптимального управления и об-
ширные результаты могут быть найдены в [38,40,45,46,72]. Такая задача является задачей оптимального управления, а Н^ -норма ПФ замкнутой системы - критерием качества. Здесь априорной информацией о входных сигналах является их принадлежность пространству Лебега 1,2, то есть «интегрируемость с квадратом». Поскольку Ноо~ норма индуцируется нормой сигналов в L.2 (или, как еще говорят, подчинена этой норме), то в указанной задаче она может трактоваться как максимальный коэффициент усиления внешних возмущений, поэтому такие задачи называют также задачами подавления внешних возмущений.
Различия в классах внешних сигналов обуславливает существенное отличие между двумя задачами. В задаче 7^2 -оптимизации, функционал качества является выпуклым. -В задаче же Ноо -оптимизации функционал качества не является выпуклым, что существенно осложняет её решение. Поэтому поиск решения последней проводят, сводя её к задаче Ноо -субоптимизации, в которой функционал качества является уже не просто выпуклым, но и квадратичным, что позволяет решать её по той же схеме, что и задачу синтеза линейно-квадратичного регулятора.
В прикладных задачах кроме упоминавшегося выше свойства ро-бастности получаемых регуляторов по отношению к внешним возмущениям, важным свойством является степень их консервативности, то есть энергетических затрат органов управления объекта. Известно, что Hi -регуляторы не являются робастными по отношению к интенсивности входного возмущения [37], в то время как Ню -регуляторы являются излишне консервативными.
Неоднократно предпринимались различные попытки получить ро-бастные регуляторы, обладающие меньшей степенью консерватизма, нежели Ноо -регуляторы. Одно из направлений связано с использованием так называемых «смешанных» критериев качества. В этом случае ищется регулятор, минимизирующий некоторый квадратичный функционал качества на множестве всех линейных регуляторов, обес-
печивающих заданный коэффициент подавления внешних возмущений в замкнутой системе [32]. Это направление получило развитие в работах [39,64,75], в основу которых положено разделение входных возмущений на сигналы с ограниченной мощностью и сигналы с ограниченным спектром.
Второе перспективное направление, которому и посвящена данная работа, связано с синтезом регуляторов в том случае, когда система функционирует в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками. Наличие дополнительной информации о входном возмущении с одной стороны позволяет затрачивать меньше энергии на управление, а с другой позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом. Таким образом, здесь можно говорить о попытках получить задачу синтеза, которая находилась бы, образно выражаясь, «между 7І2 и Ноо », то есть включала в себя достоинства обеих теорий и в то же время была бы по максимуму избавлена от указанных выше недостатков. Это направление связано с применением теоретико-информационных критериев качества и носит название стохастической Ноо -оптимизации.
Одним из таких информационных критериев является стохастическая норма ПФ замкнутой системы. Стохастическая норма индуцируется мощностной нормой случайных сигналов из заданного класса вероятностных распределений. Частным случаем стохастической нормы является анизотропийная норма. Эта норма применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение — гауссовская случайная последовательность с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [6,66]. Последняя является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (или как ещё говорят «окрашенности») или, что тоже самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от гауссовского белого шума. Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму ПФ замкнутой
системы, была впервые поставлена в [6] и решена в [67].
Всё вышесказанное относится к синтезу регуляторов для систем, параметры моделей которых полностью известны. Довольно часто в приложениях полной информации о модели объекта нет, что влечет за собой необходимость разработки методов, робастных не только к внешним возмущениям, но также и робастных к параметрам модели.
Задача синтеза Н^ -регуляторов, робастных по отношению к параметрическим неопределенностям модели объекта не нова. Здесь можно выделить два основных направления. Первое, представленное рядом работ [63,70,71] связано с понятием квадратичной стабилизируемости и в его основе лежит получение одного или нескольких неравенств Рик-кати, гарантирующих устойчивость замкнутой системы, содержащей неопределёность. Второй, более плодотворный подход, связанный прежде всего с работами [2,39,41,75] и получивший отражение в целом ряде последующих публикации как теоретического так и прикладного характера, заключается в «замене» объекта с неопределенностью новым, полностью определенным объектом, но содержащим один дополнительный вход с внешними возмущениями, с последующим погружением исходной задачи в более общую задачу 71^ -субоптимизации. Другими словами, здесь параметрическая неопределенность заменяется на внешнее возмущение, после чего решается классическая задача "Ноо -субоптимизации.
В теории синтеза анизотропийных регуляторов, вопрос о получении анизотропийных регуляторов, робастных к неточностям в задании параметров модели линейного объекта в настоящее время не исследован. Данная диссертационная работа призвана восполнить этот пробел.
Изложение диссертационной работы построено следующим образом. В главе 1 дано краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств с указанием ссылок на первоисточники.
Анизотропия случайных векторов
Для вероятностных мер РиМна измеримом пространстве (П, 7), информационное уклонение Кульбака-Лейблера Р от М, или относительная энтропия Р относительно М, определяется как в(рш) = {Шп р м I +00 в противном случае, см., например, [43]. Здесь Е — математическое ожидание в смысле меры Р, a dP/dM : О, — R+ — соответствующая производная Радона-Никодима в случае абсолютной непрерывности Р относительно М, обозначаемой посредством Р С М.
В силу энтропийного неравенства [43], величина D(PM) всегда неотрицательна, обращаясь в нуль лишь если Р = М. В случаях, когда Р и М — вероятностные распределения случайных элементов и г], или заданы плотностями распределения вероятности (п.р.в.) / и д относительно общей доминирующей меры, мы будем заменять символы Р или М в D(PM) на , / или rj,g, соответственно.
Для любого Л 0, обозначим через рШ)д гауссовскую плотность на Шт с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей Л/т, где 1т — единичная матрица порядка га, т.е. Pm x(w) = (27гА)-/2 ехр Ґ-Ш , w Є Mm (1.1) Обозначим через L класс Мт-значных квадратично интегрируемых случайных векторов, распределенных абсолютно непрерывно относительно m-мерной лебеговой меры mesm. Для любого W Є hf с п.р.в. / : Ш"1 -» Е+ относительно mesm, его относительная энтропия относительно (1.1) принимает вид D (ЛКл) = Ein/- = -h(W) + 1п(2тгА) + И, (1.2) где h{W) = -Е\п f{W) = - \ f(w)\nf(w)dw (1.3) — дифференциальная энтропия [34, стр. 229] случайного вектора W в смысле лебеговой меры mesm.
Определим анизотропию A(W) случайного вектора W Є hf как минимальное информационное уклонение его распределения от гаус-совских распределений на Rm с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами [5]. Непосредственное вычисление показывает, что минимум в (1.2) по всевозможным Л 0 достигается при Л = EW2/m и, следовательно, A(W) = mmD(f\\pm,x)= ln(—E\W\2) -h(W). (1.4) т /27ге Величина h№)=fln( EH/7 есть дифференциальная энтропия случайного вектора Wg, имеющего нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей m lE \W\2 Im.
Заметим, что определение (1.4) аналогично функционалу энергии-энтропии, рассмотренному в [31] для скалярных случайных величин.
Далее через Gm(E) обозначим класс Мт-значных гауссовских случайных векторов W с нулевым средним (EW = 0) и невырожденной ковариационной матрицей co\(W) = Е. Соответствующая п.р.в. имеет вид p(w) = (27r)-/2(detS)-1/2exp f-iN!_A , где гуІ2-і = y/wJHrlw — норма вектора w, индуцированная положительно определенной симметричной матрицей Е-1. Лемма 1.1. [4]
(а) Анизотропия A(W), определенная посредством (1.4), инвариантна относительно вращений и гомотетий W, т.е. A(XUW) = A(W) для любого AGR\ {0} и любой ортогональной матрицы U Є Wnxm (b) Для любой положительно определенной матрицы Е Є Ъ min {A{W) : W Є Ц\ E{WWJ) = Е} = -\ lndet mS тхт 2 Trace E/ ч (1.5) причем минимум достигается лишь на W Є Gm(E); (с) Для любого W Є Ц\ A(W) 0, причем A(W) = 0 в том и только том случае, если W Є Gm(A/m) для некоторого А 0.
В силу утверждения (а) леммы, анизотропия A(W) может интерпретироваться как теоретико-энтропийная характеристика неинвариантности распределения случайного вектора W относительно группы вращений.
Достаточные условия робастной устойчивости линейной дискретной стационарной системы
Система (2.1) называется внутренне устойчивой, если матричная передаточная функция от входа [ 1,]7 Є Шт+Р к выходу [ 1,]7, Є Rm+q асимптотически устойчива [24,44], что эквивалентно тому, что передаточные функции TWlZV TWlZ2, TW2Zl, TW2Z2 аналитичны внутри единичного круга комплексной плоскости. Под робастностью будем понимать внутреннюю устойчивость семейства объектов, неопределённость которых принадлежит некоторому классу допустимых неопределённостей.
Задача состоит в следующем: для заданного номинального объекта Р найти диапазон изменения неопределённости его параметров А, количественно измеряемый анизотропийной нормой, при котором система с неопределенностью будет являться внутренне устойчивой. Последнее будет означать робастность объекта Р по отношению к неопределенности А.
Достаточные условия робастной устойчивости линейной дискретной стационарной системы
В этом разделе докажем основную теорему, устанавливающую достаточные условия устойчивости объекта, параметры которого заданы неточно.
Введём в рассмотрение два класса дискретных сигналов, где под сигналом мы понимаем эргодическую стационарную в узком смысле последовательность случайных векторов. Класс lv = {W = W-oo fc oo : Щ Є L, к Є Z Л \\W\\V +00} , состоит из сигналов с ограниченной энергетической нормой р и класс Wa = {W Є lv : A(W) а} ,содержит сигналы с ограниченной средней анизотропией А(-). Класс Wa описывает класс входных возмущений, воздействующих на объект, для которых ищутся условия, обеспечивающие робастную устойчивость объекта Р.
Для любых вещественных b 0 и с 0 определим класс неопределенностей ОДьЬ, с) = {А є КН\ ІРпІс Шь 1} (2-2) где 1ZHT xm - подпространство пространства Харди Нхт, состоящее из всех правильных устойчивых дробно-рациональных матричных передаточных функций. Обозначим через и(Р,А) верхнее дробно-линейное преобразование пары (Р, А). Будем говорить, что неопределенность А является допустимой для Р, если А Є RTi1 "1 и система TJJP, А) внутренне устойчива.
В случае устойчивости Р и А можно воспользоваться свойством псевдосубмультипликативности анизотропийной нормы (теорема 1.2 главы 1) и вместо (2.8) потребовать выполнения более сильного условия Отсюда заключаем, что система J-U(P, А) внутренне устойчива. Сделаем несколько важных замечаний. Замечание 2.1. В случае А = 0 условие (2.12) переходит в условие 1 Рі 11 с оо для любого с Є Е+, что всегда выполняется в силу устойчивости Рц. Это означает, что неопределенность А = 0 является допустимой для любого объекта Р, так как заведомо принадлежит классу Ді(Рц, 6, с) при произвольных Ъ Є Ш+ и с Є К+.
В последнем равенстве воспользовались равенством для логарифма произведения двух функций. Интеграл в правой части последнего равенства, как и интеграл средней анизотропии, инвариантен относительно унитарного преобразования А —» U AU. Если в качестве U взять матрицу собственных векторов, то матрица U AU будет диагонального вида, причем на диагонали будут стоять собственные значения матрицы
В силу того, что для систем, удовлетворяющих (1.41), выполняется Да ЦАЦоо для любых а Є R+ и имеет место равенство [24] где cond (A A) - число обусловленности оператора A A. Существо-вание А вытекает из отделимости сингулярного спектра Д от нуля. Если это не так, то с = со.
Таким образом, для того, чтобы делать выводы о внутренней устойчивости системы Ти(Р, А), достаточно знать границы сингулярного спектра оператора Д. При этом сам спектр оператора А остается неизвестным. Заметим однако, что полученная оценка очень груба и не практична, так как если ess inf а(А(ш)) = О, А ф О (то есть Д имеет
Замечание 2.3. Условие с = b выполняется тогда и только тогда, когда верхняя и нижняя границы сингулярного спектра линейного оператора Д совпадают. Это будет иметь место в том случае, если неопределенность имеет вид
Теорема 2.1 даёт достаточные условия внутренней устойчивости систем, неопределённость которых ограничена по анизотропийной норме. Данная теорема позволяет ослабить консервативное условие -Рцоо І/є теоремы о малых приращениях, заменив его на условие (2.12) в том случае, когда возмущения, воздействующие на объект Р являются гауссовским (вообще говоря не белым!) шумом с ограниченной средней анизотропией. Уровень анизотропии с в данном случае показывает, насколько можно понизить требования теоремы о малых приращениях, не потеряв при этом внутреннюю устойчивость. Из практических соображений желательно чтобы получаемый класс допустимых неопределенностей был как можно шире. Из этих соображений оценки сверху величин бис должны быть как можно более точными. Размер класса неопределенностей, описываемых включением (2.5) регулируется параметрами с и Ь. Известно, что, так как % -норма оператора не является индуцированной, то она не обладает свойством субмультипликативности. Поэтому в общем случае нельзя получить условий, аналогичных (2.14) при 6 = 0, гарантирующих внутреннюю устойчивость. Однако, так как ЦАЦг = л/т\іта- о Аа, то (2.14) показывает, что существуют объекты с неопределенностью вида (2.13), для которых условие РцІ2 ЦАЦг 1 означает внутреннюю устойчивость системы FU{P, А).
Погружение исходной задачи в более общую задачу Ноо -оптимизации
Задача, сформулированная в предыдущем разделе (задача 1), обладает той особенностью, что неопределённость описывается в пространстве состояний и является по сути матричнозначной решётчатой функцией, в то время как внешние возмущения являются последовательностями случайных векторов и описываются в частотной области. Такое различие в описании внешних возмущений и параметрических неопределённостей приводит к серьёзным трудностям при непосредственном применении известных методов оптимизации для её решения. Поэтому первым шагом к решению исходной задачи будет погружение её в более общую задачу, поставленную для нового объекта, не содержащего параметрическую неопределённость, но имеющего по сравнению с исходным объектом один дополнительный вход. Подобный подход широко применяется при синтезе робастных регуляторов для линейных систем с параметрической неопределённостью. В частности, вспомогательная система для исходной задачи строится по тому же принципу, что ив [2].
Указанное погружение позволяет свести исходную задачу робаст-ной анизотропийной Тіоо -оптимизации для системы с параметрической неопределённостью к задаче анизотропийной Ноо -оптимизации для полностью определенной системы. Для каждого фиксированного набора значений параметров 7і Для вектора параметров введём обозначения 7 = [7і 72 7з]Т Г = diag (7і,72)7з) и сформулируем новую задачу оптимизации.
Задача 2 Для заданной системы (3.8), вектора фиксированных неотрицательных параметров 7 и верхней границы а 0 уровня анизотропии входного сигнала найти допустимый регулятор К Є 1С, который минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы передаточной функции замкнутой системы T\{F, К), т.е. доставляет минимум функционалу J(K,7)= sup sup {Й-Г1/2 }. (3.9)
Теорема 3.1. Пусть 7 обозначает передаточную функцию от входа к выходу z системы (3.8). Решение задачи 2 является также решением следующей смешанной задачи оптимизации: для фиксированных неотрицательных параметров у, і = 1,3 найти допустимый регулятор К, такой что
По условию задача 2 разрешима, т.е. функционал \\Z\\p — Ті 11 71 ll ограничен сверху, что имеет место только при выполнении условия 11 IIоо 71- Аналогично доказывается, что Т 2оо Ъ и 11IU 7з-
Заметим сразу, что утверждение, обратное утверждению теоремы 3.1, вообще говоря, не верно, т.е. требования к регулятору в задаче 2 являются более «жёсткими», чем в (3.10). Если же в (3.10) потребовать дополнительно, чтобы регулятор К был центральным [44], то для теоремы 2 будет верно и обратное, а именно указанные задачи станут эквивалентными.
Следующая теорема даёт связь между решениями исходной задачи 1 и задачи 2.
Так как 7ОІ 0, г = 1,3, условия (3.12) являются достаточными условиями экстремума в задаче нелинейного программирования (3.13) [22]. Отсюда для любого К Є К. пара ((w(K), rj{K)), То) является седло-вой точкой функции Лагранжа С(К, w, 77,7) [22], что означает выполнение равенства inf7 J(K,j) = ,/(/ ,70)- Теорема полностью доказана.
Теоремы 3.1 и 3.2 означают, что можно свести исходную задачу к новой задаче, которую назовём задачей смешанной ABa/Hoo-оптимизации (или просто смешанной ЛВа/Тіоо -задачей) 3. Критерием качества этой новой задачи является минимизация функционала (3.9), который мажорирует функционал качества (3.6) исходной задачи 1, причём разность J (К, у) — JQ(K) минимальна, если j = 70 удовлетворяет условиям теоремы 3.2.
Множество (3.15) образовано регуляторами, которые являются решениями задачи смешанной ЛВа/Ноо -оптимизации, соответствующей предположению, что вход W замкнутой системы fi(F, К) генерируется известным формирующим фильтром (Зо Є Qa (т.е. W = GQ V), а вход r\ генерируется известным формирующим фильтром G\ Є TZH xmi, так что ц = G\ W. Множество (3.16) образовано «наихудшими» фильтрами, генерирующими сигналы с ограниченной анизотропией при фиксированных регуляторе К Є /С и фильтре G\ Є TZH 3Xmi. Аналогично, множество (3.17) образовано фильтрами с неограниченной анизотропией при фиксированных регуляторе К Є /С и фильтре Go Є Go.
Если выполнены предположения (А)-(Е) раздела 3, то множество (3.15) состоит из регуляторов, определяющих единственный вход-выходной оператор. Будем предполагать, что множества (3.16) и (3.17) не пусты.
Решение задачи 2 начнём с нахождения «наихудшего» входа т] с ограниченной энергией. Под «наихудшим» входом понимается сигнал rj = G\ W, доставляющий максимум функционалу С(К, GQ, GI) при заданных К и Go- Так как сигнал г) полностью определяется фильтром G\, то под нахождением сигнала фактически понимается определение реализации фильтра G\ в пространстве состояний.
Постановки классических детерминированных и стохастических задач оптимального управления линейными объектами с возмущениями
Рассмотрим обобщенный линейный стационарный объект F, функционирующий в дискретном времени. Объект F замкнут линейным регулятором К, как показано на рисунке 3.2. Реализация системы F в пространстве состояний имеет вид Xkn = Ахк + B0wk + В2ик, zk = С\хк + i2«fc, - о к со, (4.1) Ук = C2xk + D2iwk. Для реализации (4.1) предполагаются выполненными стандартные для задач оо предположения (А)-(Е) [38].
Пусть о входном возмущении известно, что последовательность W является гауссовским белым шумом с нулевым средним. При этом интенсивность этого шума априорно неизвестна. Сформулируем следующую задачу оптимизации:
Задача 3 (синтез % -оптимального регулятора) Для заданной системы F найти регулятор К Є 1С, доставляющий минимум функционалу качества \\Fi(F,К)\\1 = \\Z\\l
Задача 3 является задачей синтеза линейно-квадратичного регулятора. Физический смысл такой постановки состоит в подавлении внешних возмущений W в том случае, когда последовательность W является гауссовским белым шумом с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей. Задача была решена в работах [38,46].
Предположение о принадлежности входного возмущения классу некоррелированных гауссовских возмущений является довольно сильным и не всегда допустимо. В случае, когда входное возмущение W не является гауссовским белым шумом, логично предположить, что входное возмущение является сигналом с ограниченной энергией. Задача подавления таких возмущений может быть сформулирована следующим образом:
Задача 4 (синтез Ноо -оптимального регулятора) Для заданной системы F найти регулятор К Є К, доставляющий минимум функционалу качества }(F,/Г)! .
Задача, сформулированная в таком виде, является довольно сложной с точки зрения нахождения аналитического решения, так как возникающей в ней функционал качества не является выпуклым по возмущению W и управлению U. Поэтому, её решение начинают с погружения в субоптимальную задачу:
Задача 5 (синтез Ноо -субоптимального регулятора) Для заданной системы F и фиксированного параметра 7 О найти регулятор К Є К, обеспечивающий выполнение неравенства \\HF,K)\\oo l.
Решение последней задачи существует тогда и только тогда, когда 7 inf K F, if) оо. В случае выполнения последнего неравенства, решение задачи 5 образует, вообще говоря, множество решений. Из множества решений задачи 5 мы можем получить сколь угодно близкое приближение к решению задачи 4, последовательно уменьшая параметр 7 ДО минимально возможного. Недостаток такой процедуры в том, что она может быть реализована только численно, то есть в результате мы не получаем аналитического решения задачи 4, а получаем только сколь угодно точную численную аппроксимацию оптимального решения. Кроме того, практика показывает, что сама процедура оказывается довольно трудоемкой, потому что на каждом шаге мы должны заново решать задачу 5. Тем не менее других общих методов, позволяющих получить решение оптимальной задачи с меньшими затратами на сегодняшний день нет. Одной из альтернатив решения оптимальной задачи без погружения её в субоптимальную задачу является интерполяционный метод Неванлины-Пика применимый только для систем со скалярным входом и скалярным выходом [33,65].
Среди всех решений задачи 5 существует решение, называемое центральным регулятором, которое для фиксированного 7 ШІлгєк. II - (- )-ЮНоо минимизирует функционал sup {І2 — 72W111}- В [59] показано, что среди всех субоптимальных регуляторов К Є К разность \\ J i(F, К) - mfKic \\ Fi(F, К)\\оо минимальна именно на центральном регуляторе. В работах [47, 59] показано, что центральный регулятор является решением следующей задачи:
Задача 6 Для заданной системы F и фиксированного 7 0 найти регулятор К Є К., доставляющий минимум функционалу качества "" Indet (lm - 7"2 (,(F, К)) t(F, К)) dw, где Fi(F,K)= lim Tx (F(reiu}),K(reiu)) г—»1-0 ч (4.2) и обеспечивающей выполнение неравенства \\fi(F, if)lloo 7 Решение задачи б существует и единственно для любого 7 тїкєіс (F, К)OQ. При 7 —» +оо решение задачи б является решением задачи 3 (см. [58], стр. 32, теорема 3.7.1).
Интересна связь перечисленных выше задач с задачей нахождения регуляторов, чувствительных к риску [68,69]. Задача синтеза некото рых из таких регуляторов, называемых осторожными, формулируется следующим образом: Задача 7 Для заданной системы F и фиксированного параметра в Є К найти регулятор К Є К, доставляющий минимум функционалу качества При в — -0 решение задачи 7 является решением задачи 3 [42]. В работах [42,58,62] показано, что при в = —7 2 оптимальный осторожный регулятор минимизирует функционал энтропии (4.2), то есть является решением задачи 6.
