Разработка алгоритмов и программного обеспечения для оптимального управления классом динамических нелинейных объектов Янда Мирослав

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Обзор и анализ методов и алгоритмов построения оптимальных систем. Постановка задачи

1.1.. Задачи оптимального управления динамическими объектами; класс нелинейных управляемых объектов 10

1.2.Обзор и анализ работ в области оптимального управления 19

1.3. Принцип Л.С.Понтрягина и особенность его применения к классу исследуемых объектов .29

1.4.Постановка задачи и цели работы 35

1.5.Выводы 37

Глава 2. Итеративные численные алгоритмы на основе принципа Понтрягина 38

2.1.Выбор критерия оптимальности 38

2.2. Блок - схема и описание алгоритма оптимального быстродействия 40

2.3.Анализ алгоритма 54

2.4.Блок - схема и описание алгоритма оптимального управления по минимуму расхода энергии

2.5.Выводы 74

Глава 3. Разработка программного обеспечения, оценка вычислительных аспектов предлагаемого алго ритма с помощью машинного моделирования 76

3.1. Системы, оптимальные по быстродействию. Базовая программа 76

3.2.Системы, оптимальные по минимуму энергии. Базовые программы 88

3.3.Машинное моделирование и сравнение оптимального управления нелинейными и линеаризованными моделями 101

3.4.Выводы 114

Глава 4. Решение прикладных задач 115

4.1.Оптимальное управление движением автомобиля 115

4.2.Оптимальное управление движением крана с грузом 123

Основные выводы 128

Литература

• Задачи оптимального управления динамическими объектами; класс нелинейных управляемых объектов
• Принцип Л.С.Понтрягина и особенность его применения к классу исследуемых объектов
• Блок - схема и описание алгоритма оптимального быстродействия
• Системы, оптимальные по быстродействию. Базовая программа

Введение к работе

Из программы научно-технического развития, утвержденной ХУІ съездом КПЧ, вытекает, что одним из главных направлений научно-технической политики является интенсивное и эффективное использование всех источников энергии. Из этого вытекает необходимость повышения качества управления на всех уровнях внедрения новых достижений науки в производство, использования достижений технической кибернетики и робототехники.

Сложные задачи, поставлены, в частности, перед машиностроением, которое в Чехословакии является одной из ведущих отраслей народного хозяйства. При анализе проблемы развития любой отрасли современного народного хо -зяйства мы всегда должны базироваться на достижениях машиностроения, учитывать технический уровень и качество его изделий. Дальнейшее развитие машиностроения во многом зависит от темпов внедрение новых идей и разработок технической кибернетики, оптимальных и адаптивных систем, от широкого внедрения в практику матаматических методов решения инженерных задач и др.

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию и созданию оптимальных систем управления динамическими объектами. В настоящей работе исследуется оптимальное управление.динамических объектов, которые можно описать матеметической моделью в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на физическую ясность методов синтеза оптимального управления, часто в практических задачах возникают определенные математические и вычислительные трудности. В связи с этим одним из актуальных направлений в развитии теории и практики оптимального управления является создание алгоритмических методов оптимизации систем управления, основанных на использовании средств вычислительной техники.

Диссертационная работа посвящена разработке и проверке численных итерационных алгоритмов решения задачи оптимального управления одного класса нелинейных динамических объектов, линейных относительно вектора управления. Предпологается, что управление ограничено по величине.

В работе рассмотрена задача синтеза систем, оптимальных по быстродействию и расходу энергии. Эти задачи являются очень важными, особенно при проектировании систем оптимального управления движущимися объектами, имеющими ограниченный запас энергии для осуществления управления. Эти две задачи очень тесно связаны между собой, но являются противоречивыми, а поэтому рассматривать их надо совместно. В работе исследуется класс нелинейных динамических объектов, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений, что характерно для описания большинства механических систем. Решение поставленных задач выполнялось на основе принципа Л.С. Понтрягина.

Тематика работы соответствует планам научно-исследовательских работ Научно-исследовательского автомобильного института в Праге (ЧССР) и решалась в рамках государственного задания Р 19-124-257 "Исследование новых приводов".

В первой главе диссертации дается постановка задачи и краткий обзор известных методов и алгоритмов построения оптимальных систем.

В начале сформулированна общая задача оптимального управления динамическими нелинейными объектами.

Решения задач оптимизации нелинейных систем связаны с большими трудностями. Не все задачи оптимального управления могут быть решены на сегодняшний день применением существующих методов определения оптимумов. Известные методы требуют выполнения различных условий и обеспечивают оптимизацию управления лишь ограниченным классом объектов. Основными трудностями при решении статических нелинейных задач является многоэкстремальность функции цели. Методы применяемые для решения динамических задач оптимизации тоже требуют выполнение определенных условий, например дифференцируемоеть уравнений динамической системы, функционала и уравнений ограничений.

Процессы, протекающие в нелинейных системах, фактически отличеются от процессов, которые протекают в линейных или линеаризованных системах, и если в линейных системах различные значения начальных и граничных условий или внешнего воздействия не влияют на качественную сторону динамики системы, то в нелинейных системах это далеко не так.

При анализе многих практических задач управления классом нелинейных объектов, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений (которые описывают управление движением массы) оказалось, что управляющая величина (сила, момент) входит линейно. Сюда относится, например, большинство систем, динамику которых можно матеметически описать на основе уравнений Лагранжа. Приведены конкретные примеры таких систем.

В разделе 1.3. рассмотрены особенности и преимущества применения принципа Понтрягина для построения численных методов решения задачи оптимального управления. При использовании принципа Понтрягина для построения численных методов необходимо решать двухточечную краевую задачу для дифференциальных уравнений состояния объекта и сопряженной системы. Задачу можно рассматривать как задачу минимизации некоторой нормы расхождений между требуемыми и полученными в результате решения значениями переменных на противоположном конце траектории по п параметрам. Особенность ее в том, что зависимость минимизируемой функции от искомых параметров за -дана через решение системы уравнений Понтрягина.

Во второй главе дается описание разработанных ал -горитмов численного итеративного решения задачи оптимального управления и подробный анализ алгоритмов. Алгоритмы решают задачу оптимального управления методом варьирования оценки начальных условий сопряженной сие -темы уравнений. Универсальный характер разработаных алгоритмов позволяет решать широкий класс задач оптималь - 8 ного управления для различных типов критериев. В алгоритмах предложена стратегия улучшения оценки граничных условий краевой задачи путем минимизации нормы расхождений между требуемым и достигаемым на каждой итерации состояниями с помощью методов статической оптимизации и вычислением матрицы частных производных. Предложен модифицированный (по сравнению с широко применяемым квадратичным) вид критерия минимума расхода энергии.

В третьей главе разработано программное обеспечение и методика его адаптации для решения оптимального управления конкретными объектами. Предложены универсальные базовые программы, включающие 16 программ ж подпрограмм (для трех видов критериев оптимального управления), из которых легко получить рабочие программы путем подстановки уравнений состояния и вспомогательных переменных конкретной системы. Описаны примеры создания конкретной программы (42 программы и подпрограммы). Особое внимание в главе уделено решению конкретных примеров, заданных в численном виде. Подобная иллюстрация является лучшим средством для демонстрации возможностей предлагаемого метода. Осуществлена оценка эффективности предлагаемых алгоритмов оптимального управления путем постановки машинных экспериментов и сравнения результатов управления нелинейными и соответствующими линеаризованными системами, которые свидетельствуют об эффективности предложенных алгоритмов для оптимального управления нелинейными объектами.

В четвертой главе диссертации указано решение прикладных задач, связанных с оптимизацией управления с реальными движущимися механическими объектами.

Разработанные в диссертации алгоритмы и методы прошли экспериментальную проверку и нашли практическое применение в решении прикладных задач по оптимизации управления в Научно-исследовательском автомобильном институте в Праге и на автомобильных заводах в Чехословакии. 

Задачи оптимального управления динамическими объектами; класс нелинейных управляемых объектов

Проблемы, связанные с оптимальными решениями, хорошо известны. Нахождение лучших вариантов при определенных возможностях выбора всегда представляло интерес, и с этими задачами постоянно приходится сталкиваться. Начиная с классических работ Бернулли, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона, Больца и др., положивших основу вариационному исчислению, проблеме оптимальных решений было посвящено много работ, существенно расширивших класс решаемых задач.

Для интенсивного и элективного использования всех источников энергии требуется повысить качество управления. В настоящее время большое внимание уделяется исследованию и созданию оптимальных систем управления динамическими объектами.

В практических задачах часто возникают определенные математические и вычислительные трудности, обыкновенно не существует аналитического решения задач оптимального управления. В связи с этим одним из актуальных направлений является создание численных итерационных методов оптимизации систем управления.

Сформулируем общую задачу оптимального управления - 11 [25,27,32,39] : Пусть динамический объект описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений состояния в векторной форме: X(t)-f[x(U,U(t)] } /I.I/ где X (t) — П -мерный вектор СОСТОЯНИЯ j U(t) — Г-мерный вектор управления . f — нелинейная (в общем случае) вектор -функция . Исходя из физических соображений, ограничим класс управляющих воздействий Ції) кусочно-непрерывными управлениями с ограниченными компонентами. Предполагается, что ) UttUft ; ii-{u= uCt)»yiiie I-W,....r где область допустимого управления U представляет собой замкнутое и ограниченное (компактное) подпрост г ранство г -мерного евклидова пространства К , не зависящее от t . Полагаем также, что функция t [х(1)1 непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным Х-и . Основная задача оптимального управления формулируется следущим образом : в начальный момент {„ = 0 система находится в состоянии x{U=x(o) , хєїТ) /1.2/ с помощью допустимого управления Lift) система должна быть переведена в заданное состояние - 12 в конечный момент времени їк » "J , где время у может быть как закреплено, так и свободно. Допустимое управление Ц(і) называется оптимальным, если функционал xw.uwjjt , А-4/ представляющий характеристику управления, достигает минимума.

Предполагается, что подинтегральное выражение jo I X(fl j U (і) J удовлетворяет условиям гладкости, принятым выше для вектор-функции f I X (і) J. Важным классом задач теории оптимального управления являются задачи на быстродействие. В этом случае /1.4/ имеют вид j0e 4 и I а Т. Управление оптимально, если оно обеспечивает минимальное конечное время Т. Траектория X(D" Х Ю , порожда-емая оптимальным управлением Ц Ш 5 Ц (0 , называется оптимальной траекторией. Эта траектория является решением векторного дифференциального уравнения /I.I/, в правой части которого стоит оптимальное управление Ц (0.

Управление цШ и траектория X tt) t удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, называется соответственно экстремальным управлением и экстремальной траекторией. Любое оптимальное управление является также экстремальным, так как оно удовлетворяет необхо - ІЗ димому условию. Обратное утверждение в общем случае неверно: чтобы экстремальное управление было в то же время и оптимальным, оно должно также удовлетворять достаточным условиям.

Принцип Л.С.Понтрягина и особенность его применения к классу исследуемых объектов

В разделе 1.2. были отмечены основные особенности применения принципа Понтрягина для создавания численных итеративных алгоритмов оптимального управления. В этом разделе рассмотрено применение принципа Понтрягина для оптимального управления классом объектов типа /1.10/ .

Принцип минимума для нелинейных систем определяет необходимые условия оптимальности управления. Он пред -ставляет распространение вариационного исчисления на область задач, в которых:

а) вектор управления подчинен ограничениям. Класс уп равляющих воздействий U(i) ограничивается кусочно -непрерывными управлениями с ограниченными компонента ми. Таким образом, предполагается, что где область управления U представляет собой замкнутое и ограниченное (компактное) подпространство Г - мерного евклидова пространства R [27 , 4 , и] . б) В общем случае вектор Ц (і) должен удовлетворять соотношениям : где /. и Rj скалярные функции. При фиксированном х соотношения /I.II/ определяют в Г-мерном евклидовом пространстве R область У,(х) допустимых значений управления . Область управления Ц(Х) изменяется вместе с изменением вектора состояния X, т.е. является переменной [7, 15, 17, II ].

в) На координаты состояния системы накладываются ограничения типа неравенств б.(х) 0 Й- , -Л). /ІД2/ (Задана область В » определяемая системой неравенств /I.I2/)

В [27] были получены П.В.Гамкрелидзе необходимые условия оптимальности в открытом ядре области В, на границе области В и условия скачка (условия, которые должны выполняться в точках стыковки отдельных участков оптимальной траектории) [II, 8J.

Сформулируем упрощенный вариант принципа минимума Понтрягина, ориентированный на исследуемый класс объектов:

В уравнениях общей задачи (гл.1.1) с /I.I/ по /1.9/ заменим общее уравнение объекта /I.I/ конкретным уравнением /1.10/: - зі В соответствии с предложенным Понтрягиным методом , , 36 , введем вспомогательные переменные, удовле творяющие системе уравнинии :

Система уравнений /I.I3/ называется сопряженной по отношению к системе /1.10/ . Заметим, что уравнение /I.I3/ соответствует уравнению Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении.

Построим теперь гамильтониан или введенную Понтрягиным функцию состояния : НР=НР(р,х ,u)-p.jf(x,a)+pTf« [BMa] А-"/ Таким образом, гамильтониан является скалярной функцией (cLn+j +г) переменных. Системы уравнений /1.9/ и /I.I3/ можно объединить одной формой запи Л ЪЪ /I.I5/ rt о Нр Р " Ьх /і.іб/

Уравнения /I.I5/ и /I.I6/ называются каноническими уравнениями Гамильтона. При фиксированных значениях X (і) и р () функция Пр становится функцией только управления LL Согласно принципу минимума мной системы и задачи с закрепленными концами необходимое условие оптимального управления U(l) и траектории Х({) » для которых функционал I принимает наименьшее возможное значение, состоит в существовании непрерывной ненулевой вектор-функции р (t) , задаваемой решением вспомогательной системы и такой, что (2) для всех іє „ к функция Нр(р и) достига-ет по U минимума, т.е. Ир{р , , U J = М (р , X ) (Л2) в конечный момент времени І выполняются соотношения -о . Часто в качестве р„ ==- уо можно выбрать значение po- f [27 J . В этом случае достаточно ограничиться л каноническими дифференциальными уравнениями

Блок - схема и описание алгоритма оптимального быстродействия

Таким образом, оптимальное управление будет кусочно-постоянной функцией времени со значениями, принадлежащими вершинам г-мерного куба Ц.

Оптимальное управление как функцию времени можно было бы определить точно, если бы были известны соответствующие временные зависимости p-L(i) или вектор-функция р (Ї) , определяемые состоянием объекта. Для этого требуется знать начальное р(0) или конечное 0) условия, которые являются нелинейными функциями граничных условий Л(0) и Х(У и не могут быть определены заранее. Оказывается возможным решать весьма сложные нелинейные двухточечные краевые задачи вариационного исчисления использованием численных итерационных методов.

Идея итерационных методов, основанных на принципе Понтрягина состоит в том, что сначала выбирают допустимое решение системы /І.Ю/ Х= j{X) +B.u ; lam с учетом одного или двух из следующих условии: а) сопряженная система р =1-- -- » б) начальные и конечные условия Х(о);Р(Р);Х(ік);р(ік)} В) УСЛОВИЯ ОПТИМаЛЬНОСТИ ц -gign Q р ,

В итерационных методах, основанных на вариационном исчислении, условия в) замещено условием экстремума гамильтониана Затем это допустимое решение модифицируется так, что в конце удовлетворяются и остальные условия.

Предлагаемый итерационный алгоритм АІ решения задачи оптимального управления использует знание уравнений системы, сопряженной системы и условия оптимальности. В соответствии с этим алгоритмом последовательно улучшается первоначальная оценка р (0) до тех пор, пока не будут удовлетворены конечные условия Х(У, рис. 2-І .

Используется модифицированный принцип Понтрягина для управления нелинейными динамическими объектами с ограниченной величиной управления. Предложено решение изменения оценки р (0) с возможностью использования известных методов статической оптимизации.

Описание алгоритма АІ (это итерационный алгоритм решения задачи оптимального быстродействия с применением принципа минимума. Последовательно улучшается градиентным методом первоначальная оценка вспомогательной переменной р(0) , пока не будут удовлетворены представлена на рис. 2-І..структурная схема ал - 43 рис. 2-І горитма AI на рис.2-4. Этап /I/ - Задаются начальные приближения вектора сопряженной системы уравнений р(0) и терминального времени tt . Этап /2/ - Осуществляется численное интегрирование уравнений /І.Ю/, /2.2/ или /I.I5/, /I.I6/ (канонические уравнения Гамильтона); ис-вользуя /2.4/ дою вычисления {/ и начальные условия X (0) . - 44 Этап /3/ - Производится проверка выполнения конечных условий (блок сравнения Х(Ы - рис. 2-І).конечные условия вектора состояния X (tj ). Схема реализации алгоритма

Этап /4/ - Если Х({/) ХО ) - следует непосредственное численное дифференцирование. (Требует (п+4 ) дополнительных интегрирований нелинейных уравнений /1.10/, /2.2/ с использованием /2.4/. При каждом таком интегрировании одна из компонент р (0) и t г изменяется на малую величину относительно начального приближения или последующих приближений). В результате получим приближенную матрицу частных производных, которую применим на этапе /5/ в уравнении /2.10/:

Системы, оптимальные по быстродействию. Базовая программа

По алгоритму AI была разработана базовая программа А830Р (структурная схема представлена на рис. 3.1 - 0), в которую можно вставить (например, программой редактирования) исходную информацию по конкретной системе: уравнения состояния /1.10/, уравнения вспомогательных переменных /2.2/ и выражение оптимального управления /2.4/.

Программа A83QP использует подпрограмму ADI для численного решения дифференциальных уравнений (метод Адамса) с переменным шагом интегрирования. Подпрограмма Й0Ї использует две подпрограммы. Подпрограмма A83RE записывает на каждом шаге интегрирования вычисленные данные (формирует файл А830Р . опт ) и определяет момент окончания интегрирования подпрограммой /IDf . Подпрограмма А83 Rt определяет выражение оптимального управления и правые части дифференциальных уравнений состояния и вспомогательных переменных . Численное интегрирование с помощью подпрограммы Л01 осуществляется в программе А830Р два раза. Первый раз численное интегрирование уравнений используется для оценки приближения р (0) , W- номер итерации. В результате получим временные зависимости $(U, О Ш, ц () . Второй раз он используется в цикле (n + 4 ) дополнительных интегрирований, в результате которых получим приближенную матрицу частных производных, которую применим (по используемой стратегии изменения оценки р (0) ) для коррекции оценки р (0)= р(0) + Ар

Применение базовой программы A83QP , для решения оптимального управления конкретной системы, осуществляется в два этапа: I. этап - оформление конкретной программы. 1) Программой редактирования вводим в базовую программу название конкретной программы и подпрограмм вместо базовых названий А830Р , A83RE , A83RE , A83RB (например вместо знака применим знак I). 2) В операторе типа PARAMETER надо определить размерность вектора состояния IM, размерность вектора управления IR , ограничение на вектор управления ІШАХ и UMIN , окрестность точки конечного состояния BETA, максимальное число шагов ШАХ. 3) В подпрограмму A83RI включим правые части уравнений состояния /1.10/, уравнений вспомогательных переменных /2.2/ и выражение оптимального управления /2.4/. 4) Протранслируем созданную программу. 2. этап - применение конкретной программы и вспомогательных программ.

1) В диалоговом режиме задаются начальные и конечные условия вектора состояния, оценки начального состояния вспомогательного вектора, константы градиента и параметров точности интегрирования, максимальное число шагов интегрирования и окрестность точки конечного состояния. 2) После окончания вычисления основные результаты печатаются на терминале. 3) Результаты расчетов - временные зависимости вектора состояния, вспомогательного вектора и вектора управления для отдельных итераций (последняя итерация представляет результат - оптимальное управление) записываются в файле А830Р .

DAT. Данные файла можно отобразить применением программ OPKRES и APKRES. Программа APKRE5 рисует временную зависимость вектора состояния Х(Й и вспомогательного вектора р Ц) для всех итераций и характеристику управления на плоскости состояния (для Ш = 2). В графике временной зависимости вектора рг() красным цветом представляется оптимальное управление u(t) (для IR =1).