Введение к работе
Актуальность темы. В современном мире технических устройств повышающиеся требования к надежности, помехоустойчивости, точности управления и другим параметрам приводят к необходимости строгого учета даже незначительных флуктуации полезных сигналов на фоне искажений различной природы. Математический аппарат стохастических процессов, шумов в радиофизике, радиотехнике, системах автоматического управления и других областях науки и техники постоянно совершенствуется работами многих авторов, и этот процесс, видимо, далек от завершения.
Наличие на выходах различных технических устройств внутренних шумов, имеющих разнообразную природу (тепловой шум, дробовой шум, фликкерный шум и др.), а также воздействие на входы устройств различных внешних шумов (космические шумы, шумовые помехи от внешних источников и т.д.) в подавляющем числе практических случаев, строго говоря, дает нам возможность рассуждать о вероятностной составляющей любого обрабатываемого техническим устройством (в том числе линейными непрерывными динамическими системами (ЛНДС)) сигнала.
Среди многообразия методов обработки сигналов следует особо выделить нелинейные преобразования с последующей фильтрацией полезного сигнала, как наиболее перспективные и эффективные. Введение нелинейности наряду с очевидными преимуществами порождает также ряд трудностей, связанных, в первую очередь, с преобразованиями спектров сигналов и их последующей линейной фильтрацией. Особенно остро эта проблема касается случайных процессов (СП), т.к. нелинейные преобразования изменяют их тип распределения.
Наиболее просто плотность распределения вероятностей (ПРВ) СП на выходе линейной динамической системы можно найти, если на входе действует гауссовский СП. Однако, если входной СП имеет распределение, отличное от нормального, вычисление вероятностных характеристик выходного СП представляется сложной задачей.
Решению данной задачи посвящены работы Р.Л. Стратановича, П.И. Кузневова, В.И. Тихонова, А.Н. Малахова, Ш.М. Чабдарова, Д. Миддлтона, В.Б. Довенпорта, В.Л. Рута, Б.Р. Левина, Ю.С. Шинакова, А.П. Трофимова, Н.А. Лифшица, В.Н. Пугачева и многих других широко известных авторов.
При нахождении статистических характеристик выходного СП при входном негауссовком СП широко применяется процесс нормализации закона распределения при его прохождении через линейное звено. Он заключается в том, что процесс на выходе приближается к нормальному закону, в то время как процесс на входе отличается от нормального. Множество исследований, явно или не явно опираясь на центральную предельную теорему (ЦПТ), декларируют, что СП на выходе системы является гауссовским независимо от статистики шума на входе. В этом случае, входной шум также принято аппроксимировать как белый гауссовский шум и использовать хорошо разработанные методы работы с гауссовскими СП.
Основные проблемы возникают в случаях, когда воспользоваться ЦПТ не представляется возможным или ее использование влечет за собой существенные погрешности, которые порой сопоставимы с полученным результатом. Наличие корреляционных связей между СП на входе, превалирование отсчетов одного СП над другими - все это фактически запрещает использование ЦПТ и порождает проблему нахождения многомерной ПРВ СП на выходе линейной динамической системы при входном негауссовском СП.
В ряде работ подчеркивается тот факт, что рассмотрение случайной величины (СВ) исследуемого параметра как априори подчиняющегося нормальному закону есть «само по себе, серьезное допущение». Так, качество приема и обработки сигналов при тривиальной аппроксимации входного СП гауссовским распределением в ряде случаев становится неприемлемым. Например, если квадратурные составляющие сигнала имеют нормальное распределение, то амплитуда этого сигнала - распределение Релея.
В настоящее время известен ряд статистических методов, направленных на разрешение данной проблемы, большинство из которых не позволяют найти ПРВ размерности п > 2 на выходе линейных систем.
В последнее годы был разработан прямой статистический анализ, основой которого является описание параметров исследуемых систем в вероятностном смысле. Показано, что для широкого класса линейных динамических систем, математические модели которых представимы интегральными уравнениями, можно получить многомерную произвольной размерности п плотность распределения вероятностей выходного случайного процесса. В частности, для линейных динамических систем, описываемых интегральным уравнением Вольтерра 2 рода (в первую очередь для систем автоматического управления) предложены два основных способа решения: метод резольвентного ядра и принцип сжатых отображений.
Принцип сжатых отображений, позволяющий найти решение уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений, хорошо представлен в литературе. Доказано существование и единственность решения уравнения, приведены условия сходимости ряда приближений и т.д. Однако теоретические основы метода последовательных приближений в рамках прямого статистического анализа все еще недостаточно разработаны, их совершенствование - есть предмет исследования данной диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является развитие математического аппарата метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных динамических систем.
Указанная цель достигается решением следующих задач: 1) разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы с детерминированными параметрами;
разработать математическую модель приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы со случайными параметрами;
проанализировать зависимость полученных математических моделей от структурных изменений линейной непрерывной динамической системы;
разработать программные продукты, реализующие найденные математические модели;
экспериментально оценить статистические характеристики выходных случайных процессов линейных непрерывных динамических систем с помощью разработанных математических моделей.
Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории вероятностей, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления, имитационного компьютерного моделирования.
Научная новизна состоит в следующем:
Доказана истинность найденного аналитического выражения для приближения произвольного порядка т многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы при произвольном (в том числе негауссовском) входном воздействии.
Получены аналитические выражения для приближений произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода линейной непрерывной динамической системы с детерминированными и случайными параметрами.
Выполнен анализ полученных решений при нулевых и частично-нулевых параметрах линейной непрерывной динамической системы.
С помощью разработанных программных продуктов получены методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе характеристики случайных процессов на выходе линейных непрерывных динамических систем при негауссовских случайных воздействиях.
Практическая значимость и внедрение. Предложенные в диссертационной работе математические модели и разработанные программные продукты позволяют выполнить прямой статистический анализ методом последовательных приближений линейных непрерывных систем автоматического управления, измерительных приборов и прочих линейных динамических систем произвольного порядка с детерминированными и случайными параметрами при произвольных (в том числе негауссовских) случайных процессах с известными характеристиками на входе с получением всех необходимых характеристик выходного случайного процесса.
Доказанная общая закономерность построения приближения произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода и выполненный анализ учета структурных изменений ЛИДС могут быть
использованы при решении аналогичных задач применительно к нелинейным непрерывным системам автоматического управления, а также к линейным и нелинейным цифровым системам автоматического управления.
Полученные результаты использованы в фирме ООО «Телека» при расчете производительности межпроцессорного взаимодействия.
Часть результатов диссертационной работы использованы в учебном процессе на кафедре «Теория цепей и телекоммуникации» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева при проведении занятий для студентов по направлению 210400 Телекоммуникации.
Отдельные результаты исследований вошли в состав отчетов по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем" (№ гос. регистрации 01.2.007 03945) в 2007, 2009 гг.
Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических международных конференциях: Международная научно-техническая конференция "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения" (г.Нижний Новгород, 2007); VIII Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (г.Санкт-Петербург, 2009); Международная научно-техническая конференция "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ - 2010" (г.Мурманск, 2010).
Основные положения, выносимые на защиту заключаются в следующем:
Формулировка и доказательство утверждения о построении приближения произвольного порядка т решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода является основой синтеза общей математической модели искомой плотности распределения вероятностей произвольной размерности п выходного случайного процесса линейной непрерывной динамической системы при произвольных (в том числе негауссовских) входных случайных воздействиях и разработки соответствующего программного обеспечения.
Выполненный анализ решения уравнения Вольтера 2-го рода для детерминированных, случайных, нулевых и частично-нулевых параметров показал, что прямой статистический анализ позволяет при произвольном случайном воздействии находить методом последовательных приближений любые статистические характеристики выходного случайного процесса для широкого класса линейных непрерывных динамических систем: систем с детерминированными или случайными параметрами, систем с задержкой и пр.
Аналитическое представление приближения произвольного порядка m искомой многомерной произвольного порядка п плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы позволяет существенно проще, по сравнению с известными методами, адаптировать решение при изменении как характеристик входного случайного процесса (вид распределения,
математическое ожидание, дисперсия, и пр.), так и параметров исследуемой системы (изменение номиналов элементов системы, структурные изменения и т.д.).
4) Разработанные программные продукты обеспечивают получение решений задач статистического анализа реализуемых линейных непрерывных динамических систем любого порядка при входных в общем случае негауссовских коррелированных случайных процессах.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 15 работах. Из них 4 статьи депонированы в ВИНИТИ РАН, 3 статьи опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК для публикации научных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук, 2 главы в отчетах по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем", 4 тезиса докладов в трудах международных научно-технических конференций. В Федеральной Службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам получены 2 свидетельства об официальной регистрации разработанных программ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состроит из введения, трех глав, заключения и списка использованных литературных источников. Общий объем работы составляет 158 страниц, включая 9 рисунков. Список литературы состоит из 120 наименований.
