Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические методы среднеквадратичного оптимального синтеза в частотной области 12
1.1. Общая постановка задачи и обзор литературы по теме исследований 12
1.2. Частотные методы синтеза оптимальных стабилизирующих управлений 28
1.3. Абсолютный минимум среднеквадратичного функционала 35
1.4. Среднеквадратичная оптимизация для гармонических возмущающих воздействий. Гарантирующие регуляторы 43
1.5. Среднеквадратичный синтез при частично фиксированной структуре обратной связи 54
ГЛАВА 2. Методы и алгоритмы оптимизации систем управления движением в условиях волнения моря 60
2.1. Математические модели объектов управления и внешних воздействий от морского волнения 60
2.2. О структуре стабилизирующих законов управления на базе обобщенных наблюдателей 76
2.3. Оптимальный синтез дополнительных фильтрующих элементов для регулятора с обобщенным наблюдателем 85
2.4. Основные задачи стабилизации МПО на волнении и квазиоптимальный подход к их решению 90
ГЛАВА 3. Примеры стабилизации морских подвижных объектов при наличии ветроволновых возмущений 99
3.1. Алгоритмы стабилизации курса водоизмещающего надводного судна при малой скорости хода 99
3.2. Оптимальная стабилизация подводного аппарата при движении вблизи взволнованной поверхности моря 111
3.3. Управление движением быстроходного глиссирующего катера с интерцепторами в режимах «точный» и «экономичный» 119
Заключение 131
Литература
- Частотные методы синтеза оптимальных стабилизирующих управлений
- Среднеквадратичная оптимизация для гармонических возмущающих воздействий. Гарантирующие регуляторы
- О структуре стабилизирующих законов управления на базе обобщенных наблюдателей
- Оптимальная стабилизация подводного аппарата при движении вблизи взволнованной поверхности моря
Частотные методы синтеза оптимальных стабилизирующих управлений
В качестве базового аналитического подхода для исследований динамики подвижных объектов, функционирующих под воздействием морского волнения, естественно принять теорию среднеквадратичной оптимизации [7], [86], [81], [92], [39], [70]. Этот подход представляется в достаточной мере адекватным тем задачам, которые решаются при исследовании и проектировании систем управления движением с учетом волнения моря.
Осуществим общую формализацию решаемых в работе задач в рамках указанного подхода. Прежде всего, введем в рассмотрение математическую модель объекта управления, представленную в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Здесь хеЕ"- вектор состояния объекта, їїєЕ"2- вектор управлений, f є Ev - возмущение (y ri), F - векторная функция соответствующей размерности, компоненты которой непрерывны и дифференцируемы по совокупности своих аргументов в окрестности некоторого заданного контролируемого движения х = х (Г), u = vip(t), f=fp(t), удовлетворяющего системе (1.1.1)
Обозначим через x=x(f), u=u(t), f=f(f) отклонения соответствующих переменных в (1.1.1) от указанного движения, определяя этим соотношения
После подстановки последних соотношений в (1.1.1) получим уравнения возмущенного движения объекта в отклонениях от контролируемого движения
Из последних соотношений следует, что при условиях х(ґ) = О, u(/) = 0, f(/) = 0 система (1.1.2) находится в положении равновесия, что соответствует контролируемому движению объекта управления. С учетом свойств функции F в (1.1.1), система (1.1.2) может быть линеаризована в окрестности своего положения равновесия, что приводит к системе линейных дифференциальных уравнений объекта управления вида
В дальнейшем будем считать, что уравнения исходной модели (1.1.1), а также рассматриваемое контролируемое движение таковы, что матрицы А, В, Н не зависят от времени, т.е. их компоненты являются константами и выполняются два условия:
Также будем предполагать, что вектор х не доступен непосредственному измерению и измерительные устройства выдают информацию лишь о части компонент вектора состояния. Иными словами, непосредственному измерению подлежит вектор у є Ек, размерность которого меньше, чем размерность векторах, т.е. к п.
В общем случае между векторами х и у существует нелинейная связь. Однако будем считать, что она допускает линеаризацию, которая приводит к системе линейных уравнений Будем предполагать, что пара А, С вполне наблюдаема. Наряду с математической моделью объекта управления, введем в рассмотрение систему уравнений, представляющую динамику линейного устройства управления (регулятора непрямого действия [44]): даточная матрица регулятора, компонентами которой являются дробно-рациональные функции от р (множество таких передаточных матриц будем обозначать Q).
При нулевых начальных условиях по вектору z, используя представление системы (1.1.5) в изображениях по Лапласу, получим
Регуляторы вида (1.1.6), обеспечивающие асимптотическую устойчивость заданного движения х , її , f , будем называть стабилизирующими. Множество передаточных матриц W регуляторов таких, что характе W2(s)E ристический полином замкнутой системы A(s)=det - является гурвицевым, будем в дальнейшем обозначать символами Ц . Здесь A(s) = det(E - А) - характеристический полином разомкнутой системы (объекта управления), B(s) = A(s)(JLs - А)_1В - полиномиальная матрица, Ек и Ет - единичные матрицы размеров кхк и тхт.
Очевидно, что при прочих равных величина этого функционала однозначно определяется выбором передаточной матрицы W(p) стабилизирующего закона управления (1.1.6).
Определение 1.1.1. Задачей аналитического синтеза будем называть оптимизационную задачу вида о поиске наилучшего по отношению к функционалу J закона управления, стабилизирующего систему (1.1.3), (1.1.4), (1.1.6).
В дальнейшем основное внимание в работе будет уделено функционалам, характеризующим динамику замкнутой системы, находящейся под воздействием возмущений случайного характера.
Для конкретизации класса допустимых возмущений рассмотрим совокупность непрерывно дифференцируемых функций времени (p(t), удовлетворяющих трём требованиям:
В дальнейшем в качестве возмущения f будем рассматривать векторную функцию времени, компоненты которой принадлежат указанному классу. В частности, в качестве такого возмущения можно принять случайный векторный стационарный процесс, имеющий непрерывно дифференцируемые реализации, обладающий эргодическим свойством, имеющий нулевое математическое ожидание и характеризуемый заданной матрицей S/co) спектральных плотностей.
Тогда, по отношению к исходной модели объекта (1.1.1), можно говорить о том, что воздействие fit) определяет некоторые стационарные отклонения случайного характера относительно расчетного возмущения f (t), которые не затухают со временем. Интенсивность (мощность) этих отклонений определяется величинами дисперсий Dfi. Будем считать, что заданная матрица S/co) спектральных плотностей допускает факторизацию, т.е. может быть представлена в виде
Для линейного объекта (1.1.3), (1.1.4), замкнутого любым стабилизирующим регулятором вида (1.1.6), указанное возмущение вызовет соответ ствующее движение x(t), u(t), причем компоненты векторов X И 11 - это функции того же класса, что и компоненты векторного возмущения f(f).
В рассматриваемых условиях естественно ввести понятие точности стабилизации и энергетических затрат на стабилизирующее управление, связав эти понятия с величинами дисперсий компонент вектора х состояния и вектора и управления с помощью равенств где R - симметрическая неотрицательно определенная матрица {ПУЛ), Q -симметрическая положительно определенная матрица (тхт). Компоненты матриц R и Q отражают «веса» отклонений по компонентам векторов х и и в величинах точности и энергетических затрат в процессе стабилизации.
Среднеквадратичная оптимизация для гармонических возмущающих воздействий. Гарантирующие регуляторы
В данном разделе используются различные системы координат. Это связано с тем обстоятельством ([62], [86], [91]), что уравнения динамики морских подвижных объектов принято представлять в скалярной форме, хотя все силы и моменты, действующие на объекты, а также порождаемые ими ускорения, скорости и перемещения по своей природе являются векторами трёхмерного пространства. При этом составление соответствующих скалярных уравнений связано с поиском проекций указанных векторов на координатные оси тех или иных систем. Очевидно, что для различных векторов уместно выбирать такие системы, чтобы их проекции выглядели наиболее просто. Тогда приведение к некоторой единой системе осуществляется с помощью умножения векторов на соответствующую матрицу перехода.
Рассмотрим трёхмерные прямоугольные системы координат (рис. 2.1), которые будем использовать при записи уравнений динамики морских подвижных объектов (как надводных, так и подводных).
1. Базовая земная система координат Оз ПС- Начало этой системы (точка 03) совпадает с некоторой точкой, лежащей на водной поверхности Земли, через которую проходит след желаемой траектории движения МПО. Ось ОзЛ соединяет точку 03 с центром Земли и направлена от него. При этом оси ОзС и 6 з4 лежат в плоскости местного горизонта, проходящей через точку Оз, причём ось 03Ъ, направлена на север. Будем считать данную систему неподвижной.
2. Полусвязанная {промежуточная земная) система координат 0іГ)іі. Эта система не является неподвижной, поскольку её начало жёстко связано с центром масс МПО и перемещается вместе с ним в пространстве. Однако оси этой системы в процессе движения МПО имеют фиксированную пространственную ориентацию. Они параллельны соответствующим осям базовой земной системы.
3. Связанная система координат Oxyz. Как и для полусвязанной системы, начало этой системы помещено в центр масс МПО. Система является подвижной, поскольку и точка О, и координатные оси постоянно перемещаются в пространстве. Оси Ох и Оу лежат в продольной (диаметральной) плоскости симметрии МПО, причём первая из них направлена к носу (продольная ось), а вторая - к верхней части МПО (нормальная ось). Ось Oz (поперечная ось) дополняет систему до правой и вместе с осью Ох лежит в плоскости палубы МПО, а вместе с осью Оу - в поперечной плоскости, или плоскости шпангоута.
4. Скоростная система координат Oxcyczc- Начало этой системы, как и двух предшествующих, совмещено с центром масс МПО. Ось Охс направлена по вектору V скорости МПО, ось Оус лежит в диаметральной плоскости и направлена к верхней части аппарата, а ось Ozc дополняет систему координат до правой. Введём в рассмотрение совокупность параметров, определяющих их взаимную ориентацию.
1. Взаимная ориентация базовой и полусвязанной системы координат по их определению является наиболее простой и характеризуется тройкой параметров , Г, С,, определяющих координаты начала полусвязанной системы относительно базовой системы Оз лС 2. Взаимная ориентация связанной и полу связанной систем характеризуется тремя углами Эйлера: рысканием (курсом), дифферентом и креном.
Угол рыскания (курса) ф - это угол между проекцией оси Ох связанной системы на горизонтальную плоскость и осью ОЪ,\. Этот угол будет положительным при повороте объекта на левый борт относительно направления движения, задаваемого осью 0%\.
Угол дифферента \/ - это угол между осью Ох связанной системы и горизонтальной плоскостью. Положительное значение угла определяется дифферентом на корму (поднятием носа МПО).
Угол крена 0 - это угол между диаметральной плоскостью связанной системы и той вертикальной плоскостью, в которой находится ось Ох. Угол будет положительным при крене МПО на правый борт.
Матрица перехода Мі от полусвязанной (0іГ)іі) к связанной (Oxyz) системе координат имеет вид: coscpcos\/ sin Л)/ -sin(pcos\/ М,= Sin8Sin ф-COS0Sin\/COSф COS0COS\/ 8ІП0СО8ф+СО808ІП\/8ІПф СО8 08ІПф + 8ІП08ІП\/СО8ф -SU10COS\]/ СОЄбсОЗф -SU10 sin\/ 8ІПфу
3. Взаимная ориентация связанной и скоростной систем координат определяется двумя углами: атаки и дрейфа.
Угол атаки а - это угол между проекцией оси Охс скоростной системы координат на диаметральную плоскость и продольной осью Ох связанной системы. Угол дрейфа 3 - это угол между осью Охс скоростной системы координат и диаметральной плоскостью связанной системы.
Запись дифференциальных уравнений движения осуществляется относительно скалярных кинематических параметров, в качестве которых выступают проекции Ух, Vy Vz линейной скорости или проекции (йх, 0)у, (uz угловой скорости МПО на оси связанной системы.
Уравнения связи вращательного движения определяются равенствами между проекциями угловой скорости на оси связанной системы координат и проекциями производных от углов Эйлера на эти же оси и имеют вид:
Как отмечено в [62], при решении практических задач для малых углов дифферента, рыскания и крена (не превышающих по модулю 30) их синусы приближённо можно заменить самими углами, а косинусы - единицами. При этом уравнения приводятся к виду
Более того, если углы Эйлера и их производные достаточно малы, то с определённой степенью приближения можно считать, что проекции вектора угловой скорости вращения МПО на оси связанной системы совпадают с соответствующими производными углов ЭйлераТеперь рассмотрим уравнения кинематических связей для поступательного движения, которые определяются равенствами между проекциями вектора скорости на оси связанной системы координат и проекциями этого же вектора на оси скоростной системы. Искомые связи имеют вид: где V - модуль вектора скорости МПО. Аналогично вращательному движению, при малых углах атаки и дрейфа имеем
Водоизмещающее надводное судно В качестве модели водоизмещающего надводного судна рассмотрим модель фрегата проекта 1135.6 [39], физические характеристики которого приведены в таблице 2.1.
Система дифференциальных уравнений, описывающих поперечное движение судна и определяющих динамику по линейным и угловым скоростям, имеет следующий вид: При рассмотрении динамики водоизмещающего надводного судна угол дифферента можно считать малой величиной. Поэтому, соотношения, которые задают связь между кинематическими параметрами объекта в неподвижной и связанной системах координат имеют вид:
Уравнения (2.1.4) и (2.1.5) составляют единую систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поперечное движение судна. Здесь использованы следующие обозначения: Vx, Vz, и Сдх, (йу - проекции векторов линейной и угловой скорости на оси связанной системы координат; , - продольное перемещение центра масс по направлению движения; - боковое смещение центра масс; G - угол крена; ф - угол курса. Через Qx, Qz и Nx, Ny обозначены соответственно проекции сил и моментов, действующих на судно, на оси связанной системы координат.
О структуре стабилизирующих законов управления на базе обобщенных наблюдателей
При движении судов с малыми скоростями хода эффективность рулей становится несоизмеримой с мощностью возмущений порождаемых волнением моря. При этом в канале управления судна возникает бесполезная с точки зрения компенсации волнения составляющая - волновая помеха, которая подавляет полезный сигнал, вызывает частые (с периодом волнения) колебания и выход управляющих сигналов за пределы линейной зоны с практически постоянным нахождением на упорах, что приводит к возникновению автоколебаний. Кроме того, за счет частых перекладок рулей с большой амплитудой повышается сопротивление движению судна, что приводит к дополнительным нагрузкам на энергетическую установку и существенному сокращению ресурса рулевых машин.
Формализация указанной ситуации отражается постановкой задачи о максимальной экономичности стабилизации, приведенной в параграфе 2.4.
Сформируем закон управления, используя теоретические результаты исследований, приведенных в предшествующих главах.
Приведенная в параграфе 2.1.2 математическая модель (2.1.4) динамики поперечного движения судна может быть линеаризована в окрестности нулевого положения равновесия (при отсутствии внешних возмущений) при фиксированной скорости хода. При этом линейные уравнения движения в горизонтальной плоскости имеют вид: параметры которого к\=6, k2=500/V, к0=-1 получены в результате решения задачи оптимизации собственного движения. На базе закона (3.1.1) запишем выражения для коэффициентов скоростного астатического закона:
В качестве выхода фильтра примем переменную С, = ,3. Аналогичный квазиоптимальный фильтр, настроенный на три частоты ((Oj, со2, оо3) имеет вид: При этом скоростной закон управления вертикальными рулями формируется согласно формуле: Ниже на рисунках 3.1 - 3.6 для сравнения представлены процессы стабилизации судна при развитом волнении (5 баллов), со скоростью движения 5 м/с, с различными законами стабилизации, реализуемыми в системе управления движением.
На рисунке 3.1 приведен процесс стабилизации с помощью статического базового закона управления по реальным координатам (3.1.1). Видно, что управляющие сигналы практически постоянно находятся на упорах. При этом отклонения курса от заданной величины превосходят 1.5.
Процесс, изображенный на рисунке 3.2, соответствует стабилизации с использованием ПИД-закона: и = щу + п2ф - 5V + \(pdt. Данный закон управления часто используется в практике управлении судами, поскольку, в отличие от базового закона, позволяет сделать обеспечить астатизм замкнутой системы по курсу. Однако использование данный закон управления может приводить к потере устойчивости с «раскачкой» судна по курсу, что и видно из рисунка.
Несколько улучшить процесс позволяет применение скоростного астатического закона управления по реальным координатам вида
Как было отмечено ранее, одним из недостатков данного закона управления является необходимость непосредственного измерения на борту судна курса, его производной, а также ускорения. Процесс движения с этим законом управления приведен на рисунке 3.3. На рис. 3.4 представлен аналогичный процесс для судна, стабилизируемого астатическим скоростным законом управления по выходу наблюдающего устройства.
На рис. 3.5 приведен процесс стабилизации судна на волнении при использовании управления (3.1.2) с включением динамического фильтра на 200 секунде. До указанного момента времени осуществляется адаптация фильтра к внешнему возмущению (определение его средней частоты). Как видно из рисунка, использование динамического фильтра позволяет значительно уменьшить максимальные отклонения рулей. При этом качество стабилизации курса не ухудшается по сравнению с процессом, представленным на рис. 3.3.
Дополнительного улучшения процесса стабилизации можно достичь при настройке не на одну частоту, а на несколько частот. В частности, на рис. 3.6 приведен процесс стабилизации курса судна при настройке на три частоты. Динамический фильтр, настроенный на три частоты, для наглядности включается на 400-й секунде. С 200-й до 400-й секунды используется управление с дополнительным фильтром настроенным на 1 частоту.
Оптимальная стабилизация подводного аппарата при движении вблизи взволнованной поверхности моря
Диссертационная работа посвящена разработке методов анализа и синтеза оптимальных регуляторов на допустимых множествах, определяемых условиями реализации, т.е. рассмотрена проблема среднеквадратичного синтеза для МІМО-задачи на сужениях множества регуляторов, обеспечивающих гурвицевость характеристического полинома линейного приближения замкнутой системы.
Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических объектов со многими входами и выходами, исследование специфических особенностей задач стабилизации в условиях волнения, адаптация универсальных методов к этим особенностям и разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения соответствующих прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.
Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: развитию общих методов для решения задачи среднеквадратичного синтеза в МІМО-постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме; построению легко вычисляемой нижней оценки минимального значения среднеквадратичного функционала на базе понятия его абсолютного минимума, позволяющей судить об эффективности оптимизации без непосредственного решения задачи синтеза; исследованию частных ситуаций синтеза, определяемых воздействием на объект гармонических детерминированных возмущений (проведению анализа неединственности решения и условий достижения экстремума на регуляторах с различной структурой); выводу условий экстремума для структуры, включающей асимптотический наблюдатель; постановке и исследованию особенностей формализованных задач оптимальной стабилизации морских объектов в условиях волнения; выводу необходимых условий экстремума, определяющих новую технику его поиска; развитию вычислительного аппарата для численного построения квазиоптимальных стабилизирующих законов управления для различных режимов функционирования морских подвижных объектов; разработке программного обеспечения для компьютерной реализации методов и алгоритмов анализа и синтеза, разработанных в диссертации, а также для проведения компьютерного и имитационного моделирования систем управления движением на базе найденных решений; применению теоретических методов, алгоритмов и программного обеспечения, полученных в работе, к решению прикладных задач автоматизации управления движением морских объектов.
Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.
1. Исследованы вопросы, связанные с развитием методов среднеквадратичной оптимизации для линейных систем с векторным управлением и возмущениями неполного ранга.
2. Предложен метод оценивания экстремума среднеквадратичных функционалов для МІМО-задачи без непосредственного решения задачи синтеза на базе понятия абсолютного минимума.
3. Детально рассмотрен частный случай задачи среднеквадратичной оптимизации с гармоническими возмущениями. Показана неединственность решений и найден регулярный способ построения одного из них.
4. Проанализирована возможность построения оптимальных стабилизирующих управлений с частично фиксированной структурой. Обоснован выбор конкретной структуры с асимптотическим наблюдателем и предложен метод ее оптимизации.
5. Сформулированы две основные задачи стабилизации на волнении: задача о максимальной точности и задача о максимальной экономичности процесса. Разработаны точные и приближенные методы их решения.
6. Выполнены практические расчеты для конкретных типов МПО с применением теоретических и прикладных результатов, полученных в диссертации, подтверждающие их работоспособность и эффективность.
