Содержание к диссертации
Введение
1 Глобальные регуляризирующие алгоритмы 14
1.1. Вспомогательные алгоритмы и соотношения 14
1.2. Регуляризирующие алгоритмы 18
1.3. Алгоритмы выбора параметра регуляризации 23
1.3.1. Метод перекрестной значимости 24
1.3.2. Критерий L-кривой 26
1.4. Исследование эффективности методов выбора параметра регуляризации 33
1.5. Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов 39
1.6. Синтез регуляризирующих алгоритмов по заданным точностным характеристикам 46
1.7. Оценка дисперсии шума и априорная информация 48
Результаты главы 1 52
2 Локальный регуляризирующий алгоритм 53
2.1. Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм 54
2.2. Итерационное уточнение отношений «шум/сигнал» 57
2.3. Сходимость локально регуляризированных решений . 63
2.4. Результаты вычислительного эксперимента 65
Результаты главы 2 71
3 Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы 72
3.1. Метод проецирования на допустимые множества 75
3.2. Построение дескриптивного решения методами квадратичного программирования 81
3.3. Сравнение методов дескриптивной глобальной регуляризации 85
3.4. Алгоритм дескриптивной локальной регуляризации 86
3.5. Результаты вычислительного эксперимента 88
Результаты главы 3 97
4 Решение обратной задачи лазерной спектроскопии 98
4.1. Постановка задачи 98
4.2. Приведение алгоритма регуляризации 101
4.3. Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала 102
Результаты главы 4 106
Заключение 107
Литература 109
- Вспомогательные алгоритмы и соотношения
- Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм
- Метод проецирования на допустимые множества
- Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала
Введение к работе
Рассмотрим измерительную систему, описываемую интегральным уравнением первого рода с разностным ядром
fk{t-T)
которое определяет связь между входным cp(t) и выходным /() сигналами. Ядро системы k(t—r) задает динамическую характеристику преобразователя (инструмента измерения), f(t) - измеренный сигнал, называемый правой частью интегрального уравнения, cp(t) - неизвестный сигнал. В этом случае, обратная измерительная задача формулируется следующим образом: по зарегистрированному сигналу f(t) определить значение функции (f(t), т.е. решить интегральное уравнение относительно
К решению интегральных уравнений с разностым ядром приводят многие задачи математической физики из таких областей как геофизика, гидро- и газодинамика, оптика и т.д. Решение интегральных уравнений с разностным ядром является одним из основных этапов в задачах параметрической и непараметрической идентификации динамических систем, обработки экспериментальных данных и численного анализа.
Основной базой для решения уравнения свертки является хорошо известное свойство преобразования Фурье, которое утверждает, что если К(ш), Ф(и) есть Фурье-образы функций &(), (f(t), то Фурье-образ F(u) функции их свертки f(t) определяется как
Р(ш) = К(ш)Ф(ш).
Откуда следует, что Фурье-образ решения и само решение имеют вид
Ф(ш) =
1 rF(w)
На практике, как правая часть, так и ядро измеряются с некоторой случайной ошибкой
~k(t) = k(t) + &(t), f{t) = f(t) + /(0,
где *() и f(t) - реализации случайных шумов, обусловленные погрешностями измерительной аппаратуры, шумами каналов связи, конечностью разрядной сетки вычислительных машин, приближенностью используемых моделей и т.д. В общем случае, обе реализации помех преобразуют, переводят в правую часть и обозначают (). Полученную суммарную реализацию (t) называют шумом измерения
В результате приходится решать уравнение вида
t fk(t-T)(p(T)dT = f(t).
Формально, и в этом случае оценку решения можно получить обратным преобразованием Фурье:
1 7Н±М г гл
=<р{т)+^2Шехр{~ішт}<1ш'
где {ш) - Фурье-образ шума ().
При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением требований корректности Адамара [84]. Во-первых, функция ф{т) может не существовать, так как последний интеграл может быть расходящимся. Это объясняется разной скоростью сходимости к нулю К{ш) и Е{и) при и —» со. Ввиду того, что спектр шума измерения S(u>) намного шире спектра ядра К (и), на высоких частотах (и?)/К(и>) —» со, поэтому это отношение может не иметь обратного преобразования Фурье. Во-вторых,
если характеристики сигналов таковы, что функция Е{ш)/К{ш) конечна и имеет обратное преобразование Фурье, то отклонение оценки ф(т) от точного решения может быть сколь угодно большим.
Задачи такого рода, где не выполнено одно или более из требований корректности Адамара, называются некорректными. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после опубликования основополагающих работ А.Н.Тихонова [62, 63, 64]. Важным шагом в развитии методов решения некорректных задач было введение понятия регуляризированного решения.
В общем случае, для решения некорректно поставленных задач в первую очередь обращаются к методу наименьших квадратов (МНК). Псевдорешением (или решением МНК) называется вектор (рнк, который доставляет минимум квадратичному функционалу [67] в Фурье-области:
W*) = \\F - КФ\\2 = Е1 (Fj - Kfrf
i=o
среди всех векторов евклидова пространства Ем. Используя правила дифференцирования можно получить выражение для определения псевдорешения
К) Фнк,і = Kj FS.
К сожалению, алгоритм построения псевдорешения неустойчив к возмущениям правой части. Поэтому используют регуляризирующий подход, который состоит в поиске компромисса между соответствием правой части интегрального уравнения искомому решению и гладкостью этого решения. В общем случае, задача сводится к нахождению минимума функционала
Фа(Ф) = \\F - КФ\\2 + а\\ЦФ - шф)||2,
где а - параметр регуляризации, который должен быть выбран исследователем, ||(Ф —77іф)|| - гладкость регуляризированного решения, \\F — КФ\\ - невязка. Вектор тпф является априорной оценкой Ф. Если априорная
оценка отсутствует или не доступна для измерения, гпф равен нулю. Если параметр регуляризации а равен нулю (исключается регуляризация), то функционал Фа(Ф) вырождается в Фяя(Ф)? и оценкой решения становится псевдорешение.
Одним из авторов, описавшим схему, которая близка к методу регуляризации Тихонова, является Джеймс Райлей. В своей статье [90], он рассматривал некорректно поставленную задачу в виде системы уравнений \ир = f с симметричными положительными коэффициентами матрицы, и предложил для решения использовать систему (k + аї)<р = f, где а - малая положительная константа. Одной из первых статей посвященной задачам в общем виде на эту тему была публикация Фил-липса [88]. Он определял к как квадратную матрицу из интегрального уравнения Фредгольма первого рода, a L как трехдиагональную матрицу tridiag(l, —2,1). Филлипс предложил вычислять регуляризирован-ное решение по формуле (ра = (k + ak-TLTL)""1f. Однако, здесь приходилось находить к-1. Твомей в своей статье [92] получил хорошо известное выражение <ра = (ктк + aLTL)_1kTf, где L = tridiag(l,-2,l). Он также предложил включить априорную оценку ту, но только при выборе L = I (единичная матрица), таким образом получив формулу (ра = (kTk + al)"1^ + amy).
В своих работах [62, 63] Тихонов описывает наиболее общий случай: он рассматривает задачу к(р = /', где <р и / являются функциями, а & -интегральным оператором. Для решения задачи такого вида был введен квадратичный функционал
«.(*>) = II/-М* + «1|П(*»)|Г,
где 1(<р) - стабилизирующий функционал, который зависит от поведения искомой функции (р и шума измерения. В этом методе, путем выбора соответствующего значения а, находится разумный компромисс между адекватностью найденного решения заданной правой части (первое слагаемое) и гладкостью (устойчивостью) этого решения (слагаемое Q((p)).
Устойчивые решения можно получить с помощью методов регуляризации, которые подразделяются по форме задания априорной информации на детерминированные и статистические. В статистических регуляри-зирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуля-ризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].
Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирую-щих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.
Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области озна-
чает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.
Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения.
Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизи-
ческие значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-, ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье.
В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:
локальных регуляризирующих алгоритмов, в которых вместо одного параметра регуляризации вводится набор параметров, позволяющих проводить более «тонкую» настройку регуляризирующих алгоритмов;
дескриптивных регуляризирующих алгоритмов, позволяющих учитывать дополнительную качественную и количественную информацию об искомом решении.
Цель работы заключается в разработке и исследовании нелинейных регуляризирующих алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода с разностным ядром. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:
разработка эффективных глобальных регуляризирующих алгоритмов с выбором параметра регуляризации по точностным характеристикам и L-кривой на основе дискретного преобразования Фурье;
разработка локального регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения с разностным ядром, с уточнением отношений «шум/сигнал»;
разработка эффективного нелинейного регуляризирующего алгоритма решения уравнения типа свертки, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;
создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе практической задачи.
Методы исследований основаны на применении аппарата линейной алгебры, теории сигналов, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.
Научная новизна заключается в следующем:
разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого коэффициента дискретного преобразования Фурье решения вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений «шум/сигнал»;
разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации по методам L-кривой и перекрестной значимости для решения интегральных уравнений с разностным ядром;
предложены аналитические выражения для выбора параметра регуляризации исходя из задаваемых точностных характеристик алгоритма восстановления решения интегральных уравнений с разностным ядром;
разработан эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой линейных неравенств.
Достоверность результатов, полученных аналитически, подтверждается компьтерным моделированием с использованием стандартных и разработанных тестовых примеров, учитывающих специфику задач прикладной спектроскопии, а также согласованностью полученных данных с результатами работ других авторов.
Практическая ценность состоит в том, что:
полученные теоретические результаты являются основой для численной реализации построения локальных и дескриптивных регуляризи-рованных решений при различном объеме априорной информации;
на основе разработанных алгоритмов решена задача восстановления спектров излучения кристаллов по данным лазерной спектроскопии;
разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения интегральных уравнений с разностным ядром методами глобальной, локальной и дескриптивной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.
Таким образом, на защиту выносятся:
алгоритм выбора параметра регуляризации по критерию L-кривой и по требуемым точностным характеристикам регуляризирующего алгоритма;
локальный регуляризирующий алгоритм с вычислением отношений шум/сигнал;
алгоритм нелинейной регуляризации, учитывающий априорные ограничения на искомое решение, задаваемые системой линейных неравенств.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на конференции "Дни науки НГТУ - 2000" (Новосибирск, НГТУ, 2000), на региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Наука. Техника. Инновации - 2001" (Новосибирск, НГТУ, 2001), на 59-ой научно-технической конференции НГАСУ (Новосибирск, НГАСУ, 2001), на Всероссийской конференции "Научно-технические проблемы в строительстве" (Новосибирск, НГАСУ,
2002), на 4-ой международной конференции "Обратные задачи: Идентификация, Проектирование, Управление" (Москва, МАИ, 2003).
Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [25]- [31], [93].
Структура и объем диссертациии. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и двух приложений. Объем диссертации составляет 128 страниц.
Вспомогательные алгоритмы и соотношения
Устойчивые решения можно получить с помощью методов регуляризации, которые подразделяются по форме задания априорной информации на детерминированные и статистические. В статистических регуляри-зирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуля-ризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].
Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирую-щих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.
Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области озна чает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.
Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения.
Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизи ческие значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-, ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье. В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:
Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм
В этом методе, путем выбора соответствующего значения а, находится разумный компромисс между адекватностью найденного решения заданной правой части (первое слагаемое) и гладкостью (устойчивостью) этого решения (слагаемое Q((p)). Устойчивые решения можно получить с помощью методов регуляризации, которые подразделяются по форме задания априорной информации на детерминированные и статистические. В статистических регуляри-зирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуля-ризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].
Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирую-щих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.
Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области озна чает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.
Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения.
Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизи ческие значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-, ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье.
Метод проецирования на допустимые множества
В статистических регуляри-зирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуля-ризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].
Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирую-щих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.
Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области озна чает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.
Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения. Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизи ческие значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-, ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье.
Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала
Точность восстановленного решения, практически в любом из алгоритмов регуляризации, в большой степени зависит от применяемой априорной информации. Как правило, в этих алгоритмах рассматривается гладкость искомого решения и точность задания исходных данных. Использование информации происходит на этапах определения допустимого множества решений и отбора единственного решения из этого множества. Тем не менее, исходные данные не ограничиваются только указанными двумя видами. При подходе к вычислительному эксперименту необходимо проанализировать абсолютно всю имеющуюся информацию о происходящих процессах. В целом, характер априорной информации, которой обладает экспериментатор, можно разделить на два основных вида: количественная и качественная. Большинство применяемых на практике методов использует количественную информацию о точности задания правой части и весьма общую о гладкости решения [10, 11, 12, 67]. Однако, в некоторых случаях, которые на практике не так уж и редки, имеется априорная информация о форме и качественных характеристиках искомого решения. Например, знакоопределенность, выпуклость и монотонность на интервалах, наличие экстремумов в определенных точках. Поскольку в алгоритмах, использующих априорную информацию, основным этапом является определение и математическое описание наиболее важных характеристик искомого решения, то сами методы такого восстановления сигналов названы дискриптивными.
Кроме того, существует одна особенность дескриптивных методов регуляризации [36, 59], которая делает их особенно привлекательным инструментом в задачах восстановления сигналов и изображений. А именно, в случае негладких функций (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), часто встречающихся в приложениях, регуляризиро-ванные решения, построенные, например, детерминированными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают нефизические отрицательные значения, плохо восстанавливают «тонкую» структуру решения, происходит сглаживание сигнала [76]. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить эти эффекты. Поэтому, можно сказать, что методы дескриптивной регуляризации обладают большей разрешающей способностью по сравнению с обычными методами регуляризации.
Построение алгоритмов дескриптивной регуляризации основано на методах выпуклого проецирования [83, 87, 89] и математического программирования (например, на методе сопряженных градиентов [21, 55, 68, 91], методе штрафных функций [11, 12] и т.д.). В работе [55] предложен метод решения таких уравнений, основанный на задании участков монотонности и выпуклости искомого решениями его можно назвать «методом проецирования на множество кусочно-монотонных функций». В работе [68] при решении интегрального уравнения с экспоненциальным ядром дескриптивное байесовское решение строится с изменяющимся шагом сетки дискретизации, что повышает точность решения. При этом рассматривается априорное ограничение вида ср О и вводится коррекция параметра регуляризации для уменьшения эффекта «переглаженного» решения. Авторы в [61] предлагают «апостериорное» уточнение дескриптивного ре шения, при котором удельный вес факторов, обуславливающих гладкость решения, снижается.
В диссертационной работе предлагается три нелинейных алгоритма построения регуляризированного решения интегрального уравнения с разностным ядром: с использованием метода проецирования на допустимые множества; глобальный дескриптивный алгоритм, основанный на методах квадратичного программирования; локальный дескриптивный алгоритм. Отличительной особенностью всех алгоритмов является возможность учета практически любых ограничений накладываемых на сигнал. Отметим также, что первый алгоритм требует наименьшее среди предложенных алгоритмов количество вычислительных операций, а второй и третий - восстанавливают сигнал наиболее «качественно», проводя при этом больше итераций. Тем неменее, вычислительная эффективность предложенных алгоритмов существенно выше разработанных ранее. Это достигается благодаря применению ДПФ - все вычислительные операции проводятся в Фурье-области, при этом обрабатываются вектора, а не матрицы, как это происходит в случае использования прямых методов алгебры. Метод проекций заключается в отыскании общей точки пересечения множеств, которые задаются на основе априорных ограничений. В алгоритмах квадратичного программирования происходит поиск решения, отвечающего одновременно требованиям гладкости, адекватности правой части и соответствия дополнительным ограничениям. Локальность алгоритма проявляется в способе задания параметра регуляризации. Нелинейные алгоритмы являются итерационными и в качественачаль-ной точки предлагается брать решение, полученное ранее каким-либо линейным регуляризирующим алгоритмом. Необходимо отметить, что аналогичный подход к выбору начальной точки применяется в большинстве существующих алгоритмов, т.е. ограничения накладывают на регуляризированное решение, проводя, таким образом, апостериорное уточнение решения.
