Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах 11
1.1 Линейные системы и методы обработки сигналов 11
1.2 Математические основы теории восстановления сигналов 21
1.3 Методы вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода 30
1.4. Задачи исследований 43
Глава 2. Разработка математических основ восстановления сигналов 45
2.1 Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и их свойства 45
2.2 Математическое представление доступных восстановлениям на основе эмпирических данных компонент входных сигналов ...49
2.3 Потенциальные возможности восстановления входных воздействий 60
2.4 Основные результаты и выводы главы 65
Глава 3. Разработка вариационных алгоритмов восстановления сигналов 67
3.1 Вариационные принципы устойчивых вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода 67
3.2 Вариационный метод восстановления доступной компоненты входных сигналов на основе эмпирических данных (откликов) 78
3.3. Вычислительные эксперименты 83
3.4 Основные результаты и выводы главы 96
Глава 4. Разработка вариационных вычислительных процедур и программно- алгоритмической поддержки восстановления сигналов 98
4.1 Вычислительная процедура обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений местоположений объектов 98
4.2 Восстановление линейно смазанных фотографических изображений с адаптивным оцениванием величины смаза 107
4.3 Программная система обработки эмпирических данных при восстановлении сигналов 117
Заключение 128
Литература 129
- Линейные системы и методы обработки сигналов
- Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и их свойства
- Вариационные принципы устойчивых вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода
- Вычислительная процедура обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений местоположений объектов
Введение к работе
Интегральное соотношение вида и(у)= \R(y,x)f(x)dx, c Такого рода системы имеют широкое распространение, а представление (1) позволяет с достаточной степенью точности вычислить значения откликов по заданным значениям входных воздействий и аппаратной функции системы (прямая задача). Вместе с тем, часто возникает необходимость рассмотрения обратной задачи, которая заключается в определении неизвестного входного воздействия на основе результатов регистрации откликов на входе системы (восстановление входного сигнала по эмпирическим данным). Очевидно, что речь идет о компенсации искажающего действия аппаратной функции, что особенно целесообразно для улучшения разрешающей способности различного рода измерительных приборов, включая радиолокаторы, радиометры, оптические системы регистрации сигналов и др. Другим важным источником обратных задач служит синтез входных воздействий, которые позволяют получить наилучшую аппроксимацию желаемого отклика (например синтез диаграмм направленности антенн). В качестве математической основы при восстановлении сигналов естественно воспользоваться представлением (1), которое при решении обратной задачи должно рассматриваться как интегральное уравнение Фредгольма первого рода (ИУФ1). Известно, что задача решения ИУФ1 в математическом смысле является некорректной. Это существенно осложняет построение вычислительных процедур восстановления входных сигналов, так как в эмпирических данных ьvM = "M+*M= JR(y,x)f(x)dx + e(y), ye[c,d], (2) неизбежно присутствуют погрешности регистрации е(у). И даже небольшой их уровень может привести к неконтролируемо большим погрешностям восстановления сигналов, если не использовать специальные методы регуляризации (повышение устойчивости результатов вычислений к воздействию погрешностей исходных данных). Таким образом, имеется возможность вычислений только приближений входных сигналов. Широкая распространенность в различных областях науки и техники описываемых моделью (1) линейных систем и настоятельная необходимость повышения их эффективности за счет восстановления входных сигналов явились источником большого количества исследований возможных подходов к построению соответствующих вычислительных процедур. В подавляющем большинстве наиболее известных методов задача восстановления рассматривается с позиций обеспечения устойчивости вычислений, для чего должны быть использованы те или иные априорные сведения либо предположения. Среди них особо широкую известность приобрел метод регуляризации Тихонова А.Н., в котором реализована идея преобразования исходного уравнения первого рода (1) к уравнению второго рода на основе вариационного принципа минимизации регуляризирующего функционала, в конструкции которого используются эвристический функционал - стабилизатор. Разработке теоретических основ и применениям метода Тихонова А.Н. посвящены работы многих исследователей, в результате чего он приобрел достаточную известность и по-видимому, достигнут предел его совершенствования. Вместе с тем в виду общности подхода метод остается сложным в реализации и непрозрачен с точки зрения анализа возникающих погрешностей. На наш взгляд, основной особенностью большинства известных методов решения обратной задачи на основе уравнения (1) является формально-математический подход без изучения вопроса о том, какие входные воздействия или их компоненты доступны восстановлению на основе эмпирических данных, и какова форма их представления. Ответ на этот вопрос позволяет построить адекватные вычислительные процедуры, устойчивые к воздействию погрешностей регистрации, и позволяющие осуществить анализ погрешностей определения доступных восстановлению компонент входных сигналов. Этот подход и реализован в данной диссертации. Целью работы является разработка вариационных алгоритмов восстановления сигналов в линейных системах на основе адекватного учета имеющейся о них информации в обрабатываемых исходных данных. Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи: Разработка математических представлений доступных для восстановления компонент входных сигналов в линейных системах, информация о которых имеется в зарегистрированных откликах. Разработка адекватной вариационной процедуры устойчивых вычислений приближенных значений доступных для восстановлений компонент входных сигналов с адаптивным оцениванием непосредственно по эмпирическим данным евклидовой нормы погрешности регистрации отклика. Исследование устойчивости и точностных характеристик разработанной вычислительной процедуры. Разработка вычислительных процедур обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений и восстановления линейно смазанных фотографических изображений с адаптивным оцениванием величины смаза. Разработка программно-алгоритмической поддержки восстановления входных сигналов в линейных системах и ее апробация при решении реальных и модельных задач обработки эмпирических данных. Методы исследований: Методы системного анализа и синтеза на основе использования вариационных принципов. Методы теории линейных пространств и линейной алгебры. Вычислительные эксперименты. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения. Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах. В этой главе основное внимание уделено анализу процедур восстановления сигналов в линейных системах с тем, чтобы вьщелить аспекты, с позиции которых выполнялась работа. Внимательно рассмотрены литературные источники и иные упоминания о сути дела. Вводится понятие линейных операторов. Математически описываются модели соотношения вход-выход через интеграл. Формулируется проблема восстановления сигналов, как обратная задача определения входа по заданному выходу. Делается различие между задачей синтеза, как определение входного воздействия приводящего к желательному отклику, и задачей обработки экспериментальных данных с целью определения воздействия, которое их порождает. Вводится понятие математической некорректности и выяснение причин некорректности интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Показано, что при обработке реальных данных возможно вычислить только некоторые приближения к искомым функциям. Описываются различные направления поиска решений: регуляризация в заданном классе и др. Главная трудность применений - недостаток априорной информации, которая должна использоваться при вычислениях. Рассматривается метод Тихонова А.Н., который получил наибольшее распространение. На основании проведенного анализа формулируются конкретные задачи диссертационного исследования. Глава 2. Разработка математических основ восстановления сигналов Углубленно рассматриваются математические свойства интегральных уравнений Фредгольма первого рода с использованием литературных источников. Рассматриваются свойства интегрального оператора, такие как непрерывность, невозможность построения вполне непрерывного обратного оператора, ограниченность, работа в пространстве Ьг. Затронут вопрос об интегральных уравнениях второго рода. Показано, почему они решаются устойчиво, приведены теоремы Фредгольма. Показано, что восстановлению доступны только аддитивные компоненты входных сигналов линейно представимые через аппаратные функции линейных систем. Получено базовое представление восстанавливаемых сигналов, которое позволяет полностью учесть содержащуюся о них в откликах информацию. Это представление позволяет получать сигналы с наименьшей энергией, что полностью решает задачу синтеза оптимальных в этом смысле входных воздействий, когда желаемый отклик задан. Для анализа потенциальных возможностей восстановления входных сигналов были проведены вычислительные эксперименты на нескольких модельных примерах. Наглядно продемонстрированы основные случаи, которые могут возникать при работе с реальными линейными системами. Приведены случаи и проанализированы причины, когда невозможно полностью или частично восстановить входные воздействия. Можно сделать вывод, что потенциальные возможности по восстановлению входных воздействий в линейных системах зависит от свойств ядра системы. Результаты экспериментов подтверждают правильность выбора базовых представлений восстанавливаемых сигналов. Глава 3. Разработка вариационных алгоритмов восстановления сигналов Здесь более глубоко раскрыта роль вариационных принципов для построения устойчивых процедур вычисления приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Подробно рассмотрен метод регуляризации Тихонова А.Н.: его идейная сторона, как приведение исходного уравнения первого рода с нессиметричным ядром к интегральному уравнению второго рода с симметричным ядром. Был дан анализ трудностей, которые возникают при вычислительной реализации и работе данного метода, как медленность работы, и сложности выбора параметра регуляризации а. Разработан новый вариационный метод восстановления сигналов в линейных системах на основе эмпирических данных. В нем адекватно учитывается характер имеющейся информации о воздействии на систему, т.к. искомое воздействие ищется как линеал аппаратных функций. В методе используется разработанная адаптивная оценка уровня шумов на основе эмпирических данных, а не априорно заданная, как в большинстве других методов, в том числе в знаменитом методе регуляризации Тихонова А.Н.. Было проведено множество вычислительных экспериментов, целью которых было показать работоспособность разработанного нового метода, а также исследовать устойчивость и определить его точностные характеристики в сравнении с методом регуляризации Тихонова А.Н.. Также целью было исследовать метод Тихонова на соответствие получаемых с помощью него решений, той информации, которая содержится о них в откликах. Было показано, что адекватность использования информации в методе регуляризации Тихонова определяется выбором стабилизирующего функционала. На основе нескольких модельных примеров была доказана устойчивость нового метода. Что же касается точностных характеристик, то на всех тестируемых примерах, точность восстановления с помощью разработанного нового метода превосходит точность восстановления с помощью метода регуляризации Тихонова. Особенно интересный результат получился при шумах с энергией равной энергии полезного сигнала. В этом случае метод Тихонова уже не работает, т.е. дает нулевое решение, в отличие от нового метода, который продолжает устойчиво работать, и даже восстанавливать некоторые особенности искомых решений. Линейным оператором, действующим из топологического пространства Е в другое топологическое пространство / называется отображение у = Ах (хєЕ,уєЕ{), удовлетворяющее условию А{СОСХ + рх2 ) = ссАхх + /ЗАх2. Совокупность DA всех тех х е Е, для которых отображение А определено, называется областью определения оператора Л. Оператор А называется непрерывным в точке дг0 є DA, если для любой окрестности V точки уо=Ахо существует такая окрестность U точки хо, что Ах є V, как только х є UC\DA. Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке xeDA. Линейный оператор, действующий из Е в Е/, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь. Оператор А называется обратимым, если для любого yeRA {RA—область значений этого оператора), уравнение Ах = у имеет единственное решение. Если А обратим, то каждому у е RA можно поставить в соответствие единственный элемент х є DA, являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и обозначается А 1. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке [a,b] интересующий нас оператор, определяемый формулой b и{у)= jR(y, x)f{x)dx, a где R(y,x) — некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция и(у) непрерывна для любой непрерывной функции/ ), так что такой оператор действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность очевидна. Можно привести примеры реальных систем, математические модели которых описываются линейным интегральным оператором: Задача восстановления сигнала (редукция к идеальному прибору) [22]. Между входным сигналом f(x), поступившим в систему, и выходным сигналом и(у) имеет место связь (для линейной системы) в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода(ИУФІ) \R{y,x)f{x)dx = u(y),c y d, (1.1) а где, в частности, а = с = О или а = с = - о, b-d = x . Ядро R(y,x) имеет общее название функции отклика на единичный импульс или весовой функции линейной системы. Если 11(у,х)=К(у-х) (система в этом случае имеет общее название однородной или инвариантной к сдвигу), то Ъ \R{y-x)f(x)dx = и(у), c y d. а Данная задача имеет довольно общий характер. Реконструкция смазанных изображений. Смазанные изображения часто могут получиться например при фотографировании быстродвижущихся объектов неподвижным фотоаппаратом, или наоборот при фотографировании неподвижных объектов быстродвижущимся фотоаппаратом. В самом простом случае, когда фотографируемый объект (полагаемый плоским вследствие его удаленности) и чувствительный элемент фотоаппарата расположены параллельно апертуре тонкой линзы фотоаппарата по разные стороны от линз, имеет место: Соотношение (1.2) является основным в задаче реконструкции смазанных изображений. В нем g(x,y) - распределение интенсивности на фотопленке (на смазанном изображении) в функции прямоугольных координат х,у, причем ось х направлена вдоль сдвига (смаза), Д -величина смаза, полагаемая известной, a w(,y) - распределение истинной неискаженной интенсивности на фотопленке (той интенсивности, которая была бы на фотопленке в отсутствие сдвига, т.е. при Д=0). Соотношение (1.2) есть одномерное интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно w(,y) при каждом фиксированном значении у, играющем роль параметра, другими словами, (5.8) есть совокупность одномерных интегральных уравнений. Уравнение (1.2) можно записать в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода типа свертки [9,103,106]: 12 jk(x-%)w{%,y]d% = g(x,y), -co x,y co, -00 где ,ч Ґ1 / А при x є [- Д,0І [О при х[- A,OJ. Реконструкция дефокусированных изображений. В случае, когда в фотоаппарате не настроена резкость (чувствительный элемент фотоаппарата находится не в фокусе), могут получаться дефокусированные снимки, и имеет место интегральное соотношение: Уравнение (1.3) является основным уравнением в задаче реконструкции дефокусированных изображений, оно есть двухмерное ИУФ1 типа свертки. В нем g(x,y) -интенсивность на дефокусированном фотоснимке, w(,y) - искомая интенсивность на неискаженном снимке (на снимке, который был бы получен при р=0), к(х,у) есть ядро интегрального уравнения, называемое функцией рассеяния точки. Задача рентгеновской томографии (РТ). Заметим, что существуют также ядерно-магнитно-резонансная (ЯМР-) томография [103, с. 33-62], [127, т.2], ультразвуковая томография [127, т.2], позитрон-эмиссионная томография и т.д. Суть всех типов томографии едина: по суммарной информации, полученной от некоторого сечения вещества, нужно определить локальную информацию, а именно, распределение плотности вещества по сечению с(х,у), где х, у - координаты в сечении, а затем по плотностям cz(x,y) в ряде сечений, где z - координата, перпендикулярная сечению, получить (сконструировать) объемную плотность c(x,y,z). В разных типах томографии суммарная информация качественно различна: в РТ это интенсивность на детекторах (приемниках), в ЯМР-томографии это эхо-сигналы и т.д. Дополнительно к отмеченным выше характерным особенностям метода а-регуляризации Тихонова отметим следующую особенность, характерную в первую очередь для интегрального уравнения. Правая часть и(у) входит в уравнения (1.43) не в явном виде, а под интегралом (см. (1.45)). Вследствие этого, во-первых, «шероховатости» в и(у), обусловленные ошибками измерений, в значительной степени сглаживаются (можно сказать, что и{у) проходит через своеобразный фильтр К —см. (1.45), во-вторых, если її{у) задана дискретно, то интегрирование в (1.45) дает возможность получить новую, непрерывную, правую часть U(t); в-третьих, вид выражений K(t,x) и U(t) (см. (1.44), (1.45)) позволяет заключить, что получение уравнения Эйлера можно трактовать следующим образом: сначала выполняется корреляционная обработка уравнения (1.42) (согласно (1.44), (1.45)), а затем добавляется стабилизирующее слагаемое типа а[...] — см. (1.43). Это говорит о больших возможностях метода «-регуляризации Тихонова. Итого в данном разделе продемонстрирована широта подходов к решению интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Во всех методах и подходах требуется дополнительная априорная информация для нахождения решения: В методах итеративной регуляризации - это параметр т, для отыскания которого надо знать погрешности правой части и оператора в исходном уравнении. В методах решений на компакте - необходимо знать этот компакт, в котором ищется решение. Методы статистической регуляризации, вообще требуют массу дополнительной информации - ковариации ошибок и матожидание правой части В методах а-регуляризации - необходимо как минимум знание этого а (в методе Тихонова также надо задать регуляризирующий функционал). И это а чаще всего ищется (способ невязки) на основе знания погрешностей исходных данных Можно сделать вывод, что известные методы вычисления приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода основываются на формально-эвристических соображениях, не учитывающих характер имеющейся в исходных данных информации об искомом решении. В результате наряду с успешным достижением желаемой устойчивости вычислительных процедур остается неясным в каком смысле получаемые решения соответствуют «точным» решениям. Существует масса практических задач (см. п. 1.1), математические модели которых описываются интегральным соотношением вида (l.l). В таком случае задача восстановления сигналов сводится к решению интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Основная цель, для достижения которой возникает необходимость в восстановлении входных сигналов в линейных системах - повышения их разрешающей способности, т.е. в устранении искажений, вносимых линейной системой. Дело в том, что не всегда разрешающие способности линейных измерительных приборов возможно в принципе (или целесообразно из например материальных затрат) улучшать за счет совершенствования технической аппаратуры. А знание процессов, происходящих внутри линейных систем позволяет производить обратное преобразование, восстанавливая входные сигналы. Тем самым реально повышаются разрешающие способности линейных систем. Другая важная цель, для достижения которой возникает задача восстановления сигналов - определение входного воздействия на линейную систему, для получения желаемого отклика (задача синтеза (например: обратная задача теории антенн, задача синтеза магнитного поля в ЯМР томографе)). Круг практических задач, где требуются восстановление сигналов в линейных системах, довольно широк. И задачи эти из самых разных отраслей науки и техники. Т.е. необходимость иметь хороший подход к восстановлению входных сигналов очевидна, и диктуется этими самыми прикладными задачами. Задача восстановления сигналов - есть некорректная задача. Некорректность этой задачи (по Адамару) означает нарушение хотя бы одного из условий корректности: 1) решение существует, 2) решение единственно, 3) решение устойчиво. А тот факт, что исходные данные для восстановления всегда заданы с неточностью, делает условие устойчивости наиболее актуальным. Поэтому, в общем случае невозможно восстановить истинные входные сигналы, а восстанавливают лишь некоторые приближения к ним, для которых выполняются все условия корректности! Как было отмечено, в данной работе рассматривается математическая формализация задачи восстановления сигналов в линейных системах как задача решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Решению данной задачи посвящено множество работ. Многие из них используют вариационные принципы. Удобство использования вариационных принципов заключается в том, что они позволяют решить сразу проблему не единственности решения, а иногда и проблему неустойчивости. Но любой из вариационных принципов подразумевает знание о свойстве решения (например: решение должно быть минимально возможным, или наиболее гладким). Известные методы вычисления приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода основываются на формально-эвристических соображениях, не учитывающих характер имеющейся в исходных данных информации об искомом решении. В результате наряду с успешным достижением желаемой устойчивости вычислительных процедур остается неясным в каком смысле получаемые решения соответствуют «точным» решениям. Поэтому в основу построения процедур вычисления приближенных решений следует использовать не только принцип устойчивости к погрешностям исходных данных, но и знание характера информации об искомом решении, которая есть в исходных данных. Таким образом, представляется целесообразным решение следующих задач: 1. Разработка математических представлений доступных для восстановления компонент входных сигналов в линейных системах, информация о которых имеется в зарегистрированных откликах. 2. Разработка адекватной вариационной процедуры устойчивых вычислений приближенных значений доступных для восстановлений компонент входных сигналов с адаптивным оцениванием непосредственно по эмпирическим данным евклидовой нормы погрешности регистрации отклика. 3. Исследование устойчивости и точностных характеристик разработанной вычислительной процедуры. 4. Разработка вычислительных процедур обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений и восстановления линейно смазанных фотографических изображений с адаптивным оцениванием величины смаза. 5. Разработка программно-алгоритмической поддержки восстановления входных сигналов в линейных системах и ее апробация при решении реальных и модельных задач обработки эмпирических данных. Рассматривается операторное уравнение Rf = u, feF,ueU, (3.1) для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда класс F не является компактом, и, кроме того, изменения правой части уравнения (3.1) связанные с ее приближенным характером, могут выводить за пределы множества RF - образа множества F при отображении его с помощью оператора R. Такие задачи называются существенно некорректными. В [114, 115] разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3.1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора [114]. Понятие регуляризирующего оператора Полагается, что оператор R. в уравнении (3.1) таков, что обратный ему оператор R 1 не является непрерывным на множестве RF и множество возможных решений F не является компактом. Также полагается, что /т есть решение уравнения Rf=u, т.е. А/т=ит. Часто вместо ит имеется некоторый элемент us и известное число 5 0 такие, что ри(щ, ит) 5, т.е. вместо точных исходных данных (uj,R) имеем приближенные исходные данные (u&R) и оценку их погрешности д. Задача состоит в том, чтобы по известным исходным данным (us,R,S) найти приближение/j к элементу/т, обладающее свойством устойчивости к малым изменениям и$. В качестве приближенного решения уравнения (3.1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и=щ, т.е. элемент./ определяемый по формуле так как оно существует не для всякого элемента иєіі и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и. Числовой параметр 8 характеризует погрешность правой части уравнения (3.1). fs определяется с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с погрешностью 3 исходных данных щ. Эта согласованность должна быть такой, чтобы при S-+0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части us, уравнения (3.1) к точному значению иг, приближенное решение./j стремилось бы (в метрике пространства F) к искомому точному решению/г уравнения Rf=uj. Пусть элементы fT GF И ит Є U связаны соотношением R/T=UT. Определение 1 [117]. Оператор Н(и,д), действующий из пространства U в пространство F, называется регуляризирующим для уравнения Rf-u (относительно элемента ит), если он обладает свойствами: 1) существует такое число 5/ 0, что оператор Н(и,8) определен для всякого 8, 0 ё ди и любого useU такого,что рц\и5,ит) 8; 2) для всякого е 0 существует So=So(e,us) 5i такое, что из неравенства Рц(и3,ит) 8 : 80, следует неравенство pF(zg,zT) s, где zs =Н{и5,б). Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора Н(и,8). Через fs обозначается произвольный элемент из множества {Н(и& 8)} значений оператора Н(щ,8). В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.). Определение 2 [117]. Оператор Н(и,а), зависящий от параметра а и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Rf=u (относительно элемента ит), если он обладает свойствами: 1) существуют такие числа 8j 0, а\ 0, что оператор R(u,a) определен для всякого а, принадлежащего промежутку (0, а{), и любого ueU, для которого рц {и, ит) 8\\ 2) существует такой функционал а=а(и,8), определенный на множестве Us = [и; рхи,ит) 8\} элементов ueU, что для любого е 0 найдется число 8(e) 3i такое, чтоесли їїeU и ри(її,ит) 8 8{є),то pF(fT,fa) s,rne fa =Н(її,а(її,8)). В этом определении не предполагается однозначность оператора Н(її, а\її,8)). Следует отметить, что при а=8 получается определение 1. Если рц{ит,ид) 8, то согласно [114, 115] в качестве приближенного решения уравнения (3.1) с приближенно известной правой частью us можно брать элемент/а=Н(щ,а), полученный с помощью регуляризирующего оператора Н(и,а), где а=а(щ)=а.і(8) согласовано с погрешностью исходных данных из. Это решение назвали регуляризованным решением уравнения (3.1). Числовой параметр а называется параметром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации а, согласованного с погрешностью исходных данных и$, а=а(щ), определяет устойчивый к малым изменениям правой части и метод построения приближенных решений уравнения (3.1). Если известно, что ри(ит, щ) 8, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации а=а(щ), что при S—+0 регуляризованное решение fa=H(ug,a(us)) стремится (в метрике F) к искомому точному решению ZT, т.е. pF(fr. fa(u5)) 0 и оправдывает предложение брать в качестве приближенного решения уравнения (3.1) регуляризованное решение. Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3.1), устойчивого к малым изменениям правой части, сводится: а) к нахождению регуляризирующих операторов; б) к определению параметра регуляризации а по дополнительной информации о задаче, например, по величине погрешности, с которой задается правая часть и$. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. Хорошо известны правила практических вычислений. В математике издавна приближенные значения производных вычислялись как разностные отношения. При этом приращения аргументов брались не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции. Суммировались и ряды Фурье с приближенными коэффициентами. При этом в качестве приближенной суммы ряда брались частные суммы ряда с не слишком большим числом членов. Это была интуитивная регуляризация, регуляризация по здравому смыслу. Аналогично, т.е. с регуляризацией по здравому смыслу, решались и некоторые другие неустойчивые задачи. При определении координат по дальности и азимуту местоположений объектов на основе данных радиолокационных измерений возникают неопределенности, обусловленные тем, что зондирующий импульс имеет конечную длительность Ти, а антенна - конечную ширину 1Q диаграммы направленности )(#),такчто D(e)=O90e[-Q,Q], где в - угол в радианах. Поэтому в момент времени t Tu с азимута в на вход антенны будет приходить сигнал t+Tu S(e,t)= \o(e,r)dT + e(t), (4.1) t где S\t) - мешающие шумы измерений; Q Ф(0,г)= JD(el)R(e-eltT)del. (4.2) -Q Здесь R{0,T) - отраженный в точке с координатами [в, г) сигнал, если импульс предполагается идеальным прямоугольным. Таким образом, возникает проблема устранения этой неопределенности, что позволит также разделить аддитивное наложение отражений от различных объектов, расположенных в пределах участка земной поверхности боковые границы которого ограничиваются границами диаграммы направленности, а длина равна HU=CTJ2, где с - скорость света. Математической основой решения этой проблемы служат интегральные соотношения вида (4.1) и (4.2). Если левая часть соотношения (4.1) регистрируется в пределах некоторой области изменения аргументов то соотношения (4.1) и (4.2) будут представлять собой систему интегральных уравнений относительно искомой функции R(e,T). Заметим, что в сложившейся терминологии [52] процедура решения уравнения относительно функции t соответствует синтезу виртуальной антенны с более узкой диаграммой направленности. Один из подходов к решению этой задачи для радиометров изложен в работе [10]. Ввиду важности проблемы компенсации влияния на результаты измерений аппаратных функций используемых приборов, она исследуется во многих литературных источниках [22, 103, 26] и часто называется восстановлением сигналов или редукцией к идеальному прибору. Следует отметить, что в случае антенных систем принято рассматривать только проблему компенсации влияния конечности ширины диаграммы направленности на основе уравнения вида (4.5). В активной радиолокации для уменьшения неопределенности в измерениях дальности из-за конечности длительности зондирующего импульса чаще всего используются так называемые шумоподобные сигналы. Они реализуются с помощью деления импульса на более короткие элементы, которые определенным образом кодируются. На приемной стороне осуществляется декодирование. Если протяженность / отражающего объекта удовлетворяет условию где N - количество кодированных элементов в импульсе, то при декодировании отраженного сигнала можно получить разрешение по дальности равное правой части (4.6). Вместе с тем для случая зондирования наземных объектов нет оснований ожидать выполнения неравенства (4.6), т.е. применение сложных сигналов вряд ли целесообразно. Поэтому для уменьшения неопределенности в определении координат местоположений объектов по данным радиолокационных измерений (включая повышение разрешающей способности) представляется естественным использовать соотношение (4.1) и (4.2), как систему интегральных уравнений относительно искомой функции Я(в,т), которую следует вычислять на основе данных, зарегистрированных в области (4.3) и (4.4). С целью иллюстрации теоретических результатов и оценки работоспособности предложенной процедуры вычисления приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода для обработки данных радиолокационных измерений нами был осуществлен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению моделируемых и реальных радиолокационных данных. 1. В качестве модели использовалась идеальная параболическая антенна с диаграммой направленности nasme} /fms m0\\ где Jt - функция Бесселя первого рода; а - диаметр антенны; X - длина волны, при этом использовались следующие их значения в относительных единицах: а=0.65, Х=0.03. График диаграммы направленности приведен на рисунке 4.1. Диаграмма направленности Для получения более приближенных к реальности результатов предполагалась, что зондирующий импульс имеет форму отличную, от идеально прямоугольной. Описание формы импульса имеет вид Предполагалось также, что имеется 4 объекта, взаимное расположение и размеры которых приведены на рисунке 4.3. На нем также иллюстрируется геометрия эксперимента с точки зрения соотношения между зондируемой в данном направлении площадью и размерами объектов. Размеры зондируемой площади вычислялись, исходя из длительности импульса и расстояния до антенны. Все зондируемые объекты имеют равные размеры и центрально симметричное расположение, при этом в относительных единицах: с=5б; 1=84; r=56; S=196. При этом R=108,aA=170, так что соответствующие отношения равны Д/=108/ =0 55-Л -0 86 /S /196 U 3D s u-60 г/А = 0.32; r/R = 0.52; д = 0.32; e/R = 0.52 (/=0.5; 1/лш 0.77. Очевидно, что эти цифры до определенной степени характеризует неопределенность исходных измерений в том числе их разрешающую способность. При моделировании отраженного сигнала использованы два варианта: 1. Шумы измерений в том числе отражение от подстилающей поверхности отсутствуют, что соответствует исследованию потенциально достижимых характеристик восстановления. Этот вариант иллюстрирует рисунки 4.4, 4.5 и 4.6. При этом на рис. 4.4 изображена исходная картина, на рис. 4.5 - соответствующие необработанные данные радиолокационных измерений, а на рис. 4.6 приведены результаты обработки. Размытость рисунков отображает степень интенсивности в том числе неточности восстановления. Очевидно, что рис. 4.4, 4.5 и 4.6 позволяют судить о перспективности развития данного направления обработки радиолокационных измерений. 2. С целью оценки устойчивости предлагаемых вычислительных процедур и воздействиям помех были проведены эксперименты, в которых моделировались погрешности измерений в виде аддитивных псевдослучайных полей.Линейные системы и методы обработки сигналов
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и их свойства
Вариационные принципы устойчивых вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Вычислительная процедура обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений местоположений объектов
Похожие диссертации на Разработка вариационных алгоритмов восстановления входных сигналов конечной длительности в линейных системах
