Введение к работе
Актуальность темы. Современная математическая теория управления, зародившись как теория регулирования, является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений научных исследований. Создание математических моделей систем управления и методов расчета их параметров представляет собой основу системного анализа. На протяжении всей истории развития теории управления ее главной целью было решение нескольких наиболее важных взаимосвязанных проблем, к которым следует отнести: разработку методов построения управляющих воздействий на объект управления для обеспечения наперед заданной динамики (задачи программного управления); создание методов синтеза стабилизирующих управлений, обеспечивающих устойчивую работу объекта в программном режиме (задачи стабилизации программных движений); разработку методов и алгоритмов оптимизации функционирования системы управления как в целом, так и ее отдельных элементов (задачи оптимизации и оптимального управления). Выдающиеся результаты в этих и смежных областях были получены в трудах Л.С. Понтрпгина, Н.Н. Красовского, Р.Е. Калмана, В.И. Зубова, В.А. Якубовича и других ученых.
Конкретные приложения добавляют свою специфику классическим постановкам задач. Так, поведение объектов управления, в зависимости от их природы, может моделироваться различными классами динамических систем, например, линейными или нелинейными, стационарными или нестационарными системами дифференциальных или разностных уравнений. При синтезе обратных связей в распоряжении инженеров могут быть устройства, позволяющие измерять весь вектор фазового состояния или только его часть. Определенные требования предъявляются и к функциональным возможностям системы управления, и к качеству самого управления.
В настоящей диссертации изучаются возможности и разрабатываются методы синтеза так называемых многопрограммных управлений в различных классах динамических систем. Основная идея состоит в том, чтобы построить управление, обеспечивающее замкнутой системе наперед заданное конечное множество асимптотически устойчивых программных движений. Впервые постановка задачи многопрограммной стабилизации была сформулирована В.И. Зубовым в 1991 году. Его результат связан с решением этой проблемы в классе линейных стационарных управляемых систем, а в качестве примеров рассмотрены задача управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и задача управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле.
_4-
B диссертации рассматриваются линейные нестационарные системы, а также важный для приложений класс нелинейных объектов — билинейные стационарные и нестационарные системы. Особое внимание уделяется их разностным аналогам. Хорошо известно, что методы исследования управляемости и устойчивости нестационарных систем существенно отличаются от соответствующих методов в стационарных случаях. Применение первого и второго методов A.M. Ляпунова, а именно, аппарата характеристических показателей и функций Ляпунова, подходов Н.Н. Красовского и Е.Я. Смирнова в задачах стабилизации нестационарных систем позволило разработать конструктивные алгоритмы синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в этих классах систем.
Особое внимание в диссертации уделяется модификации алгоритмов с целью расширения возможностей их практического применения. Лля этого, во-первых, вводятся новые классы многопрограммных управлений. Так, гибридные управления имеют в своем составе непрерывные элементы, отвечающие за реализацию программных движений, и дискретные либо релейные стабилизаторы. Во-вторых, для всех классов систем отдельно рассматривается случай неполной обратной связи, когда полный вектор фазового состояния недоступен для измерения. Тогда система многопрограммного управления дополняется асимптотическим идентификатором (наблюдателем), который, в свою очередь, также может быть гибридным.
Отдельная глава диссертации посвящена синтезу оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений и оптимальных идентификаторов. Изучена структура оптимальных управлений, разработан метод последовательных приближений для их построения.
Таким образом, в диссертации разрабатывается теоретический аппарат, позволяющий решать широкий круг актуальных задач многопрограммного управления в различных классах динамических систем.
Цель работы заключается в разработке математических моделей, многопрограммных систем управления, а также методов и алгоритмов расчета их параметров для различных классов динамических систем непрерывного и дискретного типа в случаях полной и неполной обратной связи.
Методы исследования. В работе используются классические методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и оптимизации. Основным аппаратом исследования является второй метод Ляпунова.
Научная новизна. В диссертации рассмотрены и исследованы новые постановки задач многопрограммного управления и стабилизации для широкого спектра линейных и нелинейных динамических систем. Найдены условия существования и разработаны методы построения непрерывных, дискретных и релейных обратных связей в режиме стабилизации программных движений из заданного семейства для случая полной обратной связи.
Для решения аналогичных задач многопрограммного управления при неполной обратной связи предложены методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) различного типа, позволяющих оценивать отклонение текущего состояния системы от реализуемого в данный момент программного режима. Найдены достаточные условия существования непрерывных, гибридных (непрерывных, но с дискретно поступающей информацией) и разностных идентификаторов полного порядка и меньшей размерности (идентификаторов типа Люенбергера). Доказательства теорем содержат алгоритмы вычисления их параметров.
Предложен подход к решению задачи оптимальной многопрограммной стабилизации. Найдены достаточные условия существования оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений, изучена их структура и разработан метод последовательных приближений для их построения. Этот подход распространен на случай неполной обратной связи, даны методы построения оптимальных идентификаторов в задаче многопрограммной стабилизации.
Практическая ценность. В диссертации разработаны методы синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений для различных классов динамических систем, которые используются в качестве математических моделей реальных процессов при решении конкретных прикладных задач. Система, замкнутая многопрограммным управлением, представляет собой нелинейный многопрограммный автомат, способный реализовать любое программное движение из заданного семейства в зависимости от выбора начальных данных. Созданный теоретический аппарат позволяет проектировать многопрограммные системы управления в случае как полной, так и неполной обратной связи, при дискретном характере информации в каналах обратной связи, а также решать задачи оптимизации этих систем по заданным критериям качества. Кроме того, поскольку линейные и билинейные системы являются универсальным средством аппроксимации нелинейных динамических объектов, то предложенный в диссертации подход, по сути, универсален. При этом следует отметить, что в работе исследованы возможности его применения для таких нелинейных моделей как сие-
темы типа Лотки — Вольтерры и для решения некоторых нелинейных задач управления в механизмах двигателя автомобиля.
Положения, выносимые на защиту.
-
Математические модели систем управления, обеспечивающих реализацию некоторого программного движения из наперед заданного конечного семейства и его стабилизацию для различных классов линейных и нелинейных динамических систем.
-
Достаточные условия существования многопрограммных стабилизирующих управлений. Представление этих управлений и методы их построения в случае полной обратной связи.
-
Достаточные условия существования асимптотических идентификаторов состояния системы различных типов, позволяющих решать задачи многопрограммного управления в случае неполной обратной связи. Методы расчета параметров этих идентификаторов и построенных с их применением многопрограммных управлений.
-
Методы синтеза оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений и соответствующих асимптотических идентификаторов для случая неполной обратной связи.
Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные разделы и полученные результаты были представлены в докладах па международных конференциях: "Interval'94" по интервальным и компьютерно-алгебраическим методам (С.-Петербург, 1994 г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994 и 1996 гг.), "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995 и 1997 гг.), "СОС'97" по управлению колебаниями и хаосом (С.-Петербург, 1997 г.), "Еругинские чтения — V" (Могилев, 1998 г.), конференции, посвященной 90-летию Л.С. Понтрягина (Москва, 1998 г.), "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация (DSSCO'98)" (Минск, 1998 г.), "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики" (С.-Петербург, 2000 г.), "Управление и его приложения" — пятая конференция SIAM (Сап-Диего, США, 2001 г.), "Ежегодной конференции общества прикладной математики и механики (GAMM-2002)" (Аугсбург, Германия, 2002 г.), "Конференции по оптимизации (FGP-2002)" (Котт-бус, Германия, 2002 г.), "Идентификация систем и задачи управления (SICPRO'04)", (Москва, 2004 г.), конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления (SCP-2005)" (С.-Петербург, 2005 г.), "Физика и управление (PhysCon 2005)" (С.-Петербург, 2005 г.); па международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1998 г.); на международных семинарах: "Динамика пучков и оптимизация (BDO)" (С.-Петербург,
1996, 1998 и 2002 гг.), "Оптимизация в задачах управления (САО-2000)" (С.-Петербург, 2000 г.); па семинарах в Научно-исследовательской лаборатории компании Форд (Детройт, США, 2001 г.), в Харбинском политехническом университете (Харбин, КНР, 2005 г.), в Институте проблем механики (Москва, 2005 г.), па семинаре "Принципы построения математических моделей", проводимом в рамках научной школы " Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", организованной Средневолжским математическим обществом и Мордовским госуниверситетом им. Н.П. Огарева (Саранск, 2005 г.), а также на семинарах кафедры теории управления и кафедры моделирования экономических систем факультета ПМ-ПУ СПбГУ.
Работа была частично поддержана грантом РФФИ (1996-1999 гг.), наименование проекта "Процессы управления и устойчивость", руководитель — член-корр. РАН В.И. Зубов (№ 96-15-96106), а также персональным грантом Министерства Образования РФ в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (1997-2000 гг.), наименование проекта "Стабилизация и оптимальная стабилизация нелинейных управляемых систем по билинейному приближению".
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 52 печатных работах.
Структура и обо.ем работы. Диссертация содержит 287 страниц и состоит из введения, трех глав, Приложения, Заключения и списка литературы, включающего 170 наименований.
