Введение к работе
Объект исследования. В диссертационной работе изучается задача оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации.
Актуальность работы. Оценивание параметров систем - одна из центральных проблем в современной теории и практике адаптивного управления. Это связано с тем, что функционирование многих технических, экономических систем происходит на фоне случайных воздействий. В таких ситуациях, как правило, возникает необходимость в решении задачи: по результатам измерений доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих воздействий постараться наилучшим образом оценить истинные параметры изучаемого объекта.
Математическая формализация подобных задач связана с принятыми в каждом конкретном случае информационными условиями, вызванными как функционированием самого объекта, так и процедурой измерения. В соответствии с этими информационными предположениями применяются разные подходы к решению задач оценивания.
Статистический подход разрешения данного вопроса предполагает, что известны вероятностные распределения возмущений или, по крайней мере, известны такие статистические характеристики, как математические ожидания и ковариационные матрицы случайных возмущений.
Фундаментальным результатом в области исследования задач оценивания состояния линейной стохастической системы с наблюдением, возмущения в которой описываются случайными процессами с заданными параметрами распределений, являются соотношения фильтра Р. Калмана, главной особенностью которого является то, что оценка состояния может быть получена рекуррентно и уточнена по мере поступления новых наблюдений.
Большое число исследований посвящено моделям, структура которых содержит случайные помехи. Наиболее полные результаты получены для задачи идентификации и управления линейной системой с гауссовскими распределениями случайных возмущений и квадратичным критерием качества. Задачи, связанные с оцениванием и управлением стохастическими системами, исследованы в работах В.Н. Афанасьева, А.С. Братуся, М. Дэвиса, В.Б. Колмановского, Р.Ш. Липцера, А.Д. Мыщкиса, В.Р. Носова, B.C. Пугачева, И.Н. Синицина, А.Н. Ширяева и других авторов. Задача идентификации параметров линейной модели в предположении, что возмущения в наблюдениях носят случайный характер, была исследована в работах А. Альберта, B.C. Пугачева, СР. Рао.
При детерминированном (гарантирующем) подходе предполагается, что информация о возмущениях в системе исчерпывается заданием множеств их
\
3 "' } '
возможных значений. Решение задачи в этом случае сводится, как правило, к описанию эволюции областей, называемых информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, так и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки состояния системы или ее параметров. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям наблюдений.
Идейной основой теории гарантированного оценивания послужили фундаментальные работы Н.Н. Красовского. Это направление было развито в работах А.Б. Куржанского, Д.П. Бертсекаса, М.И. Гусева, Х.С. Витзенхаузе-на, Е.К. Костоусовой, О.И. Никонова, И.В. Родеса, Т.Ф. Филипповой, Ф.Л. Черноусько, Ф.С. Швеппе и других авторов.
В ситуациях, при которых информационные предположения носят двоякий характер (с одной стороны, известны некоторые сведения о распределениях, с другой - параметры этих распределений неизвестны или известны неточно), применяют статистически неопределенный подход. Задачи оценивания состояний или параметров системы, структура которой содержит как случайные возмущения, так и неслучайные возмущения, информация относительно которых исчерпывается заданием областей их возможных значений, называются статистически неопределенными задачами оценивания.
В работах Н.Н. Красовского, М.Л. Лидова, Ф. Швеппе сформулированы подходы к решению задачи оценивания в условиях неполной статистической информации о распределении случайных возмущений. Минимаксным методам решения статистически неопределенных задач управления и оценивания посвящены работы Б.Ц. Бахшияна, С. Верду, Ю.С. Кана, А.И. Кибзуна, В.Б. Колмановского, М.Л. Лидова, А.И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, В.Н. Соловьева, Б.Н. Пшеничного, В.Г. Покотило, П.Э. Эльясберга и других авторов.
В работах И.Я. Каца и А.Б. Куржанского предложены линейные рекуррентные процедуры оценивания состояния многошаговой системы на основе описания динамики множеств апостериорных средних. Задаче построения доверительных областей для вектора состояния статистически неопределенных систем посвящены работы Б.И. Ананьева, И.А. Дигайловой, Г.А. Тимофеевой. Методы решения задач оценивания и оптимизации в условиях неполной статистической информации, предлагаемые Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкиным, базируются на робастном подходе, предложенном П. Хьюбером.
Проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем исследовались в работах Б.Ц. Бахшияна, В.Б. Колмановского, М.Л. Лидова, А.И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, П.Е. Эльясберга и других авторов.
Данная работа базируется на подходах и методах, предложенных А.Б.
Куржанским1, И.Я. Кацем2 и Г.А. Тимофеевой3.
Особенностью данного диссертационного исследования является то, что задача оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели изучается при отсутствии априорной информации об оцениваемых параметрах.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, структура которой содержит как случайные гаус-совские возмущения, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений.
Поставленная цель предполагает решение следующих задач:
исследовать свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построить уточненные линейные доверительные множества для вектора параметров модели;
построить оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели по методу максимального правдоподобия; исследовать их свойства;
разработать алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, линейной алгебры и методы компьютерного моделирования.
Научная новизна. В работе получены результаты, дополняющие существующие методы оценивания статистически неопределенных систем новыми эффективными линейными процедурами построения доверительных множеств и нелинейными процедурами оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.
Основные результаты диссертационной работы:
исследованы свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построены уточненные доверительные множества для вектора параметров модели;
на основании метода максимального правдоподобия построены нелинейные оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; исследованы свойства оценок по методу максимального правдоподо-
'Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Доклады АН СССР. - 1975. - Т.221. - №3. - С. 535-538.
2Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в статистически неопределенных системах// Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1994. - Х'6. - С. 42-46.
3Гимофеева Г.А. Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного случайного вектора // Автоматика и телемеханика. - 2002. - Л'*6. - С. 44-56.
бия;
3) разработаны алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.
Теоретическая и практическая ценность работы. Процедуры оценивания, предложенные в работе, являются новыми методами решения задачи оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, что приводит к расширению применения теории оценивания в теоретической и практической области.
Апробация работы. Основные результаты исследования обсуждались на научных конференциях: 34, 35 и 39-й Региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург: УрО РАН, 2003, 2004 и 2008); 4,5, 6 и 8-й Научно-технических конференциях «Молодые ученые - транспорту» (Екатеринбург: УрГУПС, 2003, 2004, 2005, 2007); 9-й Международной конференции «Системный анализ и управление» (Крым, Евпатория, 2004); 5-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва: ИПУ РАН, 2006), на международных научных семинарах: «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби» (Екатеринбург: УрГУ, 2005); «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем» (Екатеринбург: УрГУПС, 2006); «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва: ИПУ РАН, 2008); а также на научных семинарах кафедр «Кибернетика» (Москва: МИЭМ, 2006, 2009), «Теория вероятностей» (Москва: МАИ, 2009) и кафедры «Высшая математика» (Екатеринбург: УрГУПС, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1, 2, 3] журналов, входящих в Перечень ВАК; в сборниках трудов [4-16] и тезисах [17-22] научных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (103 источника). В работе приведено 19 рисунков, 5 таблиц. Общий объем диссертации составляет 136 страниц.
