Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов управления в условиях запаздывания и возмущений. постановка задачи 21
1.1. Обзор методов управления в условиях запаздывания 21
1.1.1. Предиктор Смита 24
1.1.2. Предиктор Крстича. Метод бэкстеппинг
1.2. Обзор методов управления в условиях возмущающих воздействий 31
1.3. Обобщенная постановка задачи 35
Глава 2. Методы построения адаптивных наблюдателей мультигармонических сигналов 38
2.1. Алгоритм адаптивной идентификации параметров смещенного синусоидального сигнала 39
2.1.1. Постановка задачи 39
2.1.2. Алгоритм идентификации частоты смещенного гармонического сигнала 40
2.1.3. Алгоритм идентификации смещения, амплитуды и фазы 46
2.1.4. Числовой пример 52
2.2. Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического сигнала 57
2.2.1. Постановка задачи 57
2.2.2. Алгоритм идентификации частот смещенного мультигармонического сигнала 58
2.2.3. Алгоритм идентификации смещения, амплитуд и фаз гармоник 62
2.2.4. Числовой пример 66
2.3. Заключительные выводы по главе 72
Глава 3. Компенсация мультигармонических возмущений, действующих на устойчивый объект с запаздыванием в канале управления 73
3.1. Алгоритм компенсации мультигармонического возмущения, действующего на устойчивый линейный объект управления с запаздыванием 75
3.1.1. Постановка задачи 76
3.1.2. Алгоритм адаптивной идентификации частот 77
3.1.3. Синтез закона управления 81
3.1.4. Числовой пример 90
3.2. Алгоритм компенсации мультигармонического возмущения, действующего на устойчивый нелинейный объект управления с запаздыванием 95
3.2.1. Постановка задачи 96
3.2.2. Построение алгоритма компенсации возмущающего воздействия 97
3.2.3. Алгоритм адаптивной идентификации частот 99
3.2.4. Синтез закона управления 100
3.2.5. Числовой пример 105
3.3. Экспериментальные исследования алгоритма управления 107
3.4. Заключительные выводы по главе
Глава 4. Компенсация мультигармонических возмущений, действующих на неустойчивый объект с запаздыванием в канале управления 111
4.1. Постановка задачи 112
4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием 113
4.3. Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического возмущения 121
4.4. Алгоритм компенсации мультигармонического возмущения, действующего на неустойчивый объект управления с
запаздыванием 126
4.4.1. Числовой пример 132
4.5. Заключительные выводы по главе 136
Заключение 137
Слова благодарности 139
- Предиктор Крстича. Метод бэкстеппинг
- Алгоритм идентификации частоты смещенного гармонического сигнала
- Алгоритм адаптивной идентификации частот
- Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием
Введение к работе
Актуальность работы В теории автоматического управления особое место занимают системы с запаздыванием, задача управления которыми всегда привлекала внимание многих исследователей (3. Арштейн, X. Турецкий, М. Крстич, Е.Л. Миркин, Б.Н. Розенвассер, О. Смит, A.M. Цыкунов, Я.З. Цыпкин и другие). Выделение объектов с запаздыванием в отдельный класс вызвано, прежде всего, сложностью их исследования. Эффект запаздывания особенно ярко проявляется при автоматическом управлении высокоскоростными самолетами, ракетами и сложными системами при наличии больших расстояний. Транспортное запаздывание может возникать в силу конструктивных особенностей системы, например, при автоматическом управлении впрыском топлива в инжекторном двигателе внутреннего сгорания. Бурный рост информационно-коммуникационных технологий привел к обширному использованию цифровых контроллеров ь современных системах автоматики. Несмотря на относительно высокое быстродействие современные контроллеры, в силу сложности алгоритмов управления, могут вызывать крайне нежелательное запаздывание. Также запаздывание можно встретить, работая с химическими, экологическими, эволюционными, организационными, транспортными системами и многими другими.
В настоящее время нет удовлетворительных решений, связанных с синтезом регуляторов в условиях временного запаздывания и возмущений. Задача компенсации внешних возмущающих воздействий относится к фундаментальным проблемам современной теории автоматического управления.
Наглядным примером сложной технической системы, функционирующей в условиях нестационарной внешней среды, является надводное судно. В открытом море судно подвергается возмущениям, имеющим различную природу и происхождение: ветровые и волновые воздействия, а также течение. Более сложными техническими объектами в смысле управления являются летательные аппараты, обладающие сравнительно высокими скоростями полета и подверженные серьезным внешним воздействиям. Заданную траекторию при движении орбитального тела сохраняет только центр масс, а весь корабль под действием различных возмущающих моментов может вращаться относительно системы координат, связанной с центром масс. Чтобы корпус корабля был неподвижен относительно своего центра, необходимо его стабилизировать в нужном положении, компенсируя возмущающие воздействия.
При огромном количестве работ, посвященных методам синтеза регуляторов в условиях запаздывания зачастую не рассматривается наличие внешних возмущений, при этом не ясно, является ли тот или иной предложенный метод пригодным к использованию в реальном техническом объекте. Существует
большое количество результатов, где получены адаптивные и робастные схемы компенсации параметрически не определенных возмущающих воздействий (А.А. Бобцов, А.С. Кремлев, Р. Марино, В.О. Никифоров, П. Томей, М. Хоу, Л. Хсу, К. Ксиа и другие). Однако, при наличии временного запаздывания в контуре управления практически все эти методы становятся неэффективными. Таким образом, необходимо разрабатывать новые подходы, позволяющие работать в условиях и запаздывания, и действия внешних возмущений, что подчеркивает актуальность данной работы.
Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка новых адаптивных и робастных алгоритмов управления линейными и нелинейными объектами в условиях запаздывания и внешних возмущающих воздействий, а также их апробация на мехатронных системах.
Научная новизна. Новизна данной работы заключается в том, что рассматриваемая задача компенсации неизвестного мультигармонического возмущающего воздействия в условиях запаздывания решается впервые. Достаточно большое число работ посвящено управлению в условиях действия неизвестного возмущающего воздействия по измерениям только выходной переменной. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов задача компенсации параметрически не определенных мультигармонических возмущающих воздействий для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, ранее не рассматривалась.
Практическая значимость. Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что данные методы управления по выходной переменной могут быть эффективно применены для широкого класса технических объектов, функционирующих в условиях возмущающих воздействий и запаздывания в каналах управления и измерения. Применение полученных методов позволит существенно ослабить требования к объему априорной информации о свойствах среды функционирования объекта управления; значительно снизить затраты на разработку и использование сенсорной техники для измерения всех переменных состояния системы или производных выходной переменной; расширить класс технических объектов, для которых могут быть успешно решены задачи высокоточного управления; повысить надежность системы благодаря устранению дополнительных помех, вызванных использованием датчиков переменных состояния или вычислителей производных выходной регулируемой переменной.
Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались метод функций Ляпунова, амплитудно-фазовые частотные характеристики линейных динамических звеньев, итеративные процедуры синтеза (метод "бэкстеппинг", "backstepping"). В работе также использованы общие методы теории автоматического управления и автоматизации
технологических процессов, алгебры многочленов и теории матриц, теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
Адаптивный наблюдатель параметров мультигармонического сигнала (частоты, амплитуды, начальные фазы), позволяющий получать оценки всех гармоник и их производных.
Алгоритм компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на устойчивый линейный объект с запаздыванием в канале управления.
Алгоритм управления устойчивым нелинейным объектом с запаздыванием, парирующий параметрически не определенное мультигармоническое возмущение.
Алгоритм стабилизации неустойчивого линейного объекта, функционирующего в условиях запаздывания в канале управления, с парированием параметрически не определенного мультигармонического возмущения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: 9th IFAC Workshop Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Saint-Petersburg, Russia, 2007; 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ENOC, Saint-Petersburg, Russia, 2008; 17th IFAC World Congress, Seoul, Republic Korea, 2008; The 2008 IEEE Multi-conference on Systems and Control, San Antonio, Texas, USA; 12th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC, Saint-Petersburg, Russia, 2008; 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control, Saint Petersburg, Russia, 2009; 4th International Conference "Physics and Control", Catania, Italy, 2009; 9th IFAC Workshop on Time Delay System, Prague, Czech Republic, 2010; American Control Conference, Baltimore, USA, 2010; 8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems, Bologna, Italy, 2010; IV, V, VI и VII Межвузовские конференции молодых ученых, Санкт-Петербург, 2007-2010; X и XII Конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, 2008 и 2010; XXXVI-II и XXXIX научные и учебно-методические конференции СПбГУ ИТМО, 2009 и 2010, Первая Традиционная Школа 'Управление, информация и оптимизация", Переславль-Залесский, 2009.
В 2009 году в течение месяца соискатель проходил научную стажировку в Университете Калифорнии в Сап-Диего (США) у профессора Мирослава Крстича, всемирно известного ученого в области адаптивного управления и
запаздывания, занимаясь исследованием задачи управления неустойчивыми объектами в условиях запаздывания в канале управления и внешнего лультигармонического возмущающего воздействия.
Работа выполнена на кафедре ''Систем Управления и Информатики" Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, поддержана Федеральной Целевой Программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, Государственный контракт П127 от 13 апреля 2010 г. "Создание макета механотронного исследовательского комплекса для анализа интеллектуальных методов управления сложными динамическими объектами".
Разработанные алгоритмы управления были исследованы на оригинальной мехатронной маятниковой установке, созданной соискателем на базе комплекса "The Mechatronics Control Kit", предоставленного фирмой "Mechatronic Systems, Incorporated".
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах в рецензируемых журналах [1-9], входящих в перечень ВАК, а также в 18 статьях в сборниках научных трудов всероссийских и международных конференций [10-27].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав с выводами и заключения. Основная часть работы изложена на 151 странице. Список литературы включает 99 наименований.
Предиктор Крстича. Метод бэкстеппинг
Синтез систем управления для объектов с запаздывающим управлением требует учета влияния величины запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов в замкнутой системе. Уникальным подходом была идея Отто Смита [95]. Она заключалась в построении системы управления, в которой запаздывание не влияет на устойчивость и качество переходных процессов. Недостатками такого подхода является то, что он расчитан только на асимптотически устойчивые объекты управления, а также необходимость точного знания всех параметров системы. В последующие годы учеными со всего мира исследовались и были решены более сложные постановки задач управления в условиях запаздывания: для дискретных объектов управления [35J, для параметрически не определенных объектов управления [18, 30, 57, 84], для неустойчивых объектов управления [68].
В настоящее время нет удовлетворительных решений, связанных с синтезом регуляторов в условиях временного запаздывания и возмущений. Задача компенсации внешних возмущающих воздействий относится к фундаментальным проблемам современной теории автоматического управления. Особый интерес представляют задачи управления по выходу, как линейными и нелинейными, так и устойчивыми и неустойчивыми объектами.
Весьма наглядный пример сложной технической системы, функционирующей в условиях нестационарной внешней среды, — надводное судно. В открытом море судно подвергается возмущениям, имеющим различную природу и происхождение. Выделяют три типа возмущений, существенно влияющих на качество управления: ветровые воздействия, волновые воздействия и течение. Система автоматического управления движением судна может решать различные задачи: стабилизация курса, движение вдоль заданной траектории, стабилизация продольной и поперечной скоростей, динамическое позиционирование в точке. К системам автоматического управления движением предъявляются жесткие требования к динамическим и точностным показателям качества. Например, для задачи стабилизации курса установившаяся ошибка не должна превышать значение 1 градуса. Для нефтеналивных судов большого водоизмещения, длина которых может быть более 100 метров, необходимо синтезировать системы динамического позиционирования в точке. При том, что судно может находиться под нефтяной вышкой более суток, система управления должна обеспечивать точность позиционирования с отклонением не более 20 см при различного рода возмущениях.
Более сложными техническими объектами в смысле управления являются летательные аппараты, обладающие сравнительно высокими скоростями полета. Сложность объясняется повышенными требованиями к безопасности движения. При этом сам летательный аппарат подвержен весьма серьезным внешним воздействиям: ветер, зоны турбулентности, грозовые тучи, и многое другое, характерное для данного типа объектов управления.
Нормальное функционирование высокоточных оптических систем требуют относительно спокойной и неподвижной внешней среды. Наличие возмущающих воздействий может крайне негативно сказываться на работе такой системы, поэтому влияние возмущения должно быть устранено. В прецизионном электроприводе необходимо минимизировать траєкторную ошибку с помощью компенсации возмущающих воздействий. Задача компенсации возмущений решается стендами активной виброзащиты.
Заданную траекторию при движении орбитального тела сохраняет только центр масс, а весь корабль под действием различных возмущающих моментов может вращаться относительно системы координат, связанной с центром масс. Чтобы корпус корабля был неподвижен относительно своего центра, необходимо его стабилизировать в нужном положении. Управление кораблем или орбитальной космической станцией — это не только стабилизация его относительно центра масс, но и ориентация по отношению к внешней системе координат, например, по отношению к Солнцу. Сохранению же полученной ориентации будут препятствовать различного рода регулярные и нерегулярные возмущения, компенсация которых и составляет задачу стабилизации. Система стабилизации должна работать непрерывно, быть очень чувствительной к возмущающим моментам, которые могут иметь самое разнообразное происхождение, величину и продолжительность действия. Причин возможных внешних возмущений — десятки. Это и силы аэродинамического сопротивления, и гравитационное и магнитное поля Земли, и давление солнечной радиации, и столкновение с метеорами, возможные толчки и удары при встрече с другими космическими аппаратами. Источники возмущающих моментов могут находиться как внутри орбитальной космической станцией, так и вне ее. Внутренние возмущения могут быть вызваны не только работой подвижных частей оборудования, но и перемещениями членов экипажа. Если возмущения не компенсировать постоянно, то импульс момента может быть очень большим, а угловые скорости вращения будут расти неограниченно и станция может раскрутиться до большой скорости. Внешние возмущения естественного происхождения — аэродинамического, гравитационного или магнитного - - характеризуются, с одной стороны, весьма малыми значениями возмущающего момента, с другой стороны, довольно большой продолжительностью их действия.
Нет никаких сомнений, что задача активной компенсации возмуіцающих воздействий является актуальной для широкого класса технических объектов управления. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления в условиях внешних воздействий [2, 3, 6-9, 20, 42, 52, 74-77, 85-87]). Как правило, подходы к управлению при наличии возмущения предполагают использование интегральных регуляторов, повышение у системы порядка астатизма или же встраивание известной модели возмущающего воздействия (комбинированные регуляторы), что в подавляющем большинстве случаев является сильной идеализацией [5]. Однако, применение указанных методов ограничивается классом измеряемых, ограниченных возмущений или же возмущений с известной динамической моделью. С развитием адаптивного управления удалось найти более конструктивные решения в классе параметрически и сигнально не определенных детерминированных возмущений [6-9, 20, 25].
При огромном количестве работ, посвященных методам синтеза регуляторов в условиях запаздывания зачастую не рассматривается наличие внешних возмущений, при этом не ясно, является ли тот или иной предложенный метод пригодным к использованию в реальном техническом объекте. Существует не меньшее количество результатов, где получены адаптивные и робастные схемы компенсации параметрически не определенных возмущающих воздействий. Однако, при наличии временного запаздывания в контуре управления практически все эти методы становятся неэффективными. Таким образом, необходимо разрабатывать новые подходы, позволяющие работать в условиях и запаздывания, и действия внешних возмущений, что подчеркивает актуальность данной работы.
Алгоритм идентификации частоты смещенного гармонического сигнала
Задача стабилизации систем с запаздыванием в канале управления практически не изучена для случая компенсации возмущающих воздействий. Подобная попытка была предпринята в статье [13], где рассматривался случай управления параметрически не определенным линейным объектом, подверженным влиянию внешнего возмущения. Однако авторам не удалось добиться полной компенсации возмущения.
Задача управления в условиях действия возмущения (внешнего паразитного воздействия) является классической проблемой современной теории систем. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления при условии действия возмущений (см., например, обзор методов представленных в монографии [20]). Большинство известных подходов связано с косвенной параметризацией возмущений, которая в свою очередь, основана на принципе внутренней модели [20, 28]. При этом методы, использующие принцип внутренней модели, как правило, основываются на гипотезе о возможности представления возмущения как выхода некоторой конечномерной динамической линейной системы. В классической теории управления модель генератора полагается точно известной, что в большинстве случаев является идеализацией. Сегодня случай, когда конечномерная линейная динамическая модель генератора возмущающего воздействия имеет известные матрицы ее описания уходит из рассмотрения. Приоритет отдается исследованию генераторов возмущений с матрицами описания, коэффициенты которых заданы не точно или неизвестны (см., например, работы [20, 52, 59, 74-77, 85-87].
Также можно выделить ряд подходов, основанных на идее "сильной" обратной связи (см., например, работы [19, 20, 39, 43, 46, 49]). В работе [43] решена задача слежения линейным стационарным объектом за задающим сигналом. Достоинствами этой работы являются измеримость лишь выходной переменной, а не ее производных или переменных состояния, неопределенность параметров объекта, а также наличие возмущающих воздействий. Но в этой работе не рассматривалось запаздывание. Методы, использующие "сильную" обратную связь не обеспечивают полной компенсации возмущающего воздействия и, в силу своей особенности (данные методы предусматривают использование большого коэффициента обратной связи), могут привести к усилению нежелательных помех измерения.
Достаточно большое число работ посвящено управлению в условиях действия неизвестного возмущающего воздействия по измерениям только выходной переменной (см., например, [2, 3, 6-9, 20, 42, 52, 74-77, 85 87]). В то же время пользуются популярностью задачи наблюдения и устранения возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта [3, 4]. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации гармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась.
Наибольший интерес представляют задачи, где частота возмущения не известна. Однако в большинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигналов. Предлагаемый в данной диссертации алгоритм идентификации основывается на работах [2, 6-10, 25, 38, 41, 42, 91, 93] и имеет динамический порядок, равный трем из расчета на одну гармонику, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в [52, 59, 74-77, 96].
Разработанная методика идентификации частоты сигналов имеющих гармоническую природу1 была расширена на задачи идентификации параметров детерминированных хаотических сигналов2 [39, 45, 47, 92].
В [76, 77, 85-87] рассматриваются минимально-фазовые модели объектов управления, а в [6-8] — строго минимально-фазовые с единичной относительной степенью. В [8] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в случае, когда канал управления характеризуется запаздыванием. В [9] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного 1 Сигналы, являющиеся выходом линейных динамических генераторов с мнимыми корнями характеристического уравнения. 2 Сигналы, являющиеся выходом нелинейных динамических генераторов, которые являются локально неустойчивыми, глобально ограниченными и имееют странные аттракторы. объекта управления любой относительной степени. В [6, 7] решена задача компенсации неизвестного возмущения для параметрически не определенного объекта управления.
В [8, 9] опубликованы результаты по компенсации синусоидального возмущения 6(t) = 7sin(w + ф) соответственно для строго минимально-фазового объекта с запаздыванием и объекта без запаздывания, модель которого имеет произвольную относительную степень. В [8] и [9] для построения регулятора был необходим искусственно реализованный блок запаздывания. В 8] размерность регулятора составляла 2и + 3, где п — динамическая размерность объекта.
В отличие от этих работ в диссертации для объектов с запаздыванием и произвольной относительной степенью математической модели (в том числе и неминимально-фазовых объектов) предлагается метод компенсации возмущения, представленного в виде векторного возмущающего воздействия Д(і) = Е + XV=i Gi sin(wjt) + Hi cos(ujt), где E, d и Щ — неизвестные постоянные n-мерные вектор-столбцы.
В развитие результатов [2, 3, 6-9, 20, 42, 52, 59, 74-77, 85-87, 96] в данной работе предлагается новый алгоритм компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на нелинейный и неустойчивый объект управления, относительная степень модели которого может быть любой, а канал управления характеризуется запаздыванием.
Алгоритм адаптивной идентификации частот
Такой алгоритм обеспечивает ограниченность и сходимость к нулю ошибок оценивания щ = fa — fa и фг = ф$ — фц. Переменные /х и ф$ являются оценками \xt-i и ф і в (2.92) соответственно, a L и ф являются оценками L и у $ соответственно.
Анализ ограниченности и сходимости к нулю ошибок оценивания сводится к рассмотрению разности оценок и истинных значений. Доказательство эффективности работы алгоритма (2.108)—(2.112) аналогично доказательству утверждения 2.1.
Продемонстрируем на числовом примере работу адаптивного алгоритма идентификации всех параметров мультигармонического сигнала (2.73), (2.78), (2.88)-(2.90), (2.102)-(2.104), (2.108)-(2.Ш). На рис. 2.8, а, 2.5 представлены графики переходных процессов для мультигармонического сигнала y(t), чтобы показать, что оценки сходятся к истинным значениям. На рис. 2.6 представлены графики переходных процессов для другого значения параметра Л, чтобы показать, что, увеличивая значения этого параметра, можно ускорять процесс идентификации частот CUJ, и, как следствие, оценка остальных параметров проходит быстрее. На рис. 2.8, б, 2.7 представлены графики переходных процессов для сигнала переменной формы для того, чтобы проиллюстрировать адаптивность алгоритма по отношению к изменению параметров сигнала. На рис. 2.9 представлены графики переходных процессов для сигнала у it) с аддитивным экспоненциально коррелированным шумом2, чтобы продемонстрировать робастные свойства алгоритма идентификации по отношению к нерегулярной составляющей сигнала.
1 Экспоненциально коррелированный шум моделировался с помощью формирующего фильтра W(s) = JCT, на вход которого подавался частотно ограниченный белый шум мощностью N = 0,1. Рис. 2.5 2.9 демонстрируют эффективность, адаптивные и робастные свойства разработанного метода идентификации параметров мультигармонического сигнала. і, Временные диаграммы мультигармонических сигналов. y(t) = 6 + 3sin(l,4 + 2) + 6sin(3,lt + 4) Временные диаграммы аддитивного шума и оценок всех частот сигнала y(t) = 4 + 3sin(t + 3) + 4sin(2t + 2) при коэффициентах идентификатора Л = 0, 7, к\ = 20, кг = 10. 2.3. Заключительные выводы по главе
1. Разработан новый алгоритм идентификации частоты смещенного синусоидального сигнала, доступного для измерения.
2. Разработан алгоритм адаптивной идентификации смещения, амплитуды и начальной фазы смещенного синусоидального сигнала на основе оценки частоты.
3. Полученные результаты обобщены на случай мультигармонического сигнала: разработан новый алгоритм идентификации всех частот мультигармонического сигнала. Разработан алгоритм идентификации всех параметров мультигармонического сигнала на основе оценок частот, включая общее смещение, амплитуды и фазы всех гармоник.
4. Доказана теорема о том, что ошибка оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала экспоненциально стремится к нулю. Показано, что можно управлять скоростью сходимости оценки частоты к истинному значению, изменяя параметры алгоритма идентификации.
5. Показаны робастные свойства алгоритма идентификации по отношению к аддитивной нерегулярной составляющей измеряемого сигнала. Глава З
Данная глава посвящена методам синтеза адаптивных и робастных алгоритмов управления в условиях запаздывания и возмущающих воздействий. Рассматриваются линейные и нелинейные объекты с постоянным запаздыванием в канале управления. Возмущающее воздействие представлено в виде мультигармонической функции времени с неизвестными постоянными параметрами. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи.
Достаточно большое число работ посвящено управлению в условиях действия неизвестного возмущающего воздействия по измерениям только выходной переменной (см., например, [2, 3, 6-9, 20, 42, 52, 74 77, 85-87]). В то же время пользуются популярностью задачи наблюдения и устранения возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта [3, 4]. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации мультигармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась.
Наибольший интерес представляют задачи, где частота возмущения не известна. Однако в большинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигналов. Предлагаемый в данной статье алгоритм идентификации имеет динамический порядок, равный трем, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в [52, 59, 74-77, 96].
В [76, 77, 85-87] рассматриваются минимально-фазовые модели объектов управления, а в [6-8] — строго минимально-фазовые с относительной степенью единица. В [8] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в случае, когда канал управления характеризуется запаздыванием. В [9] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта управления любой относительной степени. В [6, 7] решена задача компенсации неизвестного возмущения для параметрически не определенного объекта управления.
В [8, 9] опубликованы результаты по компенсации синусоидального возмущения 6(t) = asm(u t + ф) соответственно для строго минимально-фазового объекта с запаздыванием и объекта без запаздывания, модель которого имеет произвольную относительную степень. В [8] и [9] для построения регулятора был необходим искусственно реализованный блок запаздывания. В [8] размерность регулятора составляла 2п + 3, где п — динамическая размерность объекта.
В отличие от этих работ в данной главе для объектов с запаздыванием и произвольной относительной степенью математической модели (в том числе и неминимально-фазовых объектов) предлагается метод компенсации возмущения, представленного в виде векторного возмущающего воздействия Д(і) — Е + YA=IQsin(wjt) + HiCos(iVit), где ?, Gi я НІ — неизвестные постоянные n-мерные вектор-столбцы. В данной работе предлагается принципиально новый метод синтеза закона управления, размерность которого равна п + 3 в линейном случае и 2п + 3 в нелинейном. Для формирования сигнала управления более не требуется искусственный блок запаздывания, что является более выгодным с точки зрения простоты реализации регулятора.
В развитие результатов [2, 3, 6-9, 20, 42, 52, 59, 74-77, 85-87, 96] в данной главе предлагается новый алгоритм компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на линейный и нелинейный объект управления, относительная степень модели которого может быть любой, а канал управления характеризуется запаздыванием. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи.
Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием
Данная глава посвящена методам синтеза адаптивных и робастных алгоритмов управления неустойчивыми объектами в условиях запаздывания и возмущающих воздействий. Рассматриваются линейные неустойчивые объекты с постоянным запаздыванием в канале управления. Возмущающее воздействие представлено в виде мультигармонической функции времени с неизвестными постоянными параметрами. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи.
В данной главе предлагается новый метод синтеза алгоритма компенсации мультигармонического возмущающего воздействия для неустойчивого объекта управления с запаздыванием в канале управления. Несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации мультигармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась. Особо отметим, что задача стабилизации неустойчивых систем с запаздыванием в управлении с одновременной компенсацией смещенного синусоидального возмущения впервые была поставлена и решена в [89, 90].
Алгоритм стабилизации неустойчивой системы с запаздыванием основан на решении уравнения в частных производных первого порядка ("transport PDE") [70], [68] с использованием процедуры бэкстеппинг [69]. Закон управления по выходу формируется из двух составляющих: первая расчитывается из соображений стабилизации неустойчивой системы, и вторая — для компенсации возмущения.
В разделе 4.2 решена задача стабилизации. Представление блока запаздывания в виде уравнения в частных производных необходимо для применения процедуры "backstepping" [70]. Разработан регулятор на основе предиктора Крстича, стабилизирующий систему с возмущением. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи. В разделе 4.3 построен адаптивный наблюдатель возмущающего воздействия, обеспечивающий оценку всех частот. В разделе 4.4 получен алгоритм расчета комбинированного алгоритма управления, способного стабилизировать объект и компенсировать при этом возмущающее воздействие. Рассмотрен числовой пример для демонстрации эффективности разработанного алгоритма. неизвестные постоянные n-мерпые вектор-столбцы, U i — неизвестная частота г-ой гармоники. Здесь и далее символ г означает номер гармоники і = 1, А;.
Допущение 4.1. Тройка матриц А, В, С полностью управляема и наблюдаема. Допущение 4.2. Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа щ, т.е. Wj Потребуется синтезировать закон управления u(t) по выходу, обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и сходимость выходной переменной к пулю: ton Y(t) = 0. (4.4) 4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием В данном разделе рассмотрен метод синтеза предиктора, стабилизирующего неустойчивую систему с запаздыванием и возмущающим воздействием (4.1), (4.2).
Такая замена переменных позволяет преобразовать ИСХОДНЫЙ объект (4.7) в устойчивую систему X{t) = {А + BK)X(t) + Bv(0, t) + A{t) + Bw(0,t) + Be(t), v{x,t) = V{t + x- h), vt(x,t) = vx(x,t), v(h,t) = V(t), wt{x,t) = wx{x,t), w{h,t) = 0, (4.18) (4.19) (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) где V Є К — новый входной управляющий сигнал, который будет синтезирован для компенсации эффекта возмущения, функция г«(0, t) стремится к нулю за конечное время, матрица К выбирается из условия гурвецевости матрицы А + ВК, функция является мультигармонической, где Е, Gi and НІ — постоянные (n x 1)-векторы, и e(t) — экспоненциально затухающая функция, ]є(і) pe et, где р, (3 0.
Функции d i(t) и ( (t), определенные в (4.31), (4.32), являются мультигармоническими с дополнительными экспоненциально затухающими составляющими:
Замечание 4.1. Так как функция Єз(і) — результат переходного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой матрицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноснсенных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следовательно, производные этой функции также экспоненциально затухают.
Анализируя три интеграла в (4.40), находим, что первый является константой, второй — ограниченная гармоническая функция с частотой щ, и третий — экспоненциально затухающая функция. Таким образом, $г() имеет
Мы показали, что регулятор (4.17) преобразует исходную систему в устойчивую (К выбирается из условия гурвицевости матрицы А + ВК) с новым запаздывающим управлением V(t — D). Новое возмущение А — неизвестная мультигармоническая функция, новое входное возмущение Bib (0, t) представляет собой эффект начальных условий и стремится к нулю за h секунд. Компонента Be(t) — экспоненциально затухающая функция.
Будем использовать модель (4.47), (4.2) для синтеза алгоритма компенсации возмущающего воздействия, реализуемого за счет нового входного сигнала V(t).
Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического возмущения
После того, как был получен алгоритм стабилизации неустойчивого объекта с запаздыванием, можно перейти к синтезу алгоритма компенсации возмушения. Для этого сначала требуется построить адаптивный наблюдатель воз.мущающего воздействия, включая схему идентификации частот всех гармоник.
