Метод прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем Есипенко Валентин Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Интегральные модели в теории динамических систем 38

1.1. Введение 38

1.2. Интегральная модель линейной непрерывной системы управления 40

1.3. Интегральная модель линейной непрерывной стационарной системы управления 45

1.4. Интегральные модели нелинейных непрерывных динамических систем 46

1.5. Проблема отыскания статистических характеристик выходных сигналов динамических систем 49

1.6. Выводы 53

Глава 2. Плотности распределения вероятностей функционально преобразованных случайных величин 56

2.1. Введение 56

2.2. Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин 59

2.3. Применение интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса 61

2.4. Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин

со случайными коэффициентами 65

2.5. Совместная плотность распределения вероятностей сумм случайных величин 71

2.6. Коммутативность свёртки и функционального преобразования переменных плотностей распределения вероятностей 84

2.7. Выводы 92

Глава 3. Вероятностные характеристики линейных динамических систем ...94

3.1. Введение 94

3.2. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы с переменными детерминированными параметрами 97

3.3. Взаимосвязь ковариационной функции нестационарного случайного процесса с ковариационной и корреляционной функциями детерминированного сигнала 102

3.4. Вероятностные характеристики линейных динамических систем

с постоянными и переменными детерминированными параметрами... 106

3.5. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы со случайными параметрами 109

3.6. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами 124

3.7. Выводы 140

Глава 4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем в переходном режиме (нулевые начальные условия) 142

4.1. Введение 142

4.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами 144

4.2.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию 144

4.2.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 151

4.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами 158

4.3.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию 158

4.3.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 162

4.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами 167

4.4.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию 167

4.4.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 174

4.5. Выводы 182

Глава 5. Прямой статистический анализ линейных динамических систем и линейных непрерывных систем управления (ненулевые начальные условия) 185

5.1. Введение 185

5.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами 187

5.2.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не одержат дельта-функцию 187

5.2.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 189

5.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами 192

5.3.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию 192

5.3.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 194

5.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами 196

5.4.1. Многомерная плотность распределения вероятностей собственного движения линейной динамической системы 197

5.4.2. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию 204

5.4.3. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию 215

5.5. Прямой статистический анализ линейных непрерывных систем управления : 223

5.6. Выводы 236

Глава 6. Прямой статистический анализ линейных динамических систем в установившемся режиме 238

6.1. Введение 238

6.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем

с переменными детерминированными параметрами 239

6.2.1. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 239

6.2.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 252

6.3. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с постоянными параметрами 262

6.3.1. Моменты'наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 262

6.3.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 265

6.4. Прямой статистический анализ линейных динамических систем со случайными параметрами 269

6.4.1. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, меньшую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 269

6.4.2. Моменты наблюдения отстоят друг от друга на величину, равную или большую максимальной эффективной длительности импульсной характеристики 279

6.5. Выводы 292

Глава 7. Прямой статистический анализ каскадных гаммерштеиновских систем (переходный режим при нулевых начальных условиях)... 294

7.1. Введение 294

7.2. Расширенная система класса Гаммерштеина с широкополосной входной линейной динамической системой 296

7.3. Расширенная система класса Гаммерштеина с узкокополосной входной линейной динамической системой 307

7.4. Расширенная система класса Гаммерштеина с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейных динамических систем с постоянными параметрами 320

7.5. Система класса Гаммерштеина 328

7.6. Прямой статистический анализ каскадных гаммерштеиновских систем 342

7.7. Выводы 347

Заключение 349

Литература 353

• Интегральная модель линейной непрерывной системы управления
• Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин
• Взаимосвязь ковариационной функции нестационарного случайного процесса с ковариационной и корреляционной функциями детерминированного сигнала
• Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию

Введение к работе

Актуальность темы. Жизнь современного общества немыслима без сложных территориально распределённых информационных систем, базирующихся на теснейшем взаимодействии и взаимном проникновении вычислительной техники и средств сбора, обработки, хранения, передачи и распределения информации.

Особо важное и всё возрастающее значение имеют цифровые системы связи, непрерывные и дискретные системы управления, измерительные системы и т.д., обладающие весьма высокими качественными характеристиками: информативностью, помехоустойчивостью и эффективностью.

Огромные успехи, достигнутые в последние десятилетия в этой области, открыли ряд совершенно новых возможностей по увеличению быстродействия, точности и разрешающей способности измерительной техники, по фильтрации, преобразованию и усилению сигналов.

Достижение высоких качественных характеристик информационных систем обусловлено разумным сочетанием высокоточных технологий, современных методов управления, формирования, передачи, приёма и обработки полезных сигналов с учётом действия неизбежно присутствующих помех.

Среди этих методов на всех этапах развития информационных систем особенно важное место занимали методы нелинейной обработки сигналов и последующей фильтрации тех или иных компонент на выходе безынерционного нелинейного четырёхполюсника.

В то время как методы линейной фильтрации достаточно быстро достигли своих предельных возможностей, методы нелинейной обработки сигналов оказались настолько разнообразны и продуктивны, что поиску новых таких методов и исследованию их возможностей уделялось самое пристальное внимание на всех этапах развития информационных систем (число работ в целом трудно обозримое).

Во многих работах отмечалось, что именно отыскание новых методов нелинейной обработки сигналов является наиболее перспективным направлением в решении огромного числа задач в самых различных областях радиофизики, радиотехники, связи, автоматического управления и т.д.

Исследования в области таких традиционных нелинейных преобразований как модуляция и демодуляция, которые принято рассматривать как нелинейные информационные преобразования, так как при этом в сигнал вводится полезная информация или извлекается из него, по-видимому , уже достигают своей полноты и законченности.

В аналоговых системах связи дополнительные нелинейные преобразования сигналов по информационному параметру в условиях действия помех приводят к существенному снижению их качественных характеристик.

В системах связи находят широкое применение такие виды нелинейных неинформационных преобразований (преобразований, при которых в сигнал не вводится и из него не извлекается полезная информация) как перенос спектра полезного сигнала в другую область частот, умножение частоты (чаще в передатчике), ограничение (в основном в приёмном устройстве) и др.

Нелинейные неинформационные преобразования как аналоговых, так и дискретных сигналов в условиях действия как гауссовских, так и негауссовских помех лежат в основе методов повышения качественных характеристик информационных систем.

Более того, весьма важным преимуществом дискретных информационных систем перед аналоговыми является то обстоятельство, что использование в условиях действия помех нелинейных преобразований даже по иформационным параметрам сигналов (кроме систем с фазовой манипуляцией) не приводит к ухудшению их качественных характеристик.

Наиболее точными и надёжными, исключающими возможность привнесения любых субъективных факторов в оценки качественных характеристик информационных систем в целом или отдельных блоков обработки сигналов, являются вероятностные критерии, основывающиеся на использовании "тонкой структуры" случайного процесса на выходе [1].

Энергетические же критерии являются неполными и во многих случаях неприемлемы.

Применение того или иного вероятностного критерия оценки качества обработки сигналов требует знания в общем случае многомерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе системы связи в целом или отдельных блоков обработки.

Даже в том случае, когда на входе приёмного устройства информационной системы действует помеха в виде гауссовского случайного процесса, использование методов нелинейной обработки сигналов с целью повышения качественных характеристик этой системы естественным образом влечёт за собой необходимость использования линейной динамической системы для фильтрации тех или иных компонент на выходе безынерционного нелинейного четырехполюсникка при условии, что на её входе действует уже негауссовский случайный процесс.

Последнее обстоятельство приводит к сложной проблеме отыскания многомерной плотности распределения вероятностей случайного поцесса на выходе линейной динамической системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским.

В настоящее время не существует метода, который позволял бы в общем случае разрешить данную проблему и получить на выходе линейной динамической системы многомерную плотность распределения вероятностей размерности п 2.

Важность и сложность данной проблемы настолько велики, а пути её возможного решения настолько не просматривались, что в [2,3] отмечено: "...за исключением так называемых марковских процессов и линейного преобразования нормальных процессов нельзя указать метод "пересчёта" непосредственно самих плотностей вероятностей при инерционных преобразованиях случайных процессов".

Отсутствие метода статистического анализа линейных динамических систем, который позволял бы в общем случае воздействия на входы этих систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений разрешить данную проблему, в значительной мере препятствует широкому внедрению и глубокой теоретической проработке высокоэффективных методов нелинейной обработки сигналов с целью повышения качественных характеристик информационных систем.

Для решения данной проблемы разработано несколько приближённых аналитических и экспериментальных методов, которые уместно назвать косвенными.

Метод моментных функций предложен и исследован в [4], где получены фундаментальные соотношения, позволяющие:

• по заданной многомерной произвольной размерности // плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы найти множество (в общем случае бесконечное) моментных функций этого процесса;

• по найденным моментным функциям найти соответствующее множество моментных функций случайного процесса на выходе этой линейной системы;

• по найденному множеству моментных функций случайного процесса на выходе линейной динамической системы найти соответствующую многомерную, чаще меньшей размерности т п, характеристическую функцию;

• с помощью обратного преобразования Фурье найти искомую многомерную, той же или меньшей размерности т п, плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы.

Анализу возможностей данного метода посвящено достаточно много работ [см., напр., 1 - 3, 5 - 6], где выявлено ряд существенных недостатков этого метода:

• хотя в системе, состоящей из бесконечного числа моментных функций , наиболее важную роль играют младшие моментные функции, тем не менее отсутствуют критерии, позволяющие принять во внимание ограниченное (но реальное) число младших моментных функций, положив остальные, равными нулю; более того, как показано в [6], не существует не только никакого вероятностного распределения, все высшие моментные функции которого, начиная с некоторой, равны нулю, но невозможно даже графически изобразить такую плотность распределения вероятностей;

• последовательность моментных функций не обязана определять искомую плотность распределения вероятностей единственным образом [7,8];

• большая часть моментных функций не имеют чётко выраженного самостоятельного статистического смысла;

• существуют распределения, которые не имеют моментов и моментных функций положительного порядка [7,8];

• записать многомерные плотности распределения вероятностей, исходя из найденных соответствующих моментных функций, затруднительно; практически удаётся получить плотности распределения вероятностей размерности т не более двух.

Метод квазимоментных функций предложен в [9], где получены основополагающие соотношения, позволяющие:

• по заданной многомерной произвольной размерности п плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы определить:

- образующие функции, которые наиболее удобно выбирать так, чтобы они копировали корреляционные функции;

- квазимоментные функции, которые представляют собой коэффициенты разложения заданной многомерной плотности распределения вероятностей в ряд по многомерным полиномам Чебышева - Эрмита [5,10];

• с помощью предложенных выражений найти соответствующие образующие и квазимоментные функции на выходе линейной динамической системы;

• в соответствии с установленными соотношениями определить искомую многомерную размерности т п плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы.

Анализу возможностей этого метода посвящены работы [1 - 5,11], из которых следует, что данный метод статистического анализа линейных динамических систем несколько снижает, но не исключает основные недостатки, свойственные рассмотренному выше методу моментных функций.

В [5] показано, что ограниченное множество первых квазимоментных функций определяется аналогичным множеством первых корреляционных функций, поэтому, ограничиваясь в разложении многомерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе и выходе линейной динамической системы конечным множеством первых квазимоментных функций, мы, по сути дела, принимаем во внимание аналогичное множество первых корреляционных функций, пренебрегая сведениями, заключающимися в корреляционных функциях более высокого порядка, заменяя последние некоторыми функциями, выражающимися через учтённые низшие корреляционные функции.

Поэтому, как и в методе моментных функций, при использовании данного метода также нельзя быть уверенным, что среди отбрасываемых старших квазимоментных функций не окажется такой, которая не меньше учтённых младших функций.

Метод кумулянтных функций. Исследованию метода статистического анализа линейных динамических систем, основанного на использовании кумулянтов и кумулянтных функций, посвящено достаточно много работ, результаты которых весьма полно обобщены в [6], где приведены фундаментальные соотношения, которые дают возможность:

• по заданной многомерной произвольной размерности // плотности распределения вероятностей случайного процесса на входе линейной динамической системы определить соответствующую многомерную характеристическую функцию, а затем кумулянтные функции этого процесса;

• по найденным кумулянтным функциям найти соответствующие кумулянтные функции случайного процесса на выходе этой линейной системы, а по ним - соответствующую многомерную характеристическую функцию;

• используя обратное преобразование Фурье, по найденной характеристической функции найти искомую многомерную плотность распределения вероятностей размерности т п случайного процесса на выходе линейной динамической системы. В [6] показано, что:

• кумулянты и кумулянтные функции во многих отношениях являются более удобными параметрами распределения, чем моментные и квазимоментные функции; так, помимо прочих причин, во многих практически важных случаях кумулянтами и кумулянтными функциями высших порядков можно пренебречь в отличие от моментных и квазимоментных функций; кроме того, существует возможность рассматривать такие распределения, кумулянты и кумулянтные функции которых, начиная с некоторого порядка, равны нулю, в то время когда моментные и квазимоментные функции не равны нулю;

• хотя совокупность случайных величин и случайных функций может описываться как набором моментов и моментных функций, так и набором кумулянтов и кумулянтных функций и эти два представления формально идентичны, предпочтение следует отдавать кумулянтам и кумулянтным функциям, ибо они, а не моменты и моментные функции, представляют собой своеобразные "независимые координаты" вероятностных распределений и имеют чёткий и самостоятельный смысл;

• учёт кумулянтов и кумулянтных функций высших порядков позволяет просто описать любую степень негауссовости случайных величин и процессов;

• конечному набору кумулянтов всегда соответствует некоторая "хорошая" вещественная функция, аппроксимирующая плотность распределения вероятностей, в то время как несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю, не существует.

Несмотря на существенные преимущества данного метода статистического анализа линейных динамических систем перед рассмотренными выше, он, к большому сожалению, также не исключает их основные недостатки.

Метод полигауссовых представлений. Разработка метода полигауссовых представлений явилась следствием стремления ряда авторов воспользоваться для описания плотностей распределения вероятностей негауссовских случайных величин и процессов совокупностью гауссовских. В [12, 14 - 17] доказана возможность полигауссовых представлений физически реализуемых случайных процессов, в [17 и др.] описаны методы построения полигауссовых моделей, в [16,18] показаны возможности использования полигауссовых представлений для синтеза оптимальных приёмников сигналов, принимаемых на фоне негауссовских помех, а также прохождение негауссовских случайных процессов через линейные динамические системы, нелинейные безынерционные цепи и их совокупности.

В свете рассматриваемой здесь проблемы данный метод имеет ряд существенных преимуществ перед рассмотренными выше методами статистического анализа линейных динамических систем, так как, в принципе, позволяет по заданной многомерной произвольной размерности // плотности распределения вероятностей негауссовского случайного процесса на входе линейной динамической системы найти многомерную той же размерности плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой линейной системы, сохраняя при этом теоретико-вероятностное содержание.

Однако данному методу присущи ряд недостатков из выше перечисленных методов, а также и другие недостатки:

• системы гауссовых функций с различными параметрами являются линейнонезависимыми, неортогональными и в общем случае неполными; поэтому полигауссовы представления возможны только при некоторых ограничениях на метрические пространства представляемых функций и системы гауссовых компонент, а если это принципиально возможно, то нахождение гауссовых компонент по исходной функции связано с определёнными вычислительными трудностями; поэтому всякое использование полигауссовых представлений в технических задачах во избежания ошибок требует тщательного анализа корректности таких представлений в каждом конкретном случае [13,17];

• метод в значительной мере теряет свои преимущества при использовании в информационных системах ряда следующих друг за другом безынерционных нелинейных устройств и линейных динамических систем (сложная помеховая обстановка часто побуждает к использованию сложной обработки сигналов) вследствие необходимости на выходе каждого безынерционного нелинейного устройства снова решать задачу полигауссового представления каждой нелинейно преобразованной гауссовой компоненты входного случайного процесса, а также каждой компоненты продуктов взаимодействия сигнала и помехи с анализом корректности такого представления [18].

Метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения.

Данный метод был предложен в [19] и получил развитие в основном в работах зарубежных авторов как применительно к задачам статистического анализа тех или иных конкретных устройств (см., напр. [20 - 27]), так и к задачам обнаружения и оценки параметров сигналов, принимаемых в условиях действия помех. Применению этого метода к задачам обнаружения и оценок параметров сигналов посвящено очень много работ, результаты которых достаточно полно обобщены в [28 - 30].

Фундаментальные соотношения, составляющие основу этого весьма эффективного метода, дают возможность:

• выразить отклик той или иной динамической системы в виде интегрального преобразования, устанавливающего связь этого отклика со входным воздействием и импульсной характеристикой системы ;

• определить ядро этого интегрального уравнения, которое зависит только от характеристик динамической системы;

• найти всё множество собственных функций (решений) и собственных (характеристических) значений однородного интегрального уравнения с определённым выше ядром; найденное при этом множество собственных функций является множеством ортогональных функций;

• записать определённое выше ядро интегрального преобразования, сигнал и шум на входе динамической системы, а также искомый отклик в виде сходящихся в среднеквадратическом рядов независимых случайных величин по найденной системе ортогональных собственных функций;

• найти характеристическую функцию отклика заданной динамической системы;

• с помощью обратного преобразования Фурье получить выражение для искомой плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой системы.

Анализ возможностей данного метода показывает (см., напр. [1, 27]), что он также имеет ряд существенных недостатков:

• анализируемый класс случайных процессов ограничен классом стационарных и эргодических случайных процессов;

• основные результаты удаётся получить для случаев, когда рассматриваемый случайный процесс на входе динамической системы хотя и не является гауссовским, но представляет собой некоторый нелинейный функционал или класс функционалов от гауссовского случайного процесса, напр. огибающая, абсолютное значение или квадрат гауссовского процесса; при этих весьма сильных ограничениях и некоторых дополнительных (например, требование симметрии амплитудно-частотной характеристики линейной динамической системы) удаётся получить плотность распределения вероятностей размерности не более двух;

• метод неприменим для анализа динамических систем в переходном режиме с ненулевыми начальными условиями.

Метод дифференциальных уравнений. Он представляет собой один из самых "старых" методов статистического анализа динамических систем [1, 2, 31 -36].

Его преимущества перед другими известными методами проявляется, в основном, в следующих обстоятельствах:

• определить в явном виде импульсную характеристику анализируемой динамической системы по тем или иным причинам не представляется возможным,

• случайный процесс в динамической системе является марковским или может быть при определённых условиях достаточно точно аппроксимирован марковским случайным процессом.

В последнем случае имеется возможность использовать хорошо разработанный математический аппарат, дающий возможность решать многие содержательные физические задачи и получать наиболее полные и продуктивные результаты [33-41].

Однако анализ показывает, что за исключением случая, когда действующий в информационной системе случайный процесс является марковским или он может быть им достаточно точно аппроксимирован, метод дифференциальных уравнений имеет те же недостатки, что и рассмотренные выше методы.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Анализу данного метода посвящено достаточно много работ [см., напр., 38 - 41]. Метод статистических испытаний применим для вероятностного исследования качества любых динамических систем (в том числе автоматических со случайными параметрами). Применение данного метода часто необходимо как для оценки степени точности результатов, получаемых другими известными методами, так и для непосредственного исследования некоторых сложных информационных систем, к которым трудно применить другие известные методы статистического анализа. При достаточно большом числе экспериментов можно получить необходимую точность определения искомого закона распределения.

Однако, методу статистических испытаний свойственны следующие недостатки:

• в основном, сравнительно низкая точность получаемых результатов;

• использование метода требует создания генератора случайных функций с заданными вероятностными характеристиками, что возможно не для всех случайных функций;

• практическая невозможность определения зависимостей характеристик искомого закона распределения от параметров динамической системы и входного случайного процесса.

Последнее обстоятельство оказывается особенно важным.

Таким образом, выполненный анализ показывает, что разработка и исследование метода статистического анализа динамических систем, который позволял бы в общем случае определить многомерную произвольной размерности п плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским, и который был бы в значительной мере свободен от недостатков известных методов, представляет, по-прежнему, значительный интерес.

Следует отметить, что при разработке и исследовании известных методов статистического анализа динамических систем исследованию вероятностных характеристик самих динамических систем должного внимания не уделялось. Как будет показано в диссертации, именно отсутствие вероятностных характеристик самих динамических систем служило препятствием для разработки высокоэффективного метода статистического анализа этих систем. К таким характеристикам относятся многомерная произвольной размерности п плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики динамической системы, соответствующая характеристическая функция, интегральная функция распределения, функционал плотности распределения вероятностей и т.д.

Связь работы с государственными планами научных исследований. Основы настоящей диссертационной работы заложены и получена значительная часть её результатов в ходе выполнения Научно-исследовательским радиофизическим институтом (НИРФИ) Министерства образования РФ фундаментальной и поисковой научно-исследовательской работы "Повышение качественных характеристик систем передачи дискретных сообщений" (шифр "Шек", научным руководителем которой являлся автор настоящей работы), развёрнутой по плану важнейших работ института приказом от 10.06.91г. №51-П на основании письма Государственного Комитета СССР по Науке и Высшей Школе от 10.04.91г. №13-36-49 ин/13-02-08.

Остальные результаты диссертационной работы являются итогом инициативных поисковых научных исследований, выполнявшихся о Нижегородском государственном техническом университете (НГТУ) Министерства образования РФ.

Цель и задачи диссертационной работы.

Цель диссертации - разработка и исследование метода прямого статистического анализа каскадных гаммерштейновских систем, позволяющего в самом общем случае разрешить сложную проблему статистического анализа этих систем при произвольных входных случайных (в том числе негауссовских) процессах.

В соответствии с поставленной целью и анализом возможных направлений исследований в работе ставятся следующие задачи:

• исследовать современное состояние вопросов суммирования зависимых случайных величин и выявить наиболее целесообразные для целей исследований, выполняемых в диссертации, пути отыскания одномерной плотности распределения вероятностей заданной суммы зависимых случайных величин (в том числе со случайными зависимыми коэффициентами и зависимыми множествами случайных величин и случайных коэффициентов);

• решить задачу отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа в общем случае зависимых сумм случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами и зависимыми множествами случайных величин и случайных коэффициентов при произвольном числе слагаемых в каждой из этих сумм;

• исследовать взаимосвязь многократной свёртки и многократного функционального преобразования переменных многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей;

• разработать метод описания линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в вероятностной области;

• определить основные вероятностные характеристики линейных динамических систем в вероятностной области и методику их отыскания;

• разработать эффективный метод статистического анализа линейных динамических систем, одинаково приемлемый для линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами, с нулевыми и ненулевыми начальными условиями, в переходном и установившемся режимах при действии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной,

произвольной размерности, плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений, а на его основе - эффективный метод статистического анализа нелинейных систем класса Гаммерштейна и их каскадного соединения;

• решить проблему отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной системы управления с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях при действии на её входе произвольного негауссовского случайного процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений;

• решить проблему отыскания многомерной,произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с переменными детерминированнымии и постоянными параметрами в переходном режиме при действии на входе произвольного негауссовского случайного процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

Разработка метода описания линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в вероятностной области и определение основных вероятностных характеристик этих систем включает в себя определение многомерных, произвольной размерности, плотностей распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик этих линейных систем, а также соответствующих характеристических функций, интегральных функций распределения, функционалов плотности распределения вероятностей и т.д.

Исследование разработанного метода прямого статистического анализа линейных динамических систем включает в себя:

• решение этим методом известных задач, а также широкого спектра задач, не ставившихся ранее по причине не просматривавшегося их решения или не имевших законченного решения при входном негауссовском случайном процессе, а именно задач отыскания по заданной произвольной размерности плотности распределения вероятностей произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса на входе многомерной той же и любой меньшей размерности плотности распределения вероятностей случайного процесса

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях;

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при ненулевых начальных условиях;

- на выходе линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в установившемся режиме;

- на выходе линейной непрерывной системы управления с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях;

- на выходе нелинейной системы класса Гаммерштейна в различных вариантах;

- на выходе расширенной нелинейной системы класса Гаммерштейна в различных вариантах;

- на выходе каскадных гаммерштейновских систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• сравнение разработанного метода с известными методами по эффективности действия и сложности реализации, на основании результатов сравнения вынесение рекомендаций для практического использования.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теории вероятностей, операционного исчисления, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории обобщённых функций, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Показано, что одномерная плотность распределения вероятностей суммы зависимых случайных величин может быть определена из общего выражения для многомерной плотности распределения вероятностей функционально преобразованных случайных величин не только с помощью фильтрующего свойства дельта-функций, но и на основе свойств условных плотностей распределения вероятностей. Последний подход оказывается более целесообразным для целей исследований, выполняемых в диссертации.

2. Развита методика применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса. Показано, что использование "неполного изображения" с последующим предельным переходом даёт возможность сравнительно просто получать выражения для "изображений", а затем и для искомых одномерных плотностей распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин.

3. Исследована проблема и решена задача отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными (в общем случае зависимыми) коэффициентами. Исследования выполнены для общего случая зависимых множеств суммируемых случайных величин и коэффициентов.

4. Исследована проблема и решена задача отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них случайных величин (в том числе со случайными зависимыми коэффициентами) при зависимых множествах случайных величин и случайных коэффициентов. Полученное решение даёт возможность на строгой математической основе решать задачу отыскания многомерной произвольной и любой меньшей размерности плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы с детерминированными и случайными параметрами при воздействии на её вход произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

5. Доказано утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей. Данное утверждние даёт возможность выполнять многократные функциональные (в том числе нелинейные) преобразования переменных многомерных плотностей распределения вероятностей и лишь на последнем этапе осуществить операцию многомерной свёртки с целью отыскания искомой плотности распределения вероятностей любой меньшей размерности (в том числе одномерной).

6. Разработан метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик.

7. Определены основные вероятностные характеристики линейных динамических систем с детерминированными параметрами.

8. Установлена связь корреляционных функций детерминированного сигнала и случайного ( в общем случае нестационарного) процесса.

9. Получена ковариационная функция детерминированного сигнала.

10. Разработана методика отыскания совместной произвольной размерности плотности распределения вероятностей случайных параметров линейной динамической системы.

11. Получена многомерная, произвольной размерности, плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами.

12. Определена многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами. Рассмотрены предельные случаи, из которых следует многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики RC-интегратора с постоянными параметрами.

13. На созданной теоретической основе разработан и исследован эффективный метод прямого статистического анализа линейных динамических систем, который позволяет разрешить тяжелейшую проблему статистического анализа этих линейных систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами при действии на их входах произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной произвольной размерности плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

14. Разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем - решены задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах этих линейных систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях, а также в установившемся режиме при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений;

- решена задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей мгновенных значений случайного процесса на выходе линейной непрерывной системы управления с постоянными и переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях и действии на её входе произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений;

- решены задачи отыскания многомерной произвольной размерности и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе нелинейной системы класса Гаммерштеина в переходном режиме при нулевых начальных условиях выходной линейной динамической системы с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами при воздействии на вход звена системы двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений;

- решены задачи отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах различных вариантов расширенной системы класса Гаммерштеина в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на вход рассматриваемй системы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассмотрены следующие варианты расширенной системы класса Гаммерштейна:

а) с широкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными петерминированными параметрами;

б) с узкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

в) с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с постоянными параметрами.

- решена задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных Гаммерштейновских систем с переменными детерминированными и постоянными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входе произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

15. Показано, что полученные результаты согласуются с известными, дают возможность провести более глубокую проработку задач статистического анализа известных динамических систем самого различного назначения (с получением искомых многомерных плотностей распределения вероятностей выходных случайных процессов), а также ставить и решать новые задачи в самых различных областях науки и техники.

Новизна вышеперечисленных результатов диссертации отражена в публикациях. По имеющимся у автора сведениям в литературе отсутствуют работы, приводящие к аналогичным результатам.

Практическая ценность диссертационной работы. 1. Выявлены различные подходы к отысканию одномерной плотности распределения вероятностей суммы зависимых случайных величин и отмечена целесообразность использования того или иного подхода в зависимости от конкретного типа решаемых задач.

2. Показано, что решение задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами при зависимых множествах суммируемых случайных величин и коэффициентов обладает достаточной гибкостью и позволяет выбирать наименее трудоёмкий путь получения конечного результата, исходя из конкретных видов заданных совместных плотностей распределения вероятностей случайных величин и случайных коэффициентов.

3. Полученное решение задачи отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них зависимых случайных величин (в том числе с зависимыми случайными коэффициентами) является весьма общим и может быть использовано в самых различных областях при определении вероятностных характеристик различных функционалов.

4. Развитие методики применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса несколько расширяет область его использования и существенно упрощает решения задач при аналитических методах отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин.

5. Доказанное утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей вместе с разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем открывает широкие возможности для успешного использования (в том числе неоднократного) самых различных методов нелинейной обработки сигналов (каскадного соединения систем класса Гаммерштеина) с целью повышения качественных характеристик динамических систем в условиях действия различных (в том числе преднамеренных) помех и их совокупностей.

6. Предложенный метод описания линейных динамических систем в вероятностной области дал возможность разработать эффективный метод статистического анализа этих систем и может быть использован в качестве новой теоретической основы при решении различных задач в теории связи, измерительных систем, автоматического управления, радиолокации, статистической радиофизики и радиотехники и т.д.

7. Установленная связь корреляционных функций детерминированного сигнала и нестационарного случайного процесса, а также полученная ковариационная функция детерминированного сигнала являются определённым шагом к разработке общей корреляционной теории сигналов.

8. Разработанная методика отыскания совместной плотности распределения вероятностей случайных параметров линейной динамической системы является основой для отыскания многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик линейных динамических систем со случайными параметрами второго и более высокого порядков.

9. Полученная многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы со случайными параметрами первого порядка и RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами, в частности, позволяют решить в полном объёме задачу статистического анализа этих линейных систем, а рассмотренные предельные случаи устанавливают связь полученных результатов с известными для линейных динамических систем с детерминированными параметрами и их корректность.

10. При воздействии на входы различных динамических систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений разработанным методом прямого статистического анализа линейных динамических систем решены задачи отыскания многомерных произвольной размерности плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходах

1) линейных динамических систем с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами

• в переходном режиме при нулевых начальных условиях;

• в переходном режиме при ненулевых начальных условиях;

• в установившемся режиме;

2) линейных непрерывных систем управления с постоянными и переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях;

3) нелинейной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях выходной линейной динамической системы с постоянными, переменными детерминированными и случайными параметрами ;

4) различных вариантов расширенной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях

• с широкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• с узкополосной входной линейной динамической системой с постоянными и переменными детерминированными параметрами;

• с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с остоянными параметрами;

5) каскадных гаммерштейновских систем. 11. Разработанный и исследованный метод прямого статистического анализа динамических систем позволяет разрешить проблему статистического анализа этих систем в самом общем случае входных негауссовских случайных процессов и может быть использован для решения аналогичного класса и других конкретных задач в теории связи, измерительных систем, автоматического управления, радиолокации, статистической радиофизики и радиотехники и т.д.

Достоверность и обоснованность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечена

• применением классических методов теории вероятностей, операционного исчисления, вычислительной математики, теории функционального анализа и обобщённых функций, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления и подтверждена

• использованием теоретически разработанных и апробированных методов;

• проверкой теоретических результатов практическими расчётами с помощью разработанных программных средств;

• соответствием результатов, полученных в диссертации, известным;

• результатами практического использования разработанных методов. Реализация методов и предложений об их использовании. Результаты диссертационной работы нашли применение:

• в научных исследованиях, проводимых Научно-исследовательским радиофизическим институтом (НИРФИ) Министерства образования Российской Федерации, в том числе при решении научных задач в рамках

- фундаментальной и поисковой научно-исследовательской работы "Шек", развёрнутой по плану важнейших работ института,

- Гранта РФФИ "Распространение тепла и теплового излучения в структурно неоднородных планетных реголитах" № 00-02-16053,

- научно-исследовательской работы № 904 "Исследование процессов распространения тепла и радиолокационного сигнала в слоисто неоднородной среде верхнего покрова планет";

• в учебном процессе факультета информационных систем и технологий (ФИСТ) Нижегородского государственного технического университета (НГТУ) Министерства образования Российской Федерации в лекционных курсах "Теория электрической связи" и "Радиотехнические цепи и сигналы", в соответствующих практикумах, при выполнении курсовых и дипломных работ, а также в научной работе сотрудников и аспирантов.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.

Решение научной проблемы, соответствующей поставленной цели, включает в себя следующие положения, выносимые на защиту:

1. Решение задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами для зависимых множеств суммируемых случайных величин и коэффициентов, развитие для этих целей методики применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса в части использования "неполного изображения", а также решение на этой основе задачи отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа зависимых сумм с произвольным числом входящих в них случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами.

2. Доказательство свойства коммутативности многомерной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей.

3. Метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик и определение основных вероятностных характеристик линейных динамических систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами, а также решение задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами и RC-интегратора со случайными гауссовскими параметрами.

4. Разработка высокоэффективного метода прямого статистического анализа линейных динамических систем, который позволяет разрешить тяжелейшую проблему статистического анализа как линейных динамических систем, так и нелинейных систем класса Гаммерштейна.

5. Решение методом прямого статистического анализа задач отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в переходном режиме их работы при нулевых и ненулевых начальных условиях и в установившемся режиме, а также на выходе линейной непрерывной системы управления с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых и ненулевых начальных условиях при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

6. Решение методом прямого статистического анализа задач отыскания многомерных, произвольной размерности, и одномерных плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах различных вариантов нелинейных систем класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на входы рассматриваемых систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассмотрены следующие варианты нелинейных систем класса Гаммерштейна:

• система класса Гаммерштейна с детерминированными и случайными параметрами при действии на её входе двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений;

• расширенная система класса Гаммерштейна:

- с широкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с узкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами;

- с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейными динамическими системами с постоянными параметрами;

7. Решение методом прямого статистического анализа задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входе произвольного случайного ( в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей мгновенных значений.

8. Выводы и рекомендации диссертационной работы.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и шести приложений.

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, отмечается связь работы с государственными планами научных исследований, приводятся основные достоинства и недостатки известных методов статистического анализа линейных динамических систем, указываются пути решения проблемы и их новизна, показывается новизна выполненных научных исследований, приводится состав диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются интегральные модели, используемые в теории линейных и нелинейных динамических систем, и обосновываются их достоинства; приводятся многомерное и одномерное линейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода, используемые для описания процессов в физически реализуемых линейных непрерывных системах управления с детерминированными параметрами с нулевыми и ненулевыми начальными условиями, а также нелинейные уравнения с интегральными операторами Урысона и Гаммерштейна, используемые для описания процессов в нелинейных физически реализуемых непрерывных системах управления; анализируются известные методы отыскания решений приведённых линейных и нелинейных интегральных уравнений; рассматриваются некоторые модели нелинейных систем класса Гаммерштейна; обсуждается проблема отыскания статистических характеристик выходных сигналов линейных и нелинейных динамических систем; констатируется отсутствие в настоящее время метода, который позволял бы в общем случае воздействия негауссовских случайных процессов решить проблему отыскания многомерных плотностей распределения вероятностей выходных сигналов динамических систем, и подчёркивается актуальность разработки такого метода.

Во второй главе показывается целесообразность для целей исследований, проводимых в диссертации, отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы случайных величин на основе свойств условных плотностей распределения вероятностей; развивается методика применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса в части использования "неполного изображения" с целью отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы случайных величин; решается задача отыскания многомерной произвольной размерности и одномерной плотностей распределения вероятностей суммы произвольного числа зависимых случайных величин со случайными зависимыми коэффициентами при зависимых множествах указанных случайных величин и коэффициентов;

решается задача отыскания совместной плотности распределения вероятностей произвольного числа в общем случае зависимых сумм с произвольным числом входящих в них зависимых случайных величин со случайными коэффициентами; доказывается утверждение о коммутативности многократной свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей.

В третьей главе разрабатывается метод описания линейных динамических систем в вероятностной области с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений их импульсных характеристик; исследуется взаимосвязь ковариационной функции нестационарного случайного процесса с ковариационной и корреляционной функциями детерминированного сигнала; определяются основные вероятностные характеристики линейных динамических систем с детерминированными параметрами; разрабатывается методика отыскания совместной плотности распределения вероятностей случайных параметров линейной динамической системы первого порядка; определяется многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы первого порядка со случайными параметрами, в том числе - RC-интегратора; рассматриваются предельные случаи, дающие возможность установить связь полученных результатов с известными.

В четвёртой главе решаются задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в наиболее важном для практических целей переходном режиме работы этих линейных систем при нулевых начальных условиях и воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассматриваются два подкласса линейных динамических систем, импульсные характеристики которых содержат и не содержат в своём составе дельта-функции.

В пятой главе решаются задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в наиболее важном для практических целей переходном режиме работы этих линейных систем при ненулевых начальных условиях и воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений; рассматриваются два подкласса линейных динамических систем, импульсные характеристики которых содержат и не содержат в своём составе дельта-функции; для рассматриваемого случайного процесса на входе решается задача отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной системы управления с детерминированными параметрами при ненулевых начальных условиях.

В шестой главе решаются задачи отыскания многомерной, произвольной размерности, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах линейных динамических систем с детерминированными и случайными параметрами в установившемся режиме работы этих линейных систем при воздействии на их входы произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

В седьмой главе решаются задачи • отыскания многомерной, произвольной размерности, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе различных вариантов нелинейной системы класса Гаммерштейна в переходном режиме при нулевых начальных условиях выходной линейной динамической системы с детерминированными и случайными параметрами при воздействии на входе системы двух произвольных случайных (в том числе негауссовских) процессов с заданными многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений;

• отыскания многомерной, произвольной размерности, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах в переходном режиме работы соответствующих линейных динамических систем при нулевых начальных условиях :

- с широкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами ,

- с узкополосной входной линейной динамической системой с детерминированными параметрами,

- с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками узкополосной входной и выходной линейных динамических систем с постоянными параметрами

• отыскания многомерной, произвольной размерности, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе каскадных гаммерштейновских систем с детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях и действии на входы этих систем произвольного случайного (в том числе негауссовского) процесса с заданной многомерной плотностью распределения вероятностей его мгновенных значений.

В заключении содержится оценка результатов диссертационной работы и даются рекомендации по их практическому использованию.

В приложениях : доказывается возможность в ряде случаев существенного уменьшения интервала интегрирования у интеграла Дюамеля при отыскании случайного процесса на выходе линейной динамической системы и его многомерной плотности распределения вероятностей (Приложение 1); решаются задачи отыскания многомерной и одномерной плотностей распределения вероятностей случайных процессов на выходах гауссовских фильтров нижних частот с переменными детерминированными (Приложение 2) и с постоянными (Приложение 3) параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на их входах случайных процессов с многомерными плотностями распределения вероятностей Раиса и Рэлея; решается задача отыскания многомерной произвольной размерности и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной динамической системы с переменными детерминированными параметрами в переходном режиме при нулевых начальных условиях при действии на её входе нестационарного коррелированного гауссовского случайного процесса (Приложение 4); приводится пример интегрирования многомерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной динамической системы по переменным, являющимися аргументами дельта-функций (Приложение 5).

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались на Шестой Всероссийской научно-технической конференции "Радиоприём и обработка сигналов" (г.Нижний Новгород, 1993г.), на Всероссийской научно-технической конференции с международным участием "Теория цепей и сигналов" (г.Новочеркасск, 1996г.), на научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий "ФИСТ-2000" (г.Нижний Новгород, 2000г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии - ИСТ-2001" (г.Нижний Новгород, 2001г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии - ИСТ-2003" (г.Нижний Новгород, 2003г.),. Основные результаты диссертации отражены в 37 научных публикациях.

В совместных работах по теме диссертации автору принадлежат постановка задач и основной вклад в их решение.

Автор считает своим прятным долгом выразить глубокую благодарность заслуженному деятелю науки и техники Российской Федерации, доктору технических наук , профессору Ю.С.Лёзину, чьи полезные советы и рекомендации в значительной мере стимулировали работу и способствовали улучшению научного уровня диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность кандидатам физики-математических наук, ведущему научному сотруднику О.Б.Щуко и доценту С.Д.Щуко, оказавшим существенное влияние на качество получаемых научных результатов, а также С.Д.Щуко за разработку, постоянное внимание и совершенствование необходимых программных продуктов.

Автор выражает глубокую благодарность академику Академии Инженерных Наук Российской Федерации В.В.Крылову и Генеральному директору ЗАО "Автоком" В.И.Морозову за внимание, всемерную поддержку и помощь работе, а также коллективам отдела №24 Научно-исследовательского радиофизического института (НИРФИ) и кафедры "Теория цепей и телекоммуникации" Нижегородского государственного технического университета (НГТУ) за помощь в работе и участие в дискуссиях и обсуждениях результатов диссертационной работы. 

Интегральная модель линейной непрерывной системы управления

Решение проблемы отыскания одномерной и многомерной, произвольной размерности п, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским, должно основываться, как показывает анализ, на надёжных и удобных в применении результатах решения задачи отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы как независимых, так и зависимых случайных величин с постоянными и случайными коэффициентами, а также многомерной (совместной), произвольной размерности п, плотности распределения вероятностей таких сумм с различными корреляционными связями между ними.

В то время как теория суммирования независимых случайных величин с постоянными коэффициентами достигла в настоящее время высокого совершенства и законченности (результаты многочисленных исследований в этой области подытожены в монографиях [71, 72]), в области суммирования зависимых случайных величин с постоянными коэффициентами достижения существенно ниже [72], а в области суммирования случайных величин со случайными коэффициентами необходимые результаты в литературе отсутствуют.

Это объясняется, на наш взгляд, имеющимися в этих областях значительными математическими трудностями, в том числе связанными с необходимостью решения довольно сложных задач вычисления многократных свёрток соответствующих плотностей распределения вероятностей, что не является тривиальным даже в одномерном случае [73 - 76].

На этапе постановки этих задач важно иметь точные выражения для многократных свёрток плотностей распределения вероятностей зависимых случайных величин по крайней мере в наиболее употребительных в динамических системах случаях их областей определения и корреляционных связей. Этот вопрос рассматривается в первом разделе настоящей главы.

Применение аппарата характеристических функций [1,2,6,7,77] позволяет преодолеть многие трудности, встречающиеся при вычислении многократных свёрток плотностей распределения вероятностей.

Существенное уменьшение трудностей, встречающихся при вычислении многократных свёрток плотностей распределения вероятностей зависимых неотрицательных случайных величин, встречающихся в задачах статистического анализа динамических систем весьма часто (например, при воздействии на линейные динамические системы случайных процессов с плотностями распределения вероятностей Рэлея, Раиса, Пуассона и др., случайных процессов, порождённых ими при различных нелинейных преобразованиях и т.д.), может быть достигнуто посредством применения интегрального преобразования Лапласа-Стилтьеса [78 - 80].

В то же время с практической точки зрения очень важными являются отсутствующие в литературе сведения по методике применения этого интегрального преобразования при вычислении многократных свёрток плотностей распределения вероятностей зависимых случайных величин. Такие сведения приводятся во втором разделе. Показывается, что применение "неполного изображения" [81] с последующим предельным переходом позволяет сравнительно просто получить необходимые результаты.

Актуальность разработки и исследования методов отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы случайных величин со случайными коэффициентами, а также многомерной (совместной) плотности распределения вероятностей сумм случайных величин с постоянными и случайными коэффициентами с различными корреляционными связями между ними объясняется тем, что без результатов этих исследований не представляется возможным, как показывает анализ, решить с единых позиций как для линейных динамических систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами, так и для линейных динамических систем со случайными параметрами проблему отыскания одномерной и многомерной, произвольной размерности п, плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной динамической системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским.

Вопрос отыскания одномерной плотности распределения вероятностей случайных величин со случайными коэффициентами рассматривается в третьем разделе настоящей главы. Именно к таким суммам приводит, в частности, аппроксимация интеграла Дюамеля для сигнала на выходе линейной динамической системы со случайными параметрами. В данном разделе развивается "прямой" метод (приводящий к многомерным свёрткам плотностей распределения вероятностей) отыскания одномерной плотности распределения вероятностей суммы случайных величин со случайными коэффициентами и показывается, что полученные результаты справедливы для любых видов входящих в них совместных плотностей распределения вероятностей множеств случайных величин и случайных коэффициентов и любых статистических связей между этими множествами.

В четвёртом разделе настоящей главы рассматривается в самой общей постановке задача отыскания многомерной (совместной) плотности распределения вероятностей сумм случайных величин с различными корреляционными связями между ними. Решение этой задачи даёт возможность в дальнейшем обоснованно подойти к решению проблемы отыскания многомерной, произвольной размерности п , плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы, когда случайный процесс на её входе не является гауссовским.

Огромные успехи, достигнутые в последние десятилетия в области развития цифровых методов передачи и обработки информации, открыли ряд совершенно новых возможностей по фильтрации, преобразованию и усилению сигналов. В то же время имеют место значительные трудности в части теоретической проработки широкого круга вопросов, связанных с нелинейной обработкой сигналов и последующей фильтрацией тех или иных компонент на выходе безынерционного нелинейного четырёхполюсника [1-3]. Одним из таких актуальных вопросов является вопрос о взаимосвязи свёртки и функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей. Этот вопрос рассматривается в пятом разделе настоящей главы. Доказывается, что операции функционального преобразования переменных многомерной плотности распределения вероятностей и вычисления многомерной свёртки с целью вычисления одномерной плотности распределения вероятностей суммы этих переменных можно менять местами.

Плотность распределения вероятностей суммы случайных величин

Метод статистического анализа линейных систем, базирующийся на использовании вероятностных характеристик этих систем, на наш взгляд, должен естественным образом учитывать то очень важное обстоятельство, что среди большого разнообразия линейных систем всё больший вес приобретают цифровые линейные системы (цифровые фильтры) [101 - 105]., импульсные характеристики которых принято задавать в виде конечной {/i0,//i,...,//„_i} или бесконечной { последовательностей отсчётных значений импульсной характеристики h{tQ,t), взятых с некоторым интервалом дискретизации At, где п - произвольное целое какое угодно большое положительное число.

Для линейных систем с непрерывным временем множества или получаются естественным образом при аппроксимации интеграла (2.1) конечной или бесконечной интегральной суммой соответственно. В общем случае (с учётом линейных систем со случайными параметрами) импульсная характеристика h(t,z) случайна и для неё должна быть определена многомерная, произвольной размерности п, плотность распределения вероятностей её мгновенных значений. Для линейных систем с переменными детерминированными параметрами этот вопрос рассматривается во втором разделе настоящей главы. При решении задачи определения вероятностных характеристик линейных систем возникает необходимость изучения свойств сигналов как с точки зрения корреляционной теории случайных процессов, так и с точки зрения корреляционного анализа детерминированных сигналов. При этом понятие ковариационной функции детерминированного сигнала оказывается связующим звеном и даёт возможность рассматривать эти теории с единых позиций. Эти вопросы рассматриваются в третьем разделе настоящей главы. Знание многомерной плотности распределения вероятностей импульсной характеристики h{t,i) линейной системы позволяет найти другие вероятностные характеристики, описывающие линейную систему в вероятностной области (моменты и моментные функции различных порядков, характеристическая функция, интегральная функция распределения, функционал плотности распределения вероятностей и т.д.). Такие характеристики линейной системы с переменными детерминированными параметрами рассматриваются в четвёртом разделе данной главы. Отыскание многомерной, произвольной размерности п, плотности распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной системы со случайными параметрами представляет собой довольно сложную самостоятельную задачу, т.к. в отличие от аналогичной задачи для линейных систем с переменными детерминированными параметрами требует для своего решения совершенно другого нестандартного подхода. Эта задача применительно к линейным системам первого порядка (как наиболее простым среди линейных систем со случайными параметрами) рассматривается в пятом разделе настоящей главы. Вопросы применения результатов, полученных в третьем разделе данной главы, к конкретным линейным системам первого порядка со случайными параметрами, а также анализ следующих из полученных результатов предельных случаев, позволяющих согласовать результаты, полученные для линейных систем со случайными параметрами с результатами, полученными для линейных систем с переменными детерминированными параметрами, рассматриваются в шестом разделе настоящей главы. 3.2. Многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики линейной динамической системы с переменными детерминированными параметрами Подавляющее большинство используемых на практике линейных систем составляют системы, параметры которых являются постоянными либо детерминированными (регулярными) функциями времени. Множество таких линейных систем можно разделить на два подкласса[10б - 108]: 1) линейные системы, импульсные характеристики которых не содержат в своём составе дельта-функции; одним из примеров таких систем является RC-интегратор, импульсная характеристика которого где - индекс "Ґ указывает на регулярность (детерминированность) импульсной характеристики; 2) линейные системы, импульсные характеристики которых содержат в своём составе дельта-функцию; одним из примеров таких систем является дифференцирующая RC-цепь, импульсная характеристика которой Таким образом, здесь и ниже hr(t0,t) есть импульсная характеристика, не содержащая в своём составе дельта-функции. Одним из важнейших параметров линейных систем с переменными параметрами является максимальная эффективная длительность Arefmax импульсной характеристики hr{tQ,t) [45, 46], под которой понимается максимальный интервал времени, по истечении которого значениями /ir(tQ,t) можно пренебречь. С учётом этого ниже принято, что импульсная характеристика lir(t0,t) линейной системы задана на интервале (to,to +A/ef.mav) конечным множеством значений {/z0,/7lv..,/;„_i}, соответствующих моментам времени tQ,t{,...,tn_x .

Известно [1], что многомерная плотность распределения вероятностей произвольной детерминированной функции может быть представлена произведением дельта-функций. Представление же многомерных плотностей распределения вероятностей импульсных характеристик линейных систем с постоянными и переменными детерминированными параметрами произведением дельта-функций должно также учитывать не только условие физической реализуемости линейных систем, но и то обстоятельство, что, как отмечалось выше, импульсные характеристики одного из подклассов линейных систем сами содержат в своём составе дельта-функцию.

Взаимосвязь ковариационной функции нестационарного случайного процесса с ковариационной и корреляционной функциями детерминированного сигнала

Выполненный во введении к диссертационной работе анализ известных методов статистического анализа линейных систем [1 - 8, 9 - 11, 12, 14-18, 19 - 30, 31 - 41] показал, что при воздействии на входы линейных систем негауссовских случайных процессов эти методы в общем случае дают возможность определить для случайных процессов на выходах линейных систем в лучшем случае плотности распределения вероятностей размерности не выше двух.

Результаты исследований, полученные в работах [82 - 85, 88 - 90, 93, 94, 96, 97, 106 - 109, 112, 113, 115 - 118] и изложенные в главах 2 и 3 данной диссертационной работы, позволяют разработать метод прямого статистического анализа линейных систем, который в значительной мере свободен от недостатков известных методов и, как будет показано в данной и последующих главах, даёт возможность решить проблему статистического анализа линейных систем.

Проблема статистического анализа линейных систем при негауссовских случайных воздействиях является, как показывает анализ, достаточно многогранной. Решение данной проблемы в существенной мере зависит от того, являются ли начальные условия нулевыми или нет, рассматривается переходный режим работы линейной системы или установившийся (стационарный), является ли линейная система системой с детерминированными параметрами или случайными, содержит ли импульсная характеристика линейной системы дельта-функцию или нет, является ли импульсная характеристика линейной системы положительно определённой или знакопеременной. С точки зрения статистического анализа переходный режим работы линейных систем является наиболее сложным. В данной главе рассматривается прямой статистический анализ линейных систем в переходном режиме работы при нулевых начальных условиях. Среди линейных систем с детерминированными параметрами наиболее сложными являются линейные системы с переменными параметрами. Прямой статистический анализ таких линейных систем рассматривается во втором разделе настоящей главы, где отдельно рассмотрены подкласс линейных систем, импульсные характеристики h(t0,t) которых не содержат дельта-функцию, и подкласс линейных систем, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию, т.к. наличие последней существенно усложняет задачу анализа. Частным случаем линейных систем с детерминированными параметрами являются линейные системы с постоянными параметрами, для которых зависимость импульсной характеристики h(t) от /0 исчезает. Статистический анализ таких линейных систем рассматривается в третьем разделе данной главы, где также отдельно рассмотрены подкласс линейных систем, импульсные характеристики h{t) которых не содержат дельта-функцию, и подкласс линейных систем, импульсные характеристики которых содержат дельта-функцию. Прямой статистический анализ линейных систем со случайными параметрами основан на использовании предварительно определённых вероятностных характеристиках этих линейных систем, и, прежде всего, многомерных плотностей распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик этих линейных систем. Этот вопрос для линейных систем первого порядка, многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсных характеристик которых определена в [115 — 118] и изложена во второй главе данной диссертационной работы, рассмотрен в четвёртом разделе настоящей главы. В данной главе и в дальнейшем, исключительно из соображений удобства, для импульсных характеристик линейных систем рассматриваются плотности распределения вероятностей как размерности п, так и размерности (п + \). Рассматриваются также только одномерные линейные системы, что не уменьшает общности полученных результатов [45, 46]. Ограничение, в ряде случаев, линейными системами 1-го порядка обусловлено необходимостью рассмотреть суть метода прямого статистического анализа линейных систем в более простой и наглядной форме. Обобщение его на линейные системы более высокого порядка , а также на линейные системы многомерные (в том числе и со случайными параметрами) не имеет принципиальных трудностей. 4.2. Прямой статистический анализ линейных динамических систем с переменными детерминированными параметрами 4.2.1. Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию Прямой статистический анализ рассматриваемых линейных систем предложен и исследован в [93, 106 - 108, 120, 121]. При этом для определённости приняты следующие допущения: 1) на вход линейной системы в момент времени /0 действует произвольный случайный процесс (0, для которого известна многомерная произвольной размерности (л + 1) плотность распределения вероятностей а л+і(5о»5і.-,5я; о. і»-, я) его мгновенных значений; 2) собственный шум z(0 линейной системы пренебрежимо мал; 3) в соответствии с [109] многомерная, размерности (н + 1), плотность распределения вероятностей tfn+iC oA»—А,;/() і —, и) импульсной характеристики hr(tQ,t) линейной системы задана в виде (3.13)

Линейные динамические системы, импульсные характеристики которых не содержат дельта-функцию

Анализ показывает, что возможности известных методов в основном ограничиваются отысканием одномерной плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе типового радиотехнического звена при действии на его входе белого шума и некоторых специфических условиях (стационарность случайного процесса, эргодичность и др.), а также некоторых специальных требованиях, предъявляемых к отдельным звеньям этого звена (симметричность амплитудно-частотных характеристик линейных систем, постоянные параметры этих систем, квадратичное нелинейное преобразование, установившийся режим работы линейных систем, нулевые начальные условия на их входах и т.д.).

Метод прямого статистического анализа линейных систем, исследованию которого посвящены предыдущие главы, позволяет исключить необходимость учёта специфических условий по отношению ко входному случайному процессу и введения специальных ограничений, предъявляемых к отдельным звеньям расширенной системы класса Гаммерштейна (типового радиотехнического звена), и сравнительно просто получить многомерную, произвольной и любой меньшей размерности, плотность распределения вероятностей случайного процесса на выходе этой системы, а также на выходе произвольного числа каскадно включённых систем класса Гаммерштейна..

С целью получения результатов, сравнимых с известными, в данной главе вначале рассматривается задача отыскания методом прямого статистического анализа линейных систем многомерной, произвольной размерности п, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе расширенной системы класса Гаммерштейна.

Данную задачу принято рассматривать в двух вариантах [1]. В первом из вариантов входная линейная система принимается широкополосной. В этом случае случайный процесс после нелинейного преобразования принимается равным v-й степени случайного процесса на входе безынерционного нелинейного четырёхполюсника. Такая задача в более широкой постановке рассматривается во втором разделе данной главы. Во втором варианте входная линейная система принимается узкополосной, т.е. полоса пропускания Асо её амплитудно-частотной характеристики удовлетворяет условию где со0 - центральная частота полосы пропускания этой линейной системы. В этом случае случайный процесс на входе выходной линейной системы чаще всего рассматривается как результат соответствующего нелинейного преобразования огибающей случайного процесса на выходе входной линейной системы (т.е. не учитывается высокочастотная составляющая случайного процесса на выходе безынерционного нелинейного четырёхполюсника). Такая задача, следуя общепринятому подходу [1], рассматривается в третьем разделе данной главы, хотя метод прямого статистического анализа линейных систем допускает также другой подход, требующий отдельного рассмотрения. В качестве примера статистического анализа конкретной расширенной системы класса Гаммерштейна часто рассматривается типовое радиотехническое звено с гауссовскими амплитудно-частотными характеристиками входной и выходной линейных систем с постоянными параметрами [см., напр., 1, 20]. Задача прямого статистического анализа расширенной системы класса Гаммерштейна такого вида рассматривается в четвёртом разделе данной главы. Одной из разновидностей системы класса Гаммерштейна является звено "перемножитель - фильтр" [см., напр., 1, 2, 4 и др.]. Прямой статистический анализ такого звена рассматривается в пятом разделе данной главы. Важными и достаточно широко востребованными являются различные модели каскадных гаммерштейновских систем [55, 60, 61]. Прямой статистический анализ таких моделей рассмотрен в шестом разделе данной главы. 7.2. Расширенная система класса Гаммерштейна с широкополосной входной линейной динамической системой Рассмотрим задачу отыскания многомерной, размерности п, и одномерной плотностей распределения вероятностей случайного процесса на выходе расширенной системы класса Гаммерштейна при весьма общих допущениях, принятых в главе 4 и в разделе 4.2.1 (в частности), а также с учётом ряда весьма общих дополнительных допущений [139, 140]: 1) начальные условия на входах рассматриваемых линейных систем являются нулевыми; 2) собственный шум линейных систем пренебрежимо мал и потому не учитывается; 3) входная и выходная линейные системы являются системами с переменными детерминированными параметрами и импульсными характеристиками соответственно /?(/Q,/) И h2(toJ) с заданными 2% соответствующими многомерными плотностями распределения вероятностей их мгновенных значений [93, 106, 107] (см. также (3.15), (3.5)) Решение первой части рассматриваемой задачи, а именно задачи отыскания многомерной, размерности п, плотности распределения вероятностей случайного процесса хл(/0,/) на выходе входной линейной системы, полностью дано в разделе 4.2.1. Важным достоинством исследуемого метода прямого статистического анализа линейных систем является то обстоятельство, что он содержит важный промежуточный этап, который очень необходим для решения задачи статистического анализа входной линейной системы. Этим важным промежуточным этапом является получаемая в процессе решения задачи совместная плотность распределения вероятностей случайных величин х\,...,х„, входящих в "верхнюю" интегральную сумму (4.2) интеграла (4.1), которая, после выполнения необходимых функциональных преобразований, аналогичных (4.2) - (4.12), определяется выражением (4.13). С учётом принятых здесь обозначений и выполнения функциональных преобразований, аналогичных (4.2) - (4.12), соместная плотность распределения вероятностей случайных величин Х[,...,хп принимает вид