Содержание к диссертации
Введение
Глава I Состояние вопроса и постановка задач исследования
1.1., Сравнительный анализ математических моделей функционирования органов чувств человека 8
1.2. Анализ существующих методов идентификации линейных динамических систем 15
1.3. Обзор результатов теории моделей, как основы математического моделирования рецептивных процессов 19
1.4. Постановка задач исследования 22
Глава 2 Построение и обоснование математических моделей процессов рецепции на основе анализа предикатов /7 -мерной линейности
2.1. Исследование общих свойств линейно-дорояденных предикатов 28
2.2. Минимизация аксиоматики предикатов И -мерной линейности 35
2,3. Виды входных сигналов при линейной рецепции..., 39
2.4, Разработка моделей динамических процессов на базе семейств предикатов /7 -мерной линей ности 48
2,5. Синтез моделей при помощи предикатов, порожден ных интегральными суммами 54
Выводы 57
Глава 3 Разработка и исследование моделей рецепции при положительно определенных входных сигналах
3.1. Исследование особенностей математического моделирования в условиях ограничений на области задания входных сигналов 58
3.2, Определение условий существования предикатов мерной линейности на положительном
конусе 64
3.3. Математическое описание некоторых нелиней ных процессов рецепции путем использования предикатов многомерного линейного отношения 73
3,4, Обоснование условий существования предикатов мерного линейного отношения 78
Выводы 83
Глава 4 Синтез моделей линейных систем на базе дифункциональных предикатов
4.1. Исследование общих свойств предикатов дифункциональности 84
4.2. Применение предикатов перестановочной дифункциональности к моделированию рецептивных процессов
4.3. Обоснование математических моделей процессов, описываемых интегральными суммами
Выводы 106
Глава 5 Вопросы технической реализации полученных моделей
5.1. Применение математических моделей линейных систем для построения датчиков цвета 107
5.2. Практические испытания эффективности способа аппроксимации кривых сложения цвета
5.3. Разработка метода синтеза устройств автома тической классификации цветовых оттенков
5.4. Применение математических моделей для идентификации химико-технологических процессов... 120
Выводы 128
Выводы по работе 129
Литература
- Сравнительный анализ математических моделей функционирования органов чувств человека
- Исследование общих свойств линейно-дорояденных предикатов
- Исследование особенностей математического моделирования в условиях ограничений на области задания входных сигналов
- Исследование общих свойств предикатов дифункциональности
Введение к работе
В директивах ХХУІ съезда КПСС и в Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на 1980-1985 годы С 1,2 J в качестве одной из основных задач поставлена задача дальнейшего повышения производительности труда. Рост производительности труда может быть обеспечен только за счет все более широкого внедрения достижений науки и техники в народном хозяйстве. Осуществление этой задачи требует создания более совершенных автоматизированных систем управления технологическими процессами. Для этого необходимо детальное изучение управляемых процессов и построение их математических моделей.
Опыт решения многих практических задач убедительно свидетельствует о том, что математическая модель, являющаяся достаточно хорошим аналогом реальной системы, подразумевает предварительное выяснение типа процесса, идентификацию его параметров и многое другое, что можно получить в результате эксперимента.
В настоящее время для решения подобных вопросов разработано достаточно много методов идентификации . Большинство из них основаны на знании входного и выходного сигнала неизвестного преобразователя, изучаемой системы, и условно их можно отнести к типу методов, использующих прямое измерение искомых параметров. В природе существует целый класс процессов, идентифицировать которые такими методами не представляется возможным. Это процессы рецепции, описывающие работу органов чувств человека или работу так называемых сенсорных систем.
Результатом психофизического эксперимента являются человеческие ощущения, объективных единиц измерения которых не существует, что ведет к отсутствию, в общепринятом смысле, выходного сигнала. Поэтому в психофизике для идентификации параметров сен-
сорных систем и последующего построения их математических моделей применяется так называемый метод сравнения. В качестве экспериментальных данных при этом методе используется не выходной сигнал, то есть результат прямого измерения интересующего нас параметра, а сравнительная реакция неизвестного преобразователя на пары подаваемых сигналов, что представляет собой результат некоторого косвенного измерения исходного параметра. В этом заключается принципиальное отличие метода сравнения от остальных методов идентификации.
Несмотря на некоторую сложность постановки психофизических экспериментов, связанную с применением метода сравнения, он обладает целым рядом преимуществ. К основным можно отнести, во-первых, повышение точности определения искомых параметров за счет того, что данный способ подобен "компаратору", то есть измерению на чашечных весах, а это, как известно, практически всегда ведет к повышению точности измерений, й второе основное преимущество заключается в возможности изучения нелинейных систем, которые, как правило, не поддаются идентификации обычными способами. Однако, здесь следует сказать, что нелинейности должны носить взаимнооднозначный характер. В целом к достоинству метода сравнения относится и то, что не требуется информация о выходных сигналах системы.
Сенсорные системы, с одной стороны, и технологические процессы, с другой, имеют много общих свойств и могут быть описаны однотипными математическими моделями. Метод сравнения эффективно и плодотворно используется в психофизике, в технике же он еще не получил применения. Однако, те преимущества, которыми он обладает, делают целесообразным его использование при решении технических задач. Поэтому диссертационная работа посвящена изучению
методов идентификации сенсорных систем, формальному описанию линейных процессов рецепции, построению их математических моделей для исследования технологических процессов и дальнейшего совершенствования АСУ.
Основные результаты опубликованы в 8-ми работах.
Диссертация выполнена на кафедре высшей математики Харьковского института радиоэлектроники.
Сравнительный анализ математических моделей функционирования органов чувств человека
Вопросы математического моделирования тех или иных реальных процессов часто лежат на стыке нескольких областей естествознания. Это обстоятельство объясняется тем, что при решении подобных задач приходится руководствоваться как общими принципами построения моделей, так и специфическими свойствами изучаемого процесса. Поэтому место настоящей работы можно определить на стыке трех направлений: психофизики, теории идентификации и теории моделей.
Задачи, возникающие в психофизике, в основном, связаны с исследованием сенсорных систем. Одной из наиболее важных и изученных в настоящее время систем является орган зрения человека. Человеческий глаз представляет собой уникальный природный аппарат, поэтому принципы его работы издавна привлекали внимание ученых. В основе поставленных в данной работе задач лежали вопросы, тесно связанные с теорией восприятия цвета человеком, в связи с этим рассмотрим кратко историю становления и развития этой теории.
Первые исследования, в которых были заложены основы количественного подхода к изучению органа зрения человека, принадлежат великому английскому физику И.Ньютону Г40J . Им было установлено несколько фундаментальных в этой области фактов. Во-первых, он выяснил, что качество цвета всецело определяется спектром соответствующего светового излучения и таким образом впервые было введено понятие спектра, что послужило базой для математического описания входных сигналов органа зрения как множества некоторых функций; во-вторых, Ньютон первый предложил изображать цвета в виде точек некоторой области в трехмерном пространстве и тем самым предвосхитил идею трехкомпонентной теории цвета; в-третьих, им были обнаружены некоторые закономерности смешения излучений и их восприятия, которые наводили на мысль о линейной структуре пространства входных сигналов и линейной зависимости координат света от спектров соответствующих световых излучений. Существует еще один важный момент в исследованиях Ньютона, который им явно не подчеркивался, однако в дальнейшем сыгравший существенную роль в методологии всей психофизики. Это изучение излучений на базе сравнительной реакции человека на них. Другими словами, он первый, кто использовал человеческий мозг в качестве точного "нуль-органа", тем самым заложив основы широко применяемого в настоящее время при решении психофизических задач метода сравнения. Трудно переоценить значение этих работ И.Ньютона для развития теории цвета, однако строгих научных обоснований своих результатов он не дал. Его сторонником и пропагандистом идей в области теории цвета был М.ВДомоносов323 .
Ньютоном была подготовлена почва для создачия линейной модели цветового зрения. Впервые одну из таких моделей предложил Т.Юнг [.75J . Он записал координаты в виде следующих интегралов:
Здесь і (я) - спектр излучения; /{ (Я) ff (Л) К&h некоторые весовые функции, характери-зующие чувствительность глаза к излучениям с различной длиной волны; Л и Яг- минимальная и максимальная длины волн световых излучений, видимых глазом. Но Юнга интересовала не столько психофизическая сторона явления, сколько физиологическая, поэтому с точки зрения психофизики его результаты выглядят лишь эпизодом. Наиболее последовательным продолжателем идей Ньютона был Максвелл [ 77], который попытался опытным путем определить конкретный вид весовых функций / , К , К- , получивших название функций спектральной чувствительности глаза.
Первая попытка создания аксиоматической теории зрения была предпринята Грассманом. Опираясь на результаты Ньютона и его идею о "нуль-органе", им были сформулированы законы цветового зрения [76] . Приведем одну из этих формулировок.
Закон аддитивности. Суммы попарно равных цветов также суть равные цвета. Закон трехмерности. Любые четыре цвета линейно зависимы, однако существуют тройки линейно независимых цветов. Закон непрерывности. Непрерывному изменению излучения соответствует непрерывное изменение цвета.
Отправляясь от этих законов, Шредингер попытался чисто формальным путем вывести из них преобразования (I.I) [78]. Однако, несоврешенство используемых им математического аппарата и формулировок законов зрения не позволили ему сделать это достаточно корректно. Исследования Шредингера следует рассматривать как существенный шаг в развитии теории зрения. Они продемонстрировали возможность успешного объективного изучения субъективных состояний человека и вплотную подвели его продолжателей к математическому описанию ощущений. Завершая обзор исследований в области теории цвета до 20-х годов нашего столетия, следует сказать, что вопрос о природе цвета и восприятии его глазом человека рассматривался в работах почти всех известных физиков того времени таких, как Р.Декарт, Р.Гук, Р.Бойль и др.
Существенный вклад в дальнейшем был внесен целой группой советских ученых: Н.Т.Федоровым [58 J , Н.Д.Нюбергом [37,38j7 [39j , Е.Н.Юстовой [ 72,73 ] , Д.А.Шкловером [б8] , С.В.Кравко-вым [29,30 J , М.М.Гуревичем [ 18,19 J , В.В .Мешковым Г 35] и др. и зарубежных: А.Кенигом [79J , В.Райтом [80] , Д.Гилдом [81J , Г.йлмазом [21J и др. Однако наиболее последовательное развитие идей Грассмана и Шредингера мы находим в работах Ю.П. Шабанова-Кушнаренко и его учеников Е.П.Путятина, В.П.Пчелинова, В.Я.Сердю-ченко, А.Г.Мурашко, Н.Г.Сарнавского, М.Ф.Бондаренко, Г.Ф. Дюбко и др. [ 34,43,44,61].
Исследование общих свойств линейно-дорояденных предикатов
В этой главе решается задача математического описания и последующего моделирования рецептивных процессов на языке исчисления предикатов специального вида. Существующие к настоящему времени математические модели процессов функционирования органов чувств человека и других динамических систем свидетельствуют о том, что многие из них описываются конечным набором линейных функционалов. Известная трехкомпонентная модель цветового зрения представляет собой линейный оператор, преобразующий спектр светового излучения в тройку чисел при помощи интегралов вида t Є(Л)6(Я)ЄІЯ , L = 1,2,3. (2.1) Громкость F(Д()) любого звука /?(6J при определенных ограничениях можно выразить в виде линейного функционала его компонент
Здесь набор вещественных чисел характеризует спектральную чувствительность слухового анализатора. Явления иррадиации, адаптации, краевого контраста цветового зрения описываются конечным набором функционалов определенного вида. Все это говорит о том, что математическая модель рецептивного процесса может быть реализована при помощи линейного оператора, действую гощего из пространства входных сигналов в /? (п -мерное арифметическое пространство).
С другой стороны, метод сравнения позволяет в эксперименте фиксировать значения предиката . "Y r, и) как функции двух входных сигналов и изучать свойства этой функции. Этот предикат может служить математической моделью того или иного процесса только в том случае, если он представим в виде E(x.y)-2?(F(x),F(y)). (2-3
Тогда значения F(X) Ш-Ffgj можно содержательно интерпретировать как действие неизвестного преобразователя на входные сигналы, а предикат равенства И - как операцию сравнения входных сигналов. Если из экспериментально проверяемых свойств логически вытекает вид оператора F , то можно считать, что он является математической моделью изучаемого процесса. В случае рассмотрения процессов рецепции мы приходим к предикатам вида (2.3) с линейным отображением Г . Такие предикаты назовем линейно-порожденными и поставим в настоящем параграфе задачу изучения их свойств.
Рассмотрим линейное пространство Z над полем действительных чисел Я и линейное преобразование этого пространства в себя, то есть отображение Д: L L , удовлетворяющее двум свойствам: 1) fl(Xl+X2) /lxi/IXl, (2.4) 2) /І(АХ)=Л/ІХ, при произвольном выборе X , Хл , Xze.L и є /Z . Будем говорить, что предикат (X,у) , заданный на декартовом квадрате линейного пространства / , называется линейно-порожденным, \, если он представим в виде Е(х,у) - П(4Х, /It/), (2.5) где Д - линейное преобразование пространства Z , а Л - предикат равенства.
Из данного определения вытекают следующие основные свойства линейно-порожденных предикатов: 1) Е(Х,Х) = / для любого Хє-L (рефлексивность); 2) из равенства Е(Х,(/)=1 вытекает равенство "( х) для любых XMcL (симметричность); 3) из равенств E(x,i/)=l , ( ,2)= вытекает равенство Е(X, Z)=l для любых x, ,Z A (транзитивность); 4) из равенств Е (Хл, )=Х , Е(Х2, )=1 вытекает равенство Е(Х1 +Х2,у +Уг)=1 для любых Х1)Хг,у ,у2, L (аддитивность); 5) из равенства Е(Х, у)=1 вытекает равенство ЕС-ХХ, J )=l для любых Х,Ц . и АєН (однородность).
Доказательство их справедливости осуществляется простой проверкой. Более того, эти свойства являются достаточными для представимости предиката Е (#, ) в виде (2.5).
Для того, чтобы доказать последнее утверждение, заметим,что любой предикат, обладающий свойствами рефяексивности, симметричности и транзитивности, задает отношение эквивалентности на множестве L следующим образом
Исследование особенностей математического моделирования в условиях ограничений на области задания входных сигналов
Модели, построенные в предыдущей главе, обладают той отличительной чертой, что в них множество входных сигналов образует линейное пространство. Такая интерпритация является не совсем полной, если речь идет о реальных сенсорных или технических системах. Амплитудный спектр звуковых источников, спектр световых излучений, функциональные характеристики концентрации, температуры и других параметров технических систем -все это множества функций, которые не заполняют всего линейного пространства, а являются его частью. В приведенных примерах это положительный конус. Однако, это не единственная ситуация. Это может быть и выпуклая область или какое-нибудь другое подмножество. Иными словами случай, когда входные сигналы являются частью линейного пространства, широко распространен в практических задачах. Математическое моделирование в условиях ограничений на области задания входных сигналов представляет интерес и накладывает определенные трудности. По крайнем мере эта ситуация обладает целым рядом особенностей, которые не позволяют, базируясь на результатах предыдущей главы, строить математические модели рецептивных процессов. В психофизике распространен случай, когда входные сигналы образуют положительный конус гильбертова пространства Lt , то есть представляют собой строго положительные функции. На экспериментальном и содержательном уровне получен целый ряд моделей конкретных сенсорных систем в этом случае. Однако строгого обоснования их пока нет. Цель настоящей главы состоит в том, чтобы заполнить этот пробел, с одной стороны. С другой стороны, при положительно определенных входных сигналах, метод сравнения позволяет идентифицировать некоторые нелинейные системы, а на языке исчисления предикатов удается формально обосновать их математическую модель. Одна из таких моделей нелинейного рецептивного процесса, описывающегося отношением линейных функционалов построена и обоснована в данной главе. В настоящем параграфе остановимся на особенностях математического моделирования в описанной ситуации.
Математически поставленная задача звучит следующим образом. Требуется найти экспериментально проверяемые, необходимые и достаточные условия, при выполнении которых предикат ( ,#), заданный на декартовом квадрате /С К ( / - положительный конус гильбертова пространства L2 [&.-] ) , был предикатом п - мерной линейности, то есть порождался системой, состоящей из линейных линейно независимых положительных функционалов. Такая постановка подобна той, которая встречалась в предыдущей главе, однако, она обладает рядом отличий, к рассмотрению которых мы перейдем.
Рассмотрим свойство л -мерности Оно гласит следующее: существует набор векторов J в- / «s: ]_, (в данном случае нам придется формулировать "принадлежащий К ") такой, что для любого ХЄ/ найдется единственный набор чисел {o/i(x)l , для которого
Однако, здесь возникает замечание, которого не было ранее. Необходимо как-то регламентировать этот набор чисел с тем, чтобы обеспечить принадлежность к положительному конусу /7 линейной комбинации JS Y C Это можно сделать, добавив, скажем, условие, что числа {oS (xj)[_ о (последнее влечет за собой трудность в доказательстве необходимости, так как придется доказывать положительность решений системы линейных уравнений) или каким-либо другим способом, Отсвда следует, что условие /2 -мерности требует изменения.
Непрерывность тоже нельзя сохранить, поскольку любая окрестность точки положительного конуса содержит "проколы", то есть точки, ему не принадлежащие. Отметим еще одно обстоятельство. Из предыдущей главы вытекает, что предикат п -мерной линейности порождается набо ром функционалов { (х)}._ , участвующих в условии п -мерности, С другой стороны, нетрудно установить связь между функционалами {о іМ}; у и набором векторов Так как то это означает, что а , ( с)- о . , то есть эти две системы биортогональны и поскольку J & Ґ є /С » то -( ( )}. &К f а нам необходимо произвести идентификацию при помощи положи тельных функционалов, значит набор Ja(X)J для этой роли не подходит. Это еще одна сложность, возникающая при решении поставленной задачи, которой не было ранее. Все это указывает на необходимость ее более подробного рассмотрения. Отметим некоторые свойства предикатов а -мерной линейности, заданных на положительном конусе К .
Исследование общих свойств предикатов дифункциональности
Насколько можно судить по литературным источникам предикаты дифункциояальности практически не нашли применения в задачах моделирования процессов функционирования как сенсорных, так и технических систем. Однако при систематическом использовании метода сравнения они естественным образом возникают в поле зрения исследователя. Эту естественность можно объяснить следующими причинами. С одной стороны, множество всех двузначных функций включает в себя два широких класса: предикаты эквивалентности и предикаты дифункциональности. Эффективное использование исчисления предикатов первого класса логично наводит на мысль об использовании исчисления предикатов второго класса. С другой стороны, на практике возникают ситуации при идентификации, ведущейся методом сравнения, когда два плеча сравнения неравнозначны. В психофизике, при изучении сенсорной системы орган зрения человека, это могут быть разные фоны, окружающие излучение в данной точкеv В технике - просто различные операторы либо операторы, представляющие решение одного и того же дифференциального уравнения с различными начальными условиями. В психофизических задачах, в которых наиболее эффективно применялся метод сравнения и исчисление предикатов, эту трудность до настоящего времени удавалось обходить, однако за счет, иногда, существенного усложнения постановок экспериментов. Основная причина, которая заставляла уклоняться от использования предикатов дифункциояальности состоит в малой изученности их, даже наиболее общих, свойств. Поэтому основная задача настоящей главы заключалась в восполнении подобного пробела для некоторых видов дифункциояальных предикатов и в построении математических моделей рецептивных процессов на их базе. В данном параграфе найдено экспериментально проверяемое условие, обеспечивающее представление произвольного процесса в виде модели дифункционального предиката.
Пусть Е(хм) - предикат, заданный на декартовом квадрате множества А
Будем говорить, что Е (x,ty) - дифуякционален ивазитран-зитивен) тогда и только тогда, когда он обладает свойством: из равенств E(x,y) t , E(z,y)=l » E(Z,)=l следует, что E(x,t)= .
Если Е =А » то Е —А и наоборот. В этом случае утверждение теоремы вытекает сразу, поскольку B={OJ} t (f:/1+0 , ірг: А - Ї и тогда Е(х,у) =Л3 (f(xj, cpg (у)) . Следовательно, в дальнейшем будем считать, что Ее Ф/1 И Ej A . 2L Если ХФ Хг , то либо Ах = Ах » либ А ЛАХФ А 3. Е и Е - равномощны.
Первое свойство очевидно, второе вытекает из дифункциональ ности предиката Е(х,(/), поскольку в случае, если АХПАхФф , то существует #±еАх ПАХ и для любого L/GAXX выполняется следующее: Е(Хг,)=1 , (хл,) = / .&,#)= зНа" чит Е(Хг,у)=1 я. у Є АХ » а АХ АХ . Точно так же можно доказать, что Ах с. /\х . В итоге Ах = Ах . Заметим, что это утверждение верно и для классов А у .
Третье свойство вытекает из того, что существует взаимно однозначное отображение между Е и Е . Строится оно следующим образом: 4 :Е-+Е , Р(Е0)=Е„ . С ) АХ , если Е(Х,у)= . Нетрудно убедиться в корректности этого определения и в том, что отображение взаимно однозначно.
С практической точки зрения результат полученного в этом параграфе утвервдения состоит в том, что найдено экспериментально проверяемое условие, которое позволяет на языке исчисления предикатов дифункциональности описать реальный процесс.
Во многих задачах психофизики и техники при идентификации систем методом сравнения дифункциональность носит определенный характер. Классы эквивалентности остаются неизменными. Они только переставляются или перемешиваются путем какого-либо взаимно-однозначного преобразования. Иными словами, если и Гг операторы, действующие на разных плечах сравнения, то они связаны соотношением J - (/ f . В настоящем параграфе рассмотрим задачу о нахождении условий существования предикатов дифункциональности, которые возникают в этом случае.
Назовем предикат ( ,#) , заданный на декартовом квадрате произвольного множества А , перестановочно дифункциональным, если существуют множества В и С и отображения f:A- 3, Мл назовем левым разбиением множества А , если его элементами являются следующие классы эквивалентности: xt х2 тогда и только тогда, когда Efci&MEfe, У) ). / назовем правым разбиением множества А , если его элементами являются следующие классы эквивалентности; тогда и только тогда, когда (х.ух)&Е(х,) Свойства Е (х,у) : 1) если Е(Хх,у) = (хг,с/)=: тогда E(z,xjL)=(ztx) 2) если Е(Х,(/х)=(х,уг) , тогда (&. ) Е(%,і) \ 3) если Е(Хл,у)=Е(Хг,у) , тогда (х,хх) (,хг) и E(xXtz) E(xtz) ; 4) если Е(Х,у) (х.уг)-1 » тогда (%, ) sJTffatJ и ( .&) ( , &) . Утверждение 4.2. Если Е(х,у) - дифунационален, то //, и / - равномощны. Доказательство. Пусть А {х&А : (х,у)— о} . Заме тим, что если Х1,хг Ал » то Хх х $ поэтому ААє-ІЇл Аналогично Ап - {у є A: (x,yj=aj и АП ИП .
