Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи 14
1.1 Классическая задача Марковица 14
1.1.1 Предварительные сведения 14
1.1.2 Классическая задача Марковица 18
1.2 Основные понятия эвентологии 20
1.3 Постановка прямой и обратной Э-задач Марковица 30
1.4 Выводы по первой главе 35
2 Решение задачи 37
2.1 Прямая эвентологическая задача Марковица 37
2.2 Обратная эвентологическая задача Марковица 48
2.2.1 «Зонтичная» визуализация эвентологического симплекса 48
2.2.2 Решение обратной эвентологической задачи Марковица 65
2.3 Нечетко-множественные Э-задачи Марковица 67
2.3.1 Нечеткие множества в эвентологии 67
2.3.2 Прямая нечеткая Э-задача Марковица 78
2.3.3 Обратная нечеткая Э-задача Марковица 83
2.4 Выводы по второй главе 85
3 Применения 87
3.1 Распределение единичного капитала в портфеле ценных бумаг 87
3.2 Стратегия теневого акционера 88
3.3 Оптимальное финансирование персонала фирмы 90
3.3.1 Оптимальные премии 90
3.3.2 Оптимальные штрафы 93
3.3.3 Оптимальные премии и штрафы 96
3.4 Задача заполнения ресурсов услуги 98
3.5 Выводы по третьей главе 101
Заключение 102
Литература 109
- Классическая задача Марковица
- Классическая задача Марковица
- Прямая эвентологическая задача Марковица
- Распределение единичного капитала в портфеле ценных бумаг
Введение к работе
Портфельный анализ существует, пожалуй, столько же, сколько люди задумываются о принятии рациональных решений, связанных с использованием ограниченных ресурсов. Однако момент возникновения современного портфельного анализа можно датировать довольно точно, связав его с выходом в марте 1952 года пионерской работы Гарри Марковица [43].
Портфельная теория Марковица направлена на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условии неопределенности. Основные положения этой теории были разработаны Г. Марковицем при подготовке его докторской диссертации в 1950 - 1951 годах. На основе диссертации им была написана книга [44], до сих пор остающаяся важным учебником по портфельной теории. Центральной проблемой в теории Марковица является выбор портфеля, то есть набора операций. При этом в оценке как отдельных операций так и их портфелей учитываются два важнейших фактора: доходность и риск операций и их портфелей. Риск при этом получает количественную оценку. Такой подход многомерен и по числу вовлекаемых в анализ операций, и по учитываемым характеристи-
кам. Существенным моментом в теории оказывается учет взаимных корреляционных зависимостей между доходностями операций. Именно этот учет позволяет проводить эффективную диверсификацию портфеля, приводящую к существенному снижению риска портфеля по сравнению с риском включенных в него операций. Наконец, количественная характеристика основных инвестиционных характеристик позволяет ставить и решать задачу выбора оптимального портфеля в виде задачи квадратичной оптимизации.
Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком — Дж. Тобином [47], который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа [46], который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе од-нофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной.
Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые рыночные инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившийся солидной расчетной базы просто не
могли бы возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков [30]. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков.
До сих пор отдельные группы статистических зависимостей в социально - экономических, экологических, медицинских и других системах анализировались, и довольно успешно, методами многомерного статистического анализа, которые, однако, всегда были направлены на моделирование и измерение статистических зависимостей, в основном, между случайными величинами, векторами или функциями.
Вместе с тем, подавляющее большинство событий, которые происходят в природе и обществе, имеют случайный и множественный характер и, поэтому могут быть статистически измерены полностью только случайными множествами. Разумеется, количественные характеристики подобных случайных и множественных событий измерялись, измеряются и будут измеряться случайными величинами, векторами и функциями — иначе говоря классическими методами многомерного статистического анализа. Но использовать классические количественные методы для анализа случайно-множественной информации — это заведомо обрекать себя на потерю наиболее важной её части — информации о полной структуре зависимостей случайных событий, как случайных
множеств.
Идея использовать результаты эвентологии для анализа статистических взаимодействий позволяет взглянуть с общих позиций на структуру взаимодействий во всех подобных системах. Это не только открывает путь к построению общей статистической теории таких систем, но и предлагает новые эффективные на практике методы их статистического анализа. Эвентоло-гия — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими и эвен-тологическими вопросами, эвентология затрагивает социально-экономические, общечеловеческие и социальные вопросы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий. Одним из основных результатов эвентологии можно считать, во первых, выделении теории случайных событий в самостоятельное направление теории вероятностей, во-вторых, поскольку язык случайных событий является довольно универсальным, то эвентологический аппарат может быть применен к довольно широкому спектру различных задач.
Полных аналогов эвентологических методов анализа, измерения и генерации структур зависимостей и взаимодействий событий в мировой статистической практике пока не существует. Есть лишь отдельные разрозненные результаты, не объединенные общей теорией. Причина отсутствие хорошо разработанной тео-
рий дыижения случайнвіх собвітий, соединенной с эффективными методами статистических оценок распределений и генерации случайных множеств. Разумеется, следует указатв на существование общепризнаннвгх мироввгх центров по исследованию случайнвіх множеств, а также интегралвной геометрии, во Франции (Ж.Серра и Ж. Матерон, Фонтенбло под Парижем), Аргентине (Л.Сантало, Буэнос-Айрес), Германии (Д.Штойян, Фрайберг в Саксонии), Нидерландах (Х.Хейманс, Амстердам), Великобритании (Д.Кендалл, Лондон, и И.Молчанов, Глазго), и Австралии (А. Бэддли, Сидней). Однако, исследования, проводимвіе во всех этих центрах, тяготеют к математической морфологии — науке, которая изучает форму, в том числе, и случайную форму пространственнвгх объектов. Основнвіе объектв1 в этой области — случайнвіе множества элементов числовой природві — например, случайнвіе подмножества евклидова пространства. Поэтому в анализе таких случайнвіх множеств можно на полную мощ-ноств исполвзоватв традиционнвіе методві работві с числоввіми объектами — классические методві, что и делается повсеместно. Принципиалвное отличие методов, предлагаемвгх в работах по случайнвш собвітиям, от методов математической морфологии заключается в том, что они направленві на изучение случайнвіх собвітий — случайнвіх множеств, состоящих из произволвнвгх аб-страктнвгх элементов, не принадлежащих пространствам с при-ввічной линейной или любой другой структурой. Эти так назвіва-емвіе случайнвіе конечнвіе абстрактнвіе множества собвітий тре-
буют для своего изучения особой теории и специальных методов статистических оценок распределений и генерации, что составляет основное содержание данного направления и отличает его от других исследований по случайным множествам, проводимых в настоящее время в мире.
Развитие эвентологии и теории случайных конечных абстрактных множеств имело место в последние десятилетия. Первые монографии по случайным конечным абстрактным множествам были опубликованы О.Ю. Воробьевым в 1978 и 1984 годах. Затем в 1993 году вышла его же монография по сет-суммированию, посвященная математическому аппарату, который используется в теории случайных множеств и событий. Довольно полное представление о современном состоянии теории случайных множеств и их статистических оценок можно сделать по ряду статей (И.В. Баранова, А.О. Воробьев, Е.Е. Голденок, Т.В. Куприянова, Е.Г. Тяглова, А.Ю. Фомин, Д.В. Семенова), опубликованных в трудах восьми ежегодных городских ФАМ - конференций (1997-2005) и в трудах I-IV Всероссийской ФАМ конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам.
Теория случайных множеств и эвентологии находит применение в работах по анализу товарных рынков. В работах Воробьева О.Ю. и Голденок Е.Е. [18], [19], [21], [22], [23], [24] были предложены методы построения статистической модели потребительского выбора, опирающейся на разработанные методы моделирования и измерения структур зависимостей и взаимодействий событий
в статистических системах, дана математическая интерпретация таких важных экономических понятий как взаимодополняемость и взаимозаменяемость товаров. Идеи, высказанные в этих работах дали новый толчок в применении случайно-множественных методов при анализе рыночных систем и позволили дать новую интерпретацию классической задаче Марковица.
Классическая задача Марковица
Пусть задано вероятностное пространство (Q, jF, Р). Зададим случайный вектор : Q ь- R . Пусть имеется также некоторый вектор а Є SN.1 Введем случайную величину ф(а) как результат скалярного произведения векторов (иа. Запишем для ф формулы математического ожидания и дисперсии : Е (а)) = Е агеф (1.1) DWa)) = Dp4J. (1.2) Под SN МЫ понимаем TV-вершинный симплекс. Учитывая свойства числовых характеристик случайных величин, перепишем (1.1) и (1.2) следующим образом: N Е(#»)) = 5 Е(&); (1.3) г=1 N N (1.4) D( (a)) = 2 2 а%аз Covte &) Зафиксируем значение математического ожидания случайной величины (а) на некотором уровне (а) и найдем такой вектор а на котором её дисперсия будет наименьшей. Исходя из имеющихся ограничений, задача минимизации примет такой вид: о Я(6) = {а) 1=1 п п Y, Е агаз Cov(6,0) -»min; i=\ j=l а (1.5) П аг = 1 Для нахождения минимума квадратичной формы по ограничениям типа «равенства» используем метод множителей Лагранжа. Тогда целевая функция запишется следующим образом: п п = 2 2 а%аэ Covte ?) + г=1 j=l п \ / п +Ах \{а) - Y, ОІЕ(І,) + А, 1 - Y, а, (1.6) г=1 %=\ Перепишем (1.6) в матричном виде С = атКа + Лі((а - mTa) + Л2(1 - ITa), (1.7) где К — матрица парных ковариаций величин и j, m — вектор математических ожиданий, I — вектор, состоящий из единиц. Продифференцировав (1.7) по а и по Л получим такую систему: 2Ка - Aim - Л21 = 0; mTa = (а); (1.8) k ITa = 1. Таким образом задача (1.5) сводится к системе линейных уравнений размерности N + 2, решить которую можно методами линейной алгебры (например, методом Гаусса). Рассмотрим теперь отображение Q iV-вершинного симплекса на двумерную плоскость, заданное по формулам (1.3, 1.4). Иными словами Q ставит каждому а Є SN в соответствие точку (vb( (a)),E( (a))). Полученное геометрическое место точек изображено на рис. 1.1. Как видно из рис. 1.1, для каждого вектора а решение (1.5) лежит на кривой АВ (точка D иллюстрирует минимальное значение корня дисперсии случайной величины (а) при зафиксированном на уровне (а) математическом ожидании). і 17 E (a) Рис. 1.1. Визуализация отображения U : SN \- (у/ТЭ(ф(а)), E(ф(a)) J для случая iV = З Существует также альтернативный способ нахождения минимума задачи (1.5), называемый методом Монте-Карло. Его суть состоит в генерации серии 7 векторов а, удовлетворяющих граничным условиям в (1.5). После происходит подсчет дисперсии случайной величины ф для каждого элемента серии 7- Решением (1.5) считается такой а Є 7 Для которого D(/0(a )) = minD(/0(a)). К недостаткам этой методики можно отнести тот факт, что она не дает точного решения в отличие от описанного выше алгоритма оптимизации. Однако при больших значениях N метод Монте-Карло дает значительный выигрыш во времени по сравнению с «точными» алгоритмами. Так, например, для случая N = 3 точность в 99% обеспечивает длина серии І7І = 100.
Перейдем к экономической интерпретации вышеизложенных размышлений, предложенной в 1952 американским математиком Г. Марковицем [43]. Пусть задан портфель = (i,25 juv) 3 СО стоящий из N видов ценных бумаг с доходностями2 j. Поскольку невозможно заранее предугадать изменение цены на ту или иную ценную бумагу, то вполне можно считать случайной величиной. Наша задача, как инвестора, состоит в распределении некоторого капитала Z в портфеле так, чтобы обеспечить фиксированный уровень доходности (а) и свести риск к минимуму3. Для упрощения последующих выкладок будем считать, что Z = 1. Обозначим щ — доли единичного капитала, вкладываемого в г-ый вид ценных бумаг. Тогда a = (ai, а ..., a/v) — вектор распределения вкладов в портфеле . В таком случае доходность всего портфеля будет выражаться случайной величиной N #1) = а,0 = Х &- (1-9) 1=1 Тогда средняя доходность портфеля очевидно будет выражаться такой числовой характеристикой как математическое ожидание. Поскольку понятие «риск портфеля» можно рассматривать под доходностью мы будем понимать отношение „t—1, где Щ и Щ - цена г-ого вида ценных бумаг на моменты времени t и t + 1. 3 такие задачи называются еще задачами поиска оптимального портфеля как отклонение доходности от запланированной ранее, то его логично исчислять центральным моментом 2-го порядка — дисперсией. Чтобы теперь найти оптимальный портфель, необходимо минимизировать дисперсию случайной величины (а), зафиксировав при этом ее математическое ожидание на уровне (а) т.е. проблема свелась к задаче (1.5). Чтобы выявить отличия задачи Марковица от сугубо математической проблемы поиска минимума квадратичной формы по ограничениям типа «равенство», обратимся еще раз к рис. 1.1 I в Е [а) Специфика задачи Марковица состоит в том, что для экономиста интерес представляет не вся кривая оптимальных peine 20 ний АВ} а только ее верхняя часть — СВ. Это объясняется тем, что для каждого портфеля, «размещающегося» на АС найдется множество других из С В, доходность которых будет выше, а риск меньше. Впоследствии совокупность точек ( -y/D(,0(a)), Е( (а))) получила название «пули Марковица», а кривая С В — эффективной границы пули Марковица. 1.2 Основные понятия эвентологии Эвентология(«еуеп1ш» — событие, «logos» — наука ) — теория случайных событий — изучает вероятностные распределения множеств случайных событий и их динамику. Хотя в большинстве современных исследований по теории случайных событий временная ось редко упоминается в подлинно динамическом смысле, однако некоторые приложения этой теории к историческим, социологическим, медицинским и другим исследованиям содержат ссылки на время. Как наука, эвентология преследует следующие цели: Изучение взаимозависимостей множеств случайных событий. Изучение зависимостей одних множеств событий от других.
Классическая задача Марковица
Возникающую при этом тройку (17, Э , Р ) естественно именоватв классическим вероятностнвш пространством . Пуств, кроме того, имеется определенная на алгебре 3 того же измеримого пространства (17,3 ) произволвная вероятностная мера Р, порождающая вероятностное пространство (17,3 , Р). Таким образом, в нашем распоряжении всегда еств два вероятностнвгх пространства: классическое (17,3 , Р:) и произволвное (17,3 , Р).
Как толвко задано классическое или произволвное вероятностное пространство, множество избраннвгх собвітий X С (] становится тем или инвім множеством случайнвіх собвітий, которое определяется классической (Р:) или произволвной Р вероятно-ствю.
Определение 1.4. Множество собвітий, определяемвгх классической вероятноствю Р назвівается классическим и обозначается Х\ а определяемое произволвной вероятноствю Р — произ-волвнвім множеством случайнвіх собвітий (произволвнвім множеством собвітий) или просто «множеством случайнвіх собвітий» и обозначается X.
Определение 1.5. Случайнвім элементом на вероятностном пространстве (17, JF, Р) со значениями из измеримого пространства (У, А) называется произвольная (JF, -измеримая функция р:(П,?,Р) (У,А). Под вероятностным распределением случайного элемента (р будем понимать набор вероятностей Р(ір-г(А)) = P({LU, р(и) Є А}) = Р(си Є А), А С А. (1.19) Определение 1.6. Случайным множеством событий под множеством избранных событий X в вероятностном пространстве (17, JF, Р) называется случайный элемент К : (17, , Р) (У, 22 ) со значениями из измеримого пространства ( 2х, 22 ), где 2х — множество все подмножеств множества избранных событий Х} а 22 — алгебра всех его подмножеств. Вместе со случайным множеством событий К под X определено его теоретико-множественное дополнение — случайное множество событий, обозначаемое Кс = X — К. Определение 1.7. Эвентологическим распределением (Э-рас— пределением) множества случайных событий X С jF, выбранных из алгебры вероятностного пространства (17, JF, Р) называется из следующих сет-функций на 2 р(Х) = Р(К = Х) = P(ter(X)) = Р ( р х р хс ] \хеХ хеХс ) вероятности пересечений, = Р(К СХ) = P(terx) = Р ( р х } \хеХ / Рх вероятности прямых пересечений (надвероятности). Vх = Р(Х СК) = P(terx) = Р [ р хс ) \хеХс ) вероятности дополнителвнвіх пересечений (подвероятности), (X) = 1 - Р(К = Xе) = P(ter(X)) = Р ( У х У хс ] ги объединений, = 1 - Р(К С Xе) = Р(Тегх) = Р { у а; ) и вероятности объединений, их вероятности прямых объединений (надвероятности), = 1 - Р(ХС СК) = Р(Тегх) = Р [ У хс ) VGXC / X и — вероятности дополнительных объединений (подвероятности), где X С. X - подмножество X. 12 пар форм Э-распределенийр(Х),рх,РХ, Ц О, их, их, определяющие множество случайных событий X и случайное множество событий, попарно связаны взаимно-обратимыми формулами Мебиуса. Приведем некоторые из них: PX=Y1 МП Р(Х) = Y, (-i)yHJV; XCY XCY YCX YCX px = (- V px = (-1)1. XCCY YCXC Нормированной форме p = {p(X),XCX}, произвольного Э-распределения TV-множества случайных событий нетрудно сопоставить стандартный 2ІУ-вершинньій симплекс S2N из 2лг-мерного пространства. Каждой точке этого симплекса r = {r(X),X CX}eS2N взаимно-однозначно соответствует некоторая нормированная форма р эвентологического распределения событий X по правилу r(X)=p(X), IC1
Такой симплекс получил название «эвентологический симплекс» (Э-симплекс). Для удобства осуществления вышеозначенного соответствия оси эвентологического симплекса пронумерованы на числами от 1 до 2N1 а подмножествами множества X. Поскольку формулы обращения Мебиуса линейны, то остальным «ненормированным» формам Э-распределений соответствуют «нестандартные» симплексы, расположенные в том же 2ІУ-мерном пространстве и представляющие собой линейные образы симплекса S2N} порождаемые соответствующими обращениями Мебиуса. Определение 1.8. Индикатором события х Є X называется случайная величина . ч [ 1, UJ Є х, . 1» = і (1.20) 10, иначе. Утверждение 1.1 (о свойствах индикаторов событий). Математическое ожидание индикатора события х Є X равно вероятности события х, а дисперсия индикатора — произведению вероятности события х на вероятность события хс. Доказательство. Запишем формулу для математического ожидания случайной величины \x(uS)\ Е(1 М) = ХЛМРИ = рН = РМ ШЕО, СОЄХ Учитывая, что T)(1X(LJ)) = Е(1х(и) ) — (E(1X(LJ))) , получим T (1X(LJ)) = Р(ж) - (Р( ))2 = Р(ж) (1 - Р(ж)) = Р(ж)Р(жс). П Обозначим 1ж(а;) = 1Х. Для удобства дальнейших выкладок запишем вероятность события х через его надвероятность Р(ж) = Рх Определение 1.9. Ковариацией множества событий X С X (плет-ной ковариацией X) называется величина Covx = Е(П(І -ДА Х Щ, \хЄХ J 1, иначе, — центральный смешанный момент Х-го порядка индикаторов событий из X. Из определения 1.9 очевидно следует, что Cov{0} = 1 — ковариация пустого множества событий равна і J Cov j = Cov = О, X Є X — ковариация любого моноплета событий равна 0. Определение 1.10. Арной ковариацией множества событий X С X называется величина Kovx = Е ( П 1. - П Рх, х ф, кхеХ / хеХ (1.21) 0, иначе. (1.21) можно еще переписать как Р ( П х] - П Р( ), X ф 0, \хеХ / хеХ Kovx = (1.22) 0, иначе — разность между вероятностью пересечения и вероятностью независимого пересечения событий из X. Из определения 1.10 следует также КОУЩ = 0 — арная ковариация пустого множества событий равна 0; Kov j = Kovrc = 0, х Є X зо — арная ковариация любого моноплета событий х Є X также равна нулю.
Прямая эвентологическая задача Марковица
На практике при статистической оценке Э-распределения множества событий ненулевые оценки имеют лишь некоторые вероятности событий из Э-распределения р = {р(Х), X С X}, а именно, тех событий, которые наступали в данном эксперименте. Таким образом, статистические оценки Э-распределений и Э-распределения р оптимальных портфелей событий из эффективной границы Э-зонтика Марковица имеют одинаковое свойство: часть вероятностей в этих Э-распределениях равна нулю. Следовательно, реальные Э-распределения событий, описывающих кредитоспособность клиентов банка, имеют тот же вид, что и Э-распределения оптимальных портфелей событий в обратной Э-задаче Марковица. Это позволяет утверждать, что решение этой эвентологической задачи вполне практично.
Сформулируем основные понятия теории нечетких множеств в эвентологии, рассмотренные впервые в работах [10], [12] и [49]. Пусть кроме множества избранных событий X в вероятностном пространстве (Q, jF, Р) задано еще конечное множество 9Л С 9\ Определим матрицу избранных случайных событий, как множество событий Хш = {х , х Є X, /х Є ЭДТ}, где ж Є 3 — измеримые относительно алгебры Э случайные события. Таким образом, каждая пара (ж, //) Є X х ЭДТ определяет одно случайное событие Хц С Q. Введем обозначения для произвольных подмножеств, образующих эту матрицу, иными словами, для произвольных подматриц этой матрицы Хцг = \х х Є X, /І Є VK} С Хдя, где X С X, W С ШТ. Столбцы такой матрицы имеют вид /i = {х х ЄХ} С ХШі а строки хт = { , / Є 9Я} С Хдя. Определим теперь операторы «создания множества событий»: « » и « ». Действие оператора « » на событие х Є X создает множество событий х = {хц, /лвЩ, (2.19) образованное событиями х1Л С Q, наступление которых те, кто имеют имена /І G 9Л связывают с тем, что имеет имя х Є X. Другим оператором « » можно подействовать на некое fi Є 9Я, чтобы создать множество событий /2 = { , ж Є X}, (2.20) образованное событиями ж СО, наступление которых тот, кто имеет имя (і Є 371, «связывает» с теми, что имеют имена a; G 1. Множества событий (2.19) и (2.20) существенно отличаются друг от друга: первое порождено множеством ЭДТ, а второе — множеством X. Оператор « » называется ЭДТ-оператором, а оператор « » — Х-оператором «создания множества событий». Принцип Минковского позволяет превратить операторы « » и « » в операторы «создания множества событий по Минковско-му», обозначаемые «( )» и «( )» соответственно, распространив действие этих операторов с элементов х Є X или /І Є ЭДТ на множества этих элементов X или ЭД1, а также на их произвольные подмножества X G X или W С УЛ стандартным образом: X = {ж, х Є }, X = {ж, х Є X}; ШГ = {Д, /х Є ШГ}, PF = {/2, /І Є И }. Легко показать эквивалентность следующих обозначений: И Н х = ж, ж=х. По аналогии с классическим вероятностным пространством (Q,J,P), определим классическое вероятностное пространство ЭДТ-нечетких событий — это ШТ-множество: (ПДР:) = {(П,?,„Р:), ілЄШ} а вероятность Э -измеримого ШТ-нечеткого события х Є) будет определяться Подобным образом описывается и классическое вероятностное пространство 36-нечетких событий — это 1361-множество (ПДР:) = {(П, ,Р:), хеХ}, вероятность -измеримого -нечеткого события в котором определяется формулой: р:й4Ер:м хЄХ В эвентологическом описании нечетких случайных событий фигурируют два вида событий-террасок — подмножеств Q. При фиксированной /І Є ЭДТ множество событий /х = {ж , ж Є X}, порождает события-терраски первого вида ter„P0 = П „ f] х% ХСХ, хеХ хеХс где хс = Q — х , Xе = X — X. События-терраски первого вида для каждого фиксированного /І Є ШТ попарно не пересекаются: Ьх„{Х) П ter„(y) = 0 & ХфУ и образуют разбиение пространства элементарных событий = Eter x) хсх К событиям-терраскам второго вида можно отнести terx(W) = П х, р а, С ШГ, порожденные при фиксированном ж Є X множеством событий х = {х , /І Є 971}. Как и в предыдущем случае, события-терраски второго вида для каждого фиксированного х Є X попарно не пересекаются и образуют разбиение пространства элементарных событий: WeWl Эвентология нечетких случайных событий имеет дело и с нечеткими событиями-террасками. Причем нечеткие события-терраски тоже могут быть двух видов, которые отличаются друг от друга множествами, порождающими «нечеткость» событий-террасок. «Нечеткость» событий-террасок первого вида порождается множеством ШТ, а второго — множеством X. События-терраски первого вида ter X), порождаемые соответственно множествами событий Х = {х , х Є X} — нечеткими событиями т = Х все вместе, когда /І Є ШТ.
Распределение единичного капитала в портфеле ценных бумаг
Каждый инвестор стремится получить определенную прибыль с вложенных в некоторый портфель ценных бумаг финансовых средств. При этом его природным желанием является стремление свести риск понесения убытков к минимуму. Пусть событие X Є X означает, что «ценная бумага х доходна». Тогда всему портфелю ценных бумаг однозначно ставится в соответствие портфель событий. Индикатор события х Є X — 1х(ш) характеризует доходность ценной бумаги «ж», а его математическое ожидание и дисперсия — среднюю доходность и риск соответственно. Предположим, что инвестор располагает единичным капиталом, который он хочет распределить между ценными бумагами так, чтобы обес- печить среднюю доходность всего портфеля равную (а) и свести при этом риск к минимуму. Обозначим а(х) — доля единичного капитала, вкладываемая в ценную бумагу «ж». Рассмотрим случайную величину хєХ которая очевидно будет характеризовать доходность портфеля ценных бумаг при некоторых фиксированных долях а(х). Тогда математическое ожидание E(l ) характеризует среднюю доходность портфеля, а дисперсия D(lj) — его риск. Учитывая совокупность условий задачи, получим: Е(1г) = Е а(х)Р(х) = (а); хєХ І D(!x) = Е Е Ф)а(у) Kovxy - min; хєХуЄХ a X) a(x) = 1. хєХ
Данная задача есть ничто иное, как прямая Э-задача Маркови-ца, решение которой — вектор а = {а(ж), х Є Х}} будет являть собою оптимальный набор долей распределения единичного капитала в портфеле ценных бумаг.
Пусть некоторый акционер уже распределил единичный капитал в портфеле ценных бумаг. По определенным причинам он не хочет менять доли а(х) единичного капитала, вложенного в ценную бумагу «х». Предположим, что акционер имеет скрытые рычаги влияния на руководство компаний, выпускающих акции, которые входят в портфель ценных бумаг (иными словами он может в некоторой степени влиять на доходность акций). Тогда акционер ставит перед собой задачу при фиксированном среднем доходе с портфеля ценных бумаг, минимизировать риск понесения убытков.
Пусть событие х Є X означает, что «ценная бумага х доходна». Тогда всему портфелю ценных бумаг однозначно ставится в соответствие портфель событий. Индикатор события х Є X — 1X(CJ) характеризует доходность ценной бумаги «ж», а его математическое ожидание и дисперсия — среднюю доходность и риск соответственно. Рассмотрим случайную величину 1х = 2а(х)1х, хєХ которая очевидно будет характеризовать доходность портфеля ценных бумаг. Тогда математическое ожидание Е(1х) характеризует среднюю доходность портфеля, а дисперсия D(lj) — его риск. Учитывая совокупность условий задачи, получим: Е(1г) = Е а(х)Р(х) = (а); хєХ І D(!x) = Е Е а(х)а(у) Kov - min; хєХуЄХ -г X) а(х) = 1. хєХ Для получения минимальных убытков при некоторой фиксиро 90 ванном на уровне (а) средней доходности портфеля ценных бумаг, акционер должен решить обратную Э-задачу Марковица. Решения обратной Э-задачи Марковица представляет Э-распределение р = {р(Х), X С X}, которое полностью характеризует вероятность доходнодности каждой ценной бумаги «ж».
Руководство фирмы может быть удовлетворено или нет результатами производственной деятельности каждого сотрудника фирмы. В первом на поощрение персонала фирмы выделяется единичный капитал. Перед руководством встает задача, как распределить этот единичный капитал на поощрение персонала, если каждый сотрудник характеризуется вероятностью того, что руководство фирмы удовлетворено результатами его производственной деятельности. Причем каждый раз премия выдается только тем сотрудникам, которые достигли удовлетворительных, с точки зрения руководства фирмы, результатов, а остальные сотрудники премии не получают. Иначе говоря, в качестве поощрений выплачивается не весь единичный капитал поощрения, а лишь его часть, соответствующая удовлетворительно работающей в настоящее время части производственного коллектива. Более того, руководство фирмы, вообще не склонно постоянно выплачивать весь единичный капитал поощрения, справедливо полагая, что премии нужно рассматривать как награду, а наград не могут быть достойны все сразу. Однако, выплата поощрений зависит от случая: от того, как на сей раз удается выполнить свои обязанности сотрудникам фирмы. Поэтому доля, которую составят от единичного капитала выплачиваемые вознаграждения — случайная величина, и руководству ничего не остается делать как зафиксировать ее на некотором оптимальном (с их точки зрения) уровне среднее значение этой доли. Это значение, с одной стороны, не может быть слишком высоким, чтобы не «развратить » персонал, с другой стороны, — слишком низкой, чтобы не перестать оказывать стимулирующее воздействие на сотрудников. Кроме того, колебания реальной суммы выплачиваемых поощрений вокруг оптимальной средней доли, по мнению руководства, должны быть, по возможности, минимальны из тех же соображений. В рамках этих довольно естественных ограничений руководству требуется решить следующую задачу: определить для каждого сотрудника его собственную долю в единичном капитале поощрения, на которую он может рассчитывать в случае удовлетворительной работы.
Свяжем с каждым работником фирмы по одному событию. Взятые все вместе эти события образуют конечное множество событий Х+, мощность которого равна численности персонала фирмы \3t+\ = N. Так что под jfc__ можтю также? понимать и множество всех сотрудников фирмы, хотя сотрудники здесь нас интересуют лишь с точки зрения удовлетворительного выполнения своих производственных обязанностей, т.е. с точки зрения наступления или не наступления соответствующих им событий из Х+. Пренебрегая этими деталями, будем понимать под Х+ и множество событий, и множество соответствующих им сотрудников.
Наступление события х+ Є Х+ означает, что в данный момент соответствующий сотрудник достиг, с точки зрения руководства фирмы, удовлетворительных результатов. Одновременное наступление событий, образующих ПОДМНОЖеСТВО УС-\- С 3C-\-J означает, что в данный момент Х+ сотрудников фирмы работают удовлетворительно. Причем, если сотруднику х+ Є Х+ назначена премия в размере а+(ж+), то доля единичного капитала, выплачиваемого подмножеству «удовлетворительных» сотрудников Х+ С +, очевидно будет равна — одному из возможных значений случайной величины Х+ЄХ+ — доли выплачиваемых поощрений. Средняя доля выплачивае мых поощрений очевидно равна математическому ожиданию этой случайной величины: Е(1Ї+И) = J2 а+(х+)Р(х+), Х+ЄХ+ где Р(ж__) — вероятность х+ Є +. Решение прямой эвентологической задачи Марковица позволяет руководству фирмы найти оптимальное распределение единичного капитала на поощрение персонала которое минимизирует дисперсию доли выплачиваемых премий при фиксированной средней доле (а+): Е(1х) = Е «+( +)Р( +) = Ю; Х+ЄХ+ (3.1) D(!x) = Е Е а+( +)а+(2/+) Kov +1/+ - mm;
Руководство фирмы может быть удовлетворено или нет результатами деятельности каждого сотрудника. Во втором случае с персонала в виде штрафов взимается единичный капитал. Перед руководящим составом фирмы встает задача, в каких долях взимать этот единичный капитал, если каждый сотрудник характеризуется вероятностью того, что начальство не удовлетворено результатами его производственной деятельностью. Причем каждый раз штраф взимается только с тех сотрудников, которые не достигли удовлетворительных, с точки зрения руководства фирмы результатов, а остальные сотрудники штрафом не облагаются. Иначе говоря, в качестве штрафов взимается не весь единичный капитал штрафов, а лишь его часть, соответствующая неудовлетворительно работающим в наше время сотрудникам. Более того, руководство фирмы, вообще не склонно постоянно штрафовать сотрудников всем единичным капиталом, справедливо полагая, что штрафы нужно рассматривать как наказание, а наказанию не могут подвергаться все сразу. Однако штрафование зависит от случая к случаю: от того, кому из работников фирмы на этот раз не удастся справится со своими служебными обязанностями. Поэтому доля, которую составят от единичного капитала взимаемые штрафы, — это случайная величина, и руководству ничего не остается делать, как зафиксировать ее на некотором оптимальном (с точки зрения руководства) уровне среднее значение этой доли. Оптимальная средняя доля взимаемых штрафов, с одной стороны, не должна быть слишком высокой, чтобы не «отпугнуть» персонал, с другой стороны, — слишком низкой, чтобы «карась не дремал». Кроме того, колебания реальной суммы взимаемых штрафов вокруг оптимальной средней доли, по мнению руководства, должны быть, по возможности, минимальны из тех же соображений. В рамках этих довольно естественных ограничений руководству требуется решить следующую задачу: определить для каждого сотрудника его собственную долю в единичном капитале штрафов, которой ему не избежать в случае неудовлетворительной работы.
