Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы исследования устойчивости линейных систем управления, их анализ и обобщение для исследования неустойчивости 13
1.1 Исследование устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления 13
1.2 Исследование устойчивости и неустойчивости дискретных линейных систем управления 17
1.3 Исследование локализации спектров матриц для исследования устойчивости и неустойчивости линейных систем управления 20
1.4 Описание неопределенности в линейных системах управления 33
Глава 2. Аналитические и графические методы исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных линейных систем управления 45
2.1 Аналитические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов 45
2.2 Графические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов 55
2.3 Критерий робастного поведения интервальных полиномов с двумя размахами неопределенности 70
2.4 Дискретные интервальные полиномы 80
Глава 3. Методы исследования робастной устойчивости и неустойчивости неинтервальных линейных систем управления 85
3.1 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов 85
3.2 Критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности 93
3.3 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований 100
3.4 Робастная к-стабилизация для объектов, описанных одномерными передаточными функциями 110
3.5 Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов 113
Глава 4. Анализ методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости семейств матриц линейных систем управления 120
4.1 Вспомогательные сведения, постановка проблемы и обсуждение 121
4.2 Робастное поведение семейств матриц с k-диагональным преобладанием 125
4.3 Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью, заданной матричными нормами 129
4.4 Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления 134
Литература 143
Приложение 149
- Исследование устойчивости и неустойчивости дискретных линейных систем управления
- Графические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов
- Критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности
- Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью, заданной матричными нормами
Введение к работе
Актуальность темы. Важной проблемой современного промышленного производства является развитие научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем (СТС). В первую очередь, это касается использования в качестве объекта исследования адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования безопасности СТС.
Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы, напрямую связанных с безопасностью эксплуатации реальных технических систем, является устойчивость.
Проблемы устойчивости рассматривались в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в III и II столетиях до н.э. Однако, первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести; достаточные условия Лагранжа (1788г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.
Начиная с середины XIX века теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в это время были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. С ростом мощности и быстроходности паровых машин эти машины были склонны к неустойчивости и самораскачиванию, что часто приводило к авариям.
В конце 1950-х годов выяснилось, что существующая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление полётом и наведением ракет. В других областях имеется масса причин, мешающих применять математическую теорию управления. В каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Таким образом, с 1950-х годов начала формироваться теория, позволяющая исследовать системы с неопределенностью (робастное управление, робастная устойчивость).
Исследование устойчивости семейств полиномов с интервальной неопределенностью впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако, он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов разработал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что явилось заметным продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему,
полученную в 1988г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin), и графический критерий робастной устойчивости интервальных полиномов, доказанный в 1990г. (Б.Т. Поляк, ЯЗ. Цыпкин).
К задачам робастной устойчивости относятся определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Выш-неградский), и получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.
Основными подходами к исследованию робастной устойчивости систем управления являются теория возмущений, ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк), вероятностный подход (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.). Исследованию задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, ЯЗ. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, А.Б. Куржанский, В.Н. Афонасьев, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.
Актуальность исследований робастной устойчивости и неустойчивости обусловлена повышающимися требованиями к эффективности, точности и качеству управления процессами в условиях неопределенности. Это ставит высокие требования к методам анализа и синтеза систем управления, функционирующих в условиях неопределенности. Как правило, необходимо обеспечить устойчивость проектируемой системы к изменению неопределенных параметров в широких пределах. Для этого необходимы методы, позволяющие определять максимальный размах неопределенности, при котором система остается устойчивой или неустойчивой.
Наличие неустойчивости в управляемой системе, как правило, означает наличие немонотонных зависимостей от параметров системы. Неустойчивость в поведении системы может быть связана как с переходными состояниями системы, так и с неопределенностью входных данных. Неустойчивость может оказывать влияние, как на скорость протекания процессов, так и на появление шумов. Исследование робастно неустойчивых режимов позволяет проектировать новые быстродействующие и экономичные регуляторы и дают эффективные решения нерешенных инженерных задач.
Диссертационная работа посвящена развитию аналитических и графических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов и матриц. Рассмотрено применение теоретических результатов к известным математическим моделям систем управления.
Целью диссертационного исследования является разработка методики комплексного анализа робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления СТС с различными видами описаний неопределенности и адаптации этих методов к инженерной практике.
Объектом исследования является функционирование сложных технических объектов, описываемых линейными управляемыми динамическими системами.
Методы исследований. В диссертационном исследовании использованы классические методы теории устойчивости и методы робастной теории устойчивости (при наличии неопределенности в описании систем). Также применены методы математического анализа, математического программирования, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры и прикладной математики.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на классических достижениях в теории устойчивости, робастной теории и новейших результатов по неустойчивости, корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц, функциональный анализ, дифференциальные уравнения.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления СТС с различными описаниями неопределенности, детерминированными и стохастическими методами. Получили развитие известные критерии робастного поведения непрерывных и дискретных систем. Разработаны критерии и процедуры, расширяющие область неопределенности исходного семейства при сохранении принадлежности определенному классу неустойчивости. Применение методики анализа динамики поведения СТС рассмотрено на примере быстроходного катера.
Практическая значимость. Созданы новые модификации и обобщения критериев исследования робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем, позволяющие проводить анализ робастного поведения динамических систем для интервальных и неинтервальных типов неопределенности. Критерии дают возможность выполнять исследования как в пространстве коэффициентов характеристических полиномов, так и в пространстве коэффициентов матриц. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай, а разработанные на их основе алгоритмы с динамической визуализацией позволяют исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные результаты можно использовать для разработки более эффективных систем управления, что даст возможность снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Исследование классов неустойчивости дает информацию при синтезе систем управления, а также решает задачу определения близости устойчивых и неустойчивых режимов. Учитывая, что не-
устойчивые состояния зачастую влияют на скорость протекания процессов, обеспечивают переход к другому устойчивому состоянию при минимальных затратах энергии и обладают рядом других уникальных качеств, это явление может стать основой новых технических решений в управлении динамикой СТС.
Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводящейся в КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова, а также при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете прикладной математики КубГУ. По результатам диссертации опубликованы учебные пособия.
Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли результаты, которые получены лично автором, а также разработанные в соавторстве, что отражено в ссылках. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие обозначения.
Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 5-ти международных и 1-й региональной конференциях, проходивших в Дубне, Новороссийске, Пущино, Ростове-на-Дону, Саратове, Суздале. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, а так же на научных семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, общий объем вклада автора составляет 2,08 п.л. Из них 5 в изданиях, рекомендованных ВАК, общий объем вклада автора в них составляет 1,3 п.л. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул, теорем и определений. Объем диссертации 148 страниц. Список литературы содержит 113 наименований. Приложение содержит 10 рисунков. Объем приложения 35 страниц.
Исследование устойчивости и неустойчивости дискретных линейных систем управления
Здесь рассматриваются матричные методы исследования устойчивости систем первого приближения, которые не используют коэффициенты характеристического полинома для определения положения его корней или прямого вычисления собственных чисел матрицы системы. Как и выше, будем искать методы, которые можно обобщить для исследования неустойчивости линейных систем дифференциальных уравнений.
Известно, что для систем большого порядка построение характеристического уравнения требует для прямого развёртывания определителя характеристической матрицы огромного числа операций (порядка п\), время исполнения которых на современной вычислительной технике слишком велико для прикладных задач. Даже при использовании специальных подходов вычисления коэффициентов характеристического полинома требуется не приемлемое число операций (порядка П ) для систем из нескольких десятков или сотен тысяч уравнений, которые появились в инженерной и вычислительной практике. Более того, для сложных многокомпонентных систем большого порядка само построение характеристического многочлена нуждается в ещё большем числе 7 арифметических операций (порядка П ). Ясно, что уже для небольших У1 для численного решения такой задачи нет перспектив. Для дальнейшего будем называть квадратную матрицу устойчивой, если все её собственные числа локализованы в левой полуплоскости. Если специально не оговорено, то далее все матрицы вещественные и квадратные. Число методов, не использующих коэффициенты характеристического полинома или вычисления самих собственных чисел для исследования устойчивости матриц не велико. Однако, одни решают частные случаи, а другие больше имеют теоретический интерес, а в вычислительной практике не удобные или не экономичные. Общая теорема об устойчивых матрицах принадлежит Ляпунову [65]. Теорема (Ляпунов). Матрица А Є С устойчива тогда и только тогда, когда существует отрицательно определенная матрица н такая, что матрица АН + НА положительно определена. Что эквивалентно разрешимости матричного уравнения которое называют уравнением Ляпунова. Следующая теорема принадлежит О. Таусски [110]. Теорема (Таусски). Пусть А Є С предположим, что характеристические числа а.(І = 1,...,п) матрицы А таковы, что і,к=\ Тогда существует единственная невырожденная эрмитова матрица Н такая, что выполняется (1.9). Кроме того, Н имеет столько положительных характеристических чисел, сколько характеристических чисел с положительными действительными частями имеет матрица А. Методы решения этих уравнений основаны на приведении матрицы А к форме Шура [8]. Из формы Шура легко определяется спектр матрицы А, что частично обесценивает метод, если нас интересует только исследование устойчивости и неустойчивости без вычислений собственных значений, т.е. только их число в левой и правой полуплоскостях. Таким образом, следуя теории надо найти решение Н матричного уравнения (1.9) и проверить отрицательную определенность найденной матрицы. Если это уравнение не имеет решения то матрица А неустойчива. Тоже следует, если Н не является отрицательно определенной. Однако, рассмотрение численных методов, решающих матричные уравнения, выходит за рамки данного исследования. Кроме того, вычисление матрицы Н дает пример, когда численная реализация часто или невозможна, или не экономична. Хотя в данном случае сам характеристический полином не строится. Таким образом, теоремы Ляпунова и Таусски позволяют получить информацию о количестве собственных чисел с отрицательными и положительными вещественными частями, но они требуют выполнения условия (1.10), которое не ясно как проверить без вычисления спектра матрицы А. Методы решения матричных уравнений в связи с проблемой устойчивости освещены в [74] и выходят за рамки настоящих исследований. Имеется, чуть ли не единственный, итерационный метод оценки границ локализации корней характеристического уравнения линейной стационарной системы, позволяющий установить, в частности, находятся ли все собственные числа матрицы системы в левой комплексной полуплоскости или нет. Причём анализ на устойчивость или неустойчивость матрицы (вещественной или комплексной) проводится за приемлемое время там, где другие подходы вообще не применимы. В [88] достаточно подробно изложен этот метод локализации спектров матриц В.И. Зубова, развитый его учениками. Сущность метода состоит в следующем. Пусть матрица А системы первого приближения имеет собственные числа А, лежащие в некоторой допустимой области G (под областью здесь и ниже понимаем замкнутое, односвязное множество) на плоскости комплексного переменного. С помощью дробно-линейного преобразования этой области в круг единичного радиуса с центром в нуле по матрице А строится специальная матрица В. После чего проверяется условие Вк - 0, к - оо , которое эквивалентно тому, что все числа A GG. В инженерной практике обычно применяют дробно-линейные отображения в круг единичного радиуса следующие области: полуплоскость, круг, «усеченный» угол, прямоугольник, пересечение кругов, полуполоса. Известно, что главное отличие использования метода В.И. Зубова для этих областей касается вычислительного аспекта: для одной группы областей (полуплоскость, прямоугольник, полуполоса, «усечённый» угол) требуется вычисление обратной матрицы, а для другой (круг, пересечение кругов) -нет. Очевидно, выбор области для поиска локализации спектра матриц прямо следует: во-первых, из принципиальной возможности дробно-линейного отображения в круг этой области и, во-вторых, следует из инженерной практики. При наличии кратных собственных чисел матрицы А, не имеющих элементарных делителей, т.е. наличии жордановых клеток у матрицы А размерности не менее двух, элементы последовательности В могут вначале расти, а затем стремиться к нулю. Тоже может случиться, если числа спектра находятся в области G, но близки к границам. Отметим так же, что итерационную последовательность В можно заменить последовательностью В . Число арифметических операций этого метода порядка П , что неизмеримо меньше, чем число таких операций для методов, для которых предварительно строится характеристический многочлен матрицы системы. Кроме того, метод одинаково хорошо работает с вещественными и комплексными матрицами. Использовать этот метод для исследования матриц на неустойчивость можно, но использовать его для проверки принадлежности их характеристических многочленов классам \П,к)-эквивалентности не удаётся. Далее о таких матрицах будем говорить, что они принадлежат классу (т?, Аг) -эквивалентности матриц. Это объясняется тем, что сходимость степеней В к нулевой матрице эквивалентно локализации всего спектра исходной матрицы в рассматриваемой области, а расходимость означает только наличие одного или нескольких собственных чисел на границе или вне области. Установить количество чисел спектра матрицы внутри и вне области описанным методом нельзя. Имеет место красивая оценка, которую в общем случае получил Гирш [7, 14].
Графические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов
Следует заметить, что для сферических семейств не существует аналогов теоремы Харитонова или его обобщений на неустойчивые интервальные полиномы: робастное поведение такого семейства не определяется принадлежностью классам \У1,к) эквивалентности конечного числа элементов семейства полиномов. Ограничения на масштабные множители ОС ОС, в теореме 3.7 удается снять за счет непрерывности и ограниченности что позволяет обобщить эту теорему на произвольный эллипсоид коэффициентов. Кроме того, можно построить подобные графические критерии для семейства полиномов с описанием неопределенности комплексных коэффициентов А. вида: Рассмотрим пример робастного поведения семейства полиномов, мультилинейно зависящих от параметров: Эта задача значительно сложнее, чем рассмотренные выше. Так, область S\CD) оказывается, вообще говоря, невыпуклой, а ее границы порождены не только ребрами Q. Они могут быть криволинейными. В некоторых частных случаях задачу можно упростить. Например, если интервалы неопределенности для Т. не перекрываются, т.е. то — многоугольник с 2/ ребрами, допускающими явное описание. Поэтому задача робастной устойчивости или неустойчивости в этом случае может быть конструктивно решена. Таким, образом, можно - сделать вывод, что различные типы неопределенности, и различные виды ограничений на неопределенные параметры полиномов приводят к большому разнообразию форм областей их значений. Однако многие задачи могут решаться единообразно на основе обобщенного принципа исключения нуля и применения графических критериев устойчивости таких, как критерии Михайлова и Найквиста и их обобщения на классы (п,к)- эквивалентности, которые построены выше. Однако существует много задач, где описания неопределенности в коэффициентах таковы, что множество S\(D) построить аналитически не удается и остается только вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов, который обсуждается ниже в п. 3.5. Разработаны подходы [63] для исследования робастного поведения интервального семейства.дискретных полиномов на основе принципа исключения нуля и его обобщения для исследования робастной неустойчивости, т.е. для проверки интервального дискретного семейства полиномов на принадлежность классу (П,к)- эквивалентности. При к = О получим робастно устойчивое семейство, а при к — 1, П - робастно неустойчивое. Эта методика вполне пригодна и для других семейств полиномов, если удаётся построить множество значений годографов S( CO) для всех параметров Например, для интервального семейства дискретных полиномов Т1-го порядка - это многоугольник с 2?7 + 2 рёбрами, который, начинаясь с отрезка при СО = 0, трансформируется при 60 О в многоугольники с числом сторон от 2 до LYI + 2 и «поворачивается» при изменении СО. Теорема Харитонова и её обобщения здесь не работают. Остаётся строить S(cd) и выводить формулы для вычисления радиуса устойчивости или к -радиуса неустойчивости. Конечно, можно использовать и вероятностный подход, в частности метод Монте-Карло. Однако, для аффинного семейства дискретных полиномов верны рёберная теорема для исследования робастной устойчивости и её обобщение для исследования неустойчивости в соответствующих формулировках. Кроме того, максимальный размах неопределённости принадлежности аффинного семейства дискретных полиномов классу ІП, kj- эквивалентности можно найти не только графически, но и вывести формулы, аналогичные формулам для интервальных дискретных семейств (см. п. 2.4. множество S\CD) для аффинного семейства является 2/-угольником, где множество параметров qeQ, QczR1). Таким образом, как и в случае исследования на робастную устойчивость семейств полиномов, так и в случае проверки на робастную неустойчивость различные структуры неопределённости и различные ограничения на параметры приводят к большому разнообразию множества значений годографов S(&) и их можно исследовать с помощью аналитических и графических критериев и вероятностного подхода, как в непрерывном, так и в дискретном случаях. В этой части главы рассматривается развитие и обобщение преобразований Неймарка [71] на классы (П, к) -эквивалентности. Определение 3.4 Любое линейное преобразование B—DA, коэффициентов полинома из класса (П, к) - эквивалентности оставляющее его полиномом того же класса будем называть допустимым линейным преобразованием. Здесь: A,BsRn, А = (а0,...,ап)Т, B = (bQ,...,bn)T, D — матрица из Rnxn. где ОС 0 — произвольное положительное число, являются допустимыми линейными преобразованиями. Это вытекает из того, что если к корней полинома J\S) лежат в правой полуплоскости Re5 0, а П — к - в левой Re 0 то корни полиномов F(s) = GCf(s) и F(s) = f(0Cs) при произвольном положительном числе ОС О также лежат в этих полуплоскостях комплексного переменного в указанном числе с учетом кратностей. Если же ОС 0 или ОС комплексное, то второе преобразование в (3.33) уже не является допустимым, т.к. корни нового полинома поворачиваются и могут поменять свою локализацию относительно мнимой оси.
Критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности
Как известно, задача исследования робастной устойчивости или неустойчивости заключается в выяснении тех областей технических параметров изучаемой системы, которые соответствуют заданному типу устойчивости или неустойчивости системы, а точнее, областям расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. Считается [50], что понятие динамической безопасности по отношению к изучаемому явлению заключается в асимптотической устойчивости стационарного или расчетного режима при любых значениях допустимых параметров, принадлежащих множеству (3.38), в случае же неустойчивости понятие динамической безопасности заключается в знании качественной картины распределенш корней полиномов при любых наборах коэффициентов их множества 1.
Таким образом, исследование динамической безопасности изучаемого процесса является одной из частных задачробастного поведения систем. Ниже, на основе теоремы Харитонова, её обобщения на неустойчивый «ящик» полиномов и разработанного выше метода допустимых линейных преобразований коэффициентов показано, что для некоторых линейных преобразований коэффициентов интервальных полиномов из класса (п,к)- эквивалентности удается сохранить преобразованные полиномы интервальными полиномами из того же класса эквивалентности. Однако, в общем случае, при преобразованиях такого рода интервальные полиномы из класса (П,к)- эквивалентности, переходя в выпуклые множества полиномов из класса (п,к) — эквивалентности, могут терять некоторые свойства интервальности, например, угловые полиномы не переходят в угловые полиномы. Этими преобразованиями удается расширить множество всех значений коэффициентов характеристического полинома, при которых исследуемая система асимптотически устойчива или неустойчива. Тем самым облегчается решение общей задачи робастного поведения линейных систем управления. Напомним обобщение теоремы Харитонова для интервального полинома, с вещественными коэффициентами в простейшем варианте о том, что интервальный полином принадлежит классу \П,к - эквивалентности, тогда и только тогда, когда линейные политопы, соответствующие четырем сторонам прямоугольника с вершинами из угловых полиномов — все из класса (п,к) — эквивалентности. Для семейств интервальных полиномов из класса \П,к)- эквивалентности справедливо следующее утверждение. Теорема 3.13. Пусть интервальный полином F(s) принадлежит классу (п,к) эквивалентности, и F(s) - образ семейства полиномов F(s) после преобразования множества его коэффициентов QBQC помощью линейных допустимых преобразований (3.33), (3.34). Тогда: а) семейство полиномов F(jS) - тоже интервальное; б) угловые полиномы для интервального семейства полиномов F(jS) и линейные политопы, соответствующие сторонам прямоугольника годографов FyJQ)), 0 У оо, после указанных-преобразований переходят в полиномы из семейства F\S) с такими же свойствами. Действительно, во-первых, угловые полиномы p.(s),i = 1,4 интервального полинома F(s при допустимых линейных преобразованиях (3.33 - 3.34) их коэффициентов остаются полиномами того же класса (п, к) -эквивалентности и переходят в угловые полиномы преобразованного интервального полинома. Во-вторых, линейные политопы atp.(s)+Q—a)q .(s), i&j, /,./ = 1,4, 0 а 1, соответствующие сторонам прямоугольника, переходят при этих линейных преобразованиях в линейные политопы из этого же класса (п,к)- эквивалентности. Кроме того, очевидно интервалы коэффициентов переходят в интервалы после таких преобразований: aat ССа. аа{, alat а1 а. aiai. Поэтому, интервальный полином F\S) переходит в интервальный F{s) и интервальный полином, полученный после этих преобразований остается в классе (п,к)- эквивалентности (см. рис. 3.5). Таким образом, в теореме 3.13 достаточно требовать принадлежности линейных политопов классу (п,к)- эквивалентности, и интервальный полином F(s) при указанных линейных преобразованиях остается интервальным полиномом из класса (п, к) - эквивалентности. В частности, при к = 0 интервальный полином Гурвица переходит при этих преобразованиях в интервальный полином Гурвица. Для интервального семейства полиномов можно сформулировать и доказать следующее утверждение. Теорема 3.14. Пусть: а) А - множество коэффициентов интервального семейства полиномов F{s) из класса (п,к)- эквивалентности; б) D — матрица, допустимого линейного преобразования коэффициентов полинома (3.33 - 3.37). Тогда множество коэффициентов В = [JJDA образует интервальное семейство полиномов F{S) из того АеА же класса, а полиномы соответствующие сторонам прямоугольника годографов переходят в полиномы с таким же свойством. Образы угловых полиномов могут «перейти» на стороны прямоугольника и уже не быть угловыми (см. рис. 3.6). Сформулируем полученные выше результаты в более общем виде. Теорема 3.15. [100] Пусть: а) А — произвольное выпуклое множество коэффициентов полиномов из класса (п,/с)— эквивалентности; б) D — матрица, допустимого линейного преобразования. Тогда множество коэффициентов В преобразованных полиномов, являющихся полиномами из того же класса В = [JDA, есть выпуклое множество. Однако образы вершинных полиномов могут не быть вершинными полиномами. Построенные выше допустимые линейные преобразования коэффициентов полиномов из класса (П,к)- эквивалентности (3.33 — 3.38) зависят от одного, двух или трех произвольных положительных параметров. Варьирование этих параметров, позволяет получить различные выпуклые множества коэффициентов полиномов из класса (п,к) эквивалентности.
Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью, заданной матричными нормами
В этой части главы исследуется принадлежность семейств матриц из А и С классам ln,k) -эквивалентности (мы будем так говорить как и выше, имея в виду, что этим классам принадлежат характеристические полиномы этих матриц). Однако, удалось найти только достаточные условия принадлежности семейств матриц классам ( П,к\ эквивалентности. Пусть семейств матриц А, где номинальная матрица А„ принадлежит классу in,к)-эквивалентности, а для определённости норма здесь - спектральная норма. 4.3.1. Определение 4.6. Если семейство матриц А из (4.17), где А принадлежит классу ІП, к) -эквивалентности, принадлежит тому же классу эквивалентности при любом размахе неопределенности у, у у , то у называется К -радиусом робастного поведения семейства матриц А или кратко к -радиусом семейства матриц. Задача вычисления комплексного к -радиуса (возмущения А -комплексные), как и в случае робастной устойчивости такого матричного семейства ( к — 0J, оказалась проще, чем вычисления вещественного к -радиуса, когда матрица А и матрица возмущений А вещественные. Докажем следующее утверждение. Теорема 4.4. [26] Пусть для двух матриц А и В из С выполняется: матрица А принадлежит классу ( П, к ) -эквивалентности, а матрица А + В- нет, т.е. либо А + В из другого класса эквивалентности, либо А + В имеет собственные числа на мнимой оси. Тогда найдётся такое число Л, 0 Я 1, что А + ЛВ имеет собственное число на мнимой оси, т.е. найдётся CD Є R, что Доказательство. Во втором случае, когда А + В имеет собственное число на мнимой оси, означает, что Л = 1 и теорема доказана. Рассмотрим первый случай, когда А + В из другого класса эквивалентности, например, из класса ІУІ, ТП) -эквивалентности и k ч YYI. Как известно, полином непрерывно зависит от параметра Л и можно использовать теорему о непрерывной зависимости корней полинома от параметра. При переходе от локализации корней k справа и П — k слева от мнимой ( Л = О J оси к локализации ТП справа и YI — TYI слева от мнимой оси у Л = IJ, по крайней мере один из корней находящийся слева или справа от мнимой оси обязательно перейдёт через мнимую ось на другую сторону. Теорема доказана. Сформулируем известное утверждение [26] в виде леммы, которое потребуется ниже. Лемма. Если матрица В є Спхп не вырождена, то при любом АєС , А О". (В) матрица В + А. тоже будет невырожденной. Если же А У, что В + А - вырожденная У СТ. (В ), то найдётся матрица А Є С матрица. Теорема 4.5. [47] Комплексный k -радиус семейства матриц А = А + А, АєС , А у, А» из класса \У1,к) -эквивалентности, вычисляется по формулам, записанным в одном равенстве Если же у у , то существует такое й) Є R, что для B = jo)E-A выполняется у в По лемме найдётся такое А Є С , А у, что det(B + A) = 0 . Последнее означает, что матрица А + А имеет собственные значения на мнимой оси, т.е. она неустойчива. Теорема доказана. Как следствие, при k = 0 [78] получим комплексный радиус устойчивости устойчивой матрицы А Є С для семейства матриц А + А с возмущениями А заданный матричной нормой , т.е. при к = 0: Выражение для вещественного К -радиуса у для простейшего случая, когда номинальная матрица А Є R устойчивая, возмущения А Є R и семейство А + А, робастно устойчиво при у 5s у было получено не давно. Оказывается для общего случая, когда номинальная матрица А из класса ( П,к\ эквивалентности формула для к — О переносится на случай к = 1, П, без изменения. Заметим, что порядок характеристического полинома блочной матрицы равен порядку своих блоков, т.е. П. Оптимизация по двум переменным, т.к. формула зависит от двух параметров: CDGR, ОСЄ(0,\\ (можно брать 0 й) +оо) и вьгаислять нужно, в отличии, от формулы комплексного радиуса, не крайнее меньшее сингулярное число (У., а второе 7 , за наибольшим значением О" . Очевидно, что для инженерной практики вычисление вещественного к -радиуса робастного поведения (к — 0 - устойчивое, к = 1, П - неустойчивое) матричного семейства (4.17), является, более трудной задачей, чем вычисление комплексного к -радиуса.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")