Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ математических методов моделирования объектов в современных информационных системах 9
1.1. Существующие модели представления знаний 9
1.2. Математические методы визуализации изображения 15
1.2.1. Сопоставление возможностей низкоуровневых графических библиотек для построения интерфейсов информационных систем 15
1.2.2. Принципы формирования изображения 17
1.2.3. Использование понятия фрейма для описания графических объектов 27
1.2.4. Аффинные преобразования 36
1.2.5. Базовые аффинные преобразования графических объектов 40
1.3. Задачи и направления исследований 51
ГЛАВА 2. Разработка модели фреймового представления объектов в алгоритме формирования трехмерного изображения 53
2.1. Представление объектов в алгоритме формирования трехмерного изображения 53
2.1.1. Базовые фреймы и матрицы 53
2.1.2. Модель формирования трехмерного изображения 57
2.2. Программная реализация предложенного алгоритма формирования изображения (авторские компоненты и модули) 61
2.3. Выводы 74
ГЛАВА 3. Обработка и структурирование данных в информационной системе по рентгенофлуоресцентному анализу 75
3.1. Требования к информационной системе 75
3.2. Классификация моделей зависимости интенсивности рентгеновской флуоресценции от химического состава вещества 77
3.3. Фреймовая модель данных и ее программная реализация 94
3.4. Компоненты для оперативного анализа БД 101
3.5. Выводы 106
ГЛАВА 4. Структурирование данных и программная реализация компьютерной обучающей системы 107
4.1. Требования, предъявляемые к разрабатываемой системе 107
4.2. Сравнения с аналогичными программами 108
4.3. Фреймовая модель информации в КОС 111
4.4. Обучающий модуль 113
4.5. Модуль, контролирующий уровень усвоения материала 115
4.6. Наиболее часто используемые модели тестирования знаний 117 :
4.7.0писание используемой в КОС модели тестирования 119
4.8. Использование КОС в учебном процессе ИрГУПС, ИГМУ и других вузов 121
4.9. Выводы 122
Заключение 123
Литература 125
Приложения 137
- Существующие модели представления знаний
- Сопоставление возможностей низкоуровневых графических библиотек для построения интерфейсов информационных систем
- Представление объектов в алгоритме формирования трехмерного изображения
- Классификация моделей зависимости интенсивности рентгеновской флуоресценции от химического состава вещества
Введение к работе
Актуальность работы. Программный комплекс современных информационных систем можно рассматривать как большую и сложную систему, а программный проект и его разработку как предмет исследования методами системного анализа и принятия решений. Важным этапом проектирования информационных систем (ИС) является семантическое или концептуальное моделирование данных [1]. Выбранная модель данных в значительной мере определяет эффективность создаваемых ИС, в связи с чем, всегда актуальными будут исследования по оптимизации структуры этих данных. Одной из наиболее универсальных моделей, легко адаптируемых к любой отрасли че-, ловеческой деятельности, является фреймовая модель. Понятие фрейма прекрасно подходит для представления знаний в обучающих системах и данных в информационных базах различной направленности и уровня сложности. Кроме того, объединение в структуре фрейма данных и действий над ними с учетом иерархии позволяет оптимизировать процесс алгоритмизации решаемой программным проектом задачи.
Целью работы являлось исследование и разработка способов структурирования данных на основе фреймового представления объектов в информационных системах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
разработать способы объединения во фреймовых структурах пространственного представления объектов и математических методов, обеспечивающих эффект трехмерности;
на их основе создать набор графических компонентов интерфейса, обладающих свойством трехмерности;
использовать фреймовое представление информационных структур в обучающих и информационных системах;
> применить созданный набор компонентов интерфейса при разработке дизайна информационных систем.
Объектом исследования являются методы структурирования данных в информационных системах.
Методами и средствами исследования являются методологические основы теории фреймового представления структур данных, методы объектного подхода (анализ, проектирование, программирование), методы оперативного анализа данных.
Научную новизну работы составляют следующие положения:
1. Предложена модель фреймового представления объектов в алгоритме
формирования трехмерного изображения, объединяющая слоты пространст
венного положения объекта и присоединенные процедуры, реализующие их
визуализацию. На основе разработанной модели создан набор визуальных
компонентов и модулей, не зависящий от версии среды Delphi.
Выполнена классификация уравнений связи, используемых для контроля химического состава вещества в промышленности, экологическом мониторинге и др., что позволило оптимизировать алгоритмы определения числовых параметров этих уравнений с помощью образцов сравнения.
Разработана структура БД о составе образцов сравнения, ориентированная на работу с таблицами с переменным числом атрибутов, что достигается применением фреймовой модели информации. Реализован модуль создания БД и компоненты для визуального выбора элементов группы образцов и оперативного анализа данных.
Создана компьютерная обучающая система «Эрудит», диалоговый интерфейс которой построен с помощью авторского набора графических компонентов, отличающаяся простотой создания учебных материалов в формате .rtf или .ppt за счет использования собственного языка мета - данных и возможностью формулирования в вопросах тестов ситуационных задач. Для
структурирования обучающего материала использовано фреймовое представление знаний.
Практическая значимость работы. Авторский набор визуальных 3D-компонентов и модулей, не зависящий от версии среды разработки, может быть использован при создании интерфейсов с пользователем диалоговых ИС.
Структура БД и модули ее создания и анализа данных могут быть использованы в любом аналитическом проекте по контролю химического состава вещества в промышленности, экологии и др.
Компьютерная обучающая система «Эрудит», в варианте локальной установки, на протяжении нескольких лет активно используется при проведении плановых занятий и для текущего и итогового контроля знаний студентов в Иркутском медицинском университете (ИГМУ). На базе «Эрудит» создана компьютерная обучающая система «Визуализированные тесты по инфекционным болезням». Она прошла испытания в ГОУ ВПО Московском государственном медико-стоматологическом университете Росздрава, ГОУ ВПО Тюменская государственная медицинская академия Росздрава, ГОУ ВПО Дагестанской государственной медицинской академии, ГОУ ВПО Астраханской государственной медицинской академии, ГОУ ВПО Башкирском государственном медицинском университете Росздрава, ГОУ ВПО Воронежской государственной академии имени Бурденко Росздрава, ГОУ ВПО Санкт-Петербургском государственном университете им. Павлова Росздрава. Работа получила гриф УМО для межвузовского использования на территории России.
Адаптированная к использованию в архитектуре файл-сервер, система «Эрудит» внедрена в учебный процесс кафедры информатики Иркутского государственного университета путей сообщения (ИрГУПС) для проверки остаточных знаний студентов.
На защиту выносятся:
> модель графического фрейма, объединяющего слоты пространствен
ного положения объекта и присоединенные процедуры, реализующие
их визуализацию;
> набор визуальных компонентов, обеспечивающих единство стиля оформления приложения, не зависящего от версии среды разработки;
структура БД, содержащая таблицы с переменным числом атрибутов; и модуль ее создания, включая компоненты для визуального выбора элементов группы ОС и оперативного анализа данных;
обучающая программа для подготовки пользователей информационных систем, отличающаяся приемом использования языка метаданных для облегчения формирования файлов документов и возможностью формулирования ситуационных задач.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на V конференции "Аналитика Сибири и Дальнего Востока" (Новосибирск, 1996), VI Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005» (Санкт-Петербург, 2005), V Всероссийской конференции по рентгеноспектральному анализу (Иркутск,2006), XI Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» (Иркутск, 2006).
Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 8 статьях, из них 3 в центральной печати, в изданиях рекомендованных ВАК.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 107 наименований и приложений на 139 стр. (основной текст 124 стр.), включает 17 таблиц и 32 рисунка.
Существующие модели представления знаний
Методология создания компьютерных программ, для того, чтобы быть эффективной, должна учитывать особенности работы памяти человека и его восприятия информации.
Одна из наиболее известных моделей человеческой памяти была создана в 1960-х годах Квиллианом М. [2-4]. В его работе впервые предложена математическая модель, в соответствии с которой сознание ищет и воспроизводит семантическую информацию (например, смысл слов). Квиллиан М. ввел понятие семантической памяти, которая явилась прообразом понятия семантическая или ассоциативная сеть. Семантическая память (тесно взаимодействующая с эпизодической) воссоздает смысл (значение) в форме одновременного представления и переживания взаимосвязанных понятий. Например, понятие огня, вероятно, связывается в семантической памяти с понятиями горячий, красный и т.д. Таким образом, в семантической памяти любое понятие выступает как "узел", который всегда или почти всегда связан какими-то отношениями с другими "узлами", образуя семантическую сеть. Квиллиан М. предположил, что наш мозг обучается путем конструирования растущей сети понятий. При возникновении нового понятия обработка информации будет связана с распространением поиска по семантическим сетям, что позволяет обнаружить связи (отношения) новой сущности с уже известными "узлами" (понятиями).
Семантические или ассоциативные сети можно определить как модель хранения понятий (слов, высказываний) в семантической памяти. Их организация и структурирование основаны на содержательном описании поня тий и слов, обозначающих эти понятия и составляющих содержание семантической памяти. Семантическая сеть представляется математически в виде ориентированного графа с помеченными вершинами и дугами. Вершины графа обозначают понятия различных категорий: объекты, события, свойства, операции, а дуги - отношения между ними.
Таким образом, Квиллиан М. первым предложил использовать для моделирования человеческой памяти сетевые структуры, в которых узлы и связи между ними представляли бы концепты (понятия) и отношения между концептами. Эта модель памяти была эмпирически испытана Квиллианом М. вместе с психологом Коллинзом А. М. [4].
Квиллиан М. [5,6] предложил также модель извлечения информации из памяти. Основную операцию извлечения информации можно охарактеризовать как распространяющуюся активность. Например, если желательно знать, является ли телетайп машиной, то необходимо искать, т.е. распространить "активность" некоторого вида во всех направлениях — как от узла-типа " телетайп", так и от узла-типа "машина". Если где-то эти две волны встретятся, то таким образом будет установлено существование связи между этими двумя концептами (или определен путь на графе от одного узла к другому).
Два аспекта модели памяти, предложенной Квиллианом М, оказали особенно существенное влияние на последующее развитие исследований в области применения систем семантических сетей.
Во-первых, он ввел разделение между видами узлов, представляющих концепты. Один вид узлов он назвал узлами-типами. Такой узел представляет концепт, связанный с конфигурацией других узлов, узлов-лексем. Конфигурация узлов-лексем образует определение концепта узла-типа. Это в определенной степени напоминает толковый словарь, в котором каждое понятие определяется другими понятиями, также присутствующими в этом словаре, причем их смысл толкуется с помощью еще каких-либо понятий в этом ело варе. Таким образом, смысл узла-лексемы определяется ссылкой на соответствующие узлы-типы.
Например, можно определить смысл слова "машина" как конструкцию из связанных компонентов, которые передают усилие для выполнения некоторой работы. Это потребует присоединения узла-типа для слова "машина" к узлам-лексемам, представляющим слова "конструкция", "компонент" и т.д. Однако в дополнение к связям, сформированным для определения смысла, могут существовать и связи к другим узлам-лексемам, например "телетайп" или "офис". Эти связи представляют знание о том, что телетайпы являются одним из видов машин, которые используется в офисе.
Во-вторых, он показал, что память обладает свойством, которое получило наименование когнитивной экономии. Суть его поясним на примере. Если известно, что машина — это конструкция, состоящая из взаимодействующих деталей, а телетайп — это тоже машина, то можно сделать вывод, что телетайп — это тоже конструкция. Таким образом, нет смысла в явном виде хранить эту информацию, присоединяя ее к узлу "телетайп". Указывая, что этот узел сохраняет определенные свойства, заданные связями узла "машина", мы можем сэкономить память и сохранить при этом возможность извлечь всю необходимую информацию, если только будем способны построить правильную схему влияния одних узлов на другие.
Эта схема, которую в настоящее время принято называть схемой наследования свойств, получила широкое распространение в представлении знаний. Наследование свойств является типичным примером сохранения объема памяти за счет снижения производительности, которое должен учитывать разработчик схемы представления знаний.
Сопоставление возможностей низкоуровневых графических библиотек для построения интерфейсов информационных систем
В настоящее время существует несколько низкоуровневых графических библиотек, это: Direct3D, автором является фирма Microsoft; OpenGL, созданный совместно фирмами Silicon Graphics Inc., Microsoft, IBM Corporation, Sun Microsystems Inc., Digital Equipment Corporation, Evans & Sutherland, Hewlett-Packard Corporation, Intel Corporation и Intergraph Corporation; Glide, разработан фирмой 3Dfx; Fahrenheit, являющийся совместной разработкой Microsoft и Silicon Graphics.
Библиотеки Dircct3D и OpcnGL имеют примерно равные возможности, но Direct3D создавалась исключительно для игровых приложений. Если сравнивать Direct3D и OpenGL в плане переносимости программ с одной платформы на другую, то Direct3D будет работать только на Intel платформах под управлением операционной системы Windows, в то время программы, написанные с помощью OpenGL можно успешно перенести на такие платформы как Unix, Linux, SunOS, IRIX, Windows, MacOS и многие другие.
GLide до недавнего времени тоже являлся довольно широко используемым стандартом для игровых приложений. Этот стандарт создала фирма 3Dfx и библиотека GLide создавалась исключительно для видео ускорителей фирмы 3Dfx Voodoo и была оптимизирована исключительно под них. GLide является более низкоуровневым по отношению к OpenGL и по своим командам похож на него. GLide мало чем отличается от OpenGL по своим возможностям, за исключением некоторых функций, которые специально предназначались для Voodoo ускорителей. 3Dfx отказалась от этого стандарта, передав его в руки разработчиков открытого программного обеспечения.
Проект Fahrenheit в настоящее время находится в стадии разработки.
Существует также драйвер для визуализации трёхмерных сцен Heidi, используемый только в 3D Studio Мах и только под Windows NT.
В данной работе новые компоненты создаются с использованием стандартной низкоуровневой графической библиотеки OpenGL, которая является частью операционной системы Windows. Эта библиотека выбрана по следующим причинам: библиотека низкоуровневая, поэтому созданные с ее помощью приложения работают более быстро, чем обычные; имеется возможность создавать и преобразовывать трехмерные объекты; система располагает всем набором средств, характерных для большинства современных графических систем; открытая графическая библиотека, является стандартной для большинства операционных систем. Объекты создаются с помощью набора графических примитивов самой библиотеки OpenGL и библиотек Glu и Glut.
Проанализируем математический аппарат, лежащий в основе графических компьютерных технологий.
Компьютерные графические технологии, и, в частности, графическая библиотека OpenGL, базируются на классических графических технологиях и моделируют оптические системы формирования изображений. Рассмотрим, как задачи создания изображений реализуются классическими способами и как они моделируются на компьютере в графической библиотеке OpenGL.
В любом процессе формирования изображений присутствуют объект и наблюдатель. Наблюдатель - это некто (или нечто), " рассматривающий " объект. Объект существует в пространстве независимо от наблюдателя. Наблюдатель формирует изображение объектов. В качестве наблюдателя может выступать глаз человека, фотокамера, микроскоп или телескоп или какой-либо другой физический прибор. Объект и наблюдатель существуют в общем случае в трехмерном измерении, а получаемое изображение является двухмерным.
Суть процесса формирования изображения состоит в том, чтобы, зная положение и свойства объекта и наблюдателя, описать получаемое двухмерное изображение.
Полученное изображение будет зависеть: от объекта; от свойств наблюдателя; от положения объекта и наблюдателя друг относительно друга; от положения и свойств источника света;
Представление объектов в алгоритме формирования трехмерного изображения
При работе с OpenGL используются два фрейма — фрейм камеры ( или наблюдателя) и мировой фрейм. Системы координат при этом называются соответственно объектная (или мировая) и система координат наблюдения. Мировой фрейм связан с изображаемым объектом, а фрейм камеры связан с наблюдателем [10].
Фрейм камеры можно рассматривать как фиксированный. Матрица вида (model-view matrix) задает положение мирового фрейма относительно фрейма камеры. Таким образом, матрица вида преобразует представление точек и векторов в однородных координатах в мировом фрейме в представление во фрейме камеры (рис. 2.1). Поскольку матрица вида является одним из компонентов текущего состояния графической системы, то, следовательно, в любой момент в системе специфицированы фреймы камеры и мировой. OpenGL поддерживает стек матриц, в котором можно сохранять текущую матрицу вида(или два фрейма).
Камера всегда размещается в точке начала координат своего фрейма. Векторы базиса этого фрейма направлены следующим образом: один, у, вверх по отношению к камере, второй, z, в направлении, обратном направлению визирования камеры, а третий, х, таким образом, чтобы вместе с двумя первыми образовать правостороннюю ортогональную систему координат. Другие фреймы, которые используются в процессе размещения объектов сцены, формируются с помощью однородных преобразований относительно фрейма камеры.
Поскольку изменение фрейма представляется матрицей вида и система позволяет сохранять текущее значение матрицы, имеется возможность переключаться между фреймами, изменяя текущее значение матрицы вида.
По умолчанию фрейм камеры совмещен с мировым фреймом, причем ось визирования камеры направлена вдоль оси z, но в обратную сторону. В большинстве приложений объекты, как правило, размещаются вблизи начала координат. Например, квадрат строится относительно своего центра, а группа объектов - вокруг центра масс. Естественно таким же образом настраивать параметры визуализации, чтобы в поле зрения камеры попадали только объекты, расположенные перед ней. Следовательно, для того чтобы сформировать изображение, в котором будут присутствовать все сформированные объекты, нужно либо отодвинуть камеру от объектов, либо отодвинуть объекты от камеры. Это все равно, что сместить фрейм камеры относительно мирового фрейма. Если же рассматривать фрейм камеры как фиксированный, а матрицу вида - как представляющую положение мирового фрейма относительно фрейма камеры, то матрица вида "10 0 0 "
_ преобразует точку, имеющую в мировом фрейме координаты (х, у, z), в точку, которая во фрейме камеры имеет представление (х, у, z-d). Если задать d достаточно большое положительное значение, то можно "передвинуть" объекты, чтобы они оказались перед камерой. Пользователь (он имеет дело с мировой системой координат), размещает объекты, как и раньше, недалеко от начала координат. Матрица вида определяет только взаимное положение фреймов. Использовать такой подход гораздо удобнее и логичнее, чем изменять параметры вершин объектов, чтобы разместить их перед камерой.
Есть еще одна система координат, оконная, с осью z, направленной вглубь экрана. Поэтому необходимо преобразовывать наблюдаемые координаты объекта в оконные. Это тоже делается с помощью матриц. Таким образом, есть два сорта матриц - один для преобразования мировых (объектных) координат объекта в наблюдаемые, а другой - наблюдаемых координат в оконные. Поэтому необходимо различать состояния OpenGL при вводе матриц, предназначенных для преобразований между различными системами координат.
Эти состояния устанавливаются командой glMatrixMode с одним параметром — режимом преобразования координат. Это режимы: GL MODEL VIEW — преобразование от объектных координат к наблюдаемым. Этот режим устанавливается по умолчанию. GL_PROJECTION — преобразование от наблюдаемых координат к оконным.
В любом из названных режимов по умолчанию активна команда gILoadldentity, определяющая единичное, то есть тождественное преобразование. Поэтому по умолчанию все три системы координат одинаковы.
Соответственно имеется несколько матриц. Матрица модели ("modelview matrix") связана с координатами объектов. Она используется для того, чтобы в пространстве построить изображение как бы видимое глазу наблюдателя. Другая матрица, матрица проекций ("projection matrix"), связана с построением проекций пространственных объектов на плоскость.
Матрица проекций, имея координаты точки зрения, строит усеченные ("clip") координаты, по которым после операций, связанных с перспективой, вычисляются нормализованные координаты в системе координат устройства. После трансформаций, связанных с областью вывода, получаются оконные координаты. Матрица модели и матрица проекций имеют размерность 4x4.
Матрицы проективного преобразования можно формировать поэлементно или использовать преобразования поворота, сдвига и масштабирования исходной единичной матрицы.
При решении геометрических задач мы всегда мыслим категориями последовательных преобразований (или элементарных переходов), таких как плоскопараллелыюе смещение, повороты, скосы и изменение масштаба. Каждое такое преобразование можно представить в матричной форме, причем последовательные преобразования выражаются перемножением соответствующих матриц элементарных преобразований.
Классификация моделей зависимости интенсивности рентгеновской флуоресценции от химического состава вещества
В основе любого ПО, применяемого в РФА, лежат уравнения связи, позволяющие пересчитать измеренные от пробы интенсивности рентгеновской флуоресценции элементов, в их искомые содержания.
В общем случае расчет содержания (С,) определяемого элемента і осуществляется по выражению: С,=С,75 , (3.1) c;=f(I,) (3.1а)
Здесь функция Ft включает всю совокупность матричных эффектов, действующих на интенсивность аналитической линии /, элемента і [11]. Величина С,- обозначает приведенное содержание элемента і [12] , соответствующее измеренной величине // при отсутствии влияния элементов].
В способе фундаментальных параметров расчет функции Ft выполняется непосредственно в точке анализируемой пробы по полному выражению для интенсивности рентгеновской флуоресценции.
Альтернативой ему служит путь упрощения расчетов за счет аппроксимации функции Ft приближенной зависимостью от химического состава образцов [11]. К настоящему времени предложено большое количество подобных вариантов уравнений связи [13,14].
Запись общего вида уравнений связи, наиболее распространенных при РФА сталей, можно получить разложением в ряд Тейлора (в линейном приближении) функции обратной удельной интенсивности (С,- /It) определяемого элемента [12] или применением теоремы Лагранжа о среднем [15] в точке ОС (опорный образец [16]):
При определении малых содержании элементов а0 несет нагрузку средней по выборке ОС интенсивности фона, а при определении высоких содержаний - наличие свободного члена повышает точность аппроксимации зависимости C =f(Ij).
Уравнения (3.3) иногда дополняются членами, содержащими в качестве переменных Ij, или I/k [18]. В работе [19] сделана успешная попытка вскрыть смысловую нагрузку указанных членов уравнения.
Существует и другое обоснование приема получения уравнений связи типа (3.3) — возможность представления любой непрерывной математической функции в виде степенного ряда [13,19]: частным случаем которого является выражение (3.3).
Такие модели часто называют регрессионными уравнениями связи [13]. Хотя уравнение (3.3) может быть приближенно получено из фундаментального выражения для интенсивности флуоресценции, некоторые исследователи [20,21] считают, что коэффициенты регрессионных уравнений не имеют строгого физического смысла и их аналитические возможности ограничены. Несомненными достоинствами регрессионных уравнений связи являются простота их использования и возможность количественного учета эффектов, которые современной теорией учитываются лишь качественно [13].
Коэффициенты влияния в уравнениях (3.3) обычно определяют с помощью группы ОС, аналогичных по химическому составу анализируемым материалам. Переопределенную систему уравнений решают с помощью линейного МНК, минимизирующего сумму квадратов отклонений (АС, ) рассчитанных содержаний элементов от действительных [22] (назовем его традиционным МНК). Такой прием расчета коэффициентов обеспечивает постоянство значения стандартного отклонения (S), характеризующего точность результатов РФА во всем диапазоне определяемых содержаний [22], поэтому при широком диапазоне значений С, ОСО ( Sr) для нижней границы содержаний будет велико. В работах [17,22] описываются положительные результаты применения взвешенного МНК. Характеристикой статистического веса служат величины ///, [17] и 7/vC; [22,23]. Однако Плеш [23] утверждает, что использование взвешенного МНК приводит к большой погрешности в ре
зультатах РФА для высоких содержаний элементов, поэтому от такого варианта МНК следует отказаться.
Основным недостатком эмпирического определения коэффициентов влияния является необходимость в большом числе ОС с известным химическим составом. В условиях дефицита стандартных образцов проблема формирования массива ОС стоит очень остро, поэтому одно из важных преимуществ уравнений, переменными в которых служат интенсивности влияющих элементов, заключается в возможности использования ОС с данными химического анализа только об одном или нескольких определяемых элементов.
Уравнения связи, переменными в которых служат содержания влияющих элементов j. Коэффициенты влияния в этих уравнениях также можно определять эмпирически с помощью регрессионного анализа по группе ОС известного химического состава, но основным их преимуществом является возможность теоретической оценки их значений, что позволяет существенно сократить потребность в ОС.
Выбор опорного образца. Построение большого числа уравнений связи основано на соотнесении выражений для интенсивности флуоресценции элемента і в одноэлементном и анализируемом образцах [24,25]. Если функцию С/Іі разложить в ряд в точке одноэлементного образца, то получим уравнение, предложенное Лачансом-Трейлем [24]:
