Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Общая характеристика работы 3
1.2 Аксиоматическое описание индекса Конли 5
1.3 Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса 7
1.4 Краткое содержание 8
1.5 Результаты 15
2 Основные классы функционалов 16
2.1 Базовые типы «компактности» 16
2.2 Принципиальные отличия основных определений 19
3 Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве 22
3.1 Основная лемма 22
3.2 Индекс Конли 23
3.3 Гомотопическая инвариантность индекса Конли 27
4 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве 30
4.1 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств 30
4.2 Приложение 34
4.3 Индекс Конли и теория вращения бесконечномерных полей 37
4.4 Классический пример 39
4.5 Возвращение траекторий колебательной системы 41
4.6 Некоторые методы алгебраической топологии 41
5 Принцип минимакса 45
6 Индекс Конли суммы двух полей 52
6.1 Специальная гомотопия 52
6.2 Примеры и выводы 54
7 Представление //-правильного функционала 55
7.1 Необходимые условия 55
7.2 Два критерия сильной //-правильности 62
8 Заключение 65
- Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса
- Принципиальные отличия основных определений
- Гомотопическая инвариантность индекса Конли
- Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств
Введение к работе
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевско-го, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них:
1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений.
2. Исследование бифуркаций.
3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем.
4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований.
5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов.
Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем (в данной работе под таковыми понимаются непрерывные потоки). С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности.
На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных, в том числе конечномерных, пространствах развита достаточно полно; все более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратриса —решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сделать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли.
Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжиштофа Рыбаковского «Гомотопический индекс л дифференциальные уравнения в частных производных» [20]. Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных реше ний параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями.
Объект исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространстве; индекс Конли совокупности инвариантных множеств; квазилинейные уравнения с сильной нелинейностью.
Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе:
1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов.
2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств.
3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью.
4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках.
5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии.
Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Научной новизной в предлагаемой работе обладают следующие пункты:
1. Аппроксимационное определение бесконечномерного индекса Конли совокупности критических точек функционала и связывающих сепаратрис.
2. Принцип доказательства существования бесконечного множества решений дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью, основанный на свойствах такого индекса.
3. Аксиоматическое и аналитическое описание класса задач, для которых справедлива построенная теория. Научные положения, защищаемые автором. Это понятие и методы исследования индекса Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве; методика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностью; аксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравнений; формализация доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости.
Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН.
Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [2], выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формализация утверждений.
1.2 Аксиоматическое описание индекса Конли
Понятие обобщенного индекса Морса было введено Чарльзом Конли (С. Conley) в работах [16,17], но наиболее подробно описано в цикле лекций [15]. Позднее обобщенный индекс Морса получил имя своего автора и исследователя. Избегая громоздких формулировок, опишем индекс Конли аксиоматически (см. обзор [19]).
Индекс Конли h(S) = h(S,(p) изолированного инвариантного множества S — это гомотопический тип пространства с отмеченной точкой, определяемый с помощью специальной конструктивной процедуры. Данная процедура в общем случае является достаточно громоздкой и не используется в настоящей работе. Далее нам в основном потребуются свойства индекса, которые перечислены ниже. 1. (Независимость от изолирующей окрестности) h(S) может быть вычислен исходя из поведения потока в изолирующей окрестности множества S, причем различные такие окрестности S дадут один и тот же результат. Следовательно, можно говорить об индексе Конли произвольной изолирующей окрестности.
2. (Свойство Важевского) Если индекс Конли некоторой изолирующей окрестности N нетривиален, т.е. отличен от гомотопического типа одноточечного пространства, то Inv N ф 0.
Чтобы не иметь дела с гомотопическим типом топологического пространства, на практике часто рассматривают образ h(S) при действии какого-либо гомологического функтора, удовлетворяющего аксиомам Стинрода—Эйленберга, например, функтора сингулярных гомологии. Образ h(S) при таком отображении называют гомологическим индексом Конли и обозначают СЯ (5) = СД (5, ). Свойства гомологического индекса непосредственно следуют из свойств обычного индекса и аксиом групп гомологии. Например, свойства 2-4 примут следующий вид. 1. (Свойство Важевского) Предположим, что N — изолирующая окрестность и CH (N) 0. Тогда InviV 0.
Чтобы не отклоняться от цели данной работы, кратко перечислим наиболее распространенные приложения индекса Конли. Конкретные теоремы и дальнейшие ссылки можно найти, например, в обзорной работе [19].
1. Теоремы существования: ограниченные траектории, периодические решения, решения потенциальных систем.
2. Устойчивость траекторий.
3. Топологические характеристики инвариантных множеств. Например, теоремы о том, что топологическая сложность исследуемого инвариантного множества «не меньше» топологической сложности некоторого модельного.
4. Теоремы о множественности решений.
5. Нелинейная динамика: теоремы о марковском кодировании.
6. Исследования гамильтоновых систем.
1.3 Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса
Везде далее поток будет определяться градиентным полем некоторого функционала (функции) /, поэтому для краткости будем обозначать через h(S, /) индекс Конли некоторого изолированного инвариантного множества S относительно этого потока.
Пусть /(•)—гладкая функция, заданная на области Г2 С Шп. Пусть ж0 — изолированная критическая точка /, возможно вырожденная. Тогда определен топологический индекс точки хо и индекс Конли инвариантного множества XQ. Связь между ними устанавливает следующая теорема.
Все потоки в данной работе порождены градиентными полями дифференцируемых функционалов, так что понятия «поток», «поле» и «функционал» однозначно соответствуют друг другу.
Как и вращение, индекс Конли некорректен в случае бесконечномерного поля общего положения. Следовательно, необходимо выделить класс потоков (или соответствующих полей, функционалов), для которых справедлива соответствующая теория. Существуют различные условия — условия компактности — позволяющие это сделать. В главе Основные классы функционалов проводится сравнительный анализ двух условий компактности, первое из которых ( -правильность) используется далее, а второе (С-условие) традиционно для англоязычных работ по нелинейному анализу. В главе доказано, что соответствующие множества функционалов различны, т.е. не содержатся одно в другом. Построены соответствующие примеры и доказаны теоремы о принципиальных различиях. В частности, (С)-условие неявно требует от функционала «регулярного поведения» на бесконечности, что в нашем случае является ограничительным и лишним требованием. Более подробное исследование //-правильных функционалов проводится в последней главе.
В дальнейшем нам понадобится понятие -правильности, введенное Н. А. Бобылевым. Пусть В(р, v) — шар радиуса р с центром в точке v в сепарабелыюм гильбертовом пространстве.
В главе Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве дано аппроксимационное определение индекса Конли изолированной критической точки Н-пранилыюго функционала и доказана теорема об инвариантности индекса относительно невырожденных деформаций. Это иллюстрирует методы конечномерной редукции, которые будут использованы в дальнейшем.
Определение 2. Цепочку вложенных друг в друга конечномерных подпространств Hi с Яг С ... пространства Н называют исчерпывающей, если любой элемент х Є Н можно приблизить с любой точностью элементом, принадлежащим одному из этих пространств.
Тогда при всех достаточно больших п мнооїсество В(0,1)ПНп является изолирующей окрестностью для некоторого инвариантного множества Sn относительно потока рп. Индекс Конли h(Sn, /„) этого инвариантного множества одинаков при всех достаточно больших п и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности конечномерных подпространств.
В главе Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств содержится основной результат работы — теорема о бесконечном множестве решений операторного уравнения с сильной нелинейностью. Для исследования свойств такого оператора построена теория индекса Конли совокупности инвариантных множеств.
Здесь нужно сказать о принципиальных отличиях индекса Конли тривиального, т.е. одноточечного, инвариантного множества от индекса нетривиального множества. Чтобы определение индекса из предыдущей главы осталось справедливым для произвольной совокупности инвариантных множеств, содержащихся, например, в шаре Вг с центром в нуле, приходится налагать условие типа ]V/(.T) а 0, гг г что уже противоречит цели наших исследований — доказательству наличия критических точек со сколь угодно большой нормой.
Условия 1 и 2 в определении — это условия компактности, а условие 3 —локальное условие выпуклости интегральных кривых вблизи касаний к сферам с центром в нуле.
Простейшим примером здесь может служить f(x) = 1/2ж2 — р(х), где ср(-) —гладкий слабо непрерывный однородный степени р 0 функционал.
Одно из важнейших свойств индекса Конли — деформационная инвариантность. Для его формулировки нам понадобится следующее определение.
Определение 5. Деформация /(-;А), А Є [0,1] допустимого функционала /о в допустимый функционал /і называется невырожденной на Q, если
1. для всех А Є [0,1] /(•; А) —допустимый на Q,
2. однопараметрические семейства /(-;А), Vx/(-; А) равномерно непрерывны по А Є [0,1] относительно любого ограниченного множества значений аргумента {х} € І1,
3. уравнение Vxf(x; А) = 9 не имеет решений на границе Q при всех А Є [0,1].
Эта теорема описывает структуру множества сильно .Н-правильных функционалов в классических терминах.
1.5 Результаты
1. Определен класс задач, для которых возможно корректное определение индекса Конли совокупности инвариантных множеств. Дано аксиоматическое определение соответствующих операторов и доказана теорема об их представлении.
2. Определен индекс Конли совокупности инвариантных множеств (решений); доказана его корректность и описаны основные свойства.
3. С помощью введенного индекса установлено существование бесконечного множества решений операторного уравнения с сильной нелинейностью.
4. Проведен сравнительный анализ различных классов допустимых задач.
5. Описана общая схема доказательства теорем о седловых точках в условиях пониженной гладкости.
Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса
Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевско-го, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них: 1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений. 2. Исследование бифуркаций. 3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем. 4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований. 5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов. Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем (в данной работе под таковыми понимаются непрерывные потоки). С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности. На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных, в том числе конечномерных, пространствах развита достаточно полно; все более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратриса —решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сделать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли. Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжиштофа Рыбаковского «Гомотопический индекс л дифференциальные уравнения в частных производных» [20]. Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных реше ний параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями. Объект исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространстве; индекс Конли совокупности инвариантных множеств; квазилинейные уравнения с сильной нелинейностью. Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе: 1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов. 2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств. 3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью. 4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках. 5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии. Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.
Принципиальные отличия основных определений
В данной главе исследуются потоки в гильбертовом пространстве, определенные потенциальными вполне непрерывными полями вида Id — К(-), где оператор К(-) близок к однородному. Для таких потоков определен индекс Конли совокупности неподвижных точек и соединяющих эти точки сепаратрис (нетривиального инвариантного множества). С помощью этого индекса доказана теорема о бесконечном числе решении уравнения К{х) = х со сколь угодно большой нормой, при условии, что потенциал ip: Vy(-) = К{ ) быстро растет на бесконечности и обладает четной главной частью. Как следствие, получена устойчивость любого конечного числа решений к малым возмущениям поля. Показано отличие индекса Конли от класспческоіі теории вращения полей при доказательстве теорем существования.
Начиная с результатов Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельмана о категории иод-множества дифференцируемого многообразия, многочисленные работы были посвящены исследованию функционалов, обладающих симметриями. Позднее появились различные направления таких исследований, в том числе ориентированные на функциональный анализ. Часть таких работ обобщает группы симметрии, другая переносит результаты на бесконечномерный случай. В качестве приложений здесь рассматривались задачи о собственных векторах нелинейных операторов (см. [5]), устойчивых критических значениях, решениях различных нелинейных уравнений и систем (см. [11]). Современные методы исследования четных функционалов используются, например, в работах [12,13].
Так, в [13] доказано существование бесконечного числа знакопеременных решений в окрестности бесконечности для функционала Ф, удовлетворяющего ряду условий. Среди них есть и ограничительные: предполагается дважды непрерывная дифференцируе-мость Ф по Фреше и монотонность оператора Id — Ф по конусу неотрицательных функций. Техника доказательства основана на когомологиях Бореля. В [12] аналогичный результат множественности для системы нелинейных эллиптических уравнений установлен с помощью соотношений Морса. При этом функционал энергии предполагается функционалом Морса. Проверить это свойство в практических задачах как правило невозможно.
Мы не предполагаем ни изолированности критических точек функционала, ни монотонности по конусу его градиента, а нечетность оператора К(-) заменена нечетностью его главной части (векторы К(х) и К(—х) не сонаправлены, если только оба отличны от нуля). Взамен этого мы используем условие близости оператора К(-) к однородному.
Будем рассматривать функционал /(), определенный на сепарабелыюм вещественном гильбертовом пространстве Н. В дальнейшем предполагается, что / удовлетворяет стандартным условиям гладкости: / равномерно дифференцируем по Фреше на любом ограниченном подмножестве і/ и градиент V/ локально Липшицев.
Введем обозначения: (,)— скалярное произведение в пространстве Н; Ох — некоторая фиксированная окрестность точки х Є Н] p(t, х) — поток, соответствующий полю —V/(-) (он определен в пределах любого ограниченного подмножества Н); Invfi — максимальное инвариантное относительно р множество, содержащееся в Q С Н; Г2 — є-расширение произвольного множества Q; Вг, г 0 —замкнутый шар радиуса г с центром в нуле; В = {х Є дВг : W 0 р([0, t),x) . Вг} — множество выхода шара Вг. Для конечномерного подпространства Ln стандартно определяются сужения .
Цель настоящего пункта — определить гомотопический индекс максимального инвариантного подмножества Вт. Даже в конечномерном случае условие Vf(x) ф 0, х R не гарантирует существование ограниченного изолированного инвариантного множества, так что схема главы 3 здесь не работает. Для преодоления этой трудности обычно используют различные условия «регулярного» поведения на бесконечности поля V/ или соответствующего потока. В нашем случае таким условием будет допустимость (см. опр. 4): для класса допустимых функционалов будет построена теория гомотопического индекса нетривиальных инвариантных множеств.
Гомотопическая инвариантность индекса Конли
Так, в [13] доказано существование бесконечного числа знакопеременных решений в окрестности бесконечности для функционала Ф, удовлетворяющего ряду условий. Среди них есть и ограничительные: предполагается дважды непрерывная дифференцируе-мость Ф по Фреше и монотонность оператора Id — Ф по конусу неотрицательных функций. Техника доказательства основана на когомологиях Бореля. В [12] аналогичный результат множественности для системы нелинейных эллиптических уравнений установлен с помощью соотношений Морса. При этом функционал энергии предполагается функционалом Морса. Проверить это свойство в практических задачах как правило невозможно.
Мы не предполагаем ни изолированности критических точек функционала, ни монотонности по конусу его градиента, а нечетность оператора К(-) заменена нечетностью его главной части (векторы К(х) и К(—х) не сонаправлены, если только оба отличны от нуля). Взамен этого мы используем условие близости оператора К(-) к однородному. Будем рассматривать функционал /(), определенный на сепарабелыюм вещественном гильбертовом пространстве Н. В дальнейшем предполагается, что / удовлетворяет стандартным условиям гладкости: / равномерно дифференцируем по Фреше на любом ограниченном подмножестве і/ и градиент V/ локально Липшицев. Введем обозначения: (,)— скалярное произведение в пространстве Н; Ох — некоторая фиксированная окрестность точки х Є Н] p(t, х) — поток, соответствующий полю —V/(-) (он определен в пределах любого ограниченного подмножества Н); Invfi — максимальное инвариантное относительно р множество, содержащееся в Q С Н; Г2 — є-расширение произвольного множества Q; Вг, г 0 —замкнутый шар радиуса г с центром в нуле; В = {х Є дВг : W 0 р([0, t),x) . Вг} — множество выхода шара Вг. Для конечномерного подпространства Ln стандартно определяются сужения fn = /L„, pn\t, X), Dnj-. Цель настоящего пункта — определить гомотопический индекс максимального инвариантного подмножества Вт. Даже в конечномерном случае условие Vf(x) ф 0, х R не гарантирует существование ограниченного изолированного инвариантного множества, так что схема главы 3 здесь не работает. Для преодоления этой трудности обычно используют различные условия «регулярного» поведения на бесконечности поля V/ или соответствующего потока. В нашем случае таким условием будет допустимость (см. опр. 4): для класса допустимых функционалов будет построена теория гомотопического индекса нетривиальных инвариантных множеств. Из этого утверждения, соотношения (31) и определения .Неправильности следует, что последовательность Рпхп сходится к ж сильно. Но тогда из (31) следует, что хп — ж . Переходя к пределу при п — оо в равенстве (28) получаем, что — критическая точка функционала /, поэтому в силу единственности критической точки ж = 0. Мы получим противоречие с условием {хп} С В(в, 1) \ В(в,г). при п — оо. Поэтому последовательность {Рпхп} сходится к ж» сильно и мы можем опять-таки перейти к пределу при п — оо в равенстве (28). Оценка (26) доказана. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 3, можно показать, что максимальное инвариантное множество относительно потока, определяемого функ цией (25), лежащее в В(9,1), содержится при достаточно большом п в сколь угодно малой окрестности точки х = в (при всех Л Є [0,1]). Это означает, что гомотопия (25) является невырожденной. Лемма доказана. . Пусть {Нп} — произвольная цепочка конечномерных подпространств, исчерпывающая Н. Полагая Н п — Нп+\ и применяя лемму 4 получаем, что индекс Ко или h(Sn, fn), определенный с использованием цепочки {Нп}, одинаков при всех достаточно больших п. Пусть {/„} и {Vn} — две произвольные цепочки конечномерных подпространств, исчерпывающие Н. Тогда цепочка {Un + Vn}, составленная из прямых сумм подпространств Un и Vn, также исчерпывает пространство Н. Применяя лемму 4 сначала при Нп = Un, Н п = Un + Vn, а затем при Нп = Vn, Н п = Un + Vn получаем, что индексы Кон-ли критической точки х = в функционала /, определенные с использованием цепочек {Un} и {Vn}, одинаковы. Таким образом доказана теорема 2. Рассмотрим однопараметрическое семейство {/(; А)} //"-правильных функционалов, непрерывно зависящих от А Є [0,1]: f(x;X) и Vxf(x;X) непрерывны по А равномерно относительно х Є В(в,1). Предположим, что начало координат х = 9 является единственной критической точкой каждого из этих функционалов в шаре В(в,1). Следуя схеме, изложенной в предыдущем параграфе, можно ввести семейство индексов Конли h(X) — h(6, /(; Л)) этой критической точки, соответствующих разным значениям Л. Теорема 3 гарантирует сохранение индекса Конли при такой невырожденной деформации. Доказательство теоремы 3. Зафиксируем Ло Є [0,1] и докажем, что при всех Л, достаточно близких к Л0, справедливо равенство h(X) = h(X0). Выберем произвольное исчерпывающее семейство {Нп} конечномерных подпространств пространства Н. Через Sn(X) обозначим максимальное инвариантное относительно потока (19), определяемого функцией /„(; Л) множество, лежащее в В(в, 1). Покажем, что множества Sn(X) неограниченно приближаются к началу координат при п — оо равномерно относительно Л. В этом случае утверждение теоремы 3 будет следовать из гомотопической инвариантности конечномерного индекса Конли. Мы воспользуемся тем же методом, что и при доказательстве леммы 3.
Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств
Во Введении приводится аксиоматическое описание конечномерного индекса Конли, его основных свойств и отличий от классической теории вращения векторных полей (теории степени Лерэ—Шаудера). Все потоки в данной работе порождены градиентными полями дифференцируемых функционалов, так что понятия «поток», «поле» и «функционал» однозначно соответствуют друг другу.
Как и вращение, индекс Конли некорректен в случае бесконечномерного поля общего положения. Следовательно, необходимо выделить класс потоков (или соответствующих полей, функционалов), для которых справедлива соответствующая теория. Существуют различные условия — условия компактности — позволяющие это сделать. В главе Основные классы функционалов проводится сравнительный анализ двух условий компактности, первое из которых ( -правильность) используется далее, а второе (С-условие) традиционно для англоязычных работ по нелинейному анализу. В главе доказано, что соответствующие множества функционалов различны, т.е. не содержатся одно в другом. Построены соответствующие примеры и доказаны теоремы о принципиальных различиях. В частности, (С)-условие неявно требует от функционала «регулярного поведения» на бесконечности, что в нашем случае является ограничительным и лишним требованием. Более подробное исследование //-правильных функционалов проводится в последней главе.
В дальнейшем нам понадобится понятие -правильности, введенное Н. А. Бобылевым. Пусть В(р, v) — шар радиуса р с центром в точке v в сепарабелыюм гильбертовом пространстве. Определение 1. Функционал /() : В(р, v) н- R называют Н-правилъпъш, если f(u) непрерывно дифференцируем по Фреше на В(р, v), а его градиент V/(w) локально Липшицев на B(p,v) и удовлетворяет следующему условию (S): если последовательность ип слабо сходится к элементу и : (ип — и») и В главе Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве дано ап-проксимационное определение индекса Конли изолированной критической точки Н-пранилыюго функционала и доказана теорема об инвариантности индекса относительно невырожденных деформаций. Это иллюстрирует методы конечномерной редукции, которые будут использованы в дальнейшем. Определение 2. Цепочку вложенных друг в друга конечномерных подпространств Hi с Яг С ... пространства Н называют исчерпывающей, если любой элемент х Є Н можно приблизить с любой точностью элементом, принадлежащим одному из этих пространств. Ортопроектор на подпространство Нп будем обозначать через Рп. Теорема 2. Пусть XQ — единственная критическая точка Н-правильного функционала в шаре В(0,1), а {Нп} —исчерпывающая последовательность конечномерных подпространств пространства Н. Пусть {рп} — семейство потоков, определяемых в пространствах Пп уравнениями Тогда при всех достаточно больших п мнооїсество В(0,1)ПНп является изолирующей окрестностью для некоторого инвариантного множества Sn относительно потока рп. Индекс Конли h(Sn, /„) этого инвариантного множества одинаков при всех достаточно больших п и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности конечномерных подпространств. Как и в конечномерном случае, справедлива деформационная теорема. Рассмотрим однопараметрическое семейство {/(; А)} ІУ-правіїльньїх функционалов, непрерывно зависящих от А Є [0,1]: f(x;X) и Vx/(x-; А) непрерывны по А равномерно относительно х Є В(0,1). Предположим, что начало координат х = 0 является единственной критической точкой каждого из этих функционалов в шаре В(0,1). Тогда определено семейство индексов Конли h(X) = /t(0, /(; Л)) этой критической точки, соответствующих разным значениям А. Теорема 3. Индекс Конли /i(A) одинаков при всех А Є [0,1]. В главе Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств содержится основной результат работы — теорема о бесконечном множестве решений операторного уравнения с сильной нелинейностью. Для исследования свойств такого оператора построена теория индекса Конли совокупности инвариантных множеств. Здесь нужно сказать о принципиальных отличиях индекса Конли тривиального, т.е. одноточечного, инвариантного множества от индекса нетривиального множества. Чтобы определение индекса из предыдущей главы осталось справедливым для произвольной совокупности инвариантных множеств, содержащихся, например, в шаре Вг с центром в нуле, приходится налагать условие типа ]V/(.T) а 0, гг г что уже противоречит цели наших исследований — доказательству наличия критических точек со сколь угодно большой нормой. Один из возможных выходов — рассматривать такие функционалы, для которых любой шар с центром в нуле являлся изолирующей окрестностью, если только на его границе нет критических точек. Первый пункт данной главы посвящен определению таких функционалов. Пусть (р — гладкий функционал.
