Введение к работе
Актуальность темы.
Формирование моделей на основе информации о поведении объектов и исследование их свойств представляет, по существу, основное содержание науки. Совокупность методов, с помощью которых производится получение, преобразование, обработка и использование информации об исследуемых объектах в заданной предметной области, объединяется под общим понятием "информационная технология".
Характерной особенностью многих объектов и процессов является зависимость текущих значений выходных координат не только от текущих значений входных воздействий, но и от предыдущих значений выходных координат и входных воздействий. Такие объекты называются динамическими. Для математического описания динамических объектов используются системы дифференциальных уравнений, а также модели, полученные па их основе. Сущность информационной технологии построения математических моделей динамических объектов заключается в преобразовании информации о динамическом объекте, представленной в форме последовательностей эксперимен- тальных данных о его состоянии, различных для разных начальных условий, в компактную форму системы дифференциальных уравнений. В основе технологии лежат математические методы построения моделей динамических объектов.
Математические методы моделирования динамических объектов активно развиваются с конца 50-х годов. Большой вклад в разработку методов идентификации динамических объектов и управления внесли отечественные ученые Л.С.Понтряпш, А.Н.Колмогоров, В.Б.Солодовников, В.В.Семенов, Н.Н.Красовский, А.А.Воронов, Н.С.Райбман, В.М.Чадеев, ЯЛ.Цыпкин, А.А.Красовский, Б.Н.Наумов, С.В.Емельянов, Ю.В.Лепник, В.В.Налнмов, К.А.Пупков и многие другие. Среди зарубежных ученых большую роль в развитии методов построения математических моделей динамических объектов, оценки их параметров и состояния сыграли Р.Беллман, Н.Винер, Г.Кифер, Р.Калман, П.Эйкхофф, К.Острем.Э.Сейдж, Дж.Мелса, Д.Гроп и др. .. Существующие методы построения моделей динамических объектов можно разделить на две группы: непараметрические методы и методы параметрического оценивания.
. Непараметрнческие методы позволяют получить описание динамического объекта в виде весовых и передаточных функций. Эти методы являются классическими и широко используются для определения динамических характеристик объектов. Однако можно отметить и их серьезные недостатки, такие как: применимость только к линейным стационарным объектам или к линейным объектам со слабой нестационарностыо; необходимость генеращги специальных входных сигналов; сложность с переходом от весовых или передаточных функций, получаемых в результате применения непарамег-
ричсскнх методов, к дифференциальным уравнениям, описывающим исследуемый объект.
Методы параметрического оценивания работают с априорно заданной структурой модели. Со времени первой работы Калмаиа, посвященной вопросам прогнозирования и линейно-квадратичного управления, преобладающим способом описания динамических объектов является описание в пространстве состояний, где моделью объекта является система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для вектора переменных состояния, однозначно описывающих состояние динамического объекта.
Широко распространенными и легко реализуемыми на ЭВМ являются регрессионные и градиентные методы, основанные на критерии наименьших квадратов. Эги методы позволяют оценивать параметры моделей на основе экспериментальных данных без использования какой-либо дополнительной априорной информации. Но применение этих методов для оценки коэффициентов дифференциальных уравнений требует знания значений производных, поэтому обычно дифференциальные уравнения сводят к линеаризованными разностными уравнениями, либо заменяют полиномиальными моделями, что во многих случаях неприемлемо.
Существуют методы, позволяющие одновременно оценивать коэффициенты систем нелинейных дифференциальных уравнении и переменные состояния объекта. К ним относится метод квазилипеаризации и метод инвариантного погружения, предложенные в работах Беллмана для решения двухточечных краевых задач. Однако эти методы достаточно сложные и требуют больших вычислительных затрат.
В целом, анализ существующих методов показал отсутствие единой формализованной универсальной технологии, основанной на методах построения моделей динамических объектов по результатам экспериментов, применимой к произвольным линейным и нелинейным динамическим объектам, легко алгоритмизируемой и не требующей больших вычислительных затрат. Следовательно, важной и актуальной задачей является разработка такой технологии.
Автором предлагается новая универсальная информационная технология построения математических моделей произвольных динамических объектов и явлений, определяющая методы получения, преобразования, обработки и использования информации о динамических объектах. Технология основана на математических методах, отличающихся от существующих универсальностью, простотой и надежностью построения математических моделей как линейных, так и нелинейных объектов.
Разработанная авто-ром информационная технология построения математических моделей динамических объектов обеспечивает значительное сокращение экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, в особенности при фундаментальных исследованиях, где не открыты законы природы или велики затраты на проведение экспериментов. Использование технологии открывает возможность оитн-
мизацип объекта, поиска оптимального управления и прогнозирования поведения объекта или явления за пределами экспериментальной области, которая не может быть достигнута или по техническим, или по финансовым соображениям.
Цель работы.
Целью работы является создание универсальной информационной технологии построения математических моделей динамических объектов па основе экспериментальных данных, обеспечивающей значительное сокращение экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, в особенности при фундаментальных исследованиях, где не открыты законы природы или велики затраты на проведение экспериментов.
Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач:
анализ существующих методов построения математических моделей динамических объектов;
разработка единого представления произвольных линейных и нелинейных динамических объектов;
теоретическое исследование возможности применения критерия наименьших квадратов для оценки коэффициентов систем дифференциальных уравнений и решение связанной с этим проблемы смещения оценок и вычисления значений производных переменных состояния объекта;
вывод формул для оценки коэффициентов систем дифференциальных уравнений по экспериментальным данным и разработка методик их применения;
анализ вычислительной сложности разработанных методов и определение целесообразности применения того или иного метода;
- формализованное построение универсальной информационной технологии моделирования динамических объектов в виде последовательности этапов получения, обработки и использования экспериментальной информации об объекте;
программная реализация разработанных методов и создание пакета программ для построения математических моделей динамических объектов в виде систем дифференциальных уравнений;
экспериментальная проверка информационной технологии на реальных объектах.
Методы исследования.
В основе выполненных в диссертационной работе исследований лежит использование регрессионных и градиентных методов с оценкой параметров по критерию наименьших квадратов, методов аппроксимации, численного интегрирования, теории матриц, теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также различных методов вычислительной математики. Программная реализация разработанных методов основывается на современной технологии объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна.
В диссертационной работе автором получены следующие научные результаты:
-
Теоретически обоснована и исследована возможность создания универсальной информационной технологии построения математических моделей произвольных динамических объектов в виде систем дифференциальных уравнений по экспериментальным данным.
-
Разработано единое представление произвольных линейных и нелинейных дина-, мнчсских объектов в виде систем дифференциальных уравнений, линейных по коэффициентам, основанное па разделении объекта на статическую нелинейную компоненту и динамическую линейную компоненту.
-
Предложена и теоретически разработана универсальная информационная технология построения математических моделей динамических объектов, определяющая методы получения, преобразования, обработки и использования информации о динамических объектах и явлениях. Дано формализованное описание разработанной информационной технологии в виде последовательности этапов, которые необходимо выполнить для получения математической модели динамического объекта в виде системы дифференциальных уравнений.
-
Обоснована возможность использования критерия наименьших квадратов для оценки коэффициентов систем дифференциальных уравнений. Для минимизации смещения оценок и решения проблемы вычисления значений производных переменных состояния предложено объединить метод наименьших квадратов с методами аппроксимации и методами кусочного интегрирования. .
-
Выведены расчетные формулы для оценки коэффициентов систем дифференциальных уравнений на основе экспериментальных данных и разработаны методики их применения.
-
Теоретически исследованы основные виды систем взаимодействия динамических и стохастических объектов. Даны рекомендации по выбору структуры соответствующих им систем дифференциальных уравнении и экспериментально измеряемых переменных состояния.
Практическая значимость.
Практическая значимость полученных в работе результатов заключается в следующем:
1. Разработанная информационная технология построения математических моделей динамических объектов позволяет значительно сократить экспериментальные исследования, поскольку экспериментальные данные снимаются только для одного набора начальных условий, по которым строится система дифференциальных уравнений. Дальнейшее исследование объекта осуществляется путем большого числа решений системы уравнений при различных других наборах начальных значений зависимых пе-
ременных состояния объекта. При этом цикл общего исследования может быть сокращен от единиц до нескольких десятков раз, что особенно эффективно для дорогостоящих экспериментов или для объектов, где время проведения опытов велико.
-
Особенностью технологии является возможность построения как линейных, так и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Для ранее неисследованных объектов и явлении природы информационная технология позволяет открывать приближенные законы их функционирования, раскрывающие существующие взаимосвязи между элементами объекта.
-
Открывается возможность оптимизации объекта, поиска оптимального управления и прогнозирования поведения объекта или явления за пределами экспериментальной области, которая нсможет быть достигнута по техническим или но финансовым соображениям.
-
Созданный на основе разработанных методов пакет программ позволяет синтезировать системы дифференциальных уравнений по экспериментальным данцым. Программное обеспечение написано на языке C++ и может быть легко адаптировано под различные платформы.
На защиту выносится:
единое представление произвольных линейных и нелинейных динамических объектов;
методы оценки коэффициентов систем дифференциальных уравнений по экспериментальным данным;
формализованное описание информационной технологии построения математических моделей динамических объектов;
программная реализация разработанных методов и их экспериментальная проверка. '
Апробация работы.
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
международной математической конференции "Проблемы математики и информатики", Гомель, 1994;
московской конференции "Студенческая научная осень - 94", Москва, МИФИ, 1994, где автор был награжден дипломом по итогам открытого конкурса;
международной математической конференции "Алгебра и кибернетика", Гомель, 1995;
международной конференции "НТИ-96 - Информационные продукты, процессы и технологии", Москва, ВИНИТИ, 1996.
Разработанный пакет программ для построения математических моделей динамических объектов демонстрировался на конференции "Телекоммуникационные системы и
новые информационные технологии в системе лицей-ВУЗ", Москва, МИФИ, 1997, где по результатам конкурса получил премию и был награжден дипломом.
Публикации.
Полученные в работе результаты изложены в 7 опубликованных статьях.
Структура диссертации.
Диссертация содержит введение, 4 главы, заключение, 2 приложения, 23 рисунка, 28 таблиц. Общий объем - 212 страниц. Список использованных источников литературы содержит 108 наименований.
