Содержание к диссертации
Глава 1, Кусочно-линейные функции Ляпунова
и локализация спектра устойчивых
матриц 18
1.1 Кусочно-линейные функции
Ляпунова 18
1.2 Локализация спектра устойчивых
матриц 32
1.3 Устойчивость градиентных
систем 57
Глава 2. Множество достижимости
для задачи управления с фазовыми
ограничениями 67
2Л Принцип Максимума Понтрягина
для задачи оптимального управления
с фазовыми ограничениями
Явление вырождения принципа
максимума 67
2.2 Множество достижимости для задачи управления
с фазовыми
ограничениями 79
2.3 Основные
теоремы 84
2.4 Приложение к линейным управляемым
системам 89
Заключение , 98
Список публикаций по теме
диссертации 99
Список литературы
Введение к работе
В последнее время ряд задач, например, в теории управления потребовал обобщения классических теорем прямого метода Ляпунова. Потребовались исследования функций Ляпунова, являющихся выпуклыми функциями и не являющихся? в то же время, непрерывно дифференцируемыми функциями. Первая глава диссертации посвящена исследованию кус очно- лине иных функций Ляпунова линейной стационарной системы и вопросам локализации спектра устойчивых матриц. В работах [3 —5] показано, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) необходимы следующие условия: существование функции Ляпунова вида (2) и невырожденность матрицы А. В работе будет доказана достаточность выполнения этих условий для асимптотической устойчивости нулевого решения системы. Приведем основные результаты первой главы- В первом параграфе первой главы получены условия существования функции Ляпунова вида (2) для системы (1).
Рассмотрим линейную стационарную систему 5, описываемую векторным уравнением:
— = Ах
(х є R"),
(1)
А =
а.
Uni - - * ііпп
— вещественная матрица с постоянными элементами. Система S асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда спектр
(т(Л) матрицы Л лежит в открытой левой полуплоскости {А 6 R : Re А < 0} комплексной плоскости С. При этом в качестве функции Ляпунова W(x) для системы S всегда можно выбрать положительно определенную квадратичную форму
W(x) = {Bx,x).
Например, можно положить
W{x)=J\\eAtx\\2dt.
Поскольку система (1) однородна, а положительно определенную квадратичную форму на единичной сфере с любой точностью в равномерной метрике можно аппроксимировать кусочно-линейными функциями, то функцию Ляпунова для системы (1) всегда можно построить и в классе кусочно-линейных функций, т.е. в виде
где U (i = 1,...,iV) — некоторый набор ненулевых векторов из R".
Функция V{x) вида (2) называется функцией Ляпунова системы (1), если выполнены следующие условия
V(x) >0, при ІИІт^О. (3)
Для каждого решения x(t) системы (1) функция
Заметим, что функция V(x) выпукла и непрерывна на R", поэтому является липшицевой на любом ограниченном множестве.
Вектор функция x(t) является липшицевой на любом конечном отрезке. Отсюда следует, что и функция (p{t), будет липшицева на любом конечном отрезке [Ті,7] и почти всюду на нем дифференцируема. Для невозрастания липшицевой функции
Предложение 1. Для того, чтобы функция V(x), определенная формулой (2), была функцией Ляпунова системы (1) необходимо и достаточно, чтобы
0 Є int conv {її,.,. ,дг}
и для любого х Є 5"""1
(Ах,іі) <0 (а Є J(x))t
где J{x) — множество индексов, отвечающих активным ограничениям:
J(x) = {i {!,...,М}:(1{,х) = У(х)}.
Пусть V(x) — кусочно-л иней нал функция Ляпунова системы (1). Положим
М = {хвПп:У{х) < 1}.
Множество М является ограниченным выпуклым многогранником в R^; будем называть его порождающим многогранником кусочно-линейной функции Ляпунова V(x). Условия, при которых некоторый многогранник М С R" является порождающим
многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова V(x) системы (1)5 определяет следующее утверждение
Предложение 2. Выпуклый многогранник М С Rn является порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова V(x) системы (1) е том и только том случае, если М ограничен, телесен?
О Є int М
и для каждой точки х его границы дМ выполнено неравенство
max (у, Ах) < О,
где N(x) — конус, нормальный к М в точке х:
N(x) = {henn:(h,y-x)< 0,ff Є М}.
Условия, при которых многогранник М С R" будет порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова системы (1), можно сформулировать и в терминах его вершин.
Пусть Ьі,..,5&дг — вершины ограниченного выпуклого телесного многогранника М С R/S
Предложение 3. Для того, чтобы многогранник М был порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова системы (1) необходимо и достаточно, чтобы
О int М
и каждый вектор АЬ{ (і = 1,.. -, Лг) был представим в виде линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами векторов
&i — Ьі, - -., bi-i - bif 6ї+і — ft»,... ,6/ґ — Ь*«
Предложение 4. Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2)- Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.
Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2). Обозначим, далее, через К(А) угол в комплексной плоскости С в вершиной в нуле, биссектрисой которого является полуось Re А <
О и радианная величина которого равна тгґ 1 roYj-
Теорема 1. Имеет место включение
а{А) с К{А).
Если характеристика v(S) неизвестна, но для системы (1) удается построить функцию Ляпунова с п образующими, то информацию о расположении спектра &{А) матрицы А можно получить, используя формулируемую ниже теорему 2.
Пусть К ft — угол в комплексной плоскости С с вершиной в нуле, биссектрисой которого является полуось Re А < 0 и с ради-
анной мерой 7г( 1 — ~4?}в
Теорема 2. Справедливо включение
а{А) С Kn-
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2) и матрица А невырождена. Тогда нулеоое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Предложение 5. Пусть многогранник М порождает функцию Ляпунова вида (2) системы (1). Если для каждой вершины Ьі многогранника М выполнено включение
АЬі є int cone{bj — ^i}bjeQi (4)
где Qi - множество вершин соседних с Ъ{, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Теоремы 1 и 2 позволяют получить информацию о расположении спектра устойчивой матрицы, если известна информация о количестве образующих кусочно-линейной функции Ляпунова-Естественно поставить обратную задачу: как по спектру о~{А) матрицы А вычислить характеристику ^(5), В общем случае удается лишь оценить эту характеристику. Однако если спектр матрицы А веществен, то v{S) удается вычислить.
Теорема 3- Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда
Теорема 4. Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда имеет место оценка
"(5)<(Р + 1)(П[ 27Г pk 1 +1)- (5)
v *=i ltt - 2 arccos . А J * J
ш + 4
В третьем параграфе первой главы рассмотрена задача исследованиям условий для асимптотической устойчивости градиентных систем.
Рассмотрим две градиентные системы
dx ~dt
= -V/o(a:)
= -Vh{x)
(х є нЛ), (6)
(х Є R*), (7)
С изолированным нулевым состоянием равновесия. Однопараме-трическое семейство градиентных систем
— = -V/fr, А) (х Є KN,Q < А < 1). (8)
Назовем невырожденной деформацией системы (6) в систему (7), если потенциал /(-; -) : R^ — R непрерывен по совокупности переменных вместе с градиентом V/(-; -) : RN —> R, при каждом А Є [0,1] нуль является изолированной равномерно по А 6 [0,1] критической точкой потенциала /(; А) и
/(;0) = /„, /(;!) = Л-
Справедлива Теорема1.
Пусть существует невырожденная деформация градиентной системы (6) б градиентную систему (7)- Пусть нуль — асимпто* тически устойчивое состояние равновесия системы (6). Тогда нуль—асимптотически устойчивое состояние равновесия системы
Следствие, Пусть в условиях теоремы —Vfo(x) = Аох, Vfi(x) = А\Х. Тогда, если А$ — устойчивая матрица, то и А\ будет устойчивой матрицей. Справедливо равенство для минимального числа образующих кусочно-линейной функции Ляпунова
i/(So) =v(5i),
Вторая глава посвящена исследованию задач управления системы обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии фазовых ограничений- Подобная задача возникла давно Она, с одной стороны, чрезвычайно важна для практики, так как фазовые ограничения демонстрируют то, что фазовая траектория должна находиться все время движения в заданном подмножестве фазового пространства. Это может быть обуатовлено ограниченными возможностями самой системы (например, летательный аппарат обязан все время находиться над поверхностью земли} а организм летчика, управляющего самолетом, не может переносить перегрузки выше определенной нормы, управляемый автомобиль не
*С.В. Емельянов, С.К. Коровин, Н.А. Бобылев, А.В. Булатов. Гомотопил экстремальных задач,— U.: Наука, 2001 с, 281
может покидать некоторую заранее заданную территорию и т.д.). В физике задачи с фазовыми ограничениями возникают при исследовании многомерных систем с гистерезисными нелинейностями, при описании электрических цепей с диозньши и тиристорными преобразователями и во многих других процессах.
В то же время, как показало развитие теории управления, с математической точки зрения исследование задачи управления с фазовыми ограничениями весьма сложно и трудоемко. Даже доказательство принципа максимума Понтрягина, являющегося традиционным методом исследования задач оптимального управления, требует применения весьма сложной математической техники. В то же время, как показано в первом параграфе второй главы, принцип максимума Понтрягина в своей классической формулировке для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями может вырождаться(т.е. выполняется тривиальным образом для любой допустимой траектории), что делает его непригодным для применения. Поэтому во второй главе избран другой путь, основанный на исследованиях множества достижимости изучаемой динамической системы с фазовыми ограничениями. Сформулируем основные результаты второй главы.
Итак, рассмотрим управляемую систему, вида
^ = /(*) +В(*)«. (9)
Здесь
fi{xi,...,xN)
X =
f(x) =
/^1,...,2^)
B(x) =
Ьц(яь -*хіг) Ьік(яи .jXft)
и =
«і
Вектор д: Є RA назывем фазовым вектором системы, а и Є YiK — управлением.
Значения управляющих воздействий, которые предполагаются кусочно-непрерывными функциями, лежат в некотором множестве U С RA. Сами управляющие компоненты вектор-функции fix) и матрицы-функции Ь(х) будем считать липшицевыми
Зададим начальное условие для определения решения уравнения (9)
я(*о) = #0-Для простоты будем считать, что
х(0) = О,
Зададим, далее, некоторый момент времени Т.
Множество кусочно-непрерывных управлений «(), определенных на промежутке [0, г] и принимающих значения в множестве U С R^ обозначим через 14{т). Для каждого управляющего воздействия
«(О Є и {0
(10)
rf = f(x)+B(x)u(t)
х(0) =0 имеет единственное решение, которое мы обозначим через
Множество
V{T)= U U P(r;«(r)) (11)
0<г<Г u[t)&t[T)
называется множеством достижимости из точки 0 управляемой системы (9).
В приложениях часто приходится рассматривать систему (9) не на всем пространстве НЛ, а лишь на некотором множестве
GcR/\
т.е. рассматривать задачу
(12)
Пусть
Управление
u(t)eU(r) (0<т<Г)
называется допустимым, если отвечающая ему траектория
p(t\ u(t)) (0
системы (9) лежит в множестве G. Множество всех допустимых управлений для заданного момента г обозначим через V{r). По определению, справедливы включения
V{t)cU{t) (0<т<Т).
Множество
VG(T)= U U РІТ'Мг)) (13)
называется множеством достижимости за время, не превосходящее Ту из нулевой точки в задаче (12).
Будем считать,что граница dG множества G гладкая. Зафиксируем точки х Є dG и обозначим через п(х) вектор единичной внешней нормали к dG в точке х.
Теорема 5. Пусть выполнено следующее условие
inf inf (n(x)J(x) + В(х)и) > О, (14)
Тогда справедливо равенство
,VG{T)=V(T)nG. (15)
Замечание 1.
Если U — компактное множество (т.е. U — ограниченно и замкнуто), то в этом случае все решения задачи Коши (10) па промежутке [0,Т] при всевозможных и{р) Є U лежат е некотором шаре В(Я) С R^- В этом случае теорема 5 допускает следующее уточнение.
Теорема 6. Пусть выполнено следующее условие
тій mm(n(x),f(x) + В(х)и) > 0. (16)
xedGf)B(R) u/v ч nJ v J ч ' } v J
Тогда справедливо равенство
VG(T)=V(T)f]G. (17)
В ряде случаев фазовые ограничения задаются системой неравенств
9i(x)<0,...,gk(x)
где gi(х)7. - ,дк(х) — некоторые функции, т.е. множество G определяется формулой
G = {х Є RA : gt{x) < О, г = 1,..., к]. (19)
В этом случае задачу с фазовыми ограничениями будем записывать в виде
и (У, ' (20)
0і(я) < 0,...,р*(х) < 0. Сформулируем модификацию теоремы 5 на этот случай.
Пусть х Є G. Обозначим через 1{х) — множество таких индексов г, для которых
9i{x) = 0.
Множество 1{х) отвечает активным ограничениям, т.е. если для некоторого X
І(х) ф 0,
xedG,
где G определяется формулой (19). Справедливо следующее утверждение-Теорема 7. Пусть выполнено условие
inf max mf(Vqi(x).f(x) + В(х)и) > 0.
Тогда
Va{T)=V(T)nG.
Рассмотрим случай линейной управляемой системы
f -Ах + В-и
ueU.
(21)
Здесь
А =
в =
ЯІЛГ
fcjVl . ., Ьнк
X =
и —
Xi XN
щ ик
U — некоторое множество в RK, Начальное условие положим
нулевым:
х(0) = 0.
Пусть, далее, Т > 0 — некоторый фиксированный момент времени.
Пусть матрица А — симметрическая:
А = А\
Пусть, далее е$ — нормированный собственный вектор матрицы Л, которому отвечает простое положительное собственное значение Aq:
Acq = Aq^qv
Обозначим через Е$ — одномерное подпространствоу натянутое на ео, а через Е — ортогональное дополнение к ер. Определим фазовое ограничение в задаче (21) неравенством
G={xSB,N :{х,е0) <С},
где С > 0. Таким образом, наша задача принимает вид
& = Ах + Ви,
(22)
и Є U,
(х,е0) < С, [ х(0) = 0.
Пусть Т>с(Т) — область достижимости в задаче (22), Приведем условия, при которых
VG{T)=V{T)f\G,
где *D{T) — область достижимости в задаче без фазовых ограничений. Они имеют вид.
mf [CA0 + (e0,Bu)]>0.
Рассмотрим теперь случай линейной управляемой системы с линейным фазовым ограничением общего вида
и Є U, (х,а) <Ь, { х(0) = 0.
(23)
Здесь а R^ — некоторый фиксированный вектор, Ь — некоторое фиксированное число. Относительно матрицы Л мы снимем предположение о ее симметричности, а будем предполагать, что множество U С ВЛ компактно и лежит в некотором шаре с центром в начале координат пространства R^ и радиуса г:
U С В{г) = {иЄВ* :\\и\\ < г].
Оценим радиус шара с центром в начале координат пространства RA' в котором лежат все траектории при 0 < t < Т задачи Коши
х(0) = О при всевозможных и{) (0 < t < Т), лежащих в U:
«(*) єи (0
Оказывается, все траектории задачи Коши (24) при всевозможных управлениях u(t) U на промежутке [0,Т] лежат в шаре B(R) С R* радиуса
R = T-\\B\\-v^T.
Рассмотрим теперь границу области фазовых ограничений
G = {xRN : (я,а) < Ь}, Эта граница является гиперплоскостью
n = {xeHN :{х,а)=Ь}.
Вектор внешней нормали к П — это вектор а. Рассмотрим пересечение II с шаром B(R)i радиус которого определен формулой (24):
Пусть при х Є П П B(R) выполнено неравенство
(Ах^а) + inf(Вща) > 0.
Тогда область достижимости Т>с{Т) в задаче (23) совпадает с пересечением области достижимости Т>{Т) в задаче без фазовых ограничений с полупространством
Верна также следующая теорема Теорема 8.
Пусть выполнено следующее условие
inf inf (п(х\ fix) + В(х)и) > 0.
Тогда справедливо равенство
VG{T)=V{T)r\G.
