Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы. Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами, при исследовании нелинейных импульсных систем, а также используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений.
В современных реалиях задача устойчивости имеет особое значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Многие приемы в области исследования устойчивости, разработанные для непрерывных систем, были распространены на системы разностных уравнений. Установлены условия устойчивости для линейных разностных уравнений, получен дискретный аналог прямого метода Ляпунова, с помощью которого доказана устойчивость по линейному и нелинейному приближениям и т. д.
На данный момент хорошо изучена проблема устойчивости линейных разностных систем. Хотя линейные модели удобны, однако, часто приходится рассматривать системы, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов.
В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М.
A. Скалкиной и многих других ученых, при этом основным методом анали
за являлся второй метод Ляпунова. В работах А. Ю. Александрова, А. П.
Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных
систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению
и т. д.
На основании полученных результатов ставилась и решалась задача стабилизации программных движений систем, описываемых линейными и нелинейными разностными уравнениями.
Однако, в настоящее время устойчивость нелинейных дискретных систем остается еще малоизученной. Особый интерес представляет нахождение условий устойчивости для нелинейных неавтономных разностных систем, а также разработка новых приемов в области анализа устойчивости по нелинейному приближению. К тому же данные результаты будут способствовать расширению способов построения управлений, гарантирующих устойчивость заданных движений.
Кроме того, важной задачей при изучении нелинейных разностных систем является исследование их на диссипативность. Условия диссипатив-ности глубоко изучены для систем дифференциальных уравнений. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича,
B. И. Зубова и ряда других авторов. При анализе диссипативности диф
ференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. В
дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем также были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.
При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной проблемой является сохранение качественных характеристик исследуемых систем. Известно, что часто требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов, основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к их усложнению. В связи с этим, весьма важно выделение таких классов систем, для которых имеет место сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду без соответствующих коррекций.
Теория управления является одним из важных разделов современной науки. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Нахождение условий устойчивости и разработка новых методов ее анализа открывают перспективы дальнейшего развития методов теории стабилизации.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач, что позволяет сделать вывод о ее актуальности.
Целью диссертационной работы является изучение динамики существенно нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, построение управлений, стабилизирующих программные движения, а также управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость изучаемых движений. Помимо этого, в диссертации найдены классы систем, для которых имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, непрерывных и соответствующих им дискретных систем.
Методы исследования. В работе используются методы качественной теории разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления. Основным аппаратом исследования является прямой
метод Ляпунова.
Научная новизна. Новыми результатами, представленными в диссертации, являются:
условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;
теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;
достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений;
теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;
условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Полученные в ней результаты могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а сформулированные и решенные задачи по обеспечению асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и практической устойчивости могут применяться при проектировании и разработке управляемых систем.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость "(Санкт-Петербург, 2012 г.), "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования "(Воронеж, 2012 г.), на ежегодных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами СПбГУ (2010-2012 гг.).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ, три из которых [1, 2, 3] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста. Работа содержит 2 рисунка. Список литературы включает 58 наименований.
