Введение к работе
Объект исследования — линейные матричные неравенства.
Предмет исследования — разрешимость систем линейных матричных неравенств различного рода
Актуальность темы. Системы линейных матричных неравенств являются одной из базовых форм представления различных задач современной теории управления Для их численного решения созданы эффектив-?іьіе программные средства, входящие в состав сред MATLAB, SCILAB и др. В то же время для исследователя часто бывает невозможно ограничиться только численными результатами, которые предоставляет данное программное обеспечение Ввиду этого особую ценность имеют результаты, посвященные установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств с помощью аналитических методов.
Имеющиеся в данной области результаты крайне малочисленны по причине высокой сложности проблемы и к тому же применимы к ограниченному классу систем Первые критерии были получены В А. Каменецким и Е. С. Пятницким. Дальнейшие исследования связаны с такими именами, как Т. Ooba и Y. Funahashi (достаточные условия разрешимости), R. N. Shorten, К. S. Narendra, О Mason и др (необходимые и достаточные условия разрешимости систем линейных матричных неравенств для динамических систем второго порядка простейшего вида)
Несмотря на уделяемое проблеме разрешимости систем линейных матричных неравенств внимание, количество вопросов в этой области по-прежнему намного превышает число ответов. Более того, формулировки теорем именно в терминах разрешимости систем линейных матричных неравенств носят в работах указанных авторов вторичный характер, главную же роль играют непосредственно исходные задачи теории управления, такие как, например, устойчивость систем с переключениями.
В связи с этим является актуальным исследование систем линейных матричных неравенств с позиций их разрешимости, что позволит сформировать общий подход к решению подобных задач, и последующий анализ конкретных задач теории управления с помощью найденного подхода.
Цель работы заключается в расширении области применимости аналитических методов в задачах о разрешимости систем линейных матричных неравенств.
Задача исследования заключается в разработке критериев разрешимости систем линейных матричных неравенств (ЛМН) второго порядка следующих видов-
системы ЛМН, сводимые к системам двух или трех скалярных неравенств второго порядка;
системы ЛМН, возникающие в задаче о существовании общей функции Ляпунова произвольного количества стохастических систем второго порядка с непрерывным или дискретным временем,
системы ЛМН, возникающие в задаче об одновременной стабилизации двух детерминированных систем второго порядка с непрерывным временем.
Методы исследования, применяемые в работе, относятся к теории дифференциальных уравнений, теории матриц, математической теории управления, теории устойчивости и алгебраической геометрии.
Научная новизна.
Разработан подход к установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, заключающийся в сведении исходной системы к эквивалентной системе скалярных неравенств второго порядка и последующем ее анализе с применением принципа двойственности
Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, сводимых к системам двух или трех скалярных неравенств второго порядка.
Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче о существовании общей функции Ляпунова произвольного количества стохастических систем второго порядка с непрерывным или дискретным временем.
4. Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче об одновременной стабилизации двух детерминированных систем второго порядка с непрерывным временем.
Рекомендации по использованию результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться как в сочетании с численными методами решения систем линейных матричных неравенств (например, при анализе трудных задач, находящихся на границе области разрешимости), так и для решения задач, сама постановка которых включает в себя нечисловые элементы (см. пример в кратком содержании главы 3). Кроме того, представленный в данной работе подход и полученные результаты открывают перспективы решения различных открытых проблем теории управления, таких как задача об аналитических условиях наличия общей функции Ляпунова у множества линейных динамических систем или их одновременной стабилизируемости.
Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом полученных формул и уравнений и доказательством утверждений.
Личным вкладом соискателя в диссертации и совместных публикациях является формирование общего подхода к решению рассматриваемых задач, формулирование и доказательство теоретических результатов, разработка программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные результаты. Научному руководителю, д.ф.-м.н., проф. П. В. Пакшину, принадлежат постановки задач и общая схема исследования.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научной секции 10-й Международной студенческой олимпиады по автоматическому управлению (Балтийской олимпиады) ВОАС 2004 (Санкт-Петербург, 2004); Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2004)» (Нижний Новгород, 2004); VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004); Международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 2004, 2005); IV Международной молодежной научно-технической конференции
«Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2005); 10-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2005); VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005); V Юбилейной Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2006); 11-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2006), Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2006)» (Нижний Новгород, 2006); IX Международном семинаре им. Е.С.Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2006); 12-й Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2006 (Миендзиздрое, Польша, 2006).
Доклад па конференции ВОАС 2004 был удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции MMAR 2006 был удостоен первой премии по результатам конкурса работ молодых ученых.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 4 статьи, из них 2 в журналах из перечня ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 51 наименование. Работа изложена на 100 страницах, содержит 11 иллюстраций.
