Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи. Обзор методов 11
1.1 Постановка задачи 11
1.2 Обзор методов адаптивного и робастного управления нелинейными системами 16
1.2.1 Алгоритмы адаптивного и робастного управления нелинейными системами по состоянию 17
1.2.2 Стабилизация нелинейных систем по измерениям части вектора состояния 23
1.2.3 Управление по выходной переменной 25
1.2.4 Выводы 37
1.3 Основные положения, используемые в работе 38
2 Адаптивное и робастное управление нелинейными системами по выходу с ограниченными функциональными неопределенностями . 42
2.1 Управление нелинейными невозмущенными системами с ограниченными функциональными неопределенностями 42
2.1.1 Постановка задачи 43
2.1.2 Синтез алгоритма управления 44
2.1.3 Пример 50
2.1.4 Адаптивная настройка параметров регулятора 52
2.1.5 Пример 54
2.2 Управление нелинейными возмущенными системами с ограниченными функциональными неопределенностями 56
2.2.1 Постановка задачи 56
2.2.2 Синтез алгоритма управления 57
2.2.3 Пример 58
2.3 Заключительные выводы по главе 60
3 Адаптивное и робастное управление нелинейными системами по выходу в условиях секторного ограничения на нелинейность 61
3.1 Управление нелинейными невозмущенными системами в условиях секторного ограничения на нелинейность 63
3.1 1 Постановка задачи 63
3.1.2 Синтез алгоритма управления 65
3.1.3 Адаптивная настройка параметров регулятора 70
3.1.4 Пример 71
3.2 Адаптивная стабилизация хаотических процессов в цепи Чуа . 74
3.2.1 Постановка задачи 77
3.2.2 Синтез алгоритма управления 78
3.3 Управление нелинейными возмущенными системами в условиях секторного ограничения на нелинейность 83
3.3.1 Постановка задачи 83
3.3.2 Синтез алгоритма управления 85
3.3.3 Пример 90
3.3.4 Адаптивная настройка параметров регулятора 92
3.4 Заключительные выводы по главе 93
4 Адаптивное и робастное управление нелинейными системами по выходу в отсутствие секторных ограничений на нелинейность 95
4.1 Стабилизация нелинейной системы с неограниченной нелинейностью по измерениям выхода и его производных 96
4.1.1 Постановка задачи 97
4.1.2 Синтез алгоритма управления 97
4.1.3 Адаптивная настройка параметров регулятора 100
4.1.4 Пример 100
4.2 Управление нелинейными невозмущенными системами в отсутствие секторных ограничений на нелинейность 102
4.2.1 Постановка задачи 102
4.2.2 Синтез алгоритма управления 103
4.3 Управление системой Дуффинга 109
4.4 Управление системой Ван дер Поля 112
4.5 Алгоритм адаптации для стабилизации нелинейных систем в отсутствие секторных ограничений на нелинейность 116
4.6 Управление нелинейными возмущенными системами в отсутствие секторных ограничений на нелинейность 124
4.6.1 Постановка задачи 124
4.6.2 Синтез алгоритма управления 125
4.6.3 Пример 130
4.7 Стабилизация хаотической системы, описываемой уравнением Вандер Поля 133
4.7.1 Постановка задачи 133
4.7.2 Синтез алгоритма управления 134
4.8 Заключительные выводы по главе 137
5 Использование алгоритмов адаптивного и робастного управления для решения прикладных задач 138
5.1 Адаптивная стабилизация электромеханического преобразователя 138
5.2 Адаптивное управление углом либрации спутника 145
5.3 Управление однозвенным роботом-манипулятором с гибкими связями 150
5.4 Заключительные выводы по главе 159
Заключение 160
Литература 162
Приложение.
- Постановка задачи
- Управление нелинейными невозмущенными системами с ограниченными функциональными неопределенностями
- Управление нелинейными невозмущенными системами в условиях секторного ограничения на нелинейность
- Стабилизация нелинейной системы с неограниченной нелинейностью по измерениям выхода и его производных
Введение к работе
Предметом исследований диссертационной работы является проблема синтеза алгоритмов адаптивного и робастного управления нелинейными неопределенными системами, состоящими из линейного динамического блока и нелинейного статического блока в обратной связи. При исследованиях предполагается, что параметры линейной части объектов управления неизвестны, либо известны не полностью, а на нелинейность могут налагаться различного рода ограничения: нелинейность может быть ограниченной по модулю; нелинейность может лежать в известном секторе; нелинейность может быть неограниченной.
Интерес к проблемам адаптивного управления нелинейными системами не угасает на протяжении последних четырех десятилетий. Решению задач управления нелинейными системами как по состоянию, так и по выходу (т.е. без измерения производных выходной переменной или вектора состояния), посвящено большое количество работ, включающих публикации иностранных авторов таких как: П. Кокотович, М. Арсак, А. Исидори, В. Лин, Р. Марино, П. Томей и др., а так же российских авторов: А.Л. Фрадков, Б.Р. Андриевский, И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, М.М. Коган, В.А. Якубович и др.
Проблема синтеза алгоритмов управления нелинейными системами, в которых управляющее воздействие и нелинейность являются согласованными (т.е. выходной сигнал нелинейного блока может быть непосредственно компенсирован соответствующим сигналом управления в предположении, что выходной сигнал нелинейного блока точно известен), является хорошо изученной. В настоящее время проблема управления нелинейными системами описанного класса не представляет значительного исследовательского интереса. На сегодняшний день интерес к управлению нелинейными системами, как по состоянию, так и по выходу, в большей мере относится к систе мам, в которых нарушены условия согласования нелинейности и управляющего сигнала.
В настоящее время актуальной проблемой остается проблема синтеза алгоритмов управления нелинейными системами по измерениям выходной переменной. Управление только по измерениям выхода объекта управления позволяет упростить проектирование технических систем, уменьшая их габариты, так как пропадает необходимость использования большого количества датчиков, которые измеряют вектор состояния проектируемой системы и вносят дополнительные погрешности, связанные с ошибками измерений и дополнительными возмущениями (шумы измерений). В ряде случаев при проектировании системы управления невозможно установить датчики, позволяющие измерить ряд переменных состояния системы, либо производные выходной переменной. Также уменьшение количества датчиков ведет к снижению стоимости системы управления.
В настоящее время проблемам синтеза алгоритмов адаптивного и роба-стного управления по измерениям выходной переменной посвящено большое количество статей и монографий. Методы адаптивного управления параметрически неопределенными системами достаточно развиты, однако предлагаемые схемы адаптивного управления зачастую обладают высокой размерностью, а также используют сложный математический аппарат, что усложняет их инженерное использование. В связи с этим, проблема синтеза алгоритмов адаптивного и робастного управления, обладающих простой структурой и малой размерностью остается открытой. Основной интерес диссертационной работы приковывается к подверженным влиянию внешнего возмущения нелинейным неопределенным системам, в которых: во-первых, нарушены условия согласования между управлением и нелинейностями, во-вторых, измеряется только выходная переменная объекта управления.
Основные методы исследования базируются на положениях современной теории нелинейных систем. Основной математический аппарат, примененный при проведении диссертационных исследований, составляют: метод пространства состояний, теория пассивных систем, метод функций Ляпунова, матричные уравнения Сильвестра и Ляпунова. Иллюстрация работоспособности предлагаемых алгоритмов производится с помощью компьютерного моделирования в программной среде MATLAB [8], [34].
Целью диссертационной работы является разработка новых алгоритмов и методов управления нелинейными неопределенными системами по измерениям выходной переменной, обладающих простой структурой и позволяющих решать задачи стабилизации и управления нелинейными системами. Будут рассматриваться нелинейные системы, состоящие из линейного динамического минимально фазового блока и нелинейного статического блока в обратной связи. Будут выдвинуты следующие ограничения на нелинейность:
- нелинейность является ограниченной по модулю;
- на нелинейность накладываются секторные ограничения относительно функции выхода;
- нелинейность является неограниченной относительно функции выхода.
Практическая значимость.
Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в системах управления электромеханическими системами, используемыми в различных областях науки и техники. Математическими моделями, рассматриваемыми в рамках данной диссертационной работы, может быть описано большое количество технических систем, в том числе:
- электромеханические системы [17], [26], [39];
- космическая техника [4], [9] - [11], [57] - [59], [87];
- робототехнические системы [70], [76], [93], [97].
Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики по персональному гранту А04-3.16-387 «Развитие методов управления по выходу для нелинейных систем типа Лурье», полученному по результатам конкурса 2004 года для поддержки научно исследовательской работы аспирантов государственных образовательных учреждений высшего профессионального образования, находящихся в ведении федерального агентства по образованию, по направлению: автоматика и телемеханика.
Апробация результатов работы.
Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на: 10-й международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Балтийской олимпиаде) ВОАС 2004; XXXIII, XXXIV, XXXV научных и учебно-методических конференциях СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004, 2005, 2006); VII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2005), II межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, 2005).
Публикации работы.
По материалам диссертации опубликовано 13 работ [1] - [5], [17] - [23], [52] из них 8 статей в рецензируемых журналах [1], [2], [4], [5], [17], [19], [20], [23].
Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 100 наименований и приложения. Диссертационная работа изложена на 173 страницах машинописного текста.
В первой главе осуществляется введение в проблематику управления нелинейными неопределенными системами. Дается постановка задач, решаемых в рамках данной диссертации, а так же формулируются допущения, при которых решаются поставленные задачи. В первой главе также рассматривается текущее состояние дел, связанных с проблемами адаптивного и ро-бастного управления, как в российской, так и в международной литературе. Дается обзор основных подходов и методов адаптивного и робастного управления, предлагаемые в настоящее время для решения задач управления нелинейными системами как по состоянию, так и по выходу, а также приводятся основные положения, на которых будут основаны диссертационные исследования.
Во второй главе рассматривается задача синтеза алгоритмов адаптивного и робастного управления нелинейными системами, состоящими из линейного динамического минимально фазового блока и нелинейного статического блока в обратной связи, в предположении, что нелинейность является ограниченной по модулю. Предлагается алгоритм управления, использующий только текущее измерение выходной переменной, обеспечивающий ограниченность сигналов в замкнутой системе и сходимость выходной переменной в область, задаваемую разработчиком.
В третьей главе рассматривается задача синтеза алгоритмов адаптивного и робастного управления нелинейными системами, состоящими из линейного динамического минимально фазового блока и нелинейного статического блока в обратной связи, при этом предполагается, что на нелинейность накладывается секторное ограничение. Предлагается алгоритм управления, использующий только текущее измерение выходной переменной, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость замкнутой системы при идеальных условиях и сходимость выходной переменной в заданную область при действии возмущений.
В четвертой главе рассматривается задача синтеза алгоритмов адаптивного и робастного управления нелинейными системами, состоящими из линейного динамического минимально фазового блока, относительная степень которого равна двум, и нелинейного статического блока в обратной связи, при этом предполагается, что нелинейность ограничена функцией выходной переменной, возведенной в степень (положительное целое число). Предлагается алгоритм управления, использующий только текущее измерение выходной переменной, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы при идеальных условиях и сходимость выходной переменной в заданную область при воздействии на систему возмущений.
В пятой главе рассматриваются возможности использования, предлагаемых в работе алгоритмов управления, для решения прикладных задач. Рассматриваются проблемы управления: электромеханическими системами на примере электромеханического преобразователя; космической техникой на примере управления углом либрации спутника; робототехническими системами на примере управления однозвенным роботом-манипулятором с гибкими связями.
В разделе «Заключение» кратко излагаются основные теоретические и практические результаты проведенных диссертационных исследований, указываются возможные пути их дальнейшего развития.
В разделе «Приложение» приведено свойство строгой вещественной положительности передаточных функций.
На защиту выносятся методы синтеза алгоритмов адаптивного и ро-бастного управления нелинейными системами по выходу, состоящими из линейного минимально фазового динамического блока и статической нелинейности в обратной связи для случаев, когда нелинейность является:
- ограниченной по модулю;
- на нелинейность накладывается секторное ограничение относительно выходной переменной;
- нелинейность является неограниченной относительно выходной переменной.
Новые методы адаптивного и робастного управления:
- электромеханическими системами на примере электромеханического преобразователя;
- космической техникой на примере управления углом либрации спутника;
-робототехническими системами на примере однозвенного робота-манипулятора с гибкими связями.
Постановка задачи
Рассмотрим нелинейную систему вида \z = f{z) + g{z)u + w(t), У = Kz), где zeRn — вектор состояния, ueR — сигнал управления, ysR — выход (регулируемая переменная), w(t) — неизвестное ограниченное возмущение, / (), g(-), /i(-) — гладкие функции своих аргументов. Допущение 1.1. Пусть h(z) = Rzz, g(z) = Lz и f(z) = Fzz + y/(z,t), где y/(z,t) — неизвестная функция. Тогда модель (1.1) примет вид і = F.z + L7u + u/(z,t) + w(t), (1.2) y = Rzz, где FZ,LZ,RZ — матрицы с неизвестными коэффициентами, пара FZ,LZ — полностью управляемая, пара Rz ,FZ — полностью наблюдаемая, неизвестная функция if/ (z, t) представима в виде я УОМ)=2X /0,0, (1.3) где dt — неизвестный постоянный вектор; (p\{z,t) — неизвестная функция; неизвестное, ограниченное возмущение w(t) представимо в виде /=1 (1.4) где fj — неизвестный постоянный вектор; Wj(t) — неизвестная, ограниченная функция "и ДО woi woi 0 — положительное число. Структурная схема нелинейной системы (1.2) приведена на рисунке 1.1. Рисунок 1.1 - Структурная схема нелинейной системы Замечание 1.1. Для простоты рассмотрим случай, когда / = 1 и обозначим (Pi(z,t) = p(z,t), wt(t) = w(t), \w(t)\ w0, w0= const. Тогда модель (1.2) принимает вид (1.5) z = Fzz + Lzu + d(p{z,t) + fw(t), \y = RTzz. Переходим к модели вход-выход (В-В) pz = Fzz + Lzu + d(p(z,t) + fw{t), (pi -Fz)z = Lzu + d(p(z,t) + fw(t), z = (/7/ - Fz Г1 (Lzu + d(p{z,t) + fw{t)), y = RTzz, у = RTz{pI - Fz )-1 (Lzu + dg (z,t) + fw{t)), у = RTz{pI - Fz) lLzu + RTz{pI - Fz)-Xd p{z,t) + RTz{pI - Fzylfw(t), где p = d/dt — оператор дифференцирования. Из последнего выражения получаем модель вход-выход у = -и + ф,,) + ), (1.6) где b(p) = bmpm + bm_lpm l + ... +bxp + bQ - гурвицев полином степени т, Ьт 0; а(р) = р" +ап_хрпЛ +... + а1р + а0 - полином степени п, может быть неустойчивым; d(p) = drpr +rr_xpr x + ... +dxp + d0 — полином степени г, г п, может быть неустойчивым, f(p) = pq+fq-\P4 + — + f\P + fo - полином степени q, q n (может быть неустойчивым); относительная степень передаточной функции известна р = п-т; коэффициенты b a d;,/; а(р) предполагаются неизвестными; w(t) — неизвестное ограниченное возмущение и (/) Щ, w0 О; p(z, t) — неизвестная функция. Сформулируем допущения, при которых будут решаться задачи стабилизации нелинейных систем вида (1.6).
Управление нелинейными невозмущенными системами с ограниченными функциональными неопределенностями
В разделе рассматривается проблема синтеза алгоритмов управления нелинейными невозмущенными системами, состоящими из линейного минимально фазового блока и нелинейного звена в обратной связи, при этом предполагается, что нелинейность является ограниченной функцией [17], [21]. Рассмотрим нелинейный объект управления вида z = Fzz + y/(z,t) + Lzu, y = RzTz, (2.1) где zeR" — вектор переменных состояния системы (2.1); FZ,LZ,RZ— неизвестные матрицы, причем пара (FZ,LZ) полностью управляемая, а пара (Rz ,FZ) полностью наблюдаемая; нелинейность y/{z,i) представима в виде \l/{z,i) = YJdi(pi{z,t), (2.2) где dj - неизвестный вектор постоянных параметров, cpt (z, t) — неизвестная, ограниченная функция для всех z и /. Структурная схема рассматриваемого класса нелинейных систем приведена на рисунке 2.1. Будем предполагать, что вектор переменных состояния z системы (2.1) не измеряется, а измеряется только выходная переменная у. Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда / = 1 и обозначим q x(z,t) = (p{z,t). Тогда модель (2.1) примет вид Запишем систему (2.3) в форме вход-выход где р = d/dt - оператор дифференцирования; b(p)-bmpm + bm_[pm [ +...+bxp + bQ — гурвицев полином степени т, Ьт 0, а(р) = рп + апЛрп х + ... + ахр + а0 - полином степени п (может быть неустойчивым); d(p) = drpr + dr_xpr + ... +dxp + d0 - полином степени г (может быть неустойчивым); г п-\\ коэффициенты b a di предполагаются неизвестными; относительная степень передаточной функ- ции равна р-п — т\ нелинейность (p(z, t) такая, что где число С0 0. В качестве цели управления зададимся решением задачи синтеза закона управления, обеспечивающего выполнение условия где число є0- задается разработчиком системы управления. 2.1.2 Синтез алгоритма управления Рассмотрим систему (2.4) в форме вход-выход (Р). где функция (р— (p(z,t) - является ограниченной в силу гурвицевости полинома Ь(р). Предположим, что производные выходного сигнала y(t) измеряются. Выберем закон управления вида [17] и = Х(р)й, (2.7) где х(р) гурвицев полином степени р-\ = п-т — 1; її — новое, заданно-ориентированное управление. Тогда модель (2.6) примет вид - (рЖ% + ), (2.8) где Ь(р)х(р) — гурвицев полином; относительная степень модели (2.8) равна единице (р = п-т = І), функция ср- (р -является ограниченной в силу Х(р) гурвицевости полинома х(р) Вследствие того, что относительная степень модели (2.8) равна единице, ее можно отнести к классу строго минимально фазовых систем [31]. Выберем закон управления вида й = -(р + к)у, (2.9) где число // 0 и коэффициент к О предназначен для компенсации неопределенности ф. Тогда при определенных значениях коэффициента р становится гурвицевым полином у{р) = а(р) + pb(p)x(p), а передаточная функция a(p) + pb(p)x(p) является строго вещественно положительной (см., например, [31], [33]).
Управление нелинейными невозмущенными системами в условиях секторного ограничения на нелинейность
Раздел посвящен управлению по измерениям выходной переменной нелинейными невозмущенными системами [15], [52], с функциональными и параметрическими неопределенностями. В данном разделе развивается, предложенный в предыдущей главе, подход к управлению нелинейными системами, состоящими из линейного динамического минимально фазового (но не строго минимально фазового) блока и нелинейного статического звена в обратной связи (см. рисунок 3.1), при этом предполагается, что нелинейность ограничена неизвестным сектором (см. рисунок 3.2). В предположении что измеряется только выходная переменная системы, но не ее производные, а параметры линейного блока, так же как и нелинейность неизвестны, выстраивается линейный последовательный компенсатор размерности /7-1 (где р — относительная степень передаточной функции линейного блока), обеспечивающий стремление выходной переменной объекта управления y(t) к нулю при t - оо. Рассмотрим нелинейную систему в форме вход-состояние-выход В соответствии с подходом, представленным в предыдущей главе, выберем закон управления вида [20] где число ju и полином х(р) выбираются из соображений гурвицевости полинома у(р) = а(р) + {&(р)%(р) положительный параметр к предназначен для компенсации неопределенности ср{у, t), а функция y(t) является оценкой выхода y(t) модели (3.3) и формируется алгоритмом вида где число т /л + к (подробнее о процедуре расчета т см. в доказательстве теоремы 3.1, неравенство (3.21)), а коэффициенты kt рассчитываются из соображений асимптотической устойчивости системы (3.6) при нулевом входе Очевидно, что закон управления (3.5) — (3.7) является технически реализуемым, так как содержит известные или измеряемые сигналы. Подставляя (3.5) в уравнение (3.3), получаем где невязка (функция отклонений) равна Проводя несложные преобразования, для (3.8) имеем а{р)у + цЬ(р)х(р)У Теперь представим модель вход-выход (3.9) в виде модели вход-состояние-выход где XGR" - вектор переменных состояния модели (3.10); A, b, q и с - соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем можно указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям [20], [31]: где Q\=Q] 0 причем значения матрицы Qx зависят от параметра /л и не зависят от параметра к. Перепишем алгоритм оценки (3.6), (3.7) в векторно-матричной форме Из выражения (3.25) следует экспоненциальная устойчивость положения равновесия х = 0 системы (3.10), (3.11), (3.13), (3.14) [20], что и требовалось доказать. Из экспоненциальной устойчивости системы (ЗЛО), (3.11), (3.13), (3.14), следует выполнение цели управления lim (/) = 0. Для построения адаптивного закона управления необходимо осуществлять настройку коэффициентов регулятора. В теореме 3.1 доказано, что при выполнении условия (3.21) существует коэффициент a = /i + k такой, что положение равновесия х = 0замкнутой системы является экспоненциально устойчивым. Для настройки параметра к = /2 +к можно воспользоваться алгоритмом, предложенным в разделе 2.1.4, т.е. будем линейно увеличивать коэффициент к до тех пор, пока не будет выполнено условие \у\ є0, где є0 — область, задаваемая разработчиком системы управления, что вполне достаточно для проектируемой технической системы. Для реализации этой идеи целесообразно воспользоваться алгоритмом вида [17] где число AQ 0 и область є0 задается разработчиком системы управления.
Стабилизация нелинейной системы с неограниченной нелинейностью по измерениям выхода и его производных
В данном разделе рассматривается проблема стабилизации нелинейной системы с неограниченной нелинейностью при наличии информации как о выходной переменной, так и об ее производных. Рассматриваются нелинейные системы, в которых нарушены условия согласования нелинейных блоков и управляющего сигнала, структурная схема рассматриваемого класса нелинейных систем приведена на рисунке 4.1. Рассмотрим нелинейный объект управления вида где p = d/dt - оператор дифференцирования; Ъ{р)-Ътрт +Ът_хрт х +... + bxp + b0 -гурвицев полином степени т, Ът 0; а(р) = р" +ап-\Р" 1 +...+а,/ + а0 - полином степени п (может быть неустойчивым); d(p) = drpr +dr_xpr l +... +dip + d0 -полином степени г (может быть неустойчивым); коэффициенты полиномов а(р), Ъ(р) и d(p) предполагаются неизвестными; р — q (y, t) неизвестная функция. Для формализации цели управления представим следующие допущения. Допущение 4.1. Функция р = (р(у, t) такая, что: 7(0,0 = 0, 0 \ С0 или 0 \ р{у, t)\ С0 г для всех у Ф 0, где число С0 0 неизвестно, а константа г 1 - целое число, полагается известным. Допущение 4.2. Будем полагать, что производные выходной переменной y(t) вплоть до р -1 производной (где р = п т относительная степень пе- редаточной функции W(p) = ) измеряются [18]. а(р) В качестве цели управления зададимся решением задачи синтеза закона управления, обеспечивающего выполнения условия ИтЯ0 = 0. (4.2) Выберем закон управления в виде u = -Z(p)(W + ky2T-1), (4.3) где zip) - гурвицев полином степени р -1, а числа ju О и к О будут определены ниже. Подставляя закон управления (4.3) в уравнение (4.1), получаем У = Щ[-ХІР)Ш + 2r_1)] + т\ Р& 0. (4.4) я(р) я(р) Проведем преобразование уравнения (4.4) а(р)у + Кр)Х(р)МУ = (P)z(p)[- 2r_11 + (РЖУ, t). (4.5) Принимая обозначения у(р) = я (р) + pb(p)x(p) и /?(р) = b(p)%(p), для системы (4.5) получаем У = Н ] + .0. (4-6) Теперь представим модель вход-выход (4.6) в виде модели вход-состояние-выход х = Ах- b(ky2T l) + q(p(y, t), (4.7) у = стх, (4.8) где xeR" — вектор переменных состояния системы (4.7); А, Ъ и с — соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход. Следует отметить, что существует такое число ju 0, для которого в случае строгой минимальной фазовости передаточной функции тт, ч КР)Х(Р) Н(р) = , можно указать симметрическую положительно оп- а(р) + Ь(р)х(р) ределенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям [20], [31]: ATP + PA = -Qlt Pb = c, (4.9) где Qx = Q{ 0 причем значения матрицы Qx зависят от параметра р. и не зависят от параметра к. Условия применимости закона управления (4.3) для стабилизации системы (4.1) приведены в следующей ниже теореме. Теорема 4.1. Существуют числа /л 0 и к 0 такие, что все траектории системы (4.7), (4.8) ограничены и положение равновесия JC = 0 асимптотически устойчиво. Доказательство теоремы 4.1. Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида V = xTPx. (4.10) Дифференцируя (4.10) по времени с учетом уравнений (4.7), (4.8) полу чаем V = хТ (АТР + РА)х + 2xTPqq {y, і) - 2kx7 РЬу1 1, (4.11) Принимая во внимание соотношения -2кхтРЬу2т-1=-2ку2т, 2xTPq p{y, t) a\TPqqTPx + S l [p(y, t)]2, для производной от функции Ляпунова (4.11) получаем V -xTQxx 2ky2x +SxTPqqTPx + S-1 [ р(у, t)f, (4.12) где число д 0. Пусть число 8 0 удовлетворяет неравенству -Ql+SPqqTP -Q 0i (4.13) где Q - симметричная, положительно определенная матрица. Тогда, подставляя выражение (4.13) в неравенство (4.12), получаем V -xTQx - 2ку2т + «Г1 [ р(у, О]2.
Похожие диссертации на Адаптивное и робастное управление нелинейными системами по выходу
