Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор компьютерного моделирования осветительных установок 7
1.1. Методы расчета осветительных установок 7
1.2. Уравнение глобального освещения 16
1.3. Метод статистического моделирования 24
Выводы по первому разделу 33
2. Эффективные алгоритмы расчета многократных отражений 35
2.1. Решение задачи Соболева 35
2.2. Анализ решения уравнения глобального освещения методом излучательности 39
2.3. Локальная оценка 48
2.4. Двойная локальная оценка 54
Выводы по второму разделу 59
3. Решение практических задач с помощью локальных оценок 60
3.1. Сравнение метода излучательности и локальной оценки 60
3.2. Спектральный анализ освещенности при многократных отражениях 66
3.3. Анализ равномерности освещенности с помощью локальной оценки 74
3.4. Влияние зеркальной компоненты 82
Выводы по третьему разделу 87
Заключение 88
Список литературы 90
- Уравнение глобального освещения
- Метод статистического моделирования
- Анализ решения уравнения глобального освещения методом излучательности
- Спектральный анализ освещенности при многократных отражениях
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке новых эффективных алгоритмов моделирования осветительных установок на основе локальных оценок метода Монте-Карло.
Эффективные осветительные установки (ОУ) позволяют значительно экономить электроэнергию, что является приоритетной задачей развития нашей страны и человечества в целом. Создание качественной осветительной установки возможно только при физически адекватном моделировании уравнения глобального освещения (ГО). Использующийся на сегодняшний день для моделирования метод излучательности обладает целым рядом недостатков:
Диффузная модель отражений
Необходимость построения сетки конечных элементов
Взаимосвязь точности расчета различных частей сцены
Трехкомпонентный метод расчета цвета
Эти и многие другие проблемы приводят к необходимости разработки новых эффективных алгоритмов моделирования ОУ, позволяющих устранить эти недостатки. Таким образом, целью настоящей диссертационной работы является разработка нового метода моделирования осветительных установок.
Для достижения цели диссертации в работе рассмотрено применение методов локальных оценок, получивших наиболее широкое развитие в атмосферной оптике, к решению уравнения глобального освещения. Для проверки точности разработанных методов рассматривается точное аналитическое решение задачи Соболева.
Достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, определяется:
Аналитическим решением уравнения ГО для задачи Соболева
Строгим выводом основных соотношений методов локальных оценок
3. Сравнением результатов локальных оценок с точным аналитическим
решением задачи Соболева и общепринятыми реализациями метода
излучательности
Диссертация состоит из введения, трех разделов и заключения.
В первом разделе работы проводится аналитический обзор литературных данных по методам инженерного проектирования и моделирования ОУ, а также обзор по решению интегральных уравнений второго рода методом Монте-Карло. В первом подразделе рассматриваются инженерные методы проектирования ОУ. Формулируются основные проблемы инженерных расчетов. Во втором подразделе рассмотрено решение уравнения глобального освещения методом излучательности. Приводятся аналитические основы метода и рассматриваются проблемы, возникающие при вычислениях методом. Третий подраздел содержит в себе основные сведения об интегральных уравнениях. Также в нем приводятся теоретические обоснования применения методов Монте-Карло к решению интегральных уравнений. Приводятся доказательства несмещенности и сходимости локальной оценки, применяемой к решению интегрального уравнения второго рода.
Второй раздел работы посвящен рассмотрению применения локальных оценок к решению уравнения глобального освещения. Выводятся основные аналитические выражения и рассматриваются алгоритмы реализации. В первом подразделе рассмотрено аналитическое решение задачи Соболева, позволяющее проводить сравнение точности математических методов для решения уравнения глобального освещения. Во втором подразделе анализируется реализация метода излучательности и возникающие при этом проблемы. Сравниваются методы расчета форм-фактора и способы оптимизации этих вычислений. Формулируются основные проблемы метода. В третьем подразделе дается математическое обоснование применения метода локальной оценки к решению уравнения глобального освещения и уравнения излучательности. Рассматривается реализация алгоритма локальной оценки и проводится сравнение метода с аналитическим решением Соболева. В четвертом
подразделе выводятся аналитические соотношения для применения двойной локальной оценки метода Монте-Карло к уравнению глобального освещения, позволяющей вычислять непосредственно яркость падающего излучения. Рассматривается реализация метода и проводится сравнение результатов расчетов с аналитическим решением задачи Соболева.
Третий раздел работы описывает применение разработанных программ для решения светотехнических задач и проведения практических исследований. В первом подразделе проводится сравнение программ на основе метода излучательности и локальной оценки с точки зрения практического использования. На практических примерах показывается более высокая эффективность и точность метода локальной оценки. Формулируются основные преимущества нового метода моделирования. Во втором подразделе рассматривается учет спектральной зависимости с помощью локальных оценок. Описываются эксперименты, в которых наглядно показывается явная неточность в ряде случаев расчетов цвета трехкомпонентным способом. В третьем подразделе проводится анализ образования затенений в трехмерной сцене. На основе рассмотренного примера демонстрируются возможности создания осветительной установки с помощью алгоритма локальной оценки программы с интерактивным режимом проектирования. Четвертый подраздел полностью посвящен анализу влияния зеркальных отражений на результаты расчетов. В нем показана важность учета произвольного закона отражения, а также случай, когда роль играет только интегральный коэффициент.
В конце каждого раздела делаются выводы. Заключение содержит основные выводы по работе. Все основные результаты апробированы на всероссийских научно-технических конференциях и опубликованы в [68-74], в список ВАК входит статья [74].
Диссертация написана на 94 страницах и содержит 23 рисунка. Список использованной литературы включает в себя 74 наименования.
Хочу выразить благодарность сотрудникам кафедры светотехники МЭИ за неоценимый вклад в полученное мной образование и диссертацион-
5'
ную работу. Также хотелось бы выразить благодарность всем участникам семинара «Фотометрическая теория диффузного светового поля» и лично Кор-кину С. В. за активное участие и помощь при создании настоящей работы.
Особую благодарность и признание выражаю научному руководителю, профессору д.т.н. Будаку Владимиру Павловичу.
Уравнение глобального освещения
Основой математического моделирования осветительных установок является уравнение глобального освещения, представляющее собой интегральное уравнение второго рода [20].
Впервые уравнение было получено Kajiya J. Т. В 1986 году [17] и названо им уравнением визуализации. Еще ранее в близком варианте уравнение было получено советским теплотехником Поляком [18], а для более простого варианта диффузных поверхностей — Moon Р. [16]. Формулировка уравнения в форме метода конечных элементов предложена японским светотехником Yamauti Z. в 1926 году [19].
Именно в таком виде уравнение было получено P. Moon в [16]. Решение уравнения M(v) в строгом смысле не является светимостью, так как определяется не только собственным свечением поверхности, но и отраженным светом, падающим на нее с других поверхностей. Соответственно в данном случае светимость характеризует не только саму поверхность, но и влияние на нее других элементов. Этот факт подтолкнул P. Moon к введению нового термина, описывающего свечение и освещение поверхности при многократных отражениях - radiosity (излучательность).
Исходная сетка трехмерной сцены, как правило, достаточно велика. Например, пол в помещении представляет собой один прямоугольник с 4 узловыми точками, соответственно мы можем только определить среднюю светимость только для этого, одного элемента. В связи с этим и возникает необходимость формирования сетки конечных элементов, в которых и будет проводиться расчет прямой составляющей светимости. Выделяют два основных метода формирования сетки: статический и адаптивный [54]. Статическая сетка формируется до начала вычислений на основе некоторой априорной информации. Как правило, разбиение сцены производиться равномерно. Такой способ наиболее прост в реализации и дает хорошие результаты в областях с низкими контрастами, но из-за постоянства шага сетки, в областях с высокими контрастами начинает существенно нарастать погрешность.
Адаптивная сетка формируется, непосредственно, во время расчета прямой составляющей и, впоследствии, уточняется при расчете многократных отражений. Наиболее удачно она реализована в программе LightScape. Вначале рассчитывается освещенность от прямого источника света в вершинах элемента, после чего производится сравнение контраста. В том случае, если контраст превышает пороговое значение, элемент делится пополам. Далее сравнение производится уже для двух вновь образованных элементов, и, в случае превышения порога, вновь производится деление элемента. Ограничителем роста сетки является, в данном случае, минимальный размер элемента. Таким образом, в зонах низких контрастов сетка будет достаточно крупной, а в зонах тенеобразования и резких перепадов контрастов сетка становится мелкой. Тем самым удается найти оптимум между точностью решения и вычислительными ресурсами. Адаптивная сеть по своим характеристикам существенно превосходит статическую, однако она сложна не только в реализации, но и требует от пользователя понимания процессов ее формирования и роста. Некорректно выставленные параметры, управляющие сетью, могут привести либо к существенному снижению точности решения, либо вовсе к невозможности расчета из-за слишком больших вычислительных ресурсов, потребляемых сетью.
Построение сетки — краеугольный камень метода конечных элементов. Именно она определяет как точность расчетов, так и скорость сходимости метода. Неприятной особенностью всего метода конечных элементов является и тот факт, что для определения освещенности в одной точке, мы вынуждены строить сетку по всей сцене. К тому же, точность расчетов в одной единственной точке будет напрямую зависеть от количества узлов сетки, значения в которых не будут использоваться напрямую.
Аналитического решения в общем случае нет, поэтому для его определения используют математические методы - метод полукуба [23, 24] или метод полусферы [10, 59]. Наиболее удачным из них является метод полусферы. При этом методе в центре элемента, являющегося источником на данной итерации, строится единичная полусфера, центр которой ориентирован по нормали к элементу. Далее из вершин элемента приемника трассируются лучи в центр элемента источника, и ищутся точки пересечения лучей с полусферой. После этого строится проекция этих точек пересечения на сам элемент. Форм-фактор численно будет равен соотношению площади полученной проекции к площади единичного круга. Алгоритм достаточно прост, однако он требует большого числа тригонометрических операций, соответственно его оптимизация будет в значительной мере влиять на скорость вычислений.
Метод излучательности позволяет учитывать многократные отражения только для диффузных элементов. Однако в реальной жизни практически все материалы содержат в себе еще и зеркальную компоненту отражения, которая может быть учтена только решением непосредственно уравнения глобального освещения (10).
Учет зеркальной компоненты может быть произведен при использовании второго подхода к решению уравнения глобального освещения - разложения в ряд Неймана
Z(rJ) = ZD(rJ)+ifl0( l (r,rVV+-ffze( hA:(r rVV Mr,rVV+...,(28 где k(r, г ) ядро уравнения глобального освещения. Не трудно видеть, что физически (28) представляет собой разложение искомого распределения яркости по кратностям рассеяния от поверхностей сцены: первый член ряда есть прямое излучение от источника, первый интеграл - однократно рассеянное поверхностями сцены излучение и т.д. Для расчетов каждый интеграл заменяется суммой по некоторой квадратурной формуле, что эквивалентно построению в пространстве лучей от источника (прямой ход лучей) или же, наоборот, от камеры к источникам (обратный ход). Сам же метод получил название трассировки лучей (ray tracing) [25, 26, 53, 58].
Рекурсия световых лучей легко организуется при наличии только зеркальных отражений, когда падающий и отраженный лучи однозначно связаны. В общем же случае произвольных отражений такой связи нет и, следовательно, падающий луч вызывает бесконечное множество отраженных лучей по всем направлениям полупространства. Таким образом, нужно разбивать полупространство на сетку направлений, и проследить судьбу каждого из лучей. Вполне понятно, что это приводит к лавинообразному росту вычислений. Наилучшим решением множественной рекурсии является ее рандомизация: замена интегрирования регулярной сетки случайным распределением лучей в пространстве — метод Монте-Карло [27].
Метод статистического моделирования
В 1949 году появляется статья под названием «The Monte Carlo method» [42], положившая начала целому новому направлению в статистической математике, и в решении интегральных уравнений в частности. Стоит отметить, что теоретические основы метода были известны уже до этого, однако его реальное промышленное применение стало возможно только с развитием вычислительной техники. Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими казино. Связано это с тем, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка [43].
В основе метода Монте-Карло лежит тот факт, что наблюдение над большим числом реализаций случайной величины позволяет сделать вывод о ее средних характеристиках. Это основывается на различных предельных соотношениях теории вероятности — законы больших чисел и предельные теоремы. Математические основы метода Монте-Карло хорошо изложены в литературе [44-47], не останавливаясь на них, перейдем к рассмотрению решения интегральных уравнений второго рода методами Монте-Карло [48].
При решении интегральных уравнений методом Монте-Карло требуется построение цепей Маркова. Однородной цепью Маркова называют последовательность случайных точек хо, х],...,хп, связанных так, что условная плотность распределения хп при условии xn.i=x для любого п равна заданной функции г(х ,х) и не зависит от значений XQ, XJ, ... ,х„.2. Функцию г(х ,х) называют плотностью перехода или переходной плотностью. Понятие однородной цепи Маркова можно расширить, введя вероятность обрыва р(х ) траектории при переходе х — Х. Случайный номер состояния, непосредственно предшествующий обрыву цепи, будем обозначать символом N. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло связано с моделированием цепей Маркова, которые должны обрываться с вероятностью 1 через конечное число переходов. Кроме того, математическое ожидание M(N) должно быть конечным.
Доказательство этой теоремы можно построить следующим образом. Прежде всего, дополним сумму, выражающую оценку, до бесконечности, после чего ее можно будет усреднять почленно.
1. Проектирование осветительной установки с помощью инженерных методов является крайне сложной рутинной задачей. Проектирование большинства реальных осветительных установок инженерными методами возможно только с учетом прямого освещения. Приближенный учет многократных отражений возможен только для частных случаев простейшей геометрии помещений.
2. Метод излучательности позволил перейти от инженерного проектирования осветительных установок к их полному моделированию. Однако при его практическом использовании возникает целый комплекс проблем, связанных с построением сетки конечных элементов и вычислением форм-фактора. Диффузное приближение, лежащее в основе метода излучательности, не может корректно описывать реальные материалы.
3. Существующий математический аппарат методов Монте-Карло позволяет проводить оценку функционала интегральных уравнений второго порядка. Данный метод, получивший названия локальных оценок метода Монте-Карло, обладает существенно большей сходимостью по сравнению с прямым моделированием. В отличие от метода конечных элементов, метод Монте-Карло предоставляет информацию о точности расчетов в виде дисперсии.
4. На основе оценок метода Монте-Карло можно получить решение не только уравнения излучательности, но и, непосредственно, уравнения глобального освещения в точке, что должно позволить впервые полностью физически строго моделировать осветительные установки.
Анализ решения уравнения глобального освещения методом излучательности
В рамках настоящей работы метод излучательности был реализован в среде The Math Works Matlab (matlab). Рассмотрим более подробно особенности реализации и проблемы, которые при этом возникают. Большинство программ моделированрія ОУ, условно можно разделить на пять основных этапов 1. Создание или загрузка данных о геометрии трехмерной сцены из файла 2. Определение фотометрических характеристик поверхностей сцены и источников света 3. Расчет прямой составляющей 4. Пересчет многократных отражений с помощью метода излучательности 5. Анализ полученных данных
Подобное деление весьма условно, так как, например, зачастую процесс создания геометрии и определение характеристик элементов сцены неразрывно связаны.
Первым этапом является либо создание трехмерной сцены непосредственно в самой программе расчета, либо загрузка ее из файла, созданного в трехмерном графическом редакторе. На сегодняшний день существует удобный промышленный стандарт файлов 3ds, который позволяет не только хранить данные трехмерной геометрии сцены, но и описывать источники света и характеристики материалов. Данные в файле хранятся в виде порций (Chunk). Каждая порция начинается с заголовка, который содержит ее идентификатор и длину, после заголовка идут непосредственно сами данные, при чем, внутри одной порции могут содержаться вложенные порции. Так, например, порция, описывающая грани, содержит в себе порции, описывающие вершины этих граней, их привязку к текстурам и т.д. [20] Формат хранения данных в файле 3ds оптимизирован на минимизацию объемов, что является не всегда удобным с точки зрения последующей работы с этими данными. Идеальным вариантом для работы с данными трехмерной сцены является объектная модель, аналогом ее являются структуры в matlab. Однако matlab значительно быстрее работает с матрицами, нежели со структурами, поэтому для хранения и обработки данных трехмерной сцены были использованы индексно связанные матрицы. Это позволило не только в значительной степени повысить производительность, но и использовать весь потенциал матричного аппарата среды matlab. Особенностью формата 3ds является то, что все элементы в нем представлены в виде треугольников. Например, данные о прямоугольнике представляются в виде двух треугольников. Это является очень удобным, так как появляется возможность работать со строго определенным типом объектов и учитывать именно его особенно- сти при оптимизации вычислений. А треугольник является минимальной величиной, способной описать плоскость. Рассмотрим лишь основную часть данных, описывающих трехмерную сцену в разработанной программе. Сцена разбивается на объекты, соответственно каждый объект описывается в виде массива структур Ob j ect (i_obj ), которая содержит в себе имя объекта и ряд других его параметров. Каждый объект состоит из граней, которые описываются в виде матрицы FVertex (i_obj , i_f асе, 1: 3), где i_obj -индекс объекта, i_face — индекс грани в объекте. Последнее измерение описывает три ссылки на вершины объекта в матрице Vertex (i_vertex, 1: 3), содержащей в себе непосредственно координаты вершин. Аналогичным образом хранятся данные о нормалях к граням, освещенности в вершинах и гранях, данные о материалах и другие.
Как было уже сказано в предыдущей главе, выделяют два основных способа формирования сетки: статический и динамический. В данной работе была использована статическая сеть, как наиболее простая в реализации. Разбиение производится пользователем, при этом он указывает степень двойки для разбиения каждого объекта. Возможность определения коэффициента разбиения для каждого объекта в значительной мере позволяет компенсировать недостатки статической сетки.
Единственной существенной проблемой при расчетах прямой составляющей является вычисление функции видимости. Она вычисляется для двух точек трехмерной сцены и равна единице в том случае, если между ними нет ни каких иных элементов, или нулю, если точки не видны друг из друга. Вычисление функции видимости является фундаментальной задачей всей компьютерной графики. В простейшем случае для вычисления функции видимости мы должны найти точку пересечения для всех элементов, которые пересекает луч, задаваемый точками источника и исследуемой, и если хотя бы одна из них оказывается ближе исследуемой к источнику, то функция видимости равна нулю.
После нахождения точки пересечения луча и плоскости, в которой лежит треугольник, необходимо определить, находится ли эта точка внутри треугольника или снаружи него, то есть, происходит ли пересечение с треугольником или только с плоскостью. Эта проверка сводится к определению попадания проекции точки на одну из координатных плоскостей внутрь проекции треугольника на эту плоскость. В качестве плоскости проекции выбирается та, на которую проекция треугольника будет явно невырожденной. Для этого определяем максимальную координату нормали и, например, если максимальна z координата нормали к плоскости, то в качестве координатной плоскости выбирается XOY. Рассмотрим именно этот вариант, так как для случая других проекций будут лишь изменены соответствующие индексы. Преобразуем пространственный треугольник (Гь Т2, Т3) к треугольной проекции (/, V) так, чтобы Т\ соответствовала U—Q, V=0; Т2 соответствовала U=l, V—0; Т3 соответствовала U=l, V=l T = TX+(T2x)u + (T3x)v, (82)
Подставив координаты точки вершин треугольника и координаты точки пересечения, можно получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными и и v. Тогда проекция точки пересечения попадает внутрь треугольника только в случае и 0, v 0 и w+v l.
Вычислив прямую составляющую для вершин всех элементов необходимо усреднить ее и присвоить полученные значения освещенности на элементе — М0 в уравнении излучательности (13). Теперь можно приступать непосредственно к расчетам многократных отражений.
В программе реализован итерационный метод Саусвелла, описанный в первой главе. Перед вычислениями формируется еще один массив Mnd , описывающий нераспределенную энергию грани. Основная задача этой матрицы станет понятна исходя, из алгоритма описанного ниже. В соответствии с итерационным методом в начале выбирается элемент с максимальной не распределенной энергией. На данной итерации этот элемент является элементом источником, передающим свою энергию всем остальным элементам сцены. После определения элемента источника запускается цикл по граням всех -объектов, составляющих трехмерную сцену. Таким образом, на каждом шаге мы будем иметь грань источник и грань приемник энергии. Первое, что вычисляется для подобной пары, это косинус угла между нормалями. Он должен быть меньше нуля, то есть нормали направлены друг к другу. Подобную проверку называют выбраковкой не лицевых граней [20]. Далее вычисляется функция видности для центральных точек элементов и, если данная пара элементов не забракована и их центральные точки видны, то для них вычисляется форм-фактор, определяющей непосредственно долю передаваемой энергии. Аналитического решения для форм-фактора в общем случае нет, поэтому применяются численные методы его вычисления. Среди них наибольшую распространенность получили два: метод полукуба и метод полусферы.
При вычислении методом полукуба вокруг элемента источника строится единичный полукуб, который разбивается на сетку элементов. Далее из вершин элемента приемника трассируются лучи в центр элемента источника, при этом форм-фактор будет пропорционален соотношению количества пикселей задетых и не задетых проекцией. Принципиальная схема метода представлена на рисунке 3. Метод очень прост с точки зрения реализации, однако его существенным недостатком является зависимость получаемого результата от ориентации полукуба по нормали.
Спектральный анализ освещенности при многократных отражениях
При визуализации осветительной установки на степень ее реалистичности, в первую очередь, влияют правильность передачи трехмерной геометрии и точность передачи цвета поверхностей. Итоговый цвет формируется в результате многократных отражений. Таким образом, на цвет поверхности влияют не только спектральный состав источников освещения и коэффициент отражения поверхности, но и спектральный состав коэффициентов отражения других элементов и их геометрическое расположение. В настоящее время общепринятой является трехкомпонентная модель работы с цветом. Как показывают исследования, при расчетах цвета с учетом многократных отражений такая модель не всегда дает хорошие результаты [55].
Количество длин волн, необходимых для точного определения цвета поверхностей, с учетом многократных отражений для каждой задачи будет различным и может быть определено только на основании нахождения такого шага, уменьшение которого приводит к изменению цвета на значения ни же порога цветоразличения. Как показывают исследования, в большинстве практических задач достаточно 10 — 20 длин волн для качественного цветовоспроизведения с учетом возможностей цветопередачи современных мониторов [55]. Предлагаемый в данной работе алгоритм локальной оценки позволяет проводить спектральные расчеты. Для этого необходимо задать спектральный состав источников излучения и спектральные коэффициенты отражения всех материалов сцены. После чего при расчетах вес луча будет представлен не одним числом, как в рассмотренном алгоритме в подразделе 2.3, а будет так же иметь спектральные значения. То есть траектория луча будет одна и та же для всех длин волн, будет меняться только вес. Тогда, также как и в случае локальной оценки, для одной длинны волны будет вычисляться плотность перехода из точки пересечения луча со сценой в исследуемую точку, а полученное значение поэлементно будет умножаться на веса луча и прибавляться к освещенности. Как показывают практические эксперименты, время расчетов практически не зависит от количества длин волн. Связано это с тем, что во всем алгоритме увеличивается размерность только двух операций умножения веса луча на коэффициент отражения и вычисление освещенности по спектральному весу луча. В данном случае оказывается крайне удобной матричная математика Matlab. Благодаря ней, для учета спектрального состава излучения пришлось внести минимально возможные изменения. Созданный алгоритм позволяет принципиально учитывать неограниченное количество длин волн. В результате расчетов по созданному алгоритму будет получена спектральная освещенность, от нее можно перейти к светимости, которая будет определять цвет поверхности. Имея спектральную светимость, по кривым сложения системы xyz можно перейти, непосредственно, к цветности. Проводя соответствующие преобразования, мы не ставим целью корректно передать цвет на экране монитора, это необходимо нам лишь для возможности оперировать привычными величинами при сравнении получаемых результатов. Рассмотрим на примере влияние количества длин волн. В качестве сцены возьмем задачу Соболева, так как в ней происходит минимально возможное количество различных многократных отражений, то есть ее можно считать наиболее благоприятным случаем. Коэффициент отражения нижней плоскости не зависит от длины волны и численно равен 0.5, а коэффициент отражения верхней плоскости имеет спектральную зависимость, приведенную на рисунке 11. Рассчитаем освещенность вдоль прямой, аналогичной предыдущим графикам задачи Соболева, по общепринятой трехкомпонент-ной модели цветовых расчетов и по 6 длинам волн. Полученные значения освещенности приведем к цветности в системе rgb и построим графики распределения разности компонент. Полученный график представлен на рисунке 12. По оси X на графике отложено расстояние вдоль расчетной прямой, по оси Y значения разности цветности, нормированное к 255. Как видно, значения отличаются очень существенно. Связано это как с влиянием многократных отражений, так и с, непосредственно, неточностью получения цвета при сложении по кривым xyz.
При малом количестве длин волн сам их выбор, в значительной степени, начинает влиять на получаемый результат. Во всех современных программах расчет ведется не по длинам волн, а в цветовых компонентах rgb, поэтому такой проблемы в них не возникает. Но, так или иначе, это все равно расчет только по трем значениям, которые не могут равноценно заменить спектральную зависимость.
На рисунке 12 четко прослеживается тенденция, что чем круче изменение коэффициента отражения, тем выше погрешность. Коэффициент отражения в области коротких длин волн спадает резко, соответственно и разность цветовых компонент оказывается высокой. В области красного цвета коэффициент отражения меняется слабо, и на графике 12 тоже видно, что разность компонент здесь оказывается минимальной. Таким образом, можно сделать вывод о том, что трехкомпонентная модель хорошо подходит для расчетов близких цветов со слабо меняющимися относительно друг друга ко эффициентами отражения, и в то же время не подходит к расчетам материалов с резко отличающимися коэффициентами отражения. Такой вывод может быть сделан и из общих соображений, если рассматривать координаты цвета как интеграл, точность вычисления которого зависит как от шага разбиения, так и от крутизны интегрируемой функции.
Дальнейшие исследования показывают, что в данной сцене уже при 10 длинах волн достигается очень хорошая точность. На рисунке 13 видно, что разность при 10 и 20 длинах волн не превышает 1, что уже достаточно хорошо укладывается в дисперсию вычислений.
На рисунке 14 показаны распределения компонент цвета вдоль прямой в рассматриваемой задаче Соболева, как видно цвет меняется вдоль прямой. Связно это с изменением соотношения между прямой и отраженной составляющей освещенности. Отношение многократной освещенности к прямой составляющей увеличивается с удалением от источника, достигая максимума, при этом в прямой составляющей спектр постоянен, так как сила света источника постоянна. Многократная же составляющая зависит от длины волны, так как при этом происходят отражения от верхней плоскости, имеющей спектральную зависимость.
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся задачу в светотехнике — расчет освещенности в помещении. Как правило, требуется получить распределение освещенности по рабочей плоскости, которая в частном случае может совпадать с поверхностью пола. Рассмотрим именно такую задачу, но не с точки зрения получения информации об освещенности, а с точки зрения получения информации о цветности поверхности пола. Пусть наше помещение будет размерами 5 на 5 метров с высотой потолков 3 метра, а в центре находится точечный изотропный источник на высоте 2 метра от поверхности пола. Спектр источника постоянен, коэффициенты отражения пола и потолка так же постоянны и равны 0.4 и 0.8 соответственно. То есть, рассматриваем помещение с темным полом и светлым потолком, что является довольно распространенной задачей. Спектральный коэффициент отражения стен будет, так же, как и в предыдущей задаче, описываться той же зависимостью, изображенной на рисунке 11. Построим следующий график: по оси X отложим расстояние от центра комнаты к одной из ее стен, а по оси Y разность координат цветности в системе RGB между прямым излучением, получаемым непосредственно от источника света, и многократно отраженным светом. Основная цель этого графика - продемонстрировать, как происходит изменение цвета пола вдоль этой прямой. Результаты расчетов представлены на рисунке 15. На рисунке хорошо видно, что многократные отражения снижают долю красного цвета в общем составе (на графике из прямой цветности вычитается отраженная). Это достаточно хорошо объяснимо, так как спектральный коэффициент отражения стен крайне низок в области красного цвета. В тоже время, доля синего цвета, наоборот, возрастает, что опять же согласуется с тем, что коэффициент отражения стен в этой области высок. Второй важнейший момент, который хорошо виден«по этим кривым, это то, что при приближении к стенам влияние их коэффициента отражения возрастает. Как и в случае предыдущего примера, в данном случае сказывается соотношение между прямой и многократно отраженной составляющей освещенности.
