Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние вопроса и задачи исследования
1.1. Современное состояние проблемы оценки надёжности и обеспечения безопасности при проектировании и эксплуатации зданий и сооружений 11
1.2. Современное состояние проблемы прогрессирующего разрушения эксплуатируемых зданий и сооружений 17
1.2.1. Исходные положения 17
1.2.2. Прогрессирующее разрушение, как научно-техническая проблема 18
1.2.3. Обзор современных зарубежных норм по предотвращению прогрессирующего разрушения
1.3. Существующие подходы к оценке надёжности и обеспечению конструктивной безопасности зданий и сооружений при запроектных воздействиях 28
1.4. Краткие выводы 32
2. Расчёт стержневых систем с учётом внезапного удаления отдельных элементов или связей
2.1. Основные положения 34
2.2. Методика расчёта стержневых систем с учётом внезапного удаления отдельных элементов или связей 35
2.2.1. Решение задачи аналитическим путём без учёта демпфирования 35
2.2.2. Решение задачи методом конечных элементов (МКЭ) с учётом демпфирования 41
2.2.3. Примеры расчёта 44
2.4. Выводы по главе 54
3. Снижение числа динамических степеней свободы и учет статических напряжений и перемещений при расчёте стержневых систем с учётом внезапного удалений отдельных элементов или связей
3.1. Проблема снижения числа динамических степеней свободы при расчёте системы на воздействие в виде внезапного удаления отдельных элементов или связей 55
3.1.1. Постановка проблемы 55
3.1.2. Теоретические основы метода конденсации 56
3.1.3. Проблема выбора местоположения и количества главных степеней свободы при внезапном удалении элементов в системе 60
3.1.4. Пример расчёта 63
3.2. Учёт начальных статических напряжений и перемещений при расчёте стержневых систем на воздействие в виде внезапного удаления отдельных связей 70
3.2.1. Исходная проблема 70
3.2.2. Учёт начальных напряжений и перемещений 71
3.2.3. Пример расчёта 76
3.3. Выводы по главе 80
4. Учёт геометрической нелинейности в расчёте стержневых систем с учётом внезапного удаленияотдельных связей
4.1. Постановка задачи 82
4.2. Пошаговый метод решения уравнений динамики стержневых ГНС при внезапном удалении отдельных элементов 83
I 422.1. Применение явного метода Эйлера 84
4.2.2.2. Применение метода Рунге-Кутта -. 85
4.2.2.3. Многошаговые методы Адамса 87
4.2.4. Общая схема пошагового решения задачи расчёта стержневых ГНС при внезапном удалении отдельных элементов 88
4.3. Оценка погрешности численного решения задачи 88
4.4. Пример расчёта 91
4.5. Выводы по главе 98
Порядок расчёта стержневых с учётом внезапного удаления отдельных элементов или свяхей 99
Основные результаты и выводы 100
Список литературы
- Обзор современных зарубежных норм по предотвращению прогрессирующего разрушения
- Решение задачи методом конечных элементов (МКЭ) с учётом демпфирования
- Проблема выбора местоположения и количества главных степеней свободы при внезапном удалении элементов в системе
- Общая схема пошагового решения задачи расчёта стержневых ГНС при внезапном удалении отдельных элементов
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В последнее время с ростом аварийных ситуаций техногенного характера проблема обеспечения конструктивной безопасности строительных сооружений и противодействия прогрессирующему разрушению приобретает всё большее значение. В научно-технических публикациях на русском и на иностранных языках часто обсуждается эта проблема. Одной из важнейших теоретических задач для решения этой проблемы является оценка динамической реакции конструкций при разрушении отдельных несущих элементов, вызванном запроектными воздействиями (такими, как взрыв или удар). Под «запроектными» воздействиями будем понимать нагрузки и воздействия, соответствующие двум условиям: во-первых, они не относятся к обычным эксплуатационным (и монтажным) воздействиям, во-вторых, нормами не регламентирован метод их учета.
С позиции строительной механики возникает необходимость формулировки соответствующей задачи. Внезапное удаление отдельных элементов (или связей) означает бесконечно быстрое разрушение элементов и, конечно, оно не идентично реальному процессу разрушения, но позволяет оценить худшие последствия, которые могут возникнуть в рассматриваемых случаях, с учетом динамического эффекта. Это положение подтверждается тем, что внезапное удаление вертикальных несущих элементов принято как основной сценарий при проектировании зданий и сооружений в двух новых нормах, разработанных в США с целью уменьшения опасности прогрессирующего разрушения.
Проблема исследования динамической реакции конструкций при запроектных воздействиях с учётом геометрической нелинейности ещё не до конца изучена, поэтому решению этих задач в настоящее время стало уделяться значительное внимание. Тем не менее, большинство научных публикаций и рекомендаций носит всё еще постановочный характер. Отсутствие достаточного количества научных исследований о напряженно-деформированном состоянии и разрушении конструкций при внезапных запроектных воздействиях сдерживает развитие практических методов расчета и проектирования строительных конструкций и сооружений с заданным уровнем безопасности, что подтверждает актуальность темы диссертации.
Степень разработанности проблемы. Существенный вклад в современное состояние теории расчёта строительных зданий и сооружений при запроектных воздействиях внесли Г.А. Гениев, A.M. Масленников, В.А. Гордон, Ю.П. Назаров, А.С. Городецкий, В.Н. Симбиркин, А.В. Перельмутер, Н.В. Клюева, О.А. Ветрова, Н.Б. Андросова, Т.В. Потураева и др.
Цель работы - исследование поведения стержневых систем при воздействии в виде внезапного удаления отдельных элементов.
Задачи исследования:
- получить аналитическое решение задачи расчёта системы при внезапном выключении из работы отдельных элементов, а также решение этой задачи методом конечных элементов;
- исследовать проблему снижения числа динамических степеней свободы
при расчёте системы на воздействие в виде внезапного удаления отдельных
элементов;
проанализировать напряженно-деформированное состояние системы после внезапного выключения из работы отдельных элементов. При этом учесть начальные перемещения и напряжения системы, а также геометрическую нелинейность;
разработать алгоритм решения задачи расчёта строительных конструкций и сооружений при внезапном разрушении отдельных элементов;
на основе разработанного алгоритма получить численные решения и сравнить их с результатами, полученными для рассматриваемой задачи другими методами.
Научная новизна состоит в следующем:
поставлена с позиций строительной механики задача расчёта стержневой системы при внезапном удалении отдельных элементов, а также её аналитическом и численном решении;
разработка рекомендаций по оптимальному выбору местоположения и количества главных степеней свободы при динамическом расчёте системы на воздействие в виде внезапного удаления отдельных элементов;
разработка методики учёта начальных напряжений и перемещений, а также геометрической нелинейности при расчёте стержневых систем с учетом внезапного удаления отдельных элементов;
разработка алгоритма решения задачи расчёта системы при внезапном удалении отдельных элементов и его реализация с помощью ПК;
результаты численных исследований напряженно-деформированного состояния стержневых систем после внезапного выключения из работы отдельных элементов.
Обоснованность и достоверность научных положений и выводов обеспечиваются использованием строгого математического аппарата, общепринятых допущений строительной механики и теории упругости, сравнением промежуточных результатов с результатами, полученными в коммерческих конечноэлементных программных комплексах.
Практическая ценность. Выполненное исследование позволяет проводить расчёты стержневых систем при внезапном разрушении отдельных элементов. Разработанные в диссертации методика и алгоритмы рекомендуются для применения в проектных и научно-исследовательских организациях и для дополнительных оценок конструктивной безопасности проектируемых объектов.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на 63-ей Международной научно-технической конференции молодых ученых, Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2010г.; на 67-й и 68-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2010г. и 2011г. Основное содержание
диссертации опубликовано в 6 печатных работах, из них три статьи - в изданиях из перечня ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка использованных источников из 151 наименований (в т.ч. 25 иностранных источников) и содержит 115 страниц основного текста, 35 рисунков и 10 таблиц.
Обзор современных зарубежных норм по предотвращению прогрессирующего разрушения
Большинство стандартов строительного проектирования в Северной Америке и в Западной Европе учитывают возможность и потенциальные последствия аварийных воздействий и лавинообразного обрушения. Однако на сегодняшний день отсутствуют единые общепринятые определения (термины) по этой проблеме. Наиболее четкое определение, по нашему мнению, дано в стандарте ASCE 7-02 [131] (Американского общества строителей): прогрессирующее обрушение — это «распространение локального начального отказа в виде цепной реакции, непропорциональной начальному событию, которое, в конечном счете, приводит к разрушению всего строения или его непропорционально большой части». Причиной события может быть любое из множества аварийных ситуаций: промышленные или террористические взрывы, воздействия движущихся.транспортных средств, отказы фундаментов, отказы как результат ошибок проектирования или возведения. Эти аварийные ситуации-не рассматриваются в обычном процессе проектирования. С другой стороны, учет событий типа землетрясений, пожаров; сильных ветров — часть требований строительных норм, которые также не должны приводить к прогрессирующему обрушению.
Соединенные Штаты.. В стандарте по нагрузкам ASCE 7-02 [141] в разделе 1.4 определено, что здания и сооружения должны выдерживать локальные повреждения конструкций, не теряя несущей способности в целом до степени непропорциональной первоначальному местному отказу. В примечаниях к ASCE 7-02 приведены тр» альтернативных проектных варианта сопротивления прогрессирующему обрушению. Первый - за счет обеспечения прочности, целостности и жесткости конструктивных «ключевых» элементов; второй рекомендует обеспечивать сохранение начальной несущей способности элементов посредством дополнительных путей восприятия нагрузки; а третий, рассматривая подробно сопротивление прогрессирующему обрушению, требует от ключевых элементов конструкции противостояния заданным аварийным воздействиям.
Если ключевые элементы системы разработаны с учетом восприятия аварийных воздействий, для проверки их несущей способности в разделе (С 2.5) ASCE 7-02 рекомендуются следующие сочетания нагрузок: \,2D + AK + (0,5L или 0,25), или (0,9 или 1,2) + Ак + 0,5L + 0,2 W, гдеD, L, WuS — собственный вес, временная (полезная), ветровая и снеговая нагрузки, определенные согласно разделам 3, 4, б и 7 ASCE 7-02; Ак -определенная рекомендациями величина аварийных воздействий [145]. На эти сочетания нагрузок проверяются только основные («ключевые») элементы несущих конструкций.
Для проверки способности поврежденного сооружения сохранять устойчивость в течение короткого времени аварийного воздействия, после потери основного несущего элемента, отобранного на усмотрение инженера, в разделе (С 2.5) ASCE 7-02 рекомендуются следующие сочетания нагрузок: (0,9 или 1,2) + (0,-5L или 0,25) + 0,2 Ж
Проверка предполагается без определения условий приемлемых повреждений. На стадии проектирования рекомендуется рассматривать несколько особых, но взаимосвязанных подходов уменьшения опасности возникновения прогрессирующего обрушения: - системный принцип — оценка уязвимости перед прогрессирующим обрушением примененных конструктивных систем и разработка решений, которые являются эффективными для уменьшения последствий лавинообразного обрушения при различных сценариях угрозы. - замедление обрушения — для обеспеченшгдостаточного времени и путей эвакуации из- здания после начала локального отказа. Различные решения могут соответствовать каждому из типов угрозы. Например, в случае пожара для сохранения несущей способности системы могут быть эффективны более долговечные огнезащитные покрытия. - предусмотрение проектом альтернативных путей восприятия нагрузок (например, за счет применения пространственных систем), которые могут локализовать повреждения после возникновения начального отказа. - совершенствование проекта за счет усиления несущих конструкций: применение более массивных элементов, прямо противостоящих аварийным воздействиям, модификация конструктивной системы.
Рекомендации GSA (General Services Administration) по предотвращению лавинообразного обрушения, изданные в 2000 г., предусматривают методы количественной оценки способности здания сохранять структурную целостность после потери основного несущего элемента. Рекомендуется использование упругого поэтапного расчета, чтобы минимизировать время и расходы, необходимые при более строгом нелинейном анализе.
Европейские нормы [127] по рассматриваемому вопросу рекомендуют применение следующих вариантов: 1) Устранение или уменьшение влияния аварийных воздействий. Этот вариант предполагает устранение потенциальной опасности в целом (запрещение хранения взрывчатых материалов в,здании; установка защитных барьеров; увеличение зон недоступных для террористической угрозы; защита периметра и т.п.). 2) Обеспечение неразрезности и увеличение степени статической неопределимости конструкции. Вариант достигается пространственной работой конструкции и-увеличением ее несущей способности. Конструкция проектируется с высокой степенью статической неопределимости, с применением эффективных горизонтальных и вертикальных связей между несущими элементами, обеспечивая здание альтернативными путями передачи нагрузок в случае удаления части элементов при аварийных воздействиях. Если такие связи невыполнимы, конструкция проектируется так, чтобы перекрыть потерю несущего элемента за счет перераспределения усилий для локализации области повреждения.
Решение задачи методом конечных элементов (МКЭ) с учётом демпфирования
Здесь: «S/(„_i— динамические усилия в стержнях системы после внезапного удаления элемента; Sf„ и Sfn_i соответственно статические усилия в стержнях системы до и после внезапного удаления элемента. В работе [89] динамический эффект при внезапном удалении элемента учитывается путём введения коэффициента динамичности К/ (по умолчанию Kf = 2). Об учёте демпфирования: выше показано приближенное предположение Рэлея для учёта демпфирования. На практике существуют и другие приближенные методы его учёта. Покажем один из них [66]: сначала определяем частоты озк и формы собственных колебаний vk без учёта демпфирования, потом определим элементы матрицы демпфирования через коэффициент поглощения материала \/ по формуле с = \/ / Г-, где Tj=2%lv)j (/ = 1,..., п). В этом случае матрица демпфирования диагональная. В диссертации при решении примеров- будем использовать этот метод учёта демпфирования. 2.2.3. Примеры расчёта Пример 1: рассмотрим плоскую стальную ферму на рис.2.3: пояса, раскосы и стойки из квадратной трубы, т = 7 Т. Рис. 2.3. Плоская стальная ферма. Пояса- 160x5: EF= 64470 Т; Е1= 255,07 Тм2. Раскосы - 140x5: EF= 56490 Т; Е1= 169,76 Тм2. Стойки - 80x5: EF= 31500 т; Е1= 28,98 Тм2. Пренебрегаем массой элементов фермы. Система имеет 14 степеней свободы. Порядок расчёта фермы следующий: 1) Статический расчёт фермы перед удалением элемента. Определяем перемещения узлов 8... 14. 2) Задание вида внезапного выключения элементов фермы: рассмотрим случай внезапного выключения раскоса 6 — 12.. 3) Статический расчёт фермы после удалением элемента. Определяем перемещения узлов 8... 14 и усилия во всех элементах фермы от заданной нагрузки и от единичных значений сил инерции: После этого составляем начальные условия для динамического расчёта фермы.
4) Динамический расчёт фермы - определение частоты и формы колебаний фермы без учёта демпфирования. - определение матрицы демпфирования через средний коэффициент поглощения для металлических мостов \]/ = 0,17. После этого определяем значения , щк, Q)nk nqk{k=l,...,n). - Записываем выражения перемещений,масс по формуле (2.28). - Записываем выражения сил инерции по формуле (2.34). - Записываем выражения усилий во всех элементах фермы по формуле (2.33). 5) Оценка состояния фермы после внезапного удаления элемента. При этом принимаем следующие категории выхода из строя элементов фермы: - Для сжатых элементов: условия устойчивости. - Для растянутых элементов: условия прочности на растяжение.
В случае если в каком-то элементе фермы наступает предельное состояние, определяем момент времени выхода из строя этого элемента. Положения всех масс в этот момент служат для определения начальных условий следующего этапа расчёта фермы. Дальше повторяем расчёт с 3-го шага. Результаты расчёта: изменение максимальных усилий (т) в элементах фермы приведено в таблице 2.1.
Элемент фермы Статическийрасчётпослеудаленияраскоса6-12 Расчёт пометодике [89] Динамический расчёт Отношение результатадинамического расчёта крезультату пометодике[30] Учёт 5вертикальных степенейсвободымасс впролете Учётвсехформколебаний статиче скогорасчёта расчётапо методи ке [89] расчётапо методи ке [30]
Результаты динамического расчёта при учёте всех форм колебаний показывают, что максимальные динамические усилия в элементах фермы превышают статические значения в несколько раз (от 1,1 до 2,2 раза), причём они достигаются в разные моменты времени. Эти результаты отличаются от результатов, получаемых по методикам [89] и [30]. Из таблицы видно, что при расчёте по методикам [89] и [30] в некоторых элементах фермы значения динамических усилий получаются меньше чем, результаты статического расчёта (например: в поясе 11 — 12, в стойке 3 — 10, в раскосе 6 — 14). Расчётная схема по методике [89] показана на рис.2.4: что для поясов самым опасным станет пояс 12—13 (N12-13 = -94,82 т); для стоек - стойка 1 - 8 (N\.g = -22,408J т) и для раскосов - раскос 1-9 (N\.9 = -59,91 т). В остальных элементах фермы тоже наблюдается увеличение усилий по сравнению со статическими значениями, но в целом они не превышают критические значения. Из результатов следует, что ферма не разрушается от рассмотренного воздействия. Ниже приведеньг графики изменения усилия (т) в раскосе 1 — 9 и в стойке 1-8: 201 1 Г
Выше показан динамический расчёт фермы при внезапном удалении элемента методом разложения по главным формам колебаний с учётом всех форм колебаний. При расчёте сложных систем число степеней свободы и, соответственно, количество собственных форм колебаний значительно возрастает, резко увеличивая объем вычислений. Возникает вопрос: нужно ли учитывать все динамические степени свободы и все формы колебаний в расчёте? Если нет, то сколько степеней свободы и какие формы надо учитывать? Поскольку целью решения рассматриваемой задачи является определение динамических усилий в элементах системы, то для ответа на эти вопросы нужно выяснить: какие формы колебаний вызывают значительную часть динамических усилий в элементах системы? На наш взгляд, именно эти формы колебаний и нужно учитывать в расчёте.
Вернёмся к нашему примеру. На первый взгляд, кажется, что массы в пролёте (в узлах 9, 10, 11, 12, 13) имеют большие вертикальные перемещения и будут вызывать преобладающую часть динамических усилий в элементах фермы. В этом случае можно учесть только 5 динамических степеней свободы. Результаты расчёта (см. таблицу 1) подтверждают, что 5 форм колебаний, соответствующих вертикальным перемещениям масс в пролёте, вызывают значительную часть динамических усилий в элементах фермы (от 87% до 100%). Если учесть, что динамические усилия зависят от амплитуд сил инерции, которые, в свою очередь, зависят от начальных условий, то можно сделать следующее предположение, требующее дальнейшего изучения: в первую очередь следует учитывать динамические степени свободы, по которым имеем наибольшие начальные отклонения масс от положения статического равновесия. В следующем параграфе будем рассматривать эту проблему подробнее.
Проблема выбора местоположения и количества главных степеней свободы при внезапном удалении элементов в системе
Эффект изменения: жесткости системы при наличии в ней начальных напряжений является следствием взаимовлияния продольных и поперечных изгибов в системе. Его обычно требуется учитывать при анализе тонкостенных конструкций (например, в виде балок и оболочек, а также кабелей и тросов), изгибная жесткость которых весьма мала по сравнению с жесткостью в продольном направлении , Учет данного эффекта1 приводит ш изменению матрицы жесткости системы. В этом случае; строитсяj а затем используется? матрица дополнительной жесткости-, именуемая,- далее; матрицей эффективной жесткости или матрицей начальных напряжений: Эта матрица добавляется к обычной матрице жесткости для»полученияюбщешжесткости системы;!
В нашем случае заметим; что перед удалением; элемента конструкция уже находится в напряженном состоянии, т.е. она обладает начальными напряжениями; и перемещениями:. Поэтому, для того чтобы получить более точный результат, необходимо выяснить, насколько влияют эти; начальные статические напряжения и перемещения на; динамическое поведение системы, при решении задачи.
Вопрос о влияниин начальных напряжений и перемещений на: динамические характеристика конструкций рассматривался и? ранее (см:, например [1, 150, 151]). В своей- монографии Щ В;П.Агапов разработал метод учёта начальных напряжений и перемещений при исследовании малых колебаний предполагая; что конструкция совершает гармонические колебания около положения; равновесия. При этом, свободные колебания конструкций описываются уравнением: ([Щ:+[ка] + [ки)){у} + [М]{у}= о, (3.16) где: [Ка] — матрица начальных напряжений, определяющая; изменение жесткости системы за счёт наличия в стержнях сжимающих усилий; [Ки] — матрица начальных перемещений, определяющая: изменение жесткости системы за счет учета конечных перемещений узлов системы от статических нагрузок (геометрическая нелинейность).
При учёте демпфирования уравнение (3.16) принимает вид: ([K] + [Ka]HKu]){Y} + [C]{T} + [M]{Y} = 0. (3.17) Расчёт конструкции, нагруженной статическими нагрузками, на воздействие в виде внезапного удаления в ней отдельных элементов при использовании этого уравнения следует проводить в два этапа: 1) решение статической задачи для исходной расчётной схемы (перед удалением элемента) с использованием матрицы жесткости системы [К]. Вычисление начальных напряжений и перемещений и соответствующих матриц [Ка \, [Ки] и новой матрицы- жесткости системы [К0]. При этом матрицы [К0], [Ка] и [Ки] вычисляются без учёта удаляемого элемента. 2) решение задачи о свободных колебаниях с начальными условиями, как показано во второй главе, для новой расчётной схемы (после удаления элемента). При этом матрицу жесткости [К] заменяем матрицей [ ,] = [ 0] + [ + [tfu]. На основе идей, изложенных во второй главе, предлагается следующий алгоритм, позволяющий избежать вычисления матрицы [Ки]: 1) решение статической задачи для исходной расчётной схемы (перед удалением элемента). Формирование новой матрицы жесткости системы [К ] с учетом изменения координат узловых точек от статических нагрузок. При таком подходе не требуется отдельно вычислять матрицу [Ки]. Далее вычисляется матрица [Ка]. При этом матрицы [Ка] и [К ] вычисляются без учёта удаляемого элемента. 2) решение задачи о свободных колебаниях с начальными условиями, как показано во второй главе, для новой расчётной схемы (после удаления элемента). При этом матрицу жесткости [К ] заменяем матрицей [К2] = [К ] + [КС]. Уравнение (3.17) принимает вид: ІІК ]+[КАУ} + [С]{У}+[М]{Г}= 0. (3.18) После нахождения общей матрицы жесткости с учётом начальных напряжений и перемещений [К2] = [К ] + [Ка], решение задачи расчёта системы при внезапном выключении из работы отдельных элементов производится, как описано во второй главе. Здесь нужно отметить, что учет геометрической нелинейности производится только один раз на стадии формирования матрицы [К ]. Вывод матрицы [KG] подробно описан рядом авторов [1, 150, 151]. Здесь приведём только её окончательное выражение для различных типов конечного элемента.
Общая схема пошагового решения задачи расчёта стержневых ГНС при внезапном удалении отдельных элементов
При формировании математической модели в постановку задачи вводят следующие упрощающие условия (допущения): - перемещения считаются большими при малых деформациях; - длина стержня после деформации совпадает с длиной хорды, стягивающей концы стержня; - геометрические характеристики сечения стержней: не меняются после деформаций; . - материал элементов стержневых систем (ферм и рам) работает в упругой области и удовлетворяет закону Гука. ;
При исследовании; данной, математической модели с помощью численного, метода интегрирования; точность результата определяется алгоритмом исследования этой модели, т.е. выбором метода решения поставленной задачи; Bv нашем, случае метод нахождения вектора перемещений отражен в формуле (418);, порядок точности которого зависит от применяемого метода решения (метода Эйлера или метода Рунге-Кутта или метода Адамса)..
Рассмотрим движение системы в интервале времени [О, Т\. Очевидно;; с увеличением! числа участков п (или» с уменьшением А) функция. перемещений {Zt+At} на каждом шаге будет точнее аппроксимировать фактическую неизвестную функцию; перемещений, что приведет к уменьшению погрешности метода. С другой стороны, увеличение я приведет к увеличению объема вычислений, а значит к росту погрешности округления. Таким образом, зависимость величиньг погрешности от шагасеткиимеет вид нарис. 4.1.
При малом числе участков сетки п (Аґ; большой) основной вклад в суммарную погрешность вносит погрешность метода, а при большом числе п (At малый) — погрешность округления:
Для определения возможно более точного решения выполняют несколько расчетов, начиная с самой редкой сетки, постепенно ее сгущая. Как только решение практически перестанет изменяться с дальнейшим сгущением сетки, расчет заканчивают и полученный результат принимают в качестве окончательного.
Зависимость погрешности численного решения А от шага сетки At Однако при оценке погрешности шагового метода часто используют принцип Рунге [8,47], согласно которому: г(2А0 г(ДО \ук ч _ у к l t+At t+At 2 -1 є, (4.16) где Z 2t и Zt+At соответственно найденное перемещение любого узла системы в момент времени t + At при решении задачи с шагом At и 2At; к - порядок точности численного метода ; є - погрешность шагового метода. Обычно, при решении задачи в интервале времени [0, 7], выполнение неравенства (4.16) проверяют не во всех общих точках решений Z) и г+д, , а только в выделенных контрольных точках. В качестве контрольных можно взять узловые точки , соответствующие начальному числу разбиения п0 с шагом At0: tt =i-At0 (і = 0, 1, ...,п0) и А/0 =Т/п0. Число п0 (это целое число) определяется по формуле [18]: Т
Таким образом, можно оценить погрешность є пошагового метода решения задачи при определённом значении шага At, а также можно выбирать значение шага At при заданной погрешности є.
В качестве примера рассмотрим стальную балку, защемленную с одной стороны на рис. 4.2. Исходные данные для расчета: L = 1 м; Ъ = 10 см; h — 1 см; EI = 1720 Н м2; ЕА = 206,010 106 Н; m = 40 кг. Плотность материала
Расчётная схема балки. Пусть опора В по какой-то причине внезапно удаляется. По алгоритму, предложенному в 4.2, составлена программа в символах системы MathCad с применением метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Используем эту программу для расчёта балки. Коэффициенты демпфирования определим, исходя из среднего коэффициента поглощения энергии стали і// = 0,17 [94]: С; = Г/Т, . При расчёте балки без учета геометрической нелинейности получим следующие результаты: статический прогиб балки Аст = 0,077.м, максимальный динамический прогиб Адин = 0,152м. Масса т колеблется около положения статического равновесия, период колебания 7] = 0,56с. На рис. 4.3 показано перемещения массы т (м) во времени (с). 0 16 Перемещения массы т (м) во времени (с) без учета ГН (п=1см) При расчёте с учетом геометрической нелинейности получим следующие результаты: максимальный динамический прогиб Адш_ = 0,104л«, что в 1,46 раза меньше чем результат без учета геометрической нелинейности (рис. 4.4). Перемещения массы т (м) во времени (с) с учетом ГН (Ъ=1см). Расчет балки с учетом геометрической нелинейности показывает ещё один интересный результат: период колебания балки уменьшается по сравнению с расчетом без учета ГН. Результат расчёта показывает, что период колебания балки с учетом ГН составляет 7] = 0,40с (меньше в 1,3 раз по сравнению с результатом расчета без учета ГН).
Известно, что при статическом расчёте чем больше жесткость балки„тем меньше эффект геометрической нелинейности скажется на прогибе балки. Рассмотрим влияние геометрической нелинейности на динамический прогиб и частоты колебания балки. Для этой цели увеличиваем высоту балки. Рассмотрим три случая: h= 1,2 см; /г = 1,5 см и /г = 2 см. Результаты расчёта показаны в таблице 4. Г.
