Содержание к диссертации
Введение
1 Методы расчёта светораспределения световых приборов 10
1.1 Метод элементарных отображений 14
1.2 Векторный метод расчёта симметричных зеркальных отражателей 18
1.3 Метод обратного луча 21
1.4 Расчёт произвольной оптической поверхности 22
1.5 Расчёт углового распределения силы света системы разноориентиро-ванных излучателей 33
Выводы по первому разделу 42
2 Разработка метода расчёта оптической системы системы разноориентированных излучателей 44
2.1 Аналитическое решение задачи 44
2.2 Численный метод расчёта светораспределения 54
2.3 Алгоритм расчёта на ЭВМ и результаты его применения 62
2.4 Аппроксимация фотометрических данных тригонометрическими полиномами одной переменной 70
Выводы по второму разделу 83
3 Разработка оптической системы светодиодных светильников для уличного освещения 85
3.1 Моделирование светодиодных уличных светильников 85
3.2 Изготовление макетного образца светодиодного светильника для уличного освещения 93
3.3 Исследование светотехнических характеристик опытных образцов светодиодных светильников для уличного освещения серии СДУ-01 100
Выводы по третьему разделу 102
Заключение 103
Список использованных источников 105
- Векторный метод расчёта симметричных зеркальных отражателей
- Расчёт углового распределения силы света системы разноориентиро-ванных излучателей
- Алгоритм расчёта на ЭВМ и результаты его применения
- Изготовление макетного образца светодиодного светильника для уличного освещения
Векторный метод расчёта симметричных зеркальных отражателей
Ещё в X веке арабский учёный Ибн Сахл даёт подробное письменное описание параболических зеркал, используемых для концентрации света, в своём трактате «При Горении Зеркал и Линз» [16]. Но есть предположение [там же], что способность параболических зеркал концентрировать излучение было известно с древнейших времён. Так греческий математик Диокл описал фокальные свойства параболы во 2 веке д.н.э.
Использование же параболических зеркал не для концентрации излучения, а для формирования пучка лучей стало общепринятым только в конце XIX века в маяках. Маяк Ханстентон в Англии претендует на звание первого маяка, оснащённого параболическим отражателем в 1776. Уильям Хэтчинсон, начальник дока в Ливерпуле, сделал параболические зеркала и описал их конструкцию. В то время, они делались из зеркальных пластинок, которые закреплялись в гипсе (см. рисунок 1.1). Гипс заведомо формовался в виде параболоида.
Для производства гладких отражателей потребовалось усовершенствование технологии производства. В 1799 году Кулибин стал изготавливать сплошные стеклянные отражатели параболической и гиперболической форм. Однако, в связи со сложностью производства больших параболических зеркал и их дорогостоящим обслуживанием, призматические линзы, изобретённые в 1823 году Френелем и Араго стали быстро вытеснять зеркала в маяках [17]. Кстати с френелевскими линзами связан интересный факт. За границей фирма Сотте, наладившая у себя их производство, в середине XIX столетия делала уже фотометрические испытания таких систем и даже строила теоретическую кривую распределения освещенности на плоскости, удаленной на расстояние в 1000 м. Повидимому, это был первый светотехнический расчёт решающий прямую задачу. При построении кривой предполагалось, что источник света это равнояркий шар. Так как, на самом деле, источником света являлась дуга, у которой величина кратера зависела от силы тока, и кривая распределения силы света имела своеобразный ход, а система Френеля, собранная из отдельных линз, имела аберрационную погрешность, то теоретическая кривая распределения силы света значительно отличалась от той, которая получалась на практике.
Несмотря на то, что параболоидные отражатели практически перестали применяться в маяках, потребность в них не исчезла и область применения прожекторов, построенных на их основе, стала расширяться. Нужны были методы расчёта параболоидных отражателей. В России пионером светотехнического расчёта является выдающийся учёный – электротехник В. Н. Чиколев. В конце XIX в. он предложил группировать лучи от источника света падающие на отражатель в конические пучки, так называемые элементарные отображения. Метод элементарных отображений (МЭО), предложенный В. Н. Чиколевым и математически сформулированный им совместно с В. А. Тюриным и Р. Э. Классоном [18], был предназначен для расчёта светового пучка параболоидного отражателя, работающего с угольной дугой. Он учитывал геометрию угольной дуги и распределение силы света по её поверхности. Подробнее метод описан в подразделе 1.1.
Но освещение удалённых объектов не единственная задача светотехнической арматуры. Использование отражателей конической и эллиптической формы для других задач освещения стало широко распространенным явлением в конце XIX-го века. Можно найти патенты США на уличные светильники с коническими
Отражатели, сконструированные в конце XIX начале XX веков: а – светильник с эллиптическим отражателем. Патенты США 1874 года [19 - 20]; б – светильник с коническим отражателем. Патент США 1924 года [21]. Основным недостатком конических форм является то, что у них ограниченные возможности по перераспределению светового потока. Переход от конических поверхностей к поверхностям, полученным с помощью численного интегрирования, произошёл в начале 1930-х. Джоли описывает в 1930 геометрический метод определения профиля отражателя, основанный на построении следующих друг за другом точек отражателя [22]. Тем не менее, автором не даётся уравнение, описывающее форму отражателя. Общее уравнение отражателя выводит Болдырев в 1932 году [23].
В 30-х годах XX столетия в теоретической фотометрии произошло значимое событие. А.А. Гершуном была разработана теория светового поля [24]. В качестве одного из приложений своей теории он в 1934 году совместно с Болдыревым в [25] описывает геометрический способ построения отражателя с осевой симметрией (см. подраздел 1.2). Причём авторы указывают и на возможность создания аналитической реализации метода. В том же 1934 году Френку Бенфорду был выдан патент, описывающий уравнение отражателя для осесимметричных отражателей, несколько примеров его применения, а также методики для численного интегрирования уравнения [26].
С конца 1930-х годов до начала 1970-х годов, наблюдался устойчивый рост патентных публикаций посвящённых осветительным системам с отражателями, но принципиально новых методов расчёта в этот период не было предложено.
В 1974 году выходит книга Элмера «Оптический расчёт отражателей». В ней обобщаются актуальные на тот момент знания и методы расчёта, и устанавливается более строгий подход к расчёту отражателя [27].
В 1976 году Кущ О. К. и Митин А. И. в [28] описывают метод обратного луча. Принцип используемой в этом методе аналогичен принципу, который применяется в компьютерной графике для синтеза фотореалистических изображений, а также в телевидении (см. подраздел 1.3).
С ростом вычислительной мощности компьютеров стала возможна реализация статистических методов расчёта. Так в 1986 году в СССР выходит статья «Использование метода Монте-Карло в светотехнических расчётах» [29], а 1993 году статья «Расчёт фотометрических характеристик оптических систем методом Монте-Карло в прямом ходе лучей» [30]. Заметим, что в известной программе TracePro для расчёта оптических систем используется как раз трассировка лучей методом Монте-Карло.
Расчёт углового распределения силы света системы разноориентиро-ванных излучателей
Такой подход позволяет корректно определять все значения р из отрезка [О, 360]. Обойтись без учета дополнительных условий в последней из формул (2.5) невозможно, поскольку диапазон значений функции arccos равен 180. При х = у = 0 можно считать, что и р = 0.
Отметим, что в системе фотометрирования (С, у) величина С соответствует (после замены на С + 90) углу р, а у (после замены на 360 - у) - углу в.
Как и в двумерном случае, для сложения сил света, собственные системы координат ИС требуется совместить с помощью поворотов вокруг общей точки О. Указанные преобразования можно задать, например, углами Эйлера [60]. В настоящей работе для совмещения координатных систем применяются последовательные вращения вокруг осей Ох , Оу, Oz на некоторые углы ax,ay,az.
Пусть базис в пространстве образован векторами ег = {1; 0; 0}, е2 = {0; 1; 0}, ие3 = {0; 0; 1}. После преобразований они перейдут в другие векторы /І5 /2, /з. Координаты этих «новых» векторов в «старом» базисе содержатся в столбцах матрицы перехода М, которая, таким образом, полностью описывает изучаемое преобразование.
Формулы (2.6) - (2.8) справедливы в декартовой прямоугольной системе координат, но силы света различных ИС определяются угловыми координатами в сферической системе. Чтобы совместить оба подхода и рассчитать суммарное светораспределение п разноориентированных источников, расположенных в одной точке, можно действовать по следующему алгоритму: 1 Описать ФТ всех источников света, задав функции /fe(0,O) в собственных системах координат. Здесь к = 1, п - номер источника, а 0, Ф - угловые координаты в собственной системе.
Выбрать общую систему координат, в которой будет происходить сложение сил света. Далее угловые координаты в общей системе обозначаются через в, (р.
Для каждого ИС описать углы ах(к), ау(к), az(k), с помощью которых будет происходить совмещение собственной системы с общей, соответствующие им матрицы (2.7), и найти матрицу перехода М(к) = Мх(к) Му{к) Mz{k).
Для всех ИС найти связь между в, ср и 0, Ф. С этой целью вводится формальный единичный вектор е, координаты которого в «новой» (общей) системе заносятся в столбец
В «старой» (собственной) системе его координаты, занесенные в столбец X = colon(x,y,z), имеют некоторый другой вид и зависят уже от переменных 0, Ф. Поскольку М(к) - это матрица перехода от собственной декартовой системы координат к общей, то связь между Х(в,Ф) и Y(6,(p) устанавливается исходя из формулы (2.6): X = M(k)Y. Вычислив М{к)У{в, ср) и найдя х, у, z, можно перейти от декартовых координат к сферическим в собственной системе по формулам (2.5). Тем самым и будет найдена искомая связь:
Для упрощения вычислений в (2.5) можно сразу положить 1= 1. 5 С учетом зависимостей (2.9) искомое светораспределение задается функцией что аналогично формуле (2.1). Как и на плоскости, для корректного сложения сил света функции /fc(0,4 ) должны быть определены при всех значениях 0,Ф. Если не выполнено неравенство /fc(0, Ф) 0, то необходимо считать, что /fc(0, Ф) = 0.
В двумерном случае совмещение собственной и общей координатных систем достигается простой заменой Ф на р — р0, где р0 - угол, на который следует повернуть собственную систему. В связи с этим возникает вопрос. Можно ли найти такие углы в0 и р0, зависящие от ах, ау, az, что угловые переменные 0, Ф и 0, ф будут связаны одними и теми же соотношениями (р = Ф — р0, в = 0 — в0 для любых значений 0, Ф?
Ответ на этот вопрос отрицателен, что подтверждается простым примером. Рассмотрим два единичных вектора ёг = (1; 0; 0) и е2 = (0; 1; 0) в собственной декартовой прямоугольной системе координат. Заданные ими направления описываются углами 0Х = 90, Фг = 0 и 02 = 90, Ф2 = 90. Предположим, что при переходе в собственную систему осуществляется поворот сначала вокруг оси Ox на угол ах = 60, а затем вокруг оси Oy на угол ау = 30. Из (2.6) и (2.7) вытекает, что векторы после поворотов имеют координаты соответственно. Согласно (2.5), соответствующие сферические координаты равны. Это значит, что разным наборам в, Ф при одних и тех же ах, ау, az отвечают разные
Приведем теперь пример использования построенного алгоритма. Пусть ФТ двух источников света являются эллипсоидами с полуосями а, Ъ, с, а точка, в которой находятся оба ИС, располагается на одном из концов полуоси с. Тогда, аналогично (2.2) в собственных системах координат эти ФТ имеют уравнения
Далее, пусть угол между большими осями эллипсоидов равен 60. Совмещая общую систему координат с собственной системой первого тела и задав углы ссх(Т) = 60, ау(2) = az(2) = 0, сложим ИСС по описанному выше алгоритму.
Приведем выражение для функции Т2(в, р), задающей зависимость 0 второго ФТ от углов общей сферической системы координат:
На рисунке построено суммарное ФТ в случае, когда у обоих ИС а = 2, Ъ = 1, с =3. Прямые линии показывают большие оси каждого из эллипсоидов. Рисунок 2.4 – Светораспределение двух ИС, ФТ которых – равные эллипсоиды
Меняя углы поворота, можно получить совершенно иные суммарные свето-распределения при одних и тех же исходных ИСС.
Итак, в данном разделе представлен метод расчёта суммарного светорас-пределения нескольких ИС, расположенных в одной и той же точке, но имеющих различную ориентацию в пространстве. Алгоритм основан на совмещении собственных систем координат различных ИС с помощью поворотов, которые описываются в матричной форме, переходе к общей сферической системе координат и сложении сил света, отвечающих одним и тем же значениям угловых координат.
Метод не имеет ограничений на форму фотометрических тел ИС. Он является основой численного алгоритма (см. подраздел 2.2) расчёта суммарного све-тораспределения в тех случаях, когда ФТ исходных ИС описаны не аналитически, а приближенно – на основе результатов измерений [62].
Алгоритм расчёта на ЭВМ и результаты его применения
Относительная погрешность аппроксимации равна 8 = 2.4%. Плоскости С = 0 - 180 и С = 90 - 270 Значение N составляет 180/1 = 180; тем самым, общее количество измерений равно 181. На отрезок длины 360 эти фотометрические данные будут продолжены четным образом, поэтому при построении тригонометрического полинома используются лишь косинусы кратных дуг. Это значит, что L = {1, cos у,…, cos 180 }.
Наибольшая измеренная сила света в плоскости С = 0 - 180 равна 2570.32 Кд, а наименьшая - 19.48 Кд. После исключения малых составляющих многочлен Р(у) содержит 11 слагаемых вместо 181, которые входили в полином (2.21). Светораспределение в данной плоскости изображено на рисунке 2.18 Рисунок 2.18 - Светораспределение в плоскости C = 0- 180
Относительная погрешность для плоскости C = 0 - 180, вычисленная по формуле (2.24), равна 2.2%. Следует отметить, что это максимальное значение указанной величины, а в большинстве точек совпадение экспериментальных и расчётных значений почти идеально.
В плоскости C = 90 - 270 величина M = 1268.24 Кд, минимальная сила света составляет 1.29 Кд. Полином P(у) в итоге содержит всего 10 слагаемых, а относительная погрешность составляет 1.5%. Зависимость силы света от направления в данной плоскости отражена на рисунке 2.19.
Светораспределение в плоскости C = 90 - 270
В разделе изучен вопрос об аппроксимации силы света тригонометрическими полиномами на основе экспериментальных данных. Этот способ приближения обладает рядом достоинств. Во-первых, он позволяет получить единое вы 83 ражение для искомой функции на всем диапазоне изменения аргумента. Во-вторых, он «физичен» - при данном способе аппроксимации сохраняется такое важное свойство силы света, как ее периодичность относительно угла. Проведено сравнение форм представления полинома. С учетом практических соображений разработан метод оценки погрешности тригонометрической аппроксимации. Показано, что исключение малых слагаемых позволяет существенно упростить итоговое аналитическое выражение. Работоспособность метода проверена на примере конкретного СП.
Выводы по второму разделу
1 Для сложения сил света двух и более излучателей их собственные системы координат необходимо совместить с общей с помощью поворотов вокруг точки, где располагаются ИС;
2 В двумерном случае совмещение собственной и общей координатных систем достигается простой заменой Ф на р - р0, где р0 - угол, на который следует повернуть собственную систему;
3 В трёхмерном случае разным наборам координат 0, Ф в собственной системе при одних и тех же углах поворота ах, ау, az отвечают разные наборы координат 0О, ср0 в общей системе. Установленный факт не вызывает затруднений при сложении аналитически заданных ФТ, но безусловно является препятствием при сложении ФТ, полученных в результате эксперимента, т.е. когда функция имеет табличное представление. В этом случае после совмещения собственных систем координат различных ФТ с общей перестают совпадать наборы (в, р). В результате чего, невозможно сложить силы света различных ФТ;
4 При табличном задании ИСС одно и то же ФТ может быть с заданной точностью описано бесконечно большим количеством сеток, так называе 84 мыми фотометрически эквивалентными сетками (ФЭС). Предложенный нами метод расчёта позволяет переходить от одной ФЭС к другой, в результате все ФТ приводятся к «общему знаменателю»: находятся ФЭС с одинаковыми узлами;
5 Подтверждением корректной работы алгоритма, основанного на предложенном нами методе, является то, что подавляющая часть расчётных сил света находится в пределах доверительных интервалов. Выход за доверительные интервалы наблюдается для небольших сил света, которые меньше максимальной как минимум на один порядок. К тому же, это наблюдается для 80. С практической точки зрения вклад небольших сил света на больших углах будет минимальным при формировании освещённости, поэтому факту отклонения расчётной кривой от экспериментальной при описанных выше обстоятельствах не стоит придавать большое значение;
6 Аналитическая зависимость силы света I от направления излучения для двумерного случая может быть получена путём аппроксимации фотометрических данных тригонометрическими полиномами одной переменной;
7 Исключение малых слагаемых в тригонометрических полиномах позволяет существенно упростить итоговое аналитическое выражение. 3 Разработка оптической системы светодиодных светильников для уличного освещения
Изготовление макетного образца светодиодного светильника для уличного освещения
Так как шаг отсчета углов Аср мал, объем информации, которую требуется обработать для определения искомых коэффициентов, достаточно велик. Это вызывает необходимость использовать при расчётах ЭВМ. Программное обеспечение, поставляемое вместе с современными гониофотометрами, позволяет сохранять результаты измерений в файлах, имеющих формат IESNA [62] или XLS. Данные таких форматов могут быть легко импортированы в специальные математические программные пакеты. Далее излагается алгоритм расчёта, который был реализован в системе Mathematica [70].
Ввод исходных данных: Фо, Аср (и/или N), а также массива ik. Формирование списка функций L, по которым будет вестись разложение полинома. Понятно, что общее число таких функций не должно превышать количества условий (2.17). Если Ф0 = ж, то будет применяться приближение (2.21), а значит, L = {1, cos ер, cos 2#?,…, cos Nep}. При Фо = 2л; из рассмотрения исключается значение IN, поскольку в силу 2 -периодичности силы света 1( ро) =1( рм). Оставшийся массив ik содержит N значений /о,…, ім–i. Поэтому при нечетном N = 2n+1 используется приближение (2.19) и список L состоит из функций 1, cos р, sin р,…, cos пер, sin пер. При четном N = 2n список имеет вид L = {1, cos ер, sin ?,…, cos {п–\)ер, sin(w–l)p, cos « ?}, причем применяется формула (2.20).
Вычисление коэффициентов. Поскольку список функций L (а значит, и перечень коэффициентов) известен, нетрудно составить и решить систему линей ных уравнений, неизвестными в которой служат искомые аи, Ьи. Для этого можно использовать метод Гаусса.
Альтернативный подход состоит в применении метода наименьших квадратов [72]. Он обладает следующими преимуществами. Во-первых, данный подход позволяет однозначно найти коэффициенты разложения, даже если список L будет «урезан», т.е. если последовательность cos kep, sin kep будет оборвана ранее, чем число функций станет равным числу условий (2.12). Во-вторых, в системе Mathematica имеется стандартная функция Fit, реализующая метод наименьших квадратов. Ее основными аргументами служат список значений аппроксимируемой функции (в нашем случае - ik) и список функций L, по которым ведется разложение.
Исключение малых слагаемых из разложения. После выполнения шагов 1 3 величины ак, Ък будут найдены. Однако некоторые из этих коэффициентов могут быть на порядки меньше других. Кроме того, N, как правило, велико; поэтому приближение 1{ер), содержащее N или 7V+1 слагаемое, весьма громоздко и не слишком удобно для дальнейшего использования. В связи с этим полученный ин терполяционный полином (2.19), (2.20) или (2.21) следует упростить, исключив малые слагаемые. Так как cos кер\ 1 и sin k p\ 1, то отбрасывание слагаемых ак cos kep или bk sin kep дает вклад в абсолютную погрешность, не превышающий \ак или Ьк, соответственно. Перед исключением слагаемых найдем М = max ik и выберем «допуск» // -малое положительное число. Будем отбрасывать лишь слагаемые, удовлетворяющие неравенствам сц\ /иМ или bk\ /иМ (для этого можно использовать функцию Chop, встроенную в систему Mathematica). При этом необходимо учитывать, что суммарная абсолютная погрешность, вызванная отбрасыванием малых слагаемых, будет превышать JLM. Тригонометрический многочлен, полученный в итоге, будем обозначать Р( р).
Дополнительной причиной для исключения малых слагаемых служит то, что измерения силы света осуществляются с некоторой погрешностью. Согласно действующему ГОСТ 17616-82 [73], ее допустимое значение составляет до 5%, хотя современные гониофотометры обеспечивают точность до 0.5%. Значения коэффициентов могут находиться в рамках погрешности измерений.
Погрешность тригонометрической аппроксимации Сначала найдем абсолютную погрешность метода А, а затем, сравнив ее с результатами измерений, вычислим относительную погрешность 8. Исходя из практических соображений, хорошим результатом при аппроксимации светорас-пределения служит погрешность 8 около 1-2%. Допустимы значения 8 в районе 3-4%. Имеется несколько способов оценки абсолютной погрешности. Например, можно было бы использовать следующую теорему [68]. Если функция Дх) и ее производные
Поэтому если в разложении (2.19) ограничиться слагаемыми до cos пер и sin пер включительно, ошибка при отбрасывании остальных слагаемых будет иметь порядок малости, более высокий, чем у выражения к=п+1
Определив п исходя из известного значения N, можно будет оценивать абсолютную погрешность величиной С/пт, где С - некоторая постоянная, быть может, не равная 1/ т. К этой величине потребуется прибавить сумму модулей коэффициентов, отброшенных из-за их малости.
Применение такого способа оценки А наталкивается на два возражения. Во-первых, степень гладкости т функции 1{ р) заранее неизвестна. Во-вторых, найти заранее сколь-нибудь точное значение константы С затруднительно.
Вторым способом оценки является правило Рунге [74]. Пусть исходными данными для интерполяции служат значения функции в точках, взятых с некоторым шагом h. Чтобы найти А, вычисления производят с шагом /г/2, после чего погрешностью считают разницу между приближенными значениями искомой величины, полученными при вычислениях на крупной и мелкой сетке.
Этот способ также имеет недостатки. Во-первых, он требует наличия двух массивов измерений / , а не одного. Если же имеется единственный массив, то можно сравнивать значения 1(ф), полученные при интерполяции с шагом Аср и 2Аср (в последнем случае известные значения ik берутся через одно). Но тогда будет найдена погрешность аппроксимации с большим шагом 2Аср, которая, очевидно, окажется сильно завышенной. Во-вторых, придется дополнительно учитывать погрешность, возникшую при переходе от многочлена T( р), построенного по формулам (2.19)-(2.21), к P( р).
