Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор 13
1.1 Основные методы энергетического расчета оптических систем.. 13
1.2 Обратные задачи определения профиля отражателя 23
1.3 Современные методы расчета 26
Выводы по первой главе 37
2. Разработка алгоритма решения обратной задачи расчета СП 39
2.1. Общие положения алгоритма 39
2.2 В-сплайн аппроксимация 40
2.3 Моделирование источников излучения 48
2.4 Расчет хода лучей через оптическую систему 51
2.5 Оптимизация 53
2.6 Описание разработанной программы 54
2.7 Расчет светильника с параболическим отражателем 57
2.8 Параллельные вычисления 63
Выводы по второй главе 68
3. Расчет светодиодных светильников 69
3.1 Расчет авиационного светильника 69
3.2 Расчет светильника БАНО 73
3.3 ТгасеРго и COMSOL Multiphysics 77
3.4 Расчет светильника для нужд ЖКХ 79
Выводы по третьей главе 85
Заключение 86
Список литературы 89
Приложение 96
- Обратные задачи определения профиля отражателя
- Моделирование источников излучения
- Расчет светильника с параболическим отражателем
- Расчет светильника для нужд ЖКХ
Обратные задачи определения профиля отражателя
Существуют корректно поставленные и некорректно поставленные задачи. Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений[13]. Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении решения z по заданным исходным данным u,z=R(u). Мы будем считать их элементами метрических пространств F и U с расстояниями между элементами Метрика обычно определяется постановкой задачи. Пусть определено понятие «решения» и каждому элементу г/є U отвечает единственное решение z = R(u) из пространства F. Задача определения решения z = R(u),из пространства F по исходным данным и є U называется устойчивой на пространствах (F, U), если для лю- бого числа є 0 можно указать такое число 8(є) 0, что из неравенства ри(щ, и2) 8(s) следует p/ zbz2) є, где z\ = Я{щ), z2 =R(u2); щ,и2 є U; zx z2 eF. Задача называется корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U), если удовлетворяются требования (условия): 1. Для всякого элемента и є U существует решение z из пространства F. 2. Решение определено однозначно. 3. Задача устойчива на пространствах (F,U). Если задача не удовлетворяет этим условиям, она считается неккорект-но поставленной. Однако, долгое время считалось, что всякая математическая задача должна удовлетворять этим требованиям. Задача, решению которой посвящена данная работа, то есть обратная задача проектирования СП не всегда разрешима, то есть, выражаясь математически, некорректна. Это связано с тем, что она является неустойчивой, ее решение определяется неоднозначно или не всегда существует. Другими словами, не каждую кривую силы света можно получить, также кривую можно получить разными способами, задача является неустойчивой, поскольку малым отклонениям оптической поверхности могут соответствовать большие отклонения кривой силы света. Так все три критерия выполняются, очевидно, что обратная задача проектирования СП является некорректной.
Основные методы решения обратных задач - метод подбора, метод регуляризации [13]. Возможность определения приближенных решений неккоректно поставленных задач, основывается на использовании дополнительной информации относительно решения. Возможны различные типы дополнительной информации. В первой категории случаев дополнительная информация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до компактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй категории случаев для нахождения приближенных решений устойчивых к малым изменениям исходных данных, используется лишь качественная информация о решении (например, информация о его гладкости). Метод подбора заключается в многократном решении прямой задачи. В исходное уравнение подставляем значения из множества возможных решений, которое определяется на основании исходных данных. Искомое значение будет определяться минимальной невязкой. Для того чтобы обеспечить сходимость решения необходимо, чтобы множество возможных решений было компактом. При больших размерах множества возможных решений простой перебор всех элементов множества возможных решений может огромное количество времени[15]. Поэтому в таких случаях эффективно использовать другие алгоритмы поиска минимума, например генетический алгоритм. Достоинством этого алгоритма является то, что он позволяет вести поиск решений в очень больших, сложных пространствах поиска и находить при этом глобальный минимум [70]. Генетический алгоритм — это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Для того чтобы использовать генетический алгоритм необходимо представить решение в виде вектора и сгенерировать несколько таких начальных векторов. В нашем случае вектор решения будет содержать параметры искомой оптической- системы - фокус и диаметр параболического отражателя, показатель преломления стекла и т.д. Оценивать векторы будем с помощью функции приспособленности. Функция,приспособленности будет вычисляться, так же как и невязка по формуле.
Моделирование источников излучения
Соответственно, нам необходимо найти глобальной минимум некой целевой функции Q зависящей от интересующих нас параметров Ср
Однако, в общем случае, зависимость целевой функции от параметров с не является аналитической и поэтому минимум приходиться искать итерационными методами. Большинство алгоритмов начинают с начального приближения и находят затем локальный минимум целевой функции [26]. Такой подход не может гарантировать того, что этот минимум является глобальным. При увеличении количества параметров очень сильно возрастает сложность алгоритма и скорость расчета и нахождение глобального минимума часто не представляется возможным. Поэтому подобный подход в чистом виде никогда не используется, а идет в связке с другими методами [14].
Метод подгонки поверхности (tailored surfaces) - относиться к прямым методам. Он заключается в последовательном наборе поверхности отражателя из отдельных частей. В основе лежит принцип краевых лучей, который заключается в том, что гладкая отражающая поверхность отражает лучи непре рывно. Это означает что смежные лучи, исходящие из источника останутся смежными после отражения [21, 28, 36]. Чтобы гарантировать то, что все лучи из источника попадут на приемник необходимо, чтобы лучи исходящие из края источника попадали на край приемника. Поэтому при расчете можно рассматривать только краевые лучи, потому что лучи лежащие между ними автоматически отразятся нужным нам образом.
Впервые метод был применен для расчета симметричных отражателей [24]. Профиль отражателя описывается следующим дифференциальным уравнением: где a - единичный вектор направления краевого луча исходящего из отражателя по направлению к источнику, к = k(t) — параметрическое уравнение линии референции, и = u(t) - единичный вектор направления краевого луча исходящего из линии референции по направлению к отражателю. D — расстояние от точки на линии референции, соответствующей рассматриваемому лучу, до соответствующей точки на поверхности отражателя (рис. 1.4).
Следовательно, для того, чтобы определить форму отражателя нам необходимо найти зависимость D(t) где F i - тензорный оператор, для перехода из касательной плоскости исходящего волнового фронта в касательную плоскость оптической поверхности; Pjn- то же самое, только для выходящего волнового фронта; К0- тензор кривизны оптической поверхности; К1п, К0ш- тензоры кривизны входящего и исходящего волновых фронтов соответственно; JIn, J_OM, - якобианы, которые нужны для преобразования дифференциалов касательной плоскости волнового фронта в дифференциалы касательной плоскости оптической поверхности. Освещенность на расчетной плоскости вычисляется по формуле: где /(In) - КСС источника, fb f2 - фокусы волнового фронта, t - координаты точки на приемной поверхности, s - координаты источника излучения, Nt -нормаль к приемной поверхности в точке t, р - точка на поверхности отражателя.
Уравнения преобразуются в систему из двух эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Такие же уравнения были получены более 200 лет назад Монжем и Ампером. Авторы метода использовали формулировку уравнения отличную от формулировки Монжа и Ампера для того чтобы найти решение в общем случае. Интегральное условие: Это условие гарантирует существование поверхности перпендикулярной векторному полю N. В качестве демонстрации возможностей своего метода авторы приводят расчет линзы, которая формирует изображение слова. Расчет занимает примерно 1 час. Достоинства: 1) Расчет для неравнояркого источника. 2) Расчет для произвольной поверхности. Недостатки: Расчет для точечного источника. Этот метод, как и предыдущий, является прямым методом и основан на рассмотрении волновых фронтов. Развивался он также от двумерной к трехмерной задаче. Двумерная модификация метода базируется на теореме Леви-Чивиты о том, что для преобразования любого нормально-конгруэнтного пучка в другой нормально-конгруэнтный пучок достаточно одной поверхности. Разработка метода началась после 1990-го года для разработки осветительных приборов [33]. С помощью нового метода, который получил название SMS2D, было разработано большое количество ультракомпактных симметричных отражателей, эффективность которых была близка к теоретически возможному пределу. Дальнейшее развитие привело к появлению трехмерной модификации метода - SMS3D. Стоит отметить, что все преимущества двумерной версии метода, упомянутые выше, сохранились при переходе к трем измерениям [35]. На данный момент этот позволил создать реальные световые приборы с протяженными источниками света. Он позволяет лучше контролировать исходящее излучение протяженного источника чем любые другие произвольные поверхности позволяют контролировать излучение точечного источника. Также этот метод позволяет минимизировать потери излучения. [35]. Исходные данные: Р0- начальная точка первой поверхности, No- нормаль к поверхности в точке Р0, W\h W&- входящие волновые фронты, W0\, WQ2- выходящие волновые фронты
Расчет светильника с параболическим отражателем
Для тестирования нашего алгоритма расчета мы использовали параболический отражатель. Выбор обусловлен тем, что единственное точное аналитическое решение прямой задачи расчета СП существует только для параболического отражателя с шаровым источником излучения (1.4). Исходные данные: Источник излучения: равнояркая сфера. Радиус источника: 50 мм. КСС приведена на рис 2.11 и в таблице 2.1. Фокус параболы: 100 мм. Угол: 90 градусов. Рис 2.11 Исходная КСС для расчета параболического отражателя Для проведения расчетов нам необходимо также подать на вход нашей программы количество лучей участвующих в трассировке, от этого количества будут зависеть точность и время расчета. В процессе работы мы пришли к выводу, что 5000 лучей достаточно для получения малых значений невязки. Время расчета одной итерации при таком количестве лучей 21 минута. Расчет светильника с параболическим отражателем с параметрами указанными выше занял 10 часов на компьютере с двуядерным процессором Intel Core 2 Duo Е7600 с частотой 3.06 ГГц и 4-мя гигабайтами оперативной памяти. Сравнение исходной и полученной КСС представлено на рис 2.12. Кривые совпадают достаточно хорошо, но не полностью. Более точное совпадение можно получить, увеличив количество лучей. Однако в этом нет необходимости, так как на форму отражателя это не повлияет (при заданном шаге перебора параметров оптимизации). Анализируя этот график можно сделать вывод, что предложенный алгоритм справляется с поставленной задачей.
Полученные координаты поверхности отражателя выводятся в виде таблицы, столбцы которой это координаты x,y,z. Координаты параболического отражателя приведены в приложении 1. Далее представлены графики зависимости невязки от параметров отражателя и количества лучей участвующих в расчете. Красной точкой отмечены те параметры, которые мы использовали в расчете. Рис 2.13 - зависимость невязки от порядка В-сплайн поверхности. Рис 2.14 - зависимость невязки от количества узлов задающей сетки В-сплайн поверхности. Рис 2.15 - зависимость невязки от количества лучей, участвующих в расчете. Порядок В-сплайн поверхности - 3 в обоих параметрических направлениях. Количество узлов задающей сетки В-сплайн поверхности - 20. Это связано с тем, что такое количество узлов было у поверхности, использующейся в качестве начального приближения. Количество лучей - 5500. При этих параметрах достигается оптимальное соотношение скорости и точности расчета. алгоритма при переходе к ЗМ несимметричной задаче.
В-сплайны, как уже было сказано выше, отлично подходят для представления ЗМ несимметричных поверхностей, следовательно, модуль программы, отвечающий за работу с В-сплайнами, не изменится. Реализация метода Монте-Карло также не претерпит изменений, так как она изначально разрабатывалась с учетом трехме-рии. Главная сложность при переходе к несимметричной ЗМ оптической системе будет связана с увеличением размерности множества возможных решений. К таким же последствиям приведет и расчет для протяженного не-равнояркого источника. В результате усложнится процесс оптимизации. Однако выше уже было сказано о том, что использование генетического алгоритма и параллельных вычислений поможет решить эту проблему. Резюмируя, можно сказать, что было создано ядро программного комплекса, которое позволяет рассчитывать отражатели под заданную кривую силы света. В дальнейшем этот комплекс можно будет легко добавить учет КПД светильника при расчете, учет допусков, расчет отражателя, который обеспечивает необходимую освещенность на плоскости (то есть вместо силы света задавать распределение освещенности). Задавая распределение яркости по поверхности источника можно также проводить расчеты для неравномерных источников. Таким образом, можно сформулировать следующие принципиальные особенности систем автоматизированного проектирования СП: 1. Использование ЗМ несимметричных поверхностей. 2. Прямое статистическое моделирование. 3. Использование 5-сплайн поверхностей. 4. Оптимизация поверхности отражателя. 5. Распараллеливание. 6. Учет допусков. 7. Представление данных для производства (чертежи, данные для станков сЧПУ) 8. Учет теплового режима. Пункты 5 и 8 будут подробнее описаны в следующих параграфах диссертации.
Расчет светильника для нужд ЖКХ
Третий светильник, который был расчитан, это светильник для освещения подъездов жилых домов. Ниже представлены требования к этому светильнику:
Источник излучения - свето диоды KPWH-080-1 белового цвета с углом излучения 120 [52], КСС представлена на рис 3.12.
Мощность светильника - 12-15 Вт, световой поток -1500 лм, КСС - косинусная. Размеры: ширина - 120 мм, длина- 200 мм.
Эту задачу мы начали решать сразу в ТгасеРго, чтобы оценить производительность процесса проектирования, по сравнению с использованием нашей программы.
Вначале мы решили использовать профиль отражателя, изображенный на рис 3.13. Это профиль был получен после создания и анализа нескольких различных моделей в ТгасеРго, что представляет собой довольно трудоемкий процесс. Однако затем мы пришли к выводу, что во время сборки светильника светодиоды могут быть установлены неровно, что приведет к изменению КСС светильника. Поэтому мы изменили профиль отражателя (рис 3.14), сделали шире его «горбы», для того чтобы сгладить возможные неточности при установке светодиодов.
Рассеиватель светильника сделан из полиметилметакрилата. На внешнюю поверхность светильника нанесено ребрение для уширения его кривой силы света. С помощью ребрения сложнее добиться косинусной кривой, чем с помощью диффузно-рассеивающей поверхности. Однако, в случае ребре ния, меньше потери излучения и соответственно выше КПД светильника. Расчетный КПД светильника 0.9. Светодиоды расположены в три ряда по 5 штук в каждом. В конце светильников расположен драйвер и датчик звука. Постоянно включен только средний ряд светодиодов, остальные два ряда включаются, если срабатывает датчик звука.
После того как мы определились с формой рассеивателя была создана трехмерная модель светильника в программе Solid Works (рис 3.16). Эта модель необходима для получения данных для работы станка с ЧПУ.
В этом случае требования были не такие жесткие как для авиационных светильников. Поэтому различие в кривых порядка 20-ти процентов было принято удовлетворительным.
Также по результатам проектирования можно сделать вывод, что хотя программы ТгасеРго и SolidWorks обладают большим набором средств проектирования и анализа оптических систем, для получения начального варианта формы отражателя эффективней использовать наш алгоритм. Программы же ТгасеРго и SolidWorks удобнее использовать для доводки уже имеющегося светильника.
Для этого светильника были также проведены тепловые расчеты. От рабочей температуры светодиода очень сильно зависят его светотехнические характеристики и срок службы.
С помощью программы COMSOL мы создали упрощенную модель светильника (рис 3.18). Это было связано с тем, что тепловые расчеты полной модели светильника с ребрением займут слишком много времени -10 часов, а так же с тем, что основная задача данных расчетов — это узнать можно липрименять предложенную систему охлаждения, а не получить точное распределение температуры по поверхности светильника.
