Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исторический обзор исследований по динамике тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью. Математическая модель для исследования колебаний пластин, расположенных под слоем жидкости .
1.1 Краткий исторический обзор исследований 9
1.2 Определяющие уравнения. Постановка краевой задачи гидроупругости для тонкой пластины, расположенной под слоем жидкости
1.2.1 Волновое уравнение для потенциальной, несжимаемой, идеальной жидкости 17
1.2.2 Основные расчетные соотношения для тонкой упругой пластины 21
1.2.3 Краевая задача гидроупругости о колебаниях пластины, расположенной под слоем жидкости 23
Глава 2. Колебания упругих балок, расположенных под слоем жидкости .
2.1 Постановка краевой задачи .»
2.2 Построение общего решения задачи о собственных колебаниях упруго защемленной балки 31
2.3 Вынужденные колебания балки под слоем жидкости
2.3.1 Вынужденные колебания с учетом сил вязкого сопротивления при действии произвольной динамической нагрузки q(, t) 38
2.3.2 Вынужденные колебания балки при действии стационарной вибрационной нагрузки 45
2.3.3 Вынужденные колебания при кинематическом (гармоническом) возмущении 47
2.4 Численный анализ результатов 49
Глава 3. Собственные и вынужденные колебания прямоугольных пластин, взаимодействующих с жидкостью .
3.1 Постановка краевой задачи 74
3.2 Построение общего решения задачи о свободных колебаниях пластинки шарнирно опертой по двум противоположным сторонам и закреплением по двум другим краям 76
3.3 Вынужденные колебания пластинки с двумя шарнирно и двумя произвольно закрепленными краями, расположенной под слоем жидкости, при действии произвольной динамической нагрузки q[ ,?],t)
3.3.1 Вынужденные колебания пластинки при действии стационарной вибрационной нагрузки 89
3.3.2 Вынужденные колебания пластинки с учетом внутреннего трения в материале при нестационарных воздействиях
3.4 Построение общего решения задачи о свободных и вынужденных стационарных колебаниях упруго защемленной на контуре прямоугольной пластины под слоем жидкости 104
3.5 Численный анализ результатов 110
Глава 4. Колебания упруго закрепленных круглых пластин, расположенных под слоем жидкости .
4.1 Постановка краевой задачи 125
4.2 Построение общего решения задачи о собственных колебаниях упруго защемленной круглой пластинки, взаимодействующей с жидкостью 126
4.3 Вынужденные стационарные колебания пластинки под слоем жидкости 139
4.4 Численный анализ результатов 142
Заключение 157
Список литературы
- Волновое уравнение для потенциальной, несжимаемой, идеальной жидкости
- Вынужденные колебания балки при действии стационарной вибрационной нагрузки
- Построение общего решения задачи о свободных колебаниях пластинки шарнирно опертой по двум противоположным сторонам и закреплением по двум другим краям
- Построение общего решения задачи о собственных колебаниях упруго защемленной круглой пластинки, взаимодействующей с жидкостью
Волновое уравнение для потенциальной, несжимаемой, идеальной жидкости
Одним из этапов решения задач гидроупругости могут рассматриваться вопросы исследования свободных колебаний конструкций без учета жидкости. В работах [26], [44], [85], [91], [118], [123], [130], представлены аналитические решения (методом разделения переменных, асимптотическим способом, методом обратной теоремы) задач о собственных колебаниях тонких прямоугольных пластин с различными граничными условиями (условиями опирання). В исследовании [113] получено точное решение задачи о свободных колебаниях бесконечной, тонкой пластины, контактирующей с идеальной сжимаемой жидкостью.
Вынужденные поперечные колебания прямоугольных и круглых пластин при действии равномерно распределенной и сосредоточенной, гармонической нагрузки, рассматривались в трудах [100], [103], [104], [125]. В статье [96] рассматриваются задачи о собственных и вынужденных колебаниях свободно опертых прямоугольных пластин с болтовыми соединениями, расположенными вдоль границы. Экспериментальным путем получены значения фундаментальных частот при варьировании числа болтов. Получены приближенные аналитические соотношения для определения частот и форм связанных гидродинамических свободных и вынужденных колебаний системы: упругая прямоугольная пластина и движущаяся вместе с ней несжимаемая жидкость, в работах [141], [146]. Однако в этих исследованиях не учитывалось упругое основание.
Подстилающий слой по модели упругого полупространства принимался во внимание при анализе свободных колебаний пластин в работах [24], [80]. В исследование [134] предлагается решение задачи об осесимметричных изгибных колебаниях круговой плиты, расположенной на бесконечном, упругом основании, методом граничных интегралов. В работах [29], [39], [117], [124], [139] рассматривались вынужденные колебания круглых пластин, лежащих на упругом полупространстве. Глава 1 В исследованиях [13], [36], [35], [111], [112], [128] основание моделируется по гипотезе Винклера, здесь рассмотрены свободные колебания пластин. Проведен расчет частот и форм колебаний тонких прямоугольных пластин на упругом основании Винклера в статье [150]. Автором [93] исследуются вынужденные колебания круглой пластины на упругом, виїїклеровском основании под действием вертикальной сосредоточенной динамической нагрузки. В работе [152] получено аналитическое решение задачи об осесимметричоых установившихся колебаниях круглых пластин на двухпараметрическом основании. В статье [50] рассматривается динамическая контактная задача о взаимодействии деформируемой круглой плиты с упругой или вязкоупругой полуограниченной средой.
В работе [142] исследовано влияние толщины пластины, коэффициента постели упругого основания, коэффициентов Пуассона материалов пластины и других физико-механических и геометрических параметров на частоту колебаний нетонких пластин.
Во многих работах, связанных с колебаниями пластин в воздухе [91], колеблющихся также под действием гармонической, возмущающей силы [102], [4] и взаимодействующих с жидкостью, большое внимание уделялось исследованию, влияния граничных условий закрепления пластин. Здесь следует отметить, что результаты (частотные уравнения и моды колебаний), опубликованные в [91], [99], [120], [133], [137] получены аналитическим путем для пластин со свободными краями, защемленными гранями и комбинированными, идеализированными краевыми условиями.
Авторами исследований [42], [51], [129], при анализе лишь свободных колебаний пластин, была предпринята попытка, учесть упругое защемление на контуре, соответствующее реальным условиям опирання. Однако решения здесь получены численными, приближенными методами. Предложено аналитическое решение задач о свободных поперечных колебаниях прямоугольных пластин с упруго опертыми или упруго защемленными краями в работе [109]. Здесь получены результаты, справедливые для предельных случаев: шарнирного опирання и жесткого защемления. Общее решение, для Глава 1 свободных и гармонических колебаний прямоугольных и круглых пластин, упруго закрепленных на контуре, получено в [108] и [148]. Решения здесь также получены без учета упругого основания.
В выше перечисленных работах при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний не учитывались силы упруговязкого сопротивления конструкции, сопровождающие процесс колебаний.
Учет вязкоупругого демпфирования, согласно скорректированной модели частотно независимого внутреннего трения Фойїта, при исследовании линейных колебаний упругих систем, предложен в монографии Цейтлина и Кусаинова [82],
В исследовании [147], при рассмотрении колебаний круглых пластин, сила вязкого трения, в соответствии с гипотезой Фойгта, принималась пропорциональной скорости прогибов пластины. Колебания вязкоупругих пластин исследовались также в работах [10J, [11], [43], [52], [115] и [120]. Изгибные колебания тонкой круглой пластины, с учетом рассеяния энергии, рассматривались автором [86] на основе условной, обобщенной им, упруговязкой модели. В работах [6], [7] предложен метод расчета вынужденных поперечных колебаний прямоугольных, тонких пластин с учетом энергетических потерь в циклически деформируемом материале при различного типа силовом гармоническом возбуждении. Вязкое демпфирование учитывалось также в работе [143], однако, в основу расчета, здесь положен вариант численного метода граничных элементов.
Возвращаясь к задачам гидроупругости, следует отмстить, что немало исследований посвящено анализу частот свободных и вынужденных колебаний балок и пластин, в которых оценивается влияние их толщины, высоты слоя жидкости и условий закрепления на контуре. Действительно, влияние присоединенной массы идеальной, несжимаемой жидкости на динамические характеристики подобных конструкций изучалось в работах [15], [28], [126], [127]. Автором статьи [140], при исследовании бесконечной пластины, получена приближенная формула для оценки значений распределенных по поверхности Глава 1 присоединенных масс жидкости, как отношения действительной части гидродинамического давления в данной точке к ее ускорению. Для оценки влияния присоединенной массы воды на динамические характеристики, автором работы [95] используется приближенный метод малых возмущений. В статье [32] приводится инженерная методика определения присоединенной массы жидкости при исследовании динамики резервуаров. При этом она считается распределенной подобно гидродинамическому давлению жидкости, что позволяет автору в итоге получить простые значения коэффициентов приведения колеблющейся массы.
Важными для практики являются вопросы определения динамических реакций конструкций, расположенных на упругом основании или взаимодействующих с жидкостью. В статье [149] разработана методика определения реакции жесткой пластины на упругом слое. Интересное аналитическое исследование, связанное с определением статической и динамической реакции тонкой, круглой пластины, лежащей на нерастяжимом упругом основании типа Винклера, приведено в [ПО].
Вынужденные колебания балки при действии стационарной вибрационной нагрузки
Численный анализ результатов. Рассмотрим порядок (алгоритм) расчета свободных и вынужденных колебаний балки в соответствии с полученным выше точным решением задачи. 1. Сначала производится вычисление корней Лі [і = 1,2...) трансцендентного уравнения (2.40). Для этой цели организуется шагово-итерационный процесс в сочетании с методом половинного деления. Вычисления проводятся на ЭВМ с заданной точностью є. 2. Определяется ядро интегрального преобразования A"(/t(, J для каждого тона і по формуле (2.38). II rs II2 3. Пользуясь выражением (2.25) вычисляем квадрат нормы Л,- . 4. Полагая известной высоту слоя жидкости h, по формуле (2.36) определяется безразмерная т1 приведенная масса жидкости для каждого тона колебаний балки. yh 5. При заданных геометрических размерах и физико-механических характеристиках материала днища определяются круговые частоты колебаний COi балки на упругом основании под слоем жидкости по формуле (2.37). В случае, когда резервуар без жидкости применяем - (2.37з), при отсутствии основания - (2.37)). Если балка совершает свободные колебания в воздухе, то пользуемся выражением (2.37г) 6. Для распределенной вибрационной нагрузки вычисляются амплитудные значения прогибов балки (днища). Для этой цели используются выражения: (2.80) для колебаний в воздухе, (2.77) при колебаниях с учетом жидкости и основания, (2.69) с учетом внутреннего трения в материале балки, без основания (2.79), без жидкости (2.78). 7. Располагая зависимостями (2.81) и (2.82) вычисляются изгибающие моменты и поперечные силы. 8. По формуле (2.88) определяются амплитудные значения прогибов балки (днища) при кинематическом (гармоническом) возмущении. Глава 2 Приведенный алгоритм был реализован на ПЭВМ (см. прил. II).
В качестве примера рассматривается стальной резервуар (Е=200х10 Н/м ; pi=7.85x10 Нхс2/м4) пролетом Ь=\м, покоящийся на упругом основании с коэффициентом постели ко=1000; 5000; 10000 кН/м3. Расчеты проводились при различных соотношениях А =0.05; 0.5; 1; 2; 4 для днища толщиной /г, =0.005; 0.01; 0.02; 0.03; 0.05м. Варьировались также коэффициенты жесткости упругого соединения днища и стенок резервуара с =0; 10 и а— со.
На графиках, изображенных на рисунках 2.2, 2.3, 2.4, приведены кривые, характеризующие изменение присоединенной массы жидкости mjyh, для первых пяти тонов lz = l,5), в зависимости от отношения Щи для /г, =0.02 м. Масса жидкости, включающаяся в процесс колебаний балки (присоединенная масса), максимальна на втором тоне колебаний. На последующих модах величина mjyh (/ = 3,4,5...) убывает. Заметное влияние оказывают условия закрепления концов балки при относительно небольшом заполнении резервуара жидкостью. Следует отметить, что в случае жесткого защемления присоединенная масса жидкости меньше, чем при шарнирном опираний днища. Для всех схем закрепления балки (днища) наблюдается общая тенденция снижения mjyh с увеличением высоты слоя жидкости. Для і 5 и hjb 1 величина присоединенной массы жидкости становится незначительной и поэтому, в случае вычисления высокочастотной части спектра собственных колебаний балки (днища), ею можно пренебречь. Однако этот вывод является неправомерным, если определяется основная частота колебаний и первые ее обертоны coj и 5) при различной степени наполнения резервуара. Наибольший эффект при этом достигается в случае, когда "А 1. Аналогичные результаты расчетов присоединенной массы жидкости для первых пяти тонов колебаний днища, упруго сопряженного со стенками призматического резервуара, получены для значений Глава 2 коэффициентов жесткости а=0.1 и а=1О0. Характерным здесь является то, что в этих случаях
наблюдается та же тенденция, которая отмечалась выше для идеализированных схем закрепления. Следует отметить что, при а 0.1 результаты для mjyh незначительно отличаются от соответствующих данных для шарнирного сочленения днища и стенок, а при а 100 от результатов для mj jyh , полученных в предположении жесткого их соединения (случай жесткого защемления).
Частоты свободных колебаний, как и следовало, ожидать, оказались выше соответствующих значений частот при наличии жидкости. Как уже отмечалось, наибольшее воздействие оказывает жидкость на второй обертон спектра частот собственных колебаний балки. Влияние присоединенной массы жидкости на частоты свободных колебаний зависит от степени наполнения резервуара. Так, например, для жестко закрепленной балки (hi=0.02 м.) снижение частот ее колебаний при hjb =4, по сравнению с частотами порожней емкости, составляет 73% для второго обертона (i=2) и 56% для (i=5). Если степень наполнения сосуда hjb =0.05, то снижение а 2 происходит на 49% и У5 всего на 46%. Таким образом, снижение частоты a t сказывается все заметнее с увеличением степени наполнения резервуара. Граничные условия, при этом, незначительно меняют картину воздействия жидкости на частотный спектр днища (в шарнирном случае снижение частоты на 1-2% больше).
На частоты колебаний днища COi оказывает, также, влияние упругое основание. С увеличением жесткости подстилающего слоя возрастают и собственные частоты С0Г Так, например, для шарнирно опертой балки толщиной пх =0.02 м. при коэффициенте жесткости основания ко=1000 кН/м3 основная частота вырастает всего на 3%, а при ко= 10000 кН/м3 на 33%. Причем, большее влияние оказывает упругое основание на й . в шарнирно-закрепленной балке, по сравнению с жестко-защемленной. Действительно, при hi=0.02 м. и Глава 2 ко=5000 кН/м частота основного тона колебаний увеличивается на 17% в первом случае, в то время как во втором лишь на 4%. Последующие частоты с каждым тоном все менее отличаются от соответствующих частот колебаний балки в воздухе, и для соъ превышение составляет доли процента. Совместное действие двух сред, жидкости и упругого основания, на C0t приводит к тому, что вклад жидкости превышает влияние основания, и в результате частоты оказываются ниже соответствующих их значений при колебании балки в воздухе. Разница между величинами частот колебаний СО( [І = 1,5J (с учетом жидкости и упругого основания) и соответствующими значениями при наличии только жидкости в шарнирном случае составляет 15%, а в жестком не превышает 4%. Значения С0І, для первых пяти тонов, при различной степени наполнения резервуара h/b =0.05;1 и ко=5000 кН/м3, для балки толщиной 0.02 м. приведены в таблице 2.1. Здесь же содержатся величины соответствующих частот колебаний в воздухе COl (i=l,5).
Построение общего решения задачи о свободных колебаниях пластинки шарнирно опертой по двум противоположным сторонам и закреплением по двум другим краям
В предыдущей главе рассматривались колебания балки, расположенной под слоем жидкости. Решение плоской задачи гидроупругости дает нам представление о напряженно деформируемом состоянии днища вытянутого резервуара, когда один размер в плане заметно превышает другой, то есть # Зв(Рис.2.1а). Но, полученные выше выражения, отражающие процесс совместных колебаний жидкой среды и конструкции на упругом основании, не справедливы для резервуаров и сосудов с квадратным дном, или с размерами а Зв. В этом случае, на динамические характеристики сооружений, заполненных жидкостью, будут оказывать влияние условия закрепления по всему контуру пластины. Таким образом, более полную картину о взаимодействии днищ призматических баков и резервуаров с заполняющей их средой можно получить, решив пространственную задачу о колебаниях пластины на винклеровском основании под слоем жидкости. Метод, разработанный автором [59J, [61],[62], позволяет сделать это для произвольных соотношений размеров конструкции в плане. Ниже рассматривается задача гидроупругости в соответствии с расчетной схемой, приведенной на рисунке 3.1.
Как уже отмечалось во 2-ой главе, существенным представляется то, что в отличие от исследований других авторов, в расчетной схеме учитывается упругость основания, реальные (упругие) условия закрепления днища (его сопряжение со стенками резервуаров), а также силы внутреннего трения в материале. Так же, как и в задаче о колебаниях балки, исследования производятся в предположении, что пластинка расположена под слоем идеальной, несжимаемой, потенциальной жидкости (глава 1). Рассматривается Глава З безинерционное основание, упругие свойства которого, описываются в соответствии с гипотезой Винклера [20], [21], [25].
Силы упруговязкого сопротивления (внутреннее трение) в пластинке вводятся в процессе решения задачи, в соответствии со скорректированной частотно-независимой моделью Фойгта [82].
Как уже отмечалось в первой главе диссертации, в процессе решения задачи полагаем движение идеальной, несжимаемой жидкости безвихревым. При этом поверхностные волны не учитываются, а вертикальные стенки резервуара считаем абсолютно жесткими и непроницаемыми. В процессе колебания пластинки полагаем, что частицы жидкости не отрываются от ее поверхности. Задачей расчета является определение частот и форм колебаний конструкции, а также присоединенной массы жидкости для каждой моды, влияющей на спектр частот колебаний днища. При рассмотрении вопроса о стационарных вынужденных колебаниях определяются также внутренние усилия и перемещения пластинки, возникающие под действием возмущающей гармонической нагрузки.
В процессе преобразований применен структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований, разработанный проф. Ю. Э. Сеницким (КИП) [56], что Глава З позволило построить точное в рамках рассматриваемой модели решение задачи.
Расчетные соотношения исследуемой краевой задачи для случая, когда все четыре края пластинки упруго закреплены, приведены в первой главе (выражения (1.24)-(1.30)). Если принять что, края АВ и CD - шарнирно оперты, а АС и BD упруго защемлены, то, полагая ог = 0, граничные условия (1.26а), (1.26в) на сторонах АВ и CD записываются следующим образом:
Построение общего решения задачи о собственных колебаниях упруго защемленной круглой пластинки, взаимодействующей с жидкостью
Постановка краевой задачи. В различных областях современной техники и строительстве в качестве емкостей, контейнеров, баков широко применяются не только призматические резервуары, но и цилиндрические. Днище таких сосудов представляет собой круглую пластину, находящуюся в условиях осесимметричного, напряженно-деформируемого состояния. То есть, в качестве расчетной модели днища резервуара (см. рис.4.1), может быть принята пластина радиусом
Также как и во 2 и 3 главах, в расчетной схеме учитывается упругость основания и реальные (упругие огиосительно углов поворота) условия закрепления днища. Расчегы производились для пластинки, расположенной под слоем идеальной, несжимаемой, потенциальной жидкости. Безинерционное основание, описывается в соответствии с гипотезой Винклера, основанной на коэффициенте постели [20], [21], [25].
Как уже отмечалось в первой главе диссертации, в процессе решения задачи движение жидкости принимается безвихревым, поверхностные волны не учитываются резервуары с плавающей крышкой), а их вертикальные стенки считаются абсолютно жесткими и непроницаемыми. Полагается, что при колебаниях пластинки частицы жидкости не отрываются от ее поверхности. Задачей расчета является определение частот и форм колебаний днища резервуара, а также присоединенной массы жидкости. При рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях определяются внутренние усилия и перемещения пластинки, возникающие под действием возмущающей гармонической нагрузки.
Как и в предыдущих главах, решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований, структурный алгоритм которого разработан проф. Ю. Э. Сеницким (КИП) [56], что позволило в итоге получить точное в рамках принятой модели решение задачи.
Расчетные соотношения, представляющие математическую формулировку исследуемой краевой задачи, приведены в главе 1 зависимостями (1.31)-(1.38).
Построение общего решения задачи о собственных колебаниях упруго защемленной круглой пластинки взаимодействующей с жидкостью.
Для свободных установившихся, гармонических колебаний пластинки (q(r,t)=0) выражения w(r,t) и cp(r,z,t), аналогично (2.7), следует принять в виде:
Решаем сначала дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (4.4) с учетом граничных условий (4.5)-(4.8). Введем на сегменте Е, є [0,lj обобщенное конечное интегральное преобразование по переменной с неизвестным пока ядром G{jUn, %) и весовой функцией р{ ), определяемой по формуле (1.99) [56]. Для этого запишем дифференциальное уравнение (4.4) следующим образом:
Таким образом, получили однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (4.22) и соответствующие неоднородные краевые условия (4.18) для обобщенной трансформанты потенциала скоростей идеальной жидкости Фя [jun, д). Общее решение этого уравнения записывается следующим образом: В этом выражении необходимо определить ядро обобщенного КИП G\jJ,n,E,) и квадрат нормы G . Для этой цели возвращаемся к двум условиям (4.20), (4.21). Из операционного свойства (4.21) следует такое однородное дифференциальное уравнение для ядра G\/dn, q):
Исключаем произвольные постоянные С1п, С2н из (4.28j), воспользовавшись для этой цели граничным условием (4.30) и условиями ограниченности (4.29). Поскольку, функция Бесселя 2-го рода YQ(0) при = 0 У0(0) — оо, то для того, чтобы в полюсе = 0 выражение (4.28і) в соответствии с (4.29) оставалось ограниченным, необходимо принять
Рассмотрим вынужденные колебания круглой пластины расположенной под слоем жидкости на упругом подстилающем основании при действии распределенной, динамической нагрузки, приложенной к ее поверхности. В отличие от известных исследований, здесь рассматривается более общий случай упругого защемления пластины на контуре. Частные результаты полученного решения соответствуют [16].
