Содержание к диссертации
Введение
1 Предпосылки теории деформирования пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами 11
1.1 Некоторые экспериментальные сведения по деформированию материалов с усложненными свойствами...11
1.2 Обзор некоторых вариантов построения теории изгиба пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов 13
2 Определяющие соотношения для изотропных разносопротивляющихся материалов 36
2.1 Пространства нормированных деформаций 36
2.1.1 Нормированное пространство № 1 37
2.1.2 Нормированное пространство № 2 39
2.2 Потенциал напряжений 41
2.3 Замечания о геометрических уравнениях, уравнениях равновесия, движения и сплошной среды 4 6
2.4 Обоснование определяющих соотношений 4 7
2.4.1 Законы изменения объема и формы, фазовая характеристика. Соотношения между инвари антами напряжений и деформаций 4 8
2.4.2 Определение констант определяющих соотношений 51
2.4.3 Исследование ограничений, накладываемых на механические характеристики материалов условием единственности решения 70
3 Геометрически линейная теория деформирования тонких упругих пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами 7 6
3.1 Основные гипотезы для расчета пластин и их следствия 76
3.2 Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин 77
3.2.1 Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин 77
3.2.2 Поперечный изгиб прямоугольных пластин при малых прогибах 81
3.2.2.1 Численная реализация 81
3.2.2.2 Аналитическая реализация 85
3.2.3 Результаты расчета прямоугольных пластин при малых прогибах 87
3.2.4 Разрешающие уравнения изгиба круглых пластин 89
3.2.5 Поперечный изгиб круглых пластин при малых прогибах 92
3.2.5.1 Численная реализация 92
3.2.5.2 Аналитическая реализация 93
3.2.6 Результаты расчета круглых пластин при малых прогибах 95
4 Геометрически нелинейная теория деформирования тонких упругих пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами 99
4.1 Основные гипотезы для расчета пластин и их следствия 99
4.2 Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин 100
4.2.1 Разрешающие уравнения изгиба круглых пластин 100
4.2.2 Поперечный изгиб круглых пластин при конечных прогибах 106
4.2.3 Результаты расчета круглых пластин при конечных прогибах 108
4.2.4 Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин 110
4.2.5 Поперечный изгиб прямоугольных пластин при конечных прогибах 113
4.2.6 Результаты расчета прямоугольных пластин при конечных прогибах 114
Заключение 116
Список использованных источников 120
Приложение
- Обзор некоторых вариантов построения теории изгиба пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов
- Потенциал напряжений
- Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин
- Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в машиностроении, ракетостроении, строительстве и других отраслях промышленности для изготовления элементов конструкций и деталей машин используются материалы с усложненными свойствами. Значительную сложность в расчете конструкций, выполненных из таких материалов, является тот факт, что механические характеристики материала меняются в зависимости от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров, и большинство композитов.
До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Наибольший прогресс в этом направлении был достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых.
Подобные явления проявляется уже при упругой стадии работы конструкции и во многом влияют на распределение напряжений. Сложность поднимаемой проблемы заключается в том, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций и связанные с явлением разносопротивляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия, что проявляется, например, при изгибе пластин.
Несмотря на сравнительно большое число предложенных определяющих соотношений материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных с разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков известных моделей, недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией известных методов строительной механики на их дальнейшее использование в приложениях.
Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане, поскольку существующие варианты методов решения задач строительной механики не позволяют эффективно решать такие задачи.
Объект и предмет исследования. Объектами исследования являются пластины, опертые по контуру, выполненные из ди-латирующих разносопротивляющихся материалов, а предметом исследования - методы учета усложненных свойств материалов и напряженно-деформированного состояния (НДС) пластин из этих материалов.
Целью представленной работы является построение в рамках подхода, связанного с нормированным пространством деформаций, обобщенной модели деформирования тонких пластин, выполненных из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругого деформирования тонких пластин при малых и конечных прогибах.
Методы исследования. Основные методы, использованные в работе:
- классические методы строительной механики расчета
тонких пластин;
метод конечных разностей;
метод последовательных нагружений;
метод Навье;
метод Ритца-Тимошенко.
Новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
-
построение нормированных пространств деформаций и потенциала напряжений для изотропного разносопротивляю-щегося дилатирующего материала;
-
предложенные определяющие соотношения для материалов, сопротивление деформированию которых зависит от вида напряженного состояния;
-
уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами в геометрически линейной и нелинейной постановках;
-
полученные решения, демонстрирующие новые количественные характеристики напряженно-деформированного со~ стояния тонких пластин, связанные с явлением разносопро-тивляемости материалов.
Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях строительной механики, приемлемым соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных параметров деформирования пластин с классическими и с результатами исследований на основе иных подходов.
Практическая ценность работы, проведенной в рамках госбюджетной НИР ТулГУ № 27.06 "Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций", заключается в построении моделей анализа напряженно-деформированного состояния плоских элементов конструкций,
выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть ис-пользованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
вариант использования нормированных пространств деформаций для построения потенциала напряжений для изотропного разносопротивляющегося дилатирующего материала;
определяющие соотношения для материалов, сопротивление деформированию которых зависит от вида напряженного состояния;
пригодность полученных соотношений для определения напряженно-деформированного состояния конкретных конструкционных материалов;
дифференциальные уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами при малых прогибах;
дифференциальные уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами при больших прогибах;
численные и аналитические результаты расчетов пластин и их сравнение с известными ранее теориями;
преимущества предложенных методик расчета напряженно-деформированного состояния материалов с усложненными свойствами и пластин из них, базирующихся на разработанных определяющих соотношений, по сравнению с известными моделями.
Внедрение результатов работы осуществлено в 000 "ПСП "Стройэкспертиза" (г. Тула). Использование результатов работы подтверждено актом о внедрении.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались :
- на 4-й , 6-й и 8-й Международных конференциях «Акту
альные проблемы строительства и строительной индустрии»
(г. Тула, ТулГУ, 2003 г., 2005 г., 2007 г.);
- на Международной научной конференции «Современные
проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула,
ТулГУ, 2003 г., 2006 г. ) ;
- на 6-м Международном научном симпозиуме «Современные
проблемы пластичности и устойчивости в механике деформи
руемого твердого тела» (г. Тверь, ТверьГТУ, 2006 г.);
на Международной научно-технической конференции «Композиционные строительные материалы. Теория и практика» (г. Пенза, ПГУАС-ПДЗ, 2007 г.);
на расширенном заседании кафедры «Строительство, строительные материалы и конструкции» ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» в апреле 2008 г;
- на расширенном заседании кафедры «Строительные конструкции и материалы» ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» в июне 2008 г.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 работ, в том числе одна статья в журнале, определенном перечнем ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, сформированным Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 185 наименований и 5 приложений. Диссертация содержит 145 страницы основного текста, в том числе 3 таблицы, 11 рисунков и приложения на 48 страницах, содержащих 54 рисунка, 7 таблиц, текст программы расчета круглой пластины и документы о внедрении.
Обзор некоторых вариантов построения теории изгиба пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов
По-видимому, первая попытка математического описания напряженно-деформированного состояния тел с учетом свойств разносопротивляемости была предпринята СП. Тимошенко [95], который показал как можно вычислить из-гибную жесткость упругой разномодульной балки. Позднее обнаруживаются серии работ, в которых предлагаются различные подходы к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся сред как в квазилинейной постановке, так и в нелинейной.
Существующие в настоящее время работы, посвященные поведению материалов с усложненными свойствами, основаны на различных подходах к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся сред. Эти подходы вытекают из тех или иных гипотез и зачастую не связаны друг с другом, но все их можно разделить на три группы.
В первой группе моделей параметры, определяющие вид зависимости между напряжениями и деформациями, принимают различные значения в зависимости от знака среднего напряжения у либо от соотношения знаков и величин напряжений. Вторая группа базируется на более широком понимании разносопротивляемости и определяет жесткость материалов в зависимости от непрерывных функций вида напряженного состояния. Модели третьей группы строятся посредством учета взаимосвязи изменения объема и формоизменения, либо же при использовании в качестве составной части деформаций деформации разрыхления.
Многообразие моделей построения определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов объясняется кроме большого разнообразия свойств реальных материалов еще и сложностью поставленной задачи.
Независимо от группы соотношений при постулировании физических зависимостей в одних работах устанавливаются прямые связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций, а в других используется энергетический подход.
Одной из первых работ, в которой уделено внимание исследованию изогнутых пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния, следует отметить статью Б.В.Пономарева [102].
В работах Б.В.Пономарева [101, 102] изучено поведение прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов. При этом не устанавливается прямая зависимость механических свойств изотропного материала от знаков напряжений или деформаций, а предлагается гладкая аппроксимация диаграмм деформирования степенным полиномом, единым для одноосного растяжения и для одноосного сжатия : где Ar - константы, зависящие от упругих свойств материала . -15-Различие в работе материала при растяжении и сжатии в (1.1) учитывалось четными степенями деформаций. При этом автор ограничивал выражение (1.1) тремя первыми членами, коэффициенты Аг определялись из трех условий (рисунок 1.1).
Потенциал напряжений
Как известно, для упругих материалов определяющие соотношения можно строить, опираясь на один из двух подходов. Первый подход выводит общую полиномиальную связь между тензорами напряжений и деформаций. Согласно второму подходу постулируется существование потенциальных зависимостей между этими тензорами и вводятся потенциалы напряжений или деформаций, а затем на их основе получают уравнения, выполняющие функции обобщенного закона Гука. Второй подход предпочтительнее при формулировке определяющих уравнений для материалов с усложненными свойствами, такими, как зависимость механических характеристик от вида деформированного состояния.
Определим потенциал напряжений U как функцию характеристик нормированного пространства № 2: Используя возможность аналитического представления потенциала напряжений, произведем полиномиальное разложение U по степеням нормы пространства Dn : где cij - коэффициенты разложения, являющиеся функциями качественных характеристик у/ и f нормированного пространства № 2 .
Принимая за естественное состояние среды недеформи-рованное, приходим к необходимости исключить из разложения (2.13) члены, имеющие показатель степени ниже второй. Далее остановимся на анализе квазиквадратичного разложения, позволяющего исследовать деформирование материалов, имеющих квазилинейные или близкие к ним диаграммы. Тогда, учитывая, что а , = о,(y/,f)r получим
Функцию a2(i//,f) можно определить различными способами. Представим a2(y/,f) в виде степенного полинома от нормированных относительного удлинения и сдвига, учитывая при этом влияние фазы деформаций на состояние тела. В процессе разложения a2{\//,f) необходимо следить за условием нормировки (2.11) : где Ф0(/) - функция фазы деформаций.
В разложении (2.15) следует опустить члены, лишенные механического смысла {b2; b6; Z 7; bn; bl3; bi5; bl9; b2l; Ь2Ъ) , так как сохранение последних приводит к построению нефизич-ных соотношений. Для выявления «паразитных» членов рассматривалось деформированное состояние, соответствующее всестороннему сжатию или растяжению. Установлено, что сохранение слагаемых "// (/7 = 0, 1, 2, ...) приводит к изменению формы при всестороннем равномерном сжатии или растяжении, а неопределенность фазовой характеристики при этом - к неопределенности выражения }і ""Ф0{/) (w = 0, 1, 2t З,... ; п = 1,2,3,...).
После отбрасывания «паразитных» слагаемых в разложении (2.15), ограничиваясь тем или иным числом членов ряда, можно с различной степенью точности описывать эффекты второго порядка, связанные со свойствами механической разносопротивляемости.
Не теряя общности подхода к построению определяющих соотношений теории упругости, ограничимся в разложении (2.15) линейными, квадратичными и кубическими членами. При этом, не меняя a2(y/,f), домножим коэффициенты разложения b0, Ьх, Ьг, Ь8 на условие нормировки (2.11) и отбросим вновь появляющиеся «паразитные» члены. Тогда потенциал напряжений (2.14) можно записать в виде
Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин
В качестве определяющих соотношений будем использовать уравнения, вытекающие из потенциала напряжений (2.26) - (2.27):
Значение найдем из следующего выражения откуда
Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, мы, очевидно, не вносим изменений В соотношения статико-геометрической природы. Таким образом, остаются справедливыми основные положения и зависимости классической теории пластин. Заметим, однако, что из-за наличия деформационной анизотропии у материала пластин в их поперечных сечениях могут возникать заметные продольные усилия, которые определенным образом влияют на напряженно-деформированное состояние в целом. Поэтому уравнение равновесия запишем в виде [125] : где ТУ - усилия в срединной поверхности пластины; М изгибающие и крутящие моменты.
Поскольку переход от напряжений к их интегральным характеристикам - усилиям и моментам - не зависит от физической природы материала, эти характеристики возможно определить обычным способом:
Подставляя в формулы (3.8) выражения для напряжений (З.б) с учетом геометрических соотношений (3.2), получим
Следует отметить, что в первом уравнении системы (3.10) опущены слагаемые, представляющие собой произведения компонентов мембранных усилий Ny на соответствующие кривизны Xij= w- ijr поскольку как показано в работах [7 6, 77] они практически не оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние пластин.
Для полноты системы разрешающих уравнений (3.10) необходимо определить граничные условия. Очевидно, что в силу неразделимости задач изгиба и плоского напряженного состояния для пластин из разносопротивляющихся материалов граничные условия задаются не только для прогибов w, но и для перемещений щ, и2 : - жесткое защемление - подвижная заделка - шарнирное закрепление - свободное опирание
Величину поперечных сил в сечениях пластины можно определить из уравнений равновесия (3.15) или с учетом выражений для моментов (3.9) из соотношений
Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин
Для круглых пластин при прогибах, сравнимых с их толщиной, будем использовать те же уравнения, определяющие закон упругости, что и при малых прогибах (3.26). Согласно [125] уравнения равновесия элемента круглой пластины с учетом действующих мембранных усилий и осевой симметрии задачи имеют вид Nr,r+(Nr-Ne)/r = 0; Mr,r+{Mr-Me)jr = Qr. (4.3) Выражения моментов М{ сохраняют тот же вид, что и при малых прогибах (3.21), а уравнения для вычисления мембранных усилий Ni в силу принятых геометрических соотношений в форме (4.2) преобразуются к виду Nr =Dm[u ,r+0,5(,r)2+B12u/Bnr] + Ir; Ne=D0l{u/r + Bl2[u ,r+0,5(w,,)2]/5n} + V (4.4) Величина поперечной силы определится следующим образом: О- = A v - \q{r)rdr r (4.5) г о или в случае равномерно распределенной нагрузки Qr=-Nrw,r-qr/2. (4.6) Тогда, учитывая уравнения равновесия (4.3), приходим к разрешающим дифференциальным уравнениям в перемещениях: 1 г DnV2r p-Dm[(u,r+0,5cp2) + Bl2u/Bnr] p = -jq(r)rdr + Ir(p + + (Jr-Je)/r + Jr,r; (4.7) D0i{V2ru + [ r+0,5(p(l-Bl2/Bu)/r]g)} = (Ie Ir)/r-Ir,r. Полученные дифференциальные уравнения (4.7), характеризующие осесимметричный изгиб круглых пластин, имеют ярко выраженную нелинейность, вследствие чего появляются определенные трудности при их решении. Для решения указанных уравнений предлагается использовать методику последовательных нагружений. Применяя методику последовательных нагружений для линеаризации уравнений метода перемещений (4.7) и полагая некоторое состояние пластины, соответствующее степени нагружения поперечной нагрузкой интенсивностью qk, фиксированным, введем индекс к к искомым функциям Фк ик Рассмотрим состояние пластины, соответствующее некоторому достаточно малому возмущению нагрузки qk+Sq, которой будут соответствовать значения функций фк+д(р, uk+Su. Тогда вариант «возмущенных» уравнений (4.7) имеет вид После несложных преобразований систему (4.8) можно перегруппировать так: Если величина изменения нагрузки Sq выбрана достаточно малой, то приращения функции углов поворота Sep и радиальных перемещений 8и также будут малыми. В свою очередь выражения L(5(p,du), L{8q ,8(p) и 81г8(р для достаточно малых приращений нагрузки будут величинами второго порядка малости. Таким образом, выбирая величину &J малой и отбрасывая малые величины высших Таким образом, для достаточно малых изменений нагрузки на каждом этапе нагружения уравнения, связывающие приращения нагрузки Sq с приращениями искомых функций Sep и ди , содержат «условную» нелинейность только внутри интегральных функций 51 п, 5Jп . Если эти функции приравнять к нулю, то система дифференциальных уравнений (4.10) окажется линейной и будет описывать работу пластин, выполненных из материала, подчиняющегося закону Гука. Сохранение квазилинейных функций 5ln, 5J и позволяет учесть эффекты
