Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Краткий исторический очерк. Современное состояние вопроса. Постановка задачи исследования 6
1.1 Краткий исторический обзор развития теории расчета тонкостенных стержней 6
1.2 Современное состояние вопроса 11
1.3 Постановка задачи исследования 13
1.4 Основные положения и расчетный аппарат 14
Глава II. Решения в общем виде задач деформационного расчета при сжатии с двухосным эксцентриситетом 28
2.1 Методика определения секториальных характеристик поперечных сечений при наличии депланационных связей 28
2.2 Внецентренное сжатие при наличии жестких диафрагм на торцах стержня 39
2.3 Внецентренное сжатие, когда силы приложены к открытому торцу.. 49
2.4 Бифуркационные задачи устойчивости 56
Глава III. Анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости стержней конкретного типа 59
3.1 Численный анализ задачи п. 2.2 59
3.2 Численный анализ задачи п. 2.3 64
Глава IV. Экспериментальное исследование 88
Заключение 101
Литература 1
- Современное состояние вопроса
- Основные положения и расчетный аппарат
- Внецентренное сжатие при наличии жестких диафрагм на торцах стержня
- Бифуркационные задачи устойчивости
Введение к работе
Актуальность темы. її промышленном строительстве, а так же во многих других отраслях телички широкое применение находят конструкции, выполненные из тонкостенных стержневых элементов. Поперечные сечения таких элементов можно разделить пи три основных класса, открытые, чамкттые и комбипиро-ШШП.ІЄ. Из перечисленного класс;; стержней наименее изучены стержни комбинированного поперечного сечения, содержащего в себе как открытые, так и замкнутые участки Такие стержни зачастую усиляются денллнациогшыми связями в виде поперечных планок или раскосов.
Внецснтрешюе сжатие с двухосным эксцентриситетом для таких стержней (например, двухвотвевых металлических колонн промыпиенных здании) яаляегся одним из основных видов наїружеиия. Поэтому, диссертационное исследование, посвященное деформационному расчету и устойчивости стержней комбинированного сечения при наличии дсплананкошшх связей и загруженных продольными силами с двухосным эксцентриситетом, относится к одной из актуальных проблем строительной механики.
Цель работы. Определение напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонкостенных стержней произвольного профиля, сжатых с двухосным эксцентриситетом.
Методы исследовании. Аналитический и экспериментальный.
Научная новизна работы заключается в tons, что впервые решены задачи деформа ционного расчета и устойчивости при внецешрешюм сжатии с двухосным эксцентриситетом для тонкостенных прямолинейных стержней произвольного поперечного сечения.
Практическая ценность состоит в том, что получены решения системы дифференциальных уравнений задачи при точном удовлетворении разнообразным граничным условиям. Сказанное позволяет более адекватно, чем прежде использовать в практических расчетах модель тонкостенного стержня произвольного поперечного селения, сжатого с двухосным эксцентриситетом.
Достоверность результатов исследования базируется на достаточно хорошо апробированных допущениях технической теории тонкостенных стержней; па совпадении частных случаев с классическими решениями; на адекватном применении матсмсггіїческош аппарата и вычислительной техники. Кроме того, достоверность исследования подтверждается сопоставлением с экспериментальными данными.
Анробацин рі'.&ітм. Основные положеній и результаты диссертационного исследования докладывались на 52-ой и 53-ей международных научно-технических конференциях молодых ученых и студентов. СПб. іпсуд. архигскт.-строит, унивем. 1998, 1999: IV международной конференции "Проблемы прочности материалов л сооружений на транспорте" СПб. шеуд. унипер. путей сообщения. 1999, а так же на 56-ой и 57-ой шумных конференциях профессоров, преподавателей, научных
работников, инженеров и аспирантов СПб. госуд. архитект.-строит, универ. 1999, 2000.
Структура и объем диссертации: она состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 122 наименования. Общий объем диссертации 114 страниц, в том числе 41 рисунок и 9 таблиц.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано две статьи.
Современное состояние вопроса
Данная диссертация посвящена рассмотрению стержней произвольного профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом. Поэтому более подробно коснемся именно этого вопроса. Сжатие с двухосным эксцентриситетом тонкостенных стержней открытого профиля рассматривалась ещё В.З. Власовым [33]. Решение проводилось на основе системы однородных уравнений, записанных относительно перемещений и углов закручивания. Полученное решение В.З. Власов трактовал с бифуркационной точки зрения. Он считал, что до некоторого значения продольной силы стержень испытывает только осевое сжатие с косым изгибом, и лишь при достижении силой критического значения в стержне появляются деформации кручения. Такая трактовка вызывала серьезные возражения. По этому поводу в литературе даже возникла дискуссия (см. параграф 11 в [60]).
Очевидно, В.З. Власов не обратил внимания на то, что хотя разрешающая система дифференциальных уравнений упомянутой задачи однородна, но граничные условия неоднородны. Отсюда следует, что рассмотренный В.З. Власовым случай нагружения не является бифуркационной задачей устойчивости, а относится к классу задач деформационного расчета. Иначе говоря, при любом уровне нагружения имеет место пространственная форма упругого искривления стержня, при которой одновременно появляется изгиб в двух главных плоскостях и кручение (и вообще косой изгиб всегда сопровождается кручением). Такая же ошибка допущена в работе [52].
На неправильную трактовку В.З. Власовым и его последователями задачи о внецентренном сжатии с двухосным эксцентриситетом впервые обратил внимание Б.М. Броуде [29].
Несмотря на сказанное, в последующие годы появился ряд работ, в которых задача о сжатии с двухосным эксцентриситетом снова трактовалась как бифуркационная [48, 76, 106]. Отметим еще ряд работ, в которых теоретически и экспериментально исследовались НДС и устойчивость при центральном и внецентренном сжатии. Сюда можно отнести работы Л.Н. Ставраки [71, 72], А.А. Пиковского [61], А.З. Зарифьяна [43], Б.Л. Худобец-Шереминского [87], Г.В. Воронцова [36], Г.И. Белого [20], Г.М. Чувикина [88, 89].
Отметим работу [44], в которой приведены теоретико-экспериментальные исследования внецентренно сжатых стержней. В последние годы опубликован ряд работ Е.А. Бейлина и В. Анану [3, 14] относящихся к центральному и внецентренном сжатию одиночных уголковых профилей. При этом учтена специфика прикрепления уголков к узлам конструкций с помощью тонких фасонок, плоскость которых, как известно, не совпадает с главной плоскость инерции уголка.
Во всех перечисленных выше работах по внецентренном сжатию рассматривались только стержни открытого, либо замкнутого профиля. Работ относящихся к этому вопросу применительно к стержням комбинированного сечения (при наличии либо отсутствие депланационных связей) в литературе обнаружить не удалось.
Как следует из обзора литературы и современного состояния вопроса, практически не исследованы внецентренно сжатые стержни произвольного поперечного сечения при наличии депланационных связей. Отчасти это происходило потому, что до последнего времени не существовало адекватного расчетного аппарата. После появления работ Е.А. Бейлина [4, 7, 9, 16, 17] появилась возможность устранения данного пробела. Определенный вклад в решение этой проблемы внесли и работы автора диссертации [6, 18].
В элементах металлических конструкций (например, тонкостенных колоннах) внецентренное сжатие с двухосным эксцентриситетом является одним из основных видов нагружения. Поэтому тематика данной диссер 14 тации представляется вполне актуальной и обладающей определенной новизной.
В данной диссертационной работе ставиться целью подробное рассмотрение задачи о внецентренном сжатии с двухосным эксцентриситетом стержней комбинированного профиля. При этом исследуется влияние различного ряда депланационных связей (поперечные планки или раскосы) на положение центра изгиба, а так же на величину сен-венановой и секториальной жестокостей поперечного сечения. Ставиться так же вопрос об установлении условий для типов загружения и форм поперечных сечений, при которых возможна бифуркация форм равновесия. В тех случаях, когда задача носит небифуркационных характер определяются величины линейных и угловых перемещений, а так же нормальных и касательных напряжений. Достоверность получаемых результатов базируется на точном удовлетворении всем граничным условия задачи. При этом для решения используется сочетание точного интегрирования с методом Буб-нова-Галеркина. Результаты теоретических исследований сопоставлялись с данными экспериментов проведенными автором диссертации и другими исследователями.
Основные положения и расчетный аппарат
Строим эпюру ps, приняв начало отсчета дуг в точке О на пересечении оси у с нижней полкой (положительное значение s соответствует обходу контура по ходу часовой стрелки). Эта эпюра представлена на рис. 2.1. б. д) Построение эпюры обобщенных секториальных площадей а в, при произвольно выбранном полюсе В; этот полюс выбираем в центре тяжести поперечного сечения. Эпюра соя вычисляется по формуле: B=G B-XPS (21) где cos - строиться как в открытом профиле (мысленно делаем разрез по линии узкого шва). Эта эпюра приведена на рис. 2.1. в. Значения ординат (Ов вычисляются как разность ординат эпюр на рис. 2.1.6 и 2.1.в - см. рис.2.1.г. е) Построение эпюры главных обобщенных секториальных коорди нат со А Вычисления проводятся по формуле: (ОА = cos - аух + аху + соо, (2.2) Так как поперечное сечение на рис. 2.1.а обладает осью симметрии, то в (2.2): ах = 0, соо = 0. Координата центра изгиба ау определяется по формуле: jttBxbds у=-—т (2-3) Вычисление интеграла (2.3) удобно проводить по способу Верещагина: поэтому на рис. 2.1 .д. приведена эпюра координат х. Учитывая, что осевой момент инерции Jу - 4784.6 см4 из формулы (2.3) имеем:
Теперь формула (2.2) позволяет построить эпюру главных секториальных координат, приведенную на рис. 2.2.в.
По эпюре сол вычисляется обобщенный секториальный момент инерции: Ja = [со bds. Вычисляем снова этот интеграл по способу Ве S рещагина: Ja =271721 см6. ж) Вычисление геометрических характеристик жесткости, связан ных со свободным кручением: Jd - pQ. = 2.67 -1200 = 3200 см ,
Направленный момент инерции вычисляем по формуле: J м = fhf2Sds; где /г,- - перпендикуляр опущенный из центра изгиба на срединные линии всех элементов поперечного сечения. Вычисления приводят к следующим значениям: JH = 8767см , u. = \-Jd/JK = 0.635, X = l + JK/JH l. Аналогичным образом вычисляются секториальные характеристики и параметры, связанные со свободным кручением и при других конкретных значениях коэффициента податливости г.
При этом заметим, что узкий шов практически не влияет на положение центра тяжести и величину JK, при любых значениях коэффициентов г.
На рис.2.2.а, б, в, г приведены эпюры главных секториальных координат при значениях коэффициента г = 0; 100; 200; оо. Из сопоставления этих эпюр следует, что с увеличением податливости депланационного шва, ординаты эпюры сол в характерных точках сечения возрастают. Результаты подсчета всех интересующих нас характеристик сведены в табл.2.1.
Как следует из табл. 2.1., с увеличением податливости депланаци-онных связей координата центра изгиба ау возрастает, что влечет за собой увеличение секториального и направленного моментов инерции, при этом геометрическая жесткость свободного кручения снижается. Видно также, что коэффициент депланации р увеличивается, а коэффициент X практически не меняется. Табл.2. г ау, см см6 Jd 4 CM см4 J н- 4 CM V X
Рассмотрим коробчатый профиль, в верхней стенке которого имеется достаточно широкий участок, заполненный депланационными связями, в виде поперечных планок или раскосов рис 2.3. В зависимости от геометрии этих связей можно по формулам (1.19) - (1.21) определить толщину эквивалентной пластины. Предположим, что эта величина оказалась равной 8Э = 0.02 см. Принимая материал связей и основного сечения одинаковым, получим: г = a3G/b3G = 6/0.02 = 300.
Для вычисления геометрической характеристики жесткости Jd по формуле (1.18) необходимо иметь эпюру главных секто риальных координат построенных для открытого профиля. Эта эпюра и положение центра изгиба показаны на рис. 2.4.6. Jd = Р\к " z = 2.02450.8- (-450.8)1 = 1812см4. Учитывая, что в реальных связях планки привариваются на некотором удалении то точек ЬиК, значения L и сок приняты на расстоянии 1 см. от свободных краев профиля (см. рис. 2.4.6). JR — YCLI hfii = 1 -89 см . Так как в дальнейшем при рассмотрении задачи деформационного расчета о внецентренном сжатии используются данные для этого примера, то все геометрические характеристики сведены в следующую таблицу:
В заключении рассмотрим комбинированный стержень, поперечное сечение которого является типовым в металлических колоннах промышленных зданий. Конкретные размеры поперечного сечения даны на рис. 2.6.; они соответствуют размерам экспериментального образца в проведенных автором экспериментах (см. Главу IV). Рассматриваемый стержень комбинированного профиля имеет би-симметричное поперечное сечение, в верхней и нижней полке которого, имеются достаточно широкие участки заполненные депланационными связями, в виде планок рис. 2.5.а или раскосов рис. 2.5.6. Более подробно остановимся на варианте с планками. Определим толщину эквивалентной пластины по формуле (1.20): 8Э = 0.13 см.
В отличие от предыдущих примеров, в данном случае не надо подсчитывать координаты центров изгиба, ибо они совпадают с центром тяжести.
Эпюра главных обобщенных секториальных координат представлена на рис.2.7.а. Обобщенный секториальный момент инерции: Ja = 254.7 см6. Эпюра главных секториальных координат, построенных для открытого профиля, показана на рис. 2.7.6. По ней найдем величину геометрической характеристики жесткости:
После вычисления всех секториальных характеристик можно переходить к рассмотрению дифференциальных уравнений задачи. Упомянутые характеристики (Jra, Jd, JH,ctx, ay, X, _i и др.) входят в качестве коэффициентов в эти уравнения.
Указанная в заголовке п. 2.2 задача впервые решается для стержней произвольного профиля (открытого, замкнутого либо комбинированного). Сечения стержня приняты постоянными вдоль оси х. Материал стержня подчиняется закону Гука. Предполагается, что на обоих торцах стержня имеются жесткие из своей плоскости диафрагмы, устраняющие деплана-цию торцовых сечений. То есть продольные деформации точек срединной линии торца подчиняются закону плоскости.
Внецентренное сжатие при наличии жестких диафрагм на торцах стержня
Из выражения (2.31) для константы В видно, что она нелинейно зависит от уровня силы Р; так как эта константа входит в выражения линейных и угловых перемещений, то последние тоже нелинейно связаны с силой р.
При стремлении силы Р к некоторому пределу Р значение В стремится к бесконечности и следовательно стремятся к бесконечности все перемещения. Неограниченное возрастание перемещений свойственно решениям линеаризованных уравнений (см., например, график на рис. 2.9). Значение Р соответствует наименьшему корню трансцендентного уравнения, получаемого приравниванием нулю знаменателя в выражении (2.31).
Трансцендентность этого уравнения следует из того, что сила Р входит как аргумент в функцию tg(kJ/2) = tg(Pl f2EJx) (тоже самое относится и к tg(kyl/2)).
Отметим, что неограниченное возрастание перемещений v и и возможно и при уровне силы меньшем, чем Р. Такая возможность возникает, когда эйлеровы критические силы подчиняются условию тг EJXII Р , либо ті EJy II Р. Сказанное связано с тем, что в выражениях (2.26), (2.27) стоящие в знаменателе функции coskxl/2 = 0 или cosку1 /2 = 0.
В частных случаях загружения и определенном виде геометрии профиля кручение отсутствует. Формально это имеет место, когда В=0. При этом, как следует из (2.16), (2.20) функции 9 и (3 тождественно обращаются в нуль. С учетом этого обстоятельства каждое из перемещений v и и будут теперь зависеть только от эксцентриситетов относительно одной из главных осей - см. формулы (2.26), (2.27). Равенство В=0 возможно, когда равен нулю числитель в формуле (2.31). При этом имеются следующие варианты (когда Р Р): а) Rx = Ry, то есть J X-Jу. При этом, как известно, нет косого из гиба, что влечет за собой отсутствие кручения. б) гх-ах,еу-ау. Иначе говоря, сила приложена в точке совпа дающей с центром изгиба. При этом боковые перемещения v и и так же обращаются в нуль, то есть стержень испытывает только деформацию осевого сжатия. в) эксцентриситет ех = ах, при произвольном значении еу, или, на оборот, еу = ау при произвольном ех. То есть, изгибающий момент на торцах действует в плоскости, проходящей через ось центров изгиба и параллельной одной из главных плоскостей инерции сечения. г) ах = ау = 0, ех = еу = О. Стержень бисимметричного сечения при центральном сжатии. 3) Из выражения (2.31) следует, что в случае, рассмотренном в 2) может быть иВ О. Естественно, что это возможно только тогда, когда одновременно с равенством нулю числителя в (2.31) равен нулю и знаменатель. При этом появление крутильных, либо изгибно-крутильных де-формаций связано с достижением нагрузкой критического значения Р в бифуркационной задаче устойчивости.
Например, пусть сила приложена в точке, совпадающей с центром изгиба (ех = ах,еу = ау). Тогда из равенства нулю знаменателя в (2.31) вытекает: Ра = Ра (см. обозначения (2.33)). Этот результат соответствует критической силе при чисто крутильной форме потери устойчивости, две другие критические силы, отвечающие эйлеровой потере устойчивости в изгибной форме получаются из (2.26), (2.27); так как при этом v(z) Ф 0, Из трех значений критических сил реальной потере устойчивости соответствует наименьшее их значение.
Для остальных случаев, рассмотренных в 2) получение формулы выражающей значение критической силы в явном виде невозможно. Это связано с трансцендентностью уравнения устойчивости, когда знаменатель (2.31) приравнивается нулю. В этих случаях критические нагрузки определяются численно для конкретных геометрических параметров стержня.
Отличие этой задачи от изложенной в п. 2.2. (см. рис.2.8) заключается в том, что сосредоточенная сила прикладывается к открытому торцу. Если точка приложения силы имеет ненулевую секториальную координату р , то на торцах стержня возникает нагрузка в виде внешнего бимо мента, равного произведению силы Р на сор .
Как известно, бимомент является сверхстатической характеристикой усилия и для его определения необходимо рассматривать деформацию стержня. По определению, бимоментное усилие представляется интегралом вида: B(u=ja(0 ds, (2.34) S Возникает вопрос, на сколько правомерно вблизи торца приравнивать выражение (2.34) внешнему бимоменту Р(йр . На этот вопрос был дан ответ А.В. Александровым [1], который показал, что дискретное действие момента на торцах на достаточном удалении от них перераспределяется по закону секториальных площадей. Прежде чем переходить к решению задачи деформационного расчета необходимо получить функцию B(z), соответствующую недеформационному расчету. С этой целью выпишем выражение для полного крутящего момента:
В систему трех уравнений (2.9), (2.10), (2.41) как и раньше входят четыре искомые функции перемещений v, и, В, 9. Поэтому необходимо четвертое уравнение. В качестве него возьмем выражение, связывающее угол закручивания 6 с мерой депланации В (2.12).
После определения из уравнений (2.9), (2.10), (2.41), (2.12) функции перемещений, усилия в деформированном состоянии находятся из соотношений (2.13).
Как упоминалось в п.2.2 данную систему дифференциальных уравнений (2.9), (2.10), (2.41), (2.12) проинтегрировать в замкнутом виде вряд ли возможно. Поэтому снова используем сочетание метода Бубнова-Галеркина с точным интегрированием при соблюдении следующих граничных условий, при z = ±112:
Бифуркационные задачи устойчивости
Рассмотрены три частных случая этой схемы. а) стержень открытого поперечного сечения, состоящий из двух ветвей в виде двутавровых профилей. Совместная работа ветвей осущест вляется поперечными диафрагмами жесткими в своей плоскости. б) стержень комбинированного сечения, при наличии депланацион ных связей в виде поперечных планок или раскосов (напомним, что в рас чете дискретные связи заменяются эквивалентной по сдвигу сплошной пластиной). Пусть податливость этих связей определяется коэффициен том г = Ga3IGb3 = 400. в) стержень комбинированного сечения с полностью замкнутой средней частью, (то есть толщина эквивалентной пластины равна толщине полок двутавра), что соответствует значению г = 0.
Подсчет секториальных и остальных геометрических характеристик, проведенный по методике изложенной в главе II, привел к следующим результатам - см. табл. 3.1.
В частности на рис.3.2 а, б, даны зависимости прогиба и угла закручивания в середине пролета от уровня силы Р при трех различных значениях коэффициента податливости г.
Как обычно, в соответствии с деформационным расчетом, эти зависимости носят нелинейный характер. Необходимо отметить, что асимптотами этих кривых являются силы Р, при которых линейные и угловые перемещения устремляются в бесконечность. Величина Р всегда меньше парциальных критических сил (Рх, Ру, Ра), когда сила Р приложена в точке центра изгиба сечения. Для сопоставления результатов недеформационного и деформационного расчетов на этих графиках показаны линейные зависимости соответствующие не деформационному расчету (при г = 0). X = oo
При малых значениях Р оба расчета дают достаточно близкие друг к другу результаты, однако, с увеличением силы Р различия в результатах сильно увеличиваются. На рис. 3.3 а, б даны зависимости перемещения точек оси центров изгиба v{z) и изгибающего момента Mx(z) для тех же значений коэффициента податливости. Штрих-пунктирной кривой показаны значения этих факторов, вычисленных по недеформированной расчетной схеме для случая, когда г = 0.
Наконец, на рис. 3.4 а, б приведены эпюры усилий связанных со стесненным кручением 5Ю(Х), Mffl(z). Подчеркнем, что эти усилия не деформационным расчетом не обнаруживаются.
На всех графиках видно, что ординаты кривых для случая г = 400 находятся между соответствующими ординатами для случаев г = 0 и г = оо. Кроме того, установлено, что со снижением податливости деплана-ционных связей снижаются факторы НДС, связанные со стесненным кручением и, наоборот, увеличиваются факторы свободного кручения.
Рассмотрим стержень со свободной депланацией торцов и шарнир-но закрепленными концами. Формулы для определения НДС и критических сил приведены в п. 2.3.
Проведем подробный анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости для стержня представленного на рис. 2.3 и 2.8 а. Размеры поперечного сечения видны из рисунка, а длина стержня принята / = 600см.
Проследим за изменением НДС при различных значениях эксцентриситета силы Р. Предположим сначала, что сила приложена в центре изгиба (ех = ах, еу = ау). В этом случае задача приобретает бифуркационный характер и, следовательно, стержень сохраняет исходную форму равновесия, пока сила Р не превышает одну из критических сил:
Вычисления интегралов удобно проводить по методу Верещагина; для этого необходимо иметь эпюры х , у , у (рис. 3.5). Подсчеты приводят к следующему значению: (Зу = -16.54 см.
При вычислении критических значений силы (и в дальнейших примерах) принято Я = 2.Ы04кН/см2, G = 0.8-104 кН/см2.
Отметим, что знак «-» у силы Рт означает, что стержень может терять устойчивость при действии растягивающей силы. При этом часть сечения подвергается растяжению, а часть сжатию. Сжимающие напряжения и являются причиной потери устойчивости.
Возможность потери устойчивости при внецентренном приложении растягивающей силы показана еще в работах В.З. Власова [33], применительно к стержням открытого профиля. Между прочим, в рассмотренной задаче (когда сечение обладает одной осью симметрии) можно установить при каких эксцентриситетах
Рассмотрим далее случай, когда сила Р движется по оси симметрии у, занимая три фиксированных положения - см. схему загружения на рис. 3.6 a . В этом случае имеет место сжатие с изгибом в плоскости симметрии.
Обратим внимание, что и при центральном сжатии, задача не носит бифуркационного характера при изгибе в плоскости симметрии.
На графиках рис. 3.6 а и рис. 3.6 б показаны зависимости перемещения среднего по длине стержня сечения и изгибающего момента в этом же сечении. Из графиков следует, что зависимость этих функций от силы Р нелинейная. Причем все кривые стремятся к асимптоте Р =РХ.
Заметим, что графики построены в предположении неограниченной упругости материала. На самом деле, при силах заметно меньших, чем Рх возможно появление пластических деформаций. Однако, исследование упругопластической стадии выходит за рамки данной диссертации. Кроме того, необходимо учесть, что линеаризованные исходные уравнения задачи пригодны хотя и для конечных, но все же малых перемещений. Поэтому, как известно, лианеризованные уравнения должны использоваться при нагрузках Р (0.7 - 0.8)РХ.
На графиках рис. 3.7 а, б показаны изменения прогибов оси центров изгиба и изгибающих моментов вдоль оси z, при различном положении одной и той же силы Р = 0.25 10 кН на оси у (схема приложения сил показана на рис. 3.6 а). Видно, как существенно отличаются прогибы и изгибающие моменты в зависимости от точек приложения силы.
Далее рассмотрим случай, когда силы различной величины приложены в центре тяжести сечения (рис. 3.8 а) Так как сечение не обладает симметрией относительно оси х, то при центральном сжатии возникает изгиб вдоль оси у. Графики изменения прогибов и моментов для трех значений силы Р приведены на графиках рис. 3.8 а, б.
