Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 5
1.1. Общая характеристика работы 5
1.2. Особенности оболочечно-стержневых конструкций и их математических моделей 13
1.3. Особенности и эффективность методов расчета оболочечно-стержневых конструкций. Вариационно-разностные схемы на основе сверхсходимости 16
2. Экстремальные свойства и систематизация вариационных постановок задач расчета конструкций 25
2.1. Общие положения. Дифференциальные уравнения и вариационные принципы 25
2.2. Экстремальные свойства функционалов и система вариационных принципов теории упругости 27
2.3. Экстремальные свойства функционалов и система вариационных принципов теории оболочек. Вариационная форма статико-геометрической аналогии 43
2.4. О вариационных принципах при вырожденных физических зависимостях 44
2.5. Выводы 46
3. Сверхсходимость численного дифференцирования и учет особенностей конструкций - основа эффективности вариационно-разностных моделей 47
3.1. Инструменты и технология сверхсходящихся вариационно-разностных схем 47
3.2. Различные ВРС для модельных одномерных задач. Численные эксперименты, проверка сходимости 68
3.3. Различные типы ВРС для модельных двумерных задач. 83
3.4. ВРС для пространственных задач 127
3.5. ВРС для расчета оболочек 133
3.6. Выводы 144
4. Решение дискретизованных задач. Вариационно-итерационный подход 145
4.1. Общие соображения, дискретизация и линеаризация. Обзор практики решения линейных и нелинейных сеточных задач 145
4.2. Прямые методы в линейных задачах. Программы CHODEC, CHOSOL для профильных матриц 149
4.3. Итерационные методы в линейных задачах. Вариационные формулировки 153
4.4. Решение нелинейных задач. Вариационно-итерационный подход 159
4.5. Выводы 164
5. Разработанные программы. Решение модельных задач 165
5.1. Общая характеристика 165
5.2. Линейный расчет ребристых оболочек. Программа PANEL 167
5.3. Программа VENT расчета полых лопаток центробежных вентиляторов 176
5.4. Линейный статический расчет оболочечно-стержневых конструкций. Программы OST, РАСОСК, TOR 180
5.5. Расчет непологих оболочек в упруго-пластической стадии. Програма РАФИНОК 187
5.6. Расчет гибких непологих оболочек. Программа GENPAN 191
5.7. Реализация общего подхода к расчету оболочек с переменными параметрами. Пакет программ ОНИ 202
5.8. Другие программы 207
5.9. Выводы 208
6. Исследование НДС сложных конструкций 209
6.1. Исследование свойств сталежелезобетонных ферм покрытия (СЖФ) и деревометаллических блок-ферм 209
6.2. Исследование НДС и разрушения оболочки КЖС с учетом влияний преднапряжения, нагрузки, агрессивной среды с помощью пакета ОНИ 220
6.3. Исследование жесткостных свойств торообразных резервуаров 226
6.4. Особенности деформирования цилиндрических резервуаров 233
6.5. Особенности деформирования и конструктивные схемы полой лопатки центробежного вентилятора АЭС 236
6.6. Исследование деформирования и устойчивости оболочек с помощью программы GENPAN 243
6.7. Анализ температурного деформирования конструкции из трехслойных сотовых панелей 249
6.8. Анализ деформированного состояния железобетонного производственного бассейна сложной формы 258
6.9. Выводы 267
7. Заключение 268
Список литературы 272
Приложение 287
- Особенности оболочечно-стержневых конструкций и их математических моделей
- Экстремальные свойства функционалов и система вариационных принципов теории упругости
- Различные ВРС для модельных одномерных задач. Численные эксперименты, проверка сходимости
- Прямые методы в линейных задачах. Программы CHODEC, CHOSOL для профильных матриц
Введение к работе
Актуальность проблемы. Оболочки и оболочечно-стержневые системы относятся к наиболее эффективным, легким, прочным и жестким конструкциям с большими конструктивными и архитектурными возможностями, особенно для покрытия больших пролетов. Но они и наиболее сложны для моделирования и расчета в связи с пространственной работой, нередко проявляют неожиданные свойства и непредсказуемое поведение. Несовершенство моделей и недостаточное изучение свойств таких сложных конструкций как в теоретическом плане, так и в практических разработках может приводить к дорогостоящим ошибкам в проектах.
В Красноярском крае под руководством проф. Н.П.Абовского сложилась известная не только в нашей стране, но и за рубежом научная школа пространственных конструкций. Проведены экспериментальные и теоретические исследования пространственных конструкций, составленных из пластин, стержней и оболочек. Построены такие уникальные объекты, как оболочки покрытий зданий Оргтехстроя и плавательного бассейна КГТУ сферической формы, зданий Ачинского ГК в форме гиперболического параболоида, висячие оболочки покрытия центрального рынка в Красноярске и др. Этапы становления и развития этой школы отражены в межвузовском сборнике «Пространственные конструкции в Красноярском крае», который регулярно издается с 1965 года. Большие объемы проектирования и возведения пространственных конструкций потребовали создания новых методов расчета для более точного и быстрого определения характеристик их НДС.
Представляемая работа начиналась на фоне зарождавшихся исследований новых комбинированных деревометаллических и сталежелезобе-тонных конструкций, возрастающего применения новых анизотропных композиционных материалов. Разработанные аналитические и численные расчетные модели пологих, цилиндрических и сферических оболочек обеспечивали их качественное проектирование, но они не позволяли рассчитывать и изучать линейное и нелинейное деформирование непологих, неоднородных, анизотропных конструкций переменной толщины и кривизны, эллипсоидальной, торовой и других форм. И в настоящее время существующие универсальные программные комплексы расчета и проектирования конструкций не всегда обеспечивают моделирование новых конструктивных решений.
Этим определяется актуальность исследования свойств оболочечно-стержневых конструкций для получения новых технических решений, создания необходимых теоретических основ их моделирования и простых, надежных, точных и быстрых численных моделей.
Цель работы - исследование свойств оболочечно-стержневых конструкций с разнообразными конструктивными особенностями, материалами, внешними воздействиями и улучшение их качества, создание необходимых эффективных средств численного моделирования на основе исследования вариационной теории и применения новых способов и алгоритмов вариационно-разностной дискретизации.
Задачи исследований:
- выполнить численное моделирование и исследование различных типов конструкций из непологих, анизотропных, неоднородных оболочек и стержней на основе созданных методов и программ с целью определения их параметров НДС и разработки рекомендаций по совершенствованию; для этого необходимо:
- создать максимально универсальные, точные, надежные и достаточно простые вариационно-разностные модели расчета оболочечно-стержневых конструкций с учетом их особенностей; разработать эффективные алгоритмы решения линейных и нелинейных дискретизованных задач;
- разработать компьютерные программы, проверить работоспособность, сходимость и точность развиваемых методов и алгоритмов для характерных типов оболочек; выявить особенности линейного и нелинейного деформирования конструкций;
- выявить особенности применения системы вариационных формулировок к моделированию рассматриваемого класса конструкций с учетом разнообразных граничных условий и связей между элементами конструкции, вырожденности физических свойств (несжимаемость и другие особенности материала), двойственности непрерывных и дискретизованных формулировок.
Научная новизна. Предложены новые вариационно-разностные схемы (ВРС) для моделирования оболочечно-стержневых конструкций, отличающиеся уточнением аппроксимации вариационных уравнений с учетом особенностей рассматриваемого класса задач и основанные на новых понятиях линий и поверхностей сверхсходимости производных в двумерных и трехмерных ячейках сетки.
Для построения ВРС различных порядков аппроксимации и сходимости предложен новый способ, отличающийся использованием точек сверхсходимости производных в качестве узлов численного интегрирования.
Установлены особенности вариационных формулировок для конструкций с вырожденными физическими свойствами (несжимаемые материалы и др.), выявлена вариационная форма статико-геометрической аналогии в теории оболочек, для пологих оболочек установлена двойственность вариационно-разностных схем. Для этого предложена обобщенная схема преобразований вариационных проблем с учетом экстремальности функционалов. Полученные вариационные формулировки, их свойства и особенности составляют теоретическую основу разработанных моделей и методов.
Разработаны алгоритмы и специализированные программы линейного и нелинейного расчета новых типов оболочечно-стержневых конструкций, отличающихся непологостью, физической и конструктивной анизотропией оболочечных элементов.
Выявлены особенности нелинейного деформирования ряда модельных ребристых и анизотропных непологих оболочек - цилиндрических, сферических, тороидальных.
Для повышения надежности конструкций, в которых допускается работа отдельных элементов в закритической стадии, на основе вариационно-итерационного подхода разработан новый метод расчета послекрити-ческих форм равновесия упругих конструкций, заключающийся в использовании собственных направлений к максимуму функционала линеаризованной задачи для ускоренного спуска к минимуму основного функционала.
Получены новые данные об особенностях НДС и жесткостных свойствах оболочечно-стержневых конструкций и основанные на них новые технические решения:
- для сталежелезобетонных ферм покрытия показано преимущественное сжатие верхнего железобетонного пояса и достаточность конструктивно необходимой арматуры, выбрано оптимальное размещение (эксцентриситет) узлов присоединения стержней;
- для деревометаллических блок-ферм установлены закономерности влияния геометрических и статических параметров на редукционный коэффициент, необходимый для приведения ширины фанерной обшивки к расчетной величине, а также для установления критических напряжений в обшивке;
- установлено, что при эллипсоидальном очертании днищ цилиндрических резервуаров значительно снижаются максимальные напряжения по сравнению со сферической, торосферической и другими формами;
- исследовано влияние формы полюсных зон торообразных резервуаров на их осевую податливость, выявлено новое сочетание торовой и кони ческой форм, значительно снижающее податливость при приемлемом увеличении напряжений;
- для двухслойных цилиндрических оболочек с реберным заполнителем установлено оптимальное направление ребер - вдоль криволинейной направляющей;
- определены направления деформирования железобетонного производственного бассейна сложной формы, опасные в случае неравномерных осадок основания.
Теоретическая и практическая значимость, внедрение результатов. Разработанные модели и методы являются фундаментальной базой для создания и совершенствования конструкций новых поколений.
Выполненные расчеты и исследование НДС конструкций позволили получить новую информацию об их жесткостных и прочностных свойствах, о характере силовых потоков, породившую новые технические решения. В частности, предложение об изменении эксцентриситета узлов крепления стержней относительно плиты СЖФ для снижения изгибных напряжений привело к уменьшению веса плиты почти в два раза; замена части торовой оболочки на коническую повышает жесткость торообразного резервуара в 16 раз; и др.
Разработанные специализированные программы TOR, РАСОСК, OST, RAFINOK, GENPAN, PJTM, REGUL обеспечили выполнение этих расчетов. Они позволяют рассчитывать на распространенных ЭВМ с достаточно высокой точностью различные типы сложных оболочечно-стержневых конструкций.
Новый способ построения сверхсходящихся ВРС, использованный в программах и расчетах, отличается повышенной точностью, надежностью, простотой и ал неритмичностью. Понятия линий и поверхностей сверхсходимости позволяют находить наилучшие ВРС с учетом особенностей рассматриваемого класса конструкций, имеющие высокую точность при дос таточно редкой сетке, что особенно необходимо в задачах оптимального проектирования и управления конструкциями.
Разработанный вариационно-итерационный подход позволяет проектировать надежные и быстро сходящиеся алгоритмы для различных конкретных классов задач расчета конструкций, линейных и нелинейных, связанных с устойчивостью и закритическим поведением.
Результаты систематического исследования экстремальных вариационных формулировок теории оболочек и их особенностей при сложных граничных условиях, вырожденных физических зависимостях и др. служат теоретической основой расчета сложных конструкций. Они позволяют правильно формулировать непрерывные и дискретизованные модели расчета, создавать эффективные алгоритмы, опубликованы в монографии (издательство «Наука») и широко используются.
Эти подходы использованы и реализованы в кандидатских диссертациях семи аспирантов, у которых автор был научным консультантом. Они вошли в монографию [5], учебное пособие [6], использованы при подготовке главы по оптимальному проектированию конструкций и других разделов учебного пособия [16], используются в учебном процессе.
Программы и расчеты используются Красноярской государственной архитектурно-строительной академией как в учебном процессе, так и в научных и конструкторских разработках, Красноярским Промстройниипро-ектом, Барнаульским котельным заводом, НПО прикладной механики в Красноярске, Красноярским государственным проектно-изыскательским институтом «ВНИПИЭТ» и др.
Достоверность научных положений и результатов основывается на использовании современных вариационных, вариационно-разностных и вариационно-итерационных подходов, подтверждается теоретическими оценками скорости сходимости и численными экспериментами, сравнением численных результатов с известными опубликованными решениями А.С. Сахарова, Г. Стренга, Дж. Фикса, М.С. Корнишина и др., с программами NASTRAN, ANSYS и COSMOS. Правильность расчетов подтверждается результатами физических экспериментов, натурных испытаний, практикой эксплуатации зданий и сооружений различного назначения.
На защиту выносятся:
- результаты анализа жесткостных и прочностных свойств конструкций, предложения по их улучшению и новые технические решения;
- особенности постановок задач расчета сложных конструкций и обобщенная схема прямых и обратных преобразований вариационных постановок с учетом экстремальности функционалов, по которой они получены;
- способ построения эффективных ВРС, понятия точек, линий и поверхностей сверх сходимости производных в ячейке сетки, лежащие в его основе; техника применения способа, обеспечивающая невырожденность разностных уравнений; наилучшие ВРС, полученные с учетом особенностей оболочечно-стержневых конструкций; теоретические и численные оценки их скорости сходимости;
- вариационно-итерационные подходы к решению дискретизованной задачи, обеспечивающие и ускоряющие сходимость последовательных приближений в линейных и нелинейных задачах; использование собственных направлений выпуклости вверх функционала Лагранжа для ускоренного и надежного поиска послекритического равновесия упругих конструкций;
- предложения по совершенствованию конструкций:
- оптимизация НДС плиты СЖФ и снижение ее веса за счет изменения эксцентриситета присоединения к ней стержней;
- способ снижения деформативности торообразных резервуаров без увеличения массы за счет замены торовой формы полюсных зон на конусную;
- повышение жесткости двухслойных цилиндрических оболочек с реберным заполнителем за счет эффективного размещения ребер;
- результаты исследования НДС железобетонного производственного бассейна сложной формы и опасные направления его деформирования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: Международном конгрессе ИАСС 85 (Москва, 1985 г.); Международной конференции ИАСС (Алма-Ата, 1977); пятом и шестом всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г., Ташкент, 1986 г.); X и XIV Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Кутаиси, 1975 г., Тбилиси, 1987 г.); на Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, МАИ, 1983); IV Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2002 г.); Всероссийской конференции «Решетневские чтения» (Красноярск, 2002 г.); Всесоюзной конференции "Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике" (Вильнюс, 1988 г.); Всесоюзной конференции "Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ" (Таллин, 1979 г.); на региональных и вузовских конференциях, семинарах, школах.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в монографии (изд-во Наука) и двух учебных пособиях (Стройиздат, с грифом Госкомобразования СССР, и Изд-во Красноярского университета), в трех статьях, в трудах двух международных и трех всесоюзных конференций, всероссийского семинара, а также в 19 статьях в межвузовском сборнике «Пространственные конструкции в Красноярском крае».
Личный вклад автора. Автору принадлежат: постановка цели и определение задач данного исследования; формулировка и разработка всех положений, определяющих научную новизну и практическую значимость работы; руководство, научные консультации и личное участие в разработке программ расчета, в решении модельных задач, в выполнении и анализе расчетов. Предложения по совершенствованию конструкций: снижение изгибных напряжений за счет изменения эксцентриситетов узлов на плите СЖФ, увеличение жесткости двухслойной лопатки вентилятора за счет изменения расположения ребер, снижение податливости торообразного резервуара за счет замены торовой полюсной части на конусную; анализ опасных направлений деформирования производственного бассейна; необходимые для этого расчеты.
Особенности оболочечно-стержневых конструкций и их математических моделей
Пространственные системы из оболочек и стержней относятся к наиболее эффективным, легким, прочным и жестким конструкциям с большими конструктивными и архитектурными возможностями, особенно для покрытия больших пролетов. С появлением ЭВМ расширились возможности расчета и моделирования куполов, мембранных и вантовых покрытий, пространственных стержневых структур, сетчатых оболочек и др., и активизировалось их применение как в уникальных сооружениях, так и в конструкциях массового применения. Новые направления в моделировании и проектировании строительных конструкций определяются работами таких ученых, как А.В. Александров, Т.И. Баранова, В.В. Бирюлев, В.М. Бондаренко, С.Н. Булгаков, П.А. Дмитриев, Н.И. Карпенко, Л.С. Ляхович, Я.И. Ольков, Б.С. Соколов, В.И. Соломин, В.И. Травуш, Г.К.Хайдуков, В.В. Шугаев, J.F. Abel, R. Astudillo, J.C. Giuliani, M. Kawaguchi, M.I. Mimgan, A. Samartin, P. Ballesteros, M. Mihailescu, J.B. Obrebski, A. Scordelis, L. Vegh, W. Zerna, и др.
В Красноярском крае для обеспечения больших объемов промышленного, сельскохозяйственного и гражданского строительства разрабатываются новые эффективные конструкции, основанные на широком использовании разнообразных пространственных форм, различных материалов и их сочетаний. Сталежелезобетонные фермы (СЖФ, ПСЖ, рис. 1.1), пространственные плиты, блок-фермы покрытий и блок-секции зданий на основе древесины (рис. 1.2), сводчатые блоки с обшивками из профлистов (рис. 1.3) соединяют в себе преимущества различных материалов при работе на сжатие и растяжение, экономичны и обладают большими архитек турными возможностями, но требуют тщательного анализа НДС с учетом разнообразных особенностей конструктивных решений, условий эксплуатации и окружающей среды.
Цилиндрические и торовые резервуары (рис. 1.4) выдерживают значительное внутреннее давление и обладают достаточной жесткостью, чтобы обеспечить высокую точность связанного с ними оборудования. Жесткостные характеристики обеспечиваются ребрами и стержневыми внутренними связями. Резервуары имеют круглую форму, но несимметричные ребра и стержни. Недостаточно используются возможности изменения формы для управления жесткостью.
В двухслойных цилиндрических оболочках с реберным заполнителем ребра разных направлений, прямые и криволинейные, не равнозначны, и стоит проблема изучения их влияния на НДС и выбора лучшего варианта размещения.
В 1970 - 80 годы, когда выполнялись первые из этих работ, не было ни достаточно универсальных и надежных методов и программ расчета конструкций такой сложности, ни ЭВМ с достаточными ресурсами.
И сейчас универсальные зарубежные и российские программы расчета конструкций не всегда позволяют реализовать адекватные расчетные модели. В одних неправильно обрабатываются соединения оболочек и плит с ребрами или шарнирное соединение плит, в других не предусмотрена переменная температура по толщине оболочки, ни в одной не предусмотрено близкое к реальному соединение слоистых плит (рис. 1.5, а, б, в), есть только (рис. 1.5, г). Почти в любой из них находится возможность получить расчет с погрешностью в сотни процентов. Отсюда следует актуальность исследования особенностей деформирования различных типов оболочеч но-стержневых конструкций, а так- Рис. 1.5 же разработки и совершенствования необходимых для этого средств: теоретических основ моделирования конструкций, разработки и реализации простых и надежных расчетных моделей и компьютерных программ, которые можно развивать и дополнять в соответствии с потребностями проектирования, модифицировать расчетный инструмент под новые задачи.
Теоретические основы численных методов разрабатывали такие ученые, как Р. Курант, К.О. Фридрихе, К. Васидзу, Э. Тонти, В.З. Власов, Л.В.Канторович, И.Ф. Образцов Л.А. Розин и др. Основополагающая роль в их работах отведена вариационным принципам, которые помогают подобрать правильную модель, содержащую существенные черты функционирования конструкции и согласованную с законами механики, за счет альтернативной сжатой формулировки этих законов. Однако в них не уделено достаточно внимания экстремальным свойствам вариационных постановок задач механики и расчета конструкций.
Методы дискретизации конструкций связаны главным образом с ис пользованием координатных функций (глобальный подход, работы В.З. Власова, И.И. Воровича, Б.Г. Галеркина, В.А. Крысько, Р. Куранта, Ю.В. Немировского, В.В. Петрова, В.Л. Рвачева, Ритца, и др.) или с сеточным, локальным, представлением искомых функций (Н.П.Абовский, П.М.Варвак, Д.В.Вайнберг, С.К.Годунов, Л.В.Енджиевский, Н.И.Карпенко, В.Д.Кошур, И.Е.Милейковский, В.А.Постнов, А.А.Самарский, В.В.Шайдуров и др.), а также с их комбинацией, называемой методом конечных элементов (МКЭ) и представленной в работах Дж.Аргириса, Р.Галлагера, О.Зенкевича, В.Г.Пискунова, В.А.Постнова, Л.А.Розина, А.С.Сахарова и др.
Универсальные расчетные программы разработаны коллективами под руководством З.И.Бурмана, М.Л.Бурышкина А.С.Городецкого, А.Е.Гоцуляка, В.И.Гуляева, Н.Н.Шапошникова, и др. Широко известны также зарубежные конечноэлементные расчетные комплексы NASTRAN, ANSYS, COSMOS и др.
Экстремальные свойства функционалов и система вариационных принципов теории упругости
В данном разделе изложены результаты автора по систематическому исследованию экстремальных свойств вариационных формулировок теории упругости и оболочек на основе теории преобразования вариационных проблем Куранта - Гильберта [100], которая применялась в работах [2, 18, 20, 38, 141, 150, 158, 188] для получения новых вариационных принципов и изучения их с позиций стационарности. Выявлены экстремальные свойства используемых в литературе смешанных функционалов и получен ряд новых, дополняющих систему вариационных формулировок и придающих ей симметричный вид как в отношении наборов аргументов и условий стационарности, так и с точки зрения экстремальности. Подробно изучены особенности функционалов, их дополнительных условий и условий стационарности при сложных граничных условиях, в том числе для многосвязных областей, а также особенности вариационных постановок задач с «вырожденными» физическими соотношениями.
Наиболее полная и законченная система вариационных формулировок получена для линейных и для большинства физически нелинейных задач теории упругости и оболочек, когда исходный частный функционал выпуклый, а дополнительные условия к нему - линейные уравнения. Сюда относятся и вариационные постановки задач деформационной теории пластичности при простом и активном нагружении.
Поэтому в работе в качестве исходных пунктов преобразований выбраны функционалы Лагранжа и Кастильяно, имеющие экстремумы, являющиеся выпуклыми и хорошо изученные в литературе. Рассмотрены различные их разновидности, полученные на основе идеи Р.Куранта об искусственном введении новых переменных и соответствующих дополнительных условий для целей преобразований; получен вариант функционала Лагранжа в деформациях, не содержащий перемещений.
Экстремальные свойства полных функционалов, полученных из функционалов Лагранжа и Кастильяно, следуют из результатов Р.Куранта и из выпуклого анализа (теоремы Куна - Танкера). При дальнейших преобразованиях полных функционалов в частные могут возникать различные случаи, которые рассмотрены в работе и применены для исследования экстремальных свойств функционалов. Разработаны схемы преобразований (рис. 2.1 - 2.3), применимые к различным классам вариационных задач.
Такой подход дает две аналогичных группы полных функционалов, которые в работе названы Лагранжевой и Кастильяновой сериями, и полученные из них частные функционалы составляют две группы. Система функционалов получает симметричный вид (рис. 2.4 и табл. 2.1). В табл. 2.1 показаны экстремальные свойства и выделены новые функционалы, построенные автором путем преобразований с учетом экстремальности.
Наиболее характерные элементы системы и их экстремальные свойства представлены в таблицах приложения 1.
Функционал Лагранжа в перемещениях 3JJI(U) (полная потенциальная энергия, табл. П1.1)) наиболее распространен в литературе, хорошо изучен и широко используется. В геометрически линейной теории все геометрические связи линеаризованы и определяют линейное, а значит, выпуклое подпространство в пространстве состояний системы. Выпуклость функционала Эд\ определяется выпуклостью потенциала напряжений П(е) (плотности энергии деформирования), которую постулируют в подавляющем большинстве упругих моделей [28, 103, 170]. При этих условиях точка стационарности Эд\ является его точкой минимума [84, 145].
Остальные варианты функционала Лагранжа (табл. П1.1) получены из 3/7i(u), в соответствии с [100], за счет искусственного введения новых переменных е = е(и), ст = ст(и) (расширения пространства состояний системы) и соответствующих дополнительных условий. Они дают начало различным сериям полных и частных функционалов и имеют некоторые вычислительные особенности.
Условия стационарности различных вариантов функционала Ла-гранжа - уравнения равновесия, но в различной форме, выраженные через компоненты соответствующего пространства состояний.
Функционал Лагранжа Э/7з(е) в деформациях получен автором путем исключения перемещений из Э/72 (и е) и из дополнительных условий к нему. При этом в объеме тела V зависимости Копій e = 0.5(Ve + eV) переходят в уравнения неразрывности деформаций Бельтрами - Митчелла VxexV = 0, а условия закрепления (и - и )" = 0 на поверхности S - в деформационные граничные условия [5, 144]. В табл. П1.1 представлен наиболее простой частный случай, когда на одной части Su поверхности тела S заданы все компоненты вектора перемещений, а на остальной части, S г, - все компоненты вектора усилий, причем Su - связное множество (т.е. состоит из одного целого куска любой формы). Если условия закрепления охватывают несколько связных участков поверхности S, то в список дополнительных условий Э/73(е) должны быть включены уравнения интегрального вида
Различные ВРС для модельных одномерных задач. Численные эксперименты, проверка сходимости
Граничная задача для дифференциального уравнения эквивалентна вариационной задаче о минимуме функционала Второе граничное условие Su (l) - 0 - естественное, оно содержится в вариационном уравнении (3). 2 Схема 1.1 (порядок h ). Простейшая аппроксимация уравнения (1) методом конечных разностей имеет погрешность порядка h и дает систему уравнений для узловых значений функции и. Разностное представление с такой же погрешностью граничного условия, содержащего производную и , неоднозначно. Лучше всего, как показывает практика, использовать продолжение функции и за границы расчетной области и ввести "законтурную точку" ип+\ (Рис- 3.12). В точке 0 значение и определяется граничным условием, в остальных точках - дифференциальным уравнением; в точке п, кроме дифференциального уравнения, записывают еще и граничное условие для и , получая два уравнения для двух неизвестных un,un+i. Схема 1.2 (порядок /г2). Система разностных уравнений (5) получается, если применить разные формулы численного интегрирования при аппроксимации различных слагаемых функционала (2) или вариационного уравнения (3): простейшая формула численного дифференцирования с погрешностью порядка h (строка 6 из табл. П3.2) и гауссова одноточечная формула численного интегрирования (строка 1 из табл. П3.5), а остальные члены представляют собой аппроксимацию интеграла по формуле трапеций. Перегруппировка слагаемых (6) дает форму записи из которой лучше видно, что отсюда следуют уравнения (3) схемы 1, так как вариационное уравнение должно выполняться при любых (допустимых) комбинациях (SUQ,5U\,... ,8ип), в том числе вида (0, 1, 0, ... , 0). Комбинации с Su0 t- 0 недопустимы в силу граничного условия, и первое слагаемое в (7) не обязано равняться нулю. А последнее слагаемое должно быть нулевым, и это представляет собой комбинацию двух последних уравнений (5): так что аппроксимация порядка h вариационного уравнения обеспечивает аппроксимацию такого же порядка для соответствующего дифференциального уравнения и естественного граничного условия.
Схема 1.3 (порядок h2). Для другой простейшей аппроксимации вариационного уравнения (3) применим такую же формулу численного дифференцирования и гауссову одноточечную формулу численного интегри рования для всех членов (3). Для вычисления значений и в центрах интер валов применим линейную интерполяцию, которая также имеет погреш ность порядка h . Получим дискретизованное вариационное уравнение в виде (9) с граничным условием w0 = 0 о = 0 Второе граничное условие - естественное, оно содержится в вариационном уравнении (9). С помощью суммирования по частям можно преобразовать (9) к форме Здесь вторые члены представляют собой усредненные значения и в окрестностях узлов аппроксимации, что в ряде случаев лучше соответствует прикладному смыслу задачи и дает более высокую точность (см., например, [49, 50]). Последнее уравнение, как и в (7), можно рассматривать как комбинацию дифференциального уравнения и граничного условия для и в точке п, что подтверждает порядок /? аппроксимации граничного условия с производной.
Прямые методы в линейных задачах. Программы CHODEC, CHOSOL для профильных матриц
Традиционные методы решения не слишком больших систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) связаны с преобразованием исходной системы к более простому виду способами исключения неизвестных или подстановки. На первых ЭВМ более популярным был метод Жор дана с самым коротким алгоритмом; на более мощных - метод Гаусса, работающий вдвое быстрее.
В настоящее время им на смену пришел более широкий класс методов [74, 85, 133, 160 и др.], основанный на более общей точке зрения: матрицу А системы представляют в виде произведения двух (или больше) более простых (с точки зрения решения СЛАУ) матриц и исходную систему (1) заменяют двумя (или больше) более простыми:
Чаще всего в качестве простых выбирают треугольные матрицы (В - нижняя треугольная, С - верхняя треугольная).
К этому классу относится и метод Гаусса, в нем матрицу А представляют в виде нижняя и верхняя треугольные матрицы, причем U - с единицами на главной диагонали. В методе Гаусса, модифицированном таким образом, операции над матрицей (которых примерно (2/3)п ) отделены от операций с правыми частями (которых значительно меньше - около 2п ). Это позволяет экономить время при решении нескольких систем с одной и той же матрицей и разными правыми частями. Особенно важна такая экономия в процессах последовательных приближений, например, в методе дополнительных нагрузок при расчетах конструкций в упруго-пластической стадии.
Для симметричных матриц часто используют метод Холецкого (метод квадратного корня) [74, 160], в котором матрицу А представляют в виде произведения
двух одинаковых треугольных матриц. Такое разложение на треугольные множители возможно, если А положительно определенная, и требует примерно вдвое меньше операций, чем метод Гаусса. Если А симметричная, но не положительно определенная, то применяют LDL разложение нижняя треугольная матрица, D - диагональная.
Устойчивый и быстрый (по числу операций - как метод Гаусса) метод отражений [85] связан с разложением матрицы А на треугольный и ортогональный множители
Он позволяет решать системы уравнений с ленточными и плохо обусловленными матрицами и даже находить одно из решений при нулевом определителе. Однако в наших численных экспериментах с сеточными уравнениями изгиба балки для ВРС порядка h погрешности округления искажали результаты при решении СЛАУ по методу отражения на значи-тельно более редкой сетке, чем при решении на основе LDL разложения без выбора главного элемента.
Разреженные (слабозаполненные) матрицы в процессе исключений по Гауссу или разложения на треугольные или другие множители становятся менее разреженными (рис. 4.1). При треугольном разложении всегда сохраняется профиль матрицы (рис. АЛ, б, г), и это используют в программах решения больших сеточных СЛАУ для экономии памяти и времени счета. Учет нулевых участков внутри профиля сильно усложняет структуры данных и алгоритм разложения, и его редко реализуют. Часто реализуют блочно-профильные алгоритмы, но они не дают экономии ни памяти, ни времени счета, а скорее уменьшают возможности небольших уточнений профиля. Иногда профиль может значительно уменьшиться при подходящей перенумерации неизвестных и уравнений; в [74; 133] представлены различные подходы к оптимальной перенумерации неизвестных для метода Холецкого или LDLT разложения.
В данной работе разработаны и широко используются в расчетах конструкций программы CHODEC, CHOSOL, основанные на методе Холецко-го, и их LDL модификации для решения СЛАУ с профильными матрицами как в оперативной памяти, так и с использованием магнитных дисков. В дисковом варианте используется буферный массив в оперативной памяти, который может быть достаточно большим и благодаря своей структуре обеспечивать минимальное количество обменов с дисками при решении СЛАУ со сложным профилем, моделирующих оболочечно-стержневые конструкции. В дисковой памяти располагаются два рабочих файла прямого доступа, в одном из которых хранятся элементы профиля треуголь-ного множителя L разложения А - L L , в другом - информация о расположении строк L в первом файле. Эти программы входят в расчетные комплексы PANEL, TOR и др, гл. 5.
