Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные принципы построения экономико-статисти ческих моделей 13
1.1 Принципы традиционного подхода 13
1.2 Методы оценки параметров модели 19
1.3 Общие проблемы традиционного подхода 23
Глава 2. Обоснование динамического метода построения экономико-статистических моделей 35
2.1 Основополагающие принципы 35
2.2 Задача оценки параметров 39
2.3 Ретроспективный анализ 43
2.4 Прогнозирование . 50
Глава 3. Идентификация модели 55
3.1 Традиционные методы идентификации 55
3.2 Идентификация модели, построенной динамическим методом 60
3.3 Принципы программной реализации 66
Глава 4. Моделирование процессов с распределенным лагом .. 72
4.1 Модели с распределенным лагом 72
4.2 Обзор методов построения моделей с распределенным лагом 76
4.3 Динамический метод построения модели с распределенным лагом 87
Глава 5. Реализация динамического метода построения экономико-статистических моделей 94
5.1 Оценка вариаций параметров модели 94
5.2 Примеры применения динамического метода 101
5.3 Применение динамического метода для построения комплексной эконометрической модели .118
Заключение 127
Список литературы.
- Методы оценки параметров модели
- Задача оценки параметров
- Идентификация модели, построенной динамическим методом
- Обзор методов построения моделей с распределенным лагом
Методы оценки параметров модели
В литературе имеется большое количество методов оценки параметров общей линейной модели. Даже схематичное описание наиболее распространенных методов невозможно ограничить рамками одного параграфа, поэтому в данном случае приводятся лишь ссылки на соответствующие источники.
В этом параграфе не ставится задача перечислить все существующие методы оценки. Цель данного параграфа показать насколько существенны взаимосвязи выдвигаемых априорно гипотез и методов оценки параметров и какие последствия можно ожидать при применении методов, несоответствующих априорным гипотезам.
Классический метод, наименьших квадратов в соответствии с теоремой Гаусса-Маркова [6S] дает несмещенные, состоятельные и с минимальной дисперсией, в классе линейных несмещенных оценивающих функций, оценки параметров в случае перечисленных в параграфе I.I. априорных гипотез относительно стохастической составляющей модели.
К сожалению, известно множество случаев, когда невязки в регрессионной модели (І.І.І) не являются независимыми. Проблемы, связанные с коррелированностью невязок можно разделить на три . категории: - последствия ошибочного допущения о независимости ; - методы и тесты определения существования корреляции; - процедуры, к которым надо переходить, когда факт наличия корреляции установлен.
Стохастическая составляющая Еь , как указывалось выше, на практике представляет собой сумму влияний всех переменных, от которых в действительности зависит эндогенная переменная, но которые не вошли явно в уравнение зависимости в качестве экзогенных переменных. Если оказалось, что некоторые из этих опущенных переменных являются серийно коррелированными и не компенсируют друг друга, то будет существовать регулярное воздействие на стохастическое возмущение. Следовательно, предположение об их серийной некоррелированности становится неверным. Б этом случае оценки параметров, полученные классическим методом наименьших квадратов становятся неэффективными, т.е. не обладают наименьшей дисперсией, однако остаются несмещенными оценками
Использование в этом случае построенной модели для оценки прогнозных -значений эндогенной переменной приводит к серьезным ошибкам вплоть до ошибок на уровне тенденций. Следует заметить, что ошибки прогноза, как правило, объясняются не одной причиной, а целым рядом причин, и очень трудно поэтому привести реальный пример, который бы наглядно показывал вклад нарушения рассматриваемого предположения в ошибку прогноза. Подробное описание последствий, вызываемых автокорреляцией возмущений приведено Дж. Джонстоном в [Z7] .
Критерии, позволяющие установить существование автокорреляции возмущений можно разделить на две группы: - непараметрические критерии [5І, 3,92] - критерии, основанные на теоретических распределениях [76 , si]. Наиболее часто используемым в экономико-статистических мо 21 делях является критерий Дарбина-Уотсона, предназначенный для малых выборок. В основе этого критерия лежит а статистика: п п /--(!iVU )/21.
Интуитивно ясно, что для положительно автокоррелированных рядов первые разности будут обнаруживать тенденцию к уменьшению по абсолютной величине в сравнении с абсолютными величинами значений 8± , в то время как для отрицательно автокоррелированных рядов первые разности часто будут оказываться по абсолютной величине больше чем Et . Таким образом, J - будет иметь тенденцию к уменьшению при наличии положительной автокорреляции и к увеличению, если автокорреляция отрицательна. Дарбин и Уотсон затабули-ровали для фиксированного уровня значимости два предела Ju и Если d о/ь , то гипотеза об отсутствии автокорреляпии отвергается в пользу гипотезы о положительной автокорреляции. Если а ац , то принимается гипотеза об отсутствии ав- токорреляции. Если aL d ац t то нельзя сделать определенный вывод. В случае проверки на отрицательную автокорреляцию А статистика изменяется на . Недостатком критерия Дарбина-Уотсона является наличие интервала, в котором нельзя сделать определенных выводов.
Задача оценки параметров
Предположения динамического метода, сформулированные в предыдущем параграфе требуют, чтобы в точке микимріа функционала (2.1.3у его значение было равно нулю. Очевидно, что этого можно достигнуть при любых исходных временных рядах показателей соответствующим выбором величин Si в ограничениях (2.Т.2) . Поэтому прежде всего нужно уметь находить минимум функционала (2.1.3) при ограничениях (2.1.2) . Для этого избавимся от функции модуля в исходной задаче. Воспользуемся следующим приемом. Пусть требуется найти (2.2.1) Из свойства функции модуля следует l ,0 х-є+ о Но тогда задача (2.2.і) эквивалентна следующей: требуется найти і при ограничениях .
Действительно, пусть X tf , тогда второе ограничение всегда выполняется и для обеспечения минимума функционала (2.2.1.) требуется, чтобы L 0 . Тогда из первого ограничения следует, что минимизация с± эквивалентна минимизации Xt . Аналогично можно рассмотреть остальные случаи.
Применяя этот прием к функционалу (2.1.3) , получим новый функционал F-=tl [ ( )+ (t)l (2.2.2) t = i и дополнительные ограничения y(J-)- L(t)4(t)(t)iO, (2.2.3) с Ч t(t))r(t) ,0? t = tZ)t..,n (2.2.5)
Теперь минимизация функционала (2.2.2) при ограничениях (2.1.2) и (2.2.3) - (2.2.5) эквивалентна решению задачи линейного программирования, поскольку ограничения (2.1.2) легко заменяются соответствующей парой ограничений без участия Функции модуля i--l,Z,...,K, :2,3Г..,П. Неизвестными переменными в этой задаче линейного программирования являются t--i,Z, ,,.,n . Оценим размерность этой задачи: - число переменных Л/ = г +КГ) -П(к+2) (2.2.7) - число ограничений Q-Zn+tk(n-l)=t["(K 4)- ] (2.2.8) с с о причем ограничения (2.2.5) в (2.2.8) не учитываются. Например, при П = 30, К = 5 в соответствии с (2.2.7) и (2.2.8) получим 1\1 = 210, Q = 350. Задачи такой размерности являются ординарными для аппарата линейного программирования.
Задача линейного программирования (2.2.2) - (2.2.б) носит иллюстративный характер. В действительности, как это будет показано в главе 5, задачу оценки параметров можно свести к задаче линейного программирования , значительно меньшей размерности.
Сведение задачи оценки параметров к стандартной задаче линейного программирования является важным положительным моментом так как: - методы линейного программирования являются конечными, т.е. экстремум, если он существует, достигается за конечное число итераций; - методы линейного программирования хорошо разработаны как в теоретическом, так и в практическом плане-; - экономисты широко используют аппарат линейного программирования; - легко учитываются линейные ограничения, наложенные на параметры модели.
Применение на практике аппарата линейного программирования, как правило, означает использование какого-либо стандартного пакета прикладных программ, реализующего этот метод. Однако исследователя, решившего прголенить предлагаемый метод, может отпугнуть процесс подготовки исходной матрицы задачи линейного программирования. Эта трудность легко обходится, если процесс формирования исходной матрицы задачи автоматизировать. В идеальном случае желательно, чтобы исследователь имел в своем распоряжении комплекс программ, позволяющий ему вводить лишь исходные временные ряды статистических показателей и некоторую управляющую информацию, характеризующую степень его участия в процессе получения требуемого решения. Описание основных принципов построения такого программного комплекса приведено в п.
Динамический метод построения модели позволяет провести более глубокий ретроспективный анализ поведения процесса по сравнению с моделью с постоянными коэффициентами. Оуть этого ретроспективного анализа заключается в исследовании полученных временных рядов коэффициентов модели.
В данном случае, исследуя временной ряд коэффициента tft) , гі, ; ,..,/ , необходимо ответить на следующие вопросы: - является-ли ряд стационарным, т.е. случайным или содержит тренд?; - если ряд не случайный, то каков вид функции тренда?; - какова корреляция членов рассматриваемого ряда? Ретроспективный анализ модели включает в себя исследование взаимосвязей между полученными временными рядами коэффициентов.
Заключительным этапом анализа поведения модели является задача содержательного объяснения полученных формальных результатов. Это задача эксперта, хорошо представляющего тонкости исследуемого процесса. Исходя из своего опыта и интуиции, эксперт дол жен объяснить, полученное формальными методами, описание поведения модели, если результаты не противоречат еаго содержательному пониманию процесса. В противном случае может потребоваться возвращение на более ранние этапы построения модели.
Идентификация модели, построенной динамическим методом
Идентификация модели, построенной динамическим методом требует разработки своих правил и критериев. Очевидно, что применение традиционных способов идентификации на ретроспективном отрезке не имеет смысла. С другой стороны все критерии, применяемые в традиционном подходе при анализе прогнозных свойств модели вполне пригодны и для динамического метода.
В качестве оценок параметров в динамическом методе выступают временные ряды параметров, что и делает непригодными традиционные методы идентификации. По сути динамический метод предлагает некоторый разумный сценарий поведения коэффициентов модели на ретроспективном отрезке времени. Задачей идентификации является выбор одного сценария из множества всех допустимых. Сценарий является допустимым, если на ретроспективном отрезке времени истинные значения эндогенной переменной и ее оценки совпадают, т.е. параметры модели объясняют поведение процесса на этом отрезке времени.
В соответствии с параграфом 2.2 допустимый сценарий может быть найден как решение задачи математического программирования п тіш F - fru t/) Ы] Н t--i при ограничениях При этом требуется, чтобы (функционал F в точке минимума был равен нулю. Прежде всего заметим, что требуемое решение задачи (3.2.1/ всегда может быть найдено, т.е. справедлива
Лемма I. Существует набор неотрицательных величин о/ 0 , /ГХ «"? К таких, что решение задачи (3.2.і) доставляет экстремальному значению функционала нулевое значение. Доказательство. Для доказательства достаточно решить задачу (3.2.і) без учета ограничении (3.2.2) и по полученным значениям oii(t) найти Si-m(m\ ti(tiri)-di(t)\t с:1,2„..7К Ш Из леммы I достаточно очевидно следует, что наборов величин 8i -O , c-l,2)ti, K дающих требуемое решение задачи (3.2.і) , бесконечно много. Основная тяжесть проблемы заключается в выборе величин Исследуем зависимость между величинами $; , с-{,2},,., К и минимумом функционала (з.2.і) . Для этого зафиксируем индекс / [1,,...,К$ и положим Обозначим при фиксированном значении OJ F (,)--пил F Вид зависимости F (oj) вытекает из следующих утверждений. Лемма 2. Функция F (ty ) равномерно непрерывна на интерва ле [о, оо) .
Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно вытекает из равномерной непрерывности функционала (3.2.1) от параметров ь(і: ), с-i,2 К , t zi,2 ,.-, 7 . Таким образом для любых У/ и 8 Є [о со) и любого ? существует такое А 0 , что Демма 3. Функция / () является невозрастающей функцией на интервале [ О, ) Доказательство. Зафиксируем 8jZ0 , S\ 0 и пусть 8j 8j . Решение задачи (3.2.1) , полученное при Sj является допустимым решением этой задачи при ф т.к. О oj . А поскольку ищется минимум, то он не может быть больше минимума функционала при Sj . Таким образом Демма 4. В области своих положительных значений функция F (S/) 9ТР? Убывает.
Доказательство. Пусть о: такое, что F (S\) 0 , следовательно, по крайней мере одно слагаемое в (3.2.l) больше нуля. Выбрав Sf Sj , в этом слагаемом можно изменить коэффициент o(j в пределах J- ±(8j -.8j) , оставаясь в допустимой области. Отсюда следует, что
Из доказанных утверждений следует, что существует число такое, что функция F foj ) строго убывает на интервале / и F (oj) = 0 на [oj } ) . Величина Sj имеет оче-видный содержательный смысл. С одной стороны су равна мини 63 мальнои допустимой вариации параметра otjft » ПРИ неизменных во времени всех остальных параметрах модели, доставляющее допустимое / F (Sj)-Q / решение задачи (з.2.і) . С другой - это максимальное значение величины oj , гарантирующее единственность решения задачи (з.2.і) с нулевым экстремальным значением функционала.
Обзор методов построения моделей с распределенным лагом
Данная схема выбора весовых коэффициентов оказывается более гибкой, т.к. при Ъ 1, весовые коэффициенты будут сначала возрастать до некоторого максимального значения, а затем убывать до нуля.
Существует еще несколько малопараметрических методов аппроксимации закона распределения лага [Si,87J .
Объединяющим признаком рассмотренной группы методов является использование для аппраксимации закона распределения лага конкретных функций с малым числом параметров. Среди них следует различать законы с бесконечными пределами / N - Q / и с конечными пределами. В первом случае неизвестные параметры распределения лага входят в уравнение связи простым образом - как коэффициенты при показателях, но оценки параметров будут хорошими только для невязок, удовлетворяющих схеме Маркова соответствующего порядка с теми же значениями параметра, что и в законах распределения.
Во втором случае зависимость от параметров более сложная, а именно, неизвестный параметр N входит в уравнение связи как аргумент запаздывающих значений показателя t(t) , Тем не менее процедура оценки параметров / многократная для каждого фиксированного N из диапазона его возможных значений / позволяет ожидать хороших свойств решения в условиях менее жестких требований к ошибкам исходного уравнения.
Отметим, что методы аппроксимации, основанные на законах распределения лага с бесконечными пределами, приводят к большим трудностям при опенки параметров, чем методы, использующие законы распределения лагов с конечными пределами.
Помимо рассмотренных методов существуют более гибкие подходы к проблеме оценки параметров лаговой модели [Z4, 73 ] .
Очевидным способом повысить гибкость аппроксимационных методов является увеличение числа свободных параметров. Однако оно может оказаться лишенным смысла, если истинные значения ( ) будут носить хаотический характер. В этом случае потребовались бы кривые с большим, близким к длине ряда числом параметров, что в условиях сильной автокорреляции экономических временных рядов снова привело бы к зависимости переменных нового уравнения связи, и следовательно, к малости главного определителя и неэффективности оценок параметров, получаемых методом наименьших квадратов.
Ситуация значительно облегчается, если предположить, что изменение коэффициентов W() будет носить гладкий характер, ято вполне естественно для большинства процессов происходящих в экономике. В этом случае число параметров, при котором обеспечивается хорошее приближение аппроксимирующей кривой к истинному закону, значительно меньше длины ряда.
Следующий наиболее общий из этой группы методов - метод аппроксимации производящей лавовой функции [951 .
В качестве исходного уравнения Джоргенсон рассматривает уравнение связи экономических показателей с распределенными лагами (4.2.3) при N = о . Закон распределения лага можно описать с помощью некоторой непрерывной по параметру 7 функции Vy/(27 определенной при 7 0 и совпадающей в точках Г =0,1,2,... с значениями лаговых коэффициентов. Дальнейшая схема рассуждений сводится к следующему. С помощью некоторой .взаимно однозначной замены переменных функцию можно отобразить в непрерывную функцию определенную на отрезке [0,11 . Затем, воспользовавшись теоремой Вейерштрасса, в силу которой любая непрерывная функция может быть равномерно приближена многочленом, построить соответствующую систему многочленов для функции . Джоргенсон предлагает также и метод нахождения оценок для коэффициентов этих многочленов
В і Si J показано, что лаговой производящей функции (4.2.9 даже в случае невысоких порядков ПП и р соответствует широкий класс законов распределения лагов. В частности методы Койка и Солоу являются частными случаями дробно-рациональной ап-. проксимации лаговой производящей функции.
Седелев Б.В. в L 6 J предложил метод существенно отличающийся от всех предыдущих методов: Опираясь на знание статистических свойств временных рядов показателей метод определяет потенциально-возможное количество статистически надежных оценок параметров искомого закона распределения лагов, не прибегая к каким-либо гипотезам о его математической форме.
В основе этого метода лежит определение статистически значимых начальных моментов закона распределения лагов и уже с помощью них - лаговых коэффициентов W ) и значения А/ . Сама трехэтапнал процедура оценки параметров достаточно громоздка, поэтому здесь не приводится.
В [Ж] Зайдисом предлагается метод, который предполагает слабую динамику коэффициентов лага W() во времени. Матрица лаговых коэффициентов W(c,w имеет диагонально-блочную форму. Размер диагональных подматриц определяется величиной предполагаемого максимального лага.
